Oι εξισώσεις για τις οποίες είναι γνωστή η αναλυτική λύση είναι πολύ λιγότερες από αυτές στις οποίες η αναλυτική λύση δεν είναι γνωστή. Για παράδειγμα για την εξίσωση x + e^x = 0 δεν είναι γνωστή η αναλυτική λύση. Σε αυτήν την περίπτωση είναι δυνατή η επίλυση της εξίσωσης με αριθμητικές μεθόδους. Στο Λύκειο γίνεται μια αναφορά σε προσεγγιστική λύση εξίσωσης (πολυωνυμικής) στη Β’ Λυκείου, η οποία χωρίς τη χρήση υπολογιστή μένει μετέωρη… Εξάλλου η συγκεκριμένη μέθοδος βασίζεται στο θεώρημα του Bolzano που διδάσκεται την επόμενη χρονιά. Στην εφαρμογή που παρουσιάζουμε δίνουμε τη δυνατότητα αριθμητικής επίλυσης μιας εξίσωσης με τη μέθοδο της «Διχοτόμησης» και με τη μέθοδο «Newton-Raphson», που κατά τη γνώμη μας θα μπορούσαν να παρουσιαστούν στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Γ’ Λυκείου, η πρώτη σαν εφαρμογή του θεωρήματος Bolzano, ενώ η δεύτερη σαν εφαρμογή των παραγώγων.

Εισάγουμε με αυτόν τον τρόπο τους μαθητές στην έννοια των αριθμητικών μεθόδων που εφαρμόζονται ευρέως στις θετικές επιστήμες.

Μπορείτε να μεταφορτώστε το αρχείο πατώντας πάνω στην εικόνα. Μπορείτε επίσης να μεταφορτώσετε ένα αρχείο εύρεσης ριζών εξίσωσης με τις δύο μεθόδους σε Mathematica 8.0 πατώντας εδώ.

Στη θεωρία Πιθανοτήτων ο νόμος των μεγάλων αριθμών περιγράφει το αποτέλεσμα της επανάληψης ενός πειράματος τύχης. Σύμφωνα με το νόμο αυτό, ο μέσος όρος των αποτελεσμάτων που έχουν πραγματοποιηθεί σε διαδοχικές επαναλήψεις του πειράματος προσεγγίζει την αναμενόμενη τιμή (θεωρητική μέση τιμή) του πειράματος, όσο ο αριθμός των επαναλήψεων αυξάνει, Από αυτό προκύπτει ότι όταν το πλήθος των δοκιμών ενός πειράματος τύχης αυξάνει απεριόριστα, η σχετική συχνότητα ενός εκάστου ενδεχομένου προσεγγίζει τη θεωρητική του πιθανότητα. Η εφαρμογή που αναρτάται αναπαριστά το συγκεκριμένο νόμο στις περιπτώσεις του νομίσματος και του ζαριού. Ο χρήστης μπορεί να επιλέξει το συνολικό αριθμό ρίψεων καθώς επίσης και το ενδεχόμενο που σας ενδιαφέρει (στην περίπτωση του νομίσματος Κεφάλι ή Γράμματα, ενώ στην περίπτωση του ζαριού οποιοδήποτε απλό ή σύνθετο ενδεχόμενο).

Η εφαρμογή βασίζεται στην ακόλουθη ιδέα: δημιουργεί μια λίστα, μήκους ν₀ (που καθορίζεται από το χρήστη και παριστάνει το συνολικό αριθμό ρίψεων), τυχαίων αριθμών (στη περίπτωση του νομίσματος είναι {Κεφάλι ή Γράμματα} ενώ στην περίπτωση του ζαριού {1, 2, 3, 4, 5 ή 6}. Δημιουργείται, στη συνέχεια , ένας δρομέας ν που ανατρέχει τη λίστα που έχει δημιουργηθεί, ανά δέκα στοιχεία, και μετρά τον αριθμό των απλών ή σύνθετων (στην περίπτωση του ζαριού)  ενδεχομένων του πειράματος που έχουν προκύψει μέχρι την τρέχουσα τιμή του ν.

Θα μπορούσε να διδαχθεί στο μάθημα των πιθανοτήτων τόσο στην Α’, όσο και στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας στη Γ’ Λυκείου.

Για να μεταφορτώσετε την εφαρμογή πατήστε πάνω στην εικόνα.

Limnos 14_12_2015 Limnos 17_12_2015

Κατόπιν απόφασης του Περιφερειακού Διευθυντή Α/θμιας & Β/θμιας Εκπαίδευσης Βορείου Αιγαίου Αριστείδη Καλάργαλη και θετικής εισήγησης του Προϊστάμενου Επιστημονικής & Παιδαγωγικής Καθοδήγησης Β/θμιας Εκπ/σης Β. Αιγαίου κ. Πρόδρομου Ελευθερίου, διοργανώθηκε από το Σχολικό Σύμβουλο ΠΕ03 της Δ/νσης Β/θμιας Εκπ/σης Σάμου με αρμοδιότητα και στις περιοχές Ν. Χίου και Λέσβου κ. Ιωάννη Ράλλη, την 15^η Δεκεμβρίου 2015  στη Λήμνο,  επιμορφωτική συνάντηση με θέμα τη «Χρήση του λογισμικού Geogebra στη διδασκαλία των Μαθηματικών», στην οποία ήταν εισηγητής ο συνάδελφος και φίλος Δημήτρης Ζαχαριάδης.

Στο περιθώριο της συνάντησης αυτής, παρουσίασε δύο δειγματικές διδασκαλίες. Η πρώτη έγινε στις 14 Δεκεμβρίου, στη Β’ Λυκείου του Λυκείου Μούδρου, με θέμα τη μελέτη των τριγωνομετρικών συναρτήσεων και ιδιαίτερα μελέτη και γραφική παράσταση της συνάρτησης εφαπτομένη. Η δεύτερη έγινε στις 17 Δεκεμβρίου, στη Β’ Λυκείου του Λυκείου Μύρινας, με θέμα τη μελέτη των τριγωνομετρικών συναρτήσεων ημίτονο και συνημίτονο και μελέτη της συνάρτησης f(x)=ρημωx με ρ≠0 και ω>0

Μπορείτε να μεταφορτώσετε το υλικό της πρώτης δειγματικής διδασκαλίας πατώντας εδώ και της δεύτερης πατώντας εδώ.

Xios 20_11_2015

Το διήμερο 20  και 21 Νοεμβρίου 2015 ο συνάδελφος και φίλος Δημήτρης Ζαχαριάδης μετέβη στην Χίο, κατόπιν πρόσκλησης του Σχολικού Συμβούλου ΠΕ03 της Δ/νσης Β/θμιας Εκπ/σης Σάμου με αρμοδιότητα και στις περιοχές Ν. Χίου και Λέσβου κ. Ιωάννη Ράλλη και του τοπικού παραρτήματος της ΕΜΕ, ώστε να συμμετάσχει σε επιμορφωτική συνάντηση με θέμα τη «Χρήση του λογισμικού Geogebra στη διδασκαλία των Μαθηματικών». Στα πλαίσια της συνάντησης αυτής, την 20^η Νοεμβρίου παρουσίασε μια δειγματική διδασκαλία στη Β’ Λυκείου του 1^ου Λυκείου Χίου, με θέμα τη μελέτη και γραφική παράσταση της συνάρτησης ημίτονο. Η διδασκαλία έγινε σε Εργαστήριο Πληροφορικής με τους μαθητές να συμπληρώνουν το φύλλο εργασίας με τη βοήθεια εφαρμογών Geogebra που δημιουργήθηκαν γι’ αυτόν το σκοπό.  Μπορείτε να μεταφορτώσετε το υλικό της δειγματικής διδασκαλίας πατώντας στη φωτογραφία.

Η εφαρμογή που δημοσιεύουμε αφορά ένα πρόβλημα γεωμετρίας,  που αναφέρεται στον προσδιορισμό του μεγίστου εμβαδού ενός παραλληλογράμμου εγγεγραμμένου σε τρίγωνο.

Η εφαρμογή αυτή μπορεί να διδαχθεί στην Β΄ Λυκείου και γενικά στο  Λύκειο, κατά την κρίση του διδάσκοντος.

Με την βοήθεια του λογισμικού δίνεται η ευκαιρία στον μαθητή να μαντέψει ενορατικά την λύση και στην συνέχεια παρουσιάζονται με βήματα  λύσεις, γεωμετρική, αλγεβρική και αναλυτική και μπορούν να στηθούν πολλά σενάρια διδασκαλίας.

Παρουσιάζει μεγάλο διδακτικό ενδιαφέρον γιατί εμπλέκονται πολλές ενότητες από την ύλη των μαθηματικών όπως οι παρακάτω:

• Όμοια τρίγωνα
• Μετρικές σχέσεις εμβαδών τριγώνου
• Τριγωνομετρία
• Μετρικές σχέσεις ορθογωνίου τριγώνου.
• Μελέτη και γραφική παράσταση τριωνύμου
• Αλγεβρικές ταυτότητες.

Μπορείτε να δείτε το αρχείο on line κάνοντας κλικ επάνω στην εικόνα.

Για να κατεβάσετε το αρχείο κάντε κλικ   εδώ

Μέχρι τώρα, στην εισαγωγή της έννοιας της κωνικής τομής, στην Β’ Λυκείου, αν θέλαμε να αναπαραστήσουμε με έναν πειστικά εποπτικό τρόπο τον ορισμό της σύμφωνα με τον Απολλώνιο τον Περγαίο, θα έπρεπε να αναζητήσουμε αντίστοιχες εφαρμογές στο διαδίκτυο. Η νέα έκδοση του Geogebra μας δίνει τη δυνατότητα σχεδιασμού  γεωμετρικών αντικειμένων στο χώρο με απλό τρόπο. Η εφαρμογή που παρουσιάζουμε δίνει τη δυνατότητα στο μαθητή ή τον καθηγητή μετακινώντας το επίπεδο τομής ενός κώνου, να βλέπει την αντίστοιχη καμπύλη τομής που προκύπτει.

Για να μεταφορτώσετε το αρχείο πατήστε πάνω στην εικόνα.

Δημοσιεύουμε το αρχείο αυτό που αφορά τον υπολογισμό του ορίου συνάρτησης και των ασύμπτωτων της.
Δίνοντας τον τύπο της συνάρτησης και το x0 έχουμε την γραφική παράσταση της f σε περιοχή του x0.
Η έννοια του ορίου αισθητοποιείται με εμφάνιση της γραφικής παράστασης της συνάρτησης με κίνηση προς το x0 από τα δεξιά, από τα αριστερά, ή συγχρόνως.

Το αρχείο μπορεί να χρησιμοποιηθεί στη διδασκαλία των αντιστοίχων ενοτήτων στην Γ΄ Λυκείου.

Για να κατεβάσετε το αρχείο πατήστε επάνω στην εικόνα.

Το αρχείο που δημοσιεύουμε παρουσιάζει την λύση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης σε διαδοχικά βήματα.
Ο χρήστης μπορεί να επιλέξει μεταξύ του να εισάγει συγκεκριμένη εξίσωση για μελέτη, ή να αφήσει τον υπολογιστεί να επιλέξει μία (τυχαία).

Με αφορμή το πρόβλημα της επίλυσης της δευτεροβάθμιας εξίσωσης, αναδεικνύουμε την δυνατότητα που έχουν οι νεότερες εκδόσεις Geogebra, με κατάλληλες εντολές κειμένου, να εκτελούν αντικαταστάσεις σε δεδομένο τύπο (αναλυτικά) και στη συνέχεια να τον απλοποιούν.
Το αρχείο μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την διδασκαλία στην Γ΄ Γυμνασίου αλλά και την Α΄ Λυκείου.

Για να κατεβάσετε το αρχείο πατήστε επάνω στην εικόνα.

Με αφορμή μια άσκηση του σχολικού βιβλίου της Β΄ Γυμνασίου, στην ενότητα «Μέτρηση κύκλου-τόξου», δημιουργήθηκε το αρχείο αυτό που δίνει μα αναπαράσταση του προβλήματος.

Μπορεί να διδαχθεί και στην Β΄ Λυκείου. Με το κουμπί «Βοήθεια» δίνεται η δυνατότητα επίδειξης του τρόπου κατασκευής της κοινής εφαπτομένης δύο κύκλων, και αφήνεται στο διδάσκοντα να επιλέξει αν θα το διδάξει.
Στην κατασκευή του αρχείου χρησιμοποιήθηκαν οι εντολές ΔείξεΣτρώση[ ] και ΑπόκρυψηΣτρώσης[ ] του λογισμικού.

Για να κατεβάσετε το αρχείο πατήστε επάνω στην εικόνα.

Ας υποθέσουμε ότι θα επιθυμούσαμε να υπολογίσουμε το εμβαδόν μιας επίπεδης μορφής για την οποία δεν υπάρχει κανένας τύπος που να την υπολογίζει επακριβώς. Υπάρχουν αρκετές μέθοδοι για να μπορέσουμε να το εκτιμήσουμε, όμως μια από τις πιο διασκεδαστικές είναι η ονομαζόμενη μέθοδος Monte Carlo που βασίζεται στις εαναλαμβανόμενες τυχαίες δειγματοληψίες. Η ιδέα είναι απλή: αρκεί να περιγράψουμε τη συγκεκριμένη μορφή με ένα ορθογώνιο του οποίου το εμβαδόν υπολογίζεται εύκολα, και στη συνέχεια να δημιουργήσουμε έναν αριθμό τυχαίων σημείων μέσα στο ορθογώνιο (π.χ. κρεμώντας το όλο σχήμα στον τοίχο και ρίχνοντας πάνω του βελάκια χωρίς να σημαδεύουμε)… Τότε αν δημιουργήσαμε 100 τέτοια σημεία μέσα στο ορθογώνιο, και από αυτά τα 60 κατέληξαν να είναι μέσα στην «περίεργη» μορφή, τότε το εκτιμώμενο εμβαδόν θα αντιστοιχεί στο 60% του εμβαδού του ορθογωνίου. Η συγκεκριμένη εφαρμογή αναπαριστά αυτή τη μέθοδο εκτίμησης εμβαδού, αλλά επιπλέον δείχνει και μια εφαρμογή της συγκεκριμένης μεθόδου στον υπολογισμό του π.

Θα μπορούσε να διδαχθεί στο μάθημα των πιθανοτήτων τόσο στην Α’, όσο και στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας στη Γ’ Λυκείου.

Για να μεταφορτώσετε το αρχείο κάνετε κλικ επάνω στην εικόνα.