Άρθρα: ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΕΣ

Η παρούσα ανάρτηση αποτελεί εισήγησή στην 11η Μαθηματική Εβδομάδα (Διεθνές Συνέδριο που διοργανώνεται από το Παράρτημα της ΕΜΕ Θεσσαλονίκης) από τους τους Πατρώνη Τάσο, Επίκουρο Καθηγητή Τμ. Μαθηματικών Παν/μίου Πάτρας, Ζήση Μαρία, καθηγήτρια του 2ου Γυμνασίου Μυτιλήνης και εμένα με τίτλο: «Διδασκαλία της Άλγεβρας της Γ΄ Γυμνασίου με γεωμετρική μορφή των αλγεβρικών παραστάσεων και με την βοήθεια ειδικού αρχείου – εφαρμογής Geogebra».

Πρόκειται για μια πρόταση διδασκαλίας των ενοτήτων πράξεις πολυωνύμων, τις ταυτότητες και την παραγοντοποίηση της ύλης της Γ’ Γυμνασίου, που εφαρμόστηκε στο 2ο Γυμνάσιο Μυτιλήνης όπου συνδυάστηκαν χειραπτικό υλικό με εφαρμογή του λογισμικού Geogebra.

Σημαντική διαφορά με παρόμοιες διδακτικές προτάσεις είναι ότι η επικάλυψη ενός σχήματος με ορθογώνια και τετράγωνα παριστάνει ένα άθροισμα μονωνύμων, ενώ για την διαφορά δύο μονωνύμων ή πολυωνύμων χρησιμοποιείται απλώς η αποκοπή.

Το πλεονέκτημα αυτής της μεθόδου είναι ότι οι μαθητές δημιουργούν εικόνες για τις αφηρημένες αυτές έννοιες της άλγεβρας έτσι αυτές αποκτούν ένα πιο συγκεκριμένο νόημα γι αυτούς αντί να τις μαθαίνουν μηχανικά όπως συνήθως. Έτσι ο μαθητής πείθεται για την αλήθεια των όσων πραγματεύεται η άλγεβρα και δεν την θεωρεί ένα παιχνίδι συμβόλων.

Δημοσιεύουμε εδώ:

  • την εισήγηση

  • τα σχετικά αρχεία Geogebra και

  • τα φύλλα εργασίας των δύο διδασκαλιών

  • το Power Point της παρουσίασης

Για να κατεβάσετε τα αρχεία πατήστε εδώ.

Δημήτρης Ζαχαριάδης

 

Η δημοσίευση αυτή είναι η τρίτη με  τον ίδιο γενικό τίτλο,  «Απολλώνιο Πρόβλημα».

Το Απολλώνιο Πρόβλημα «να γραφεί κύκλος που να εφάπτεται σε τρεις δεδομένους κύκλους», λυμένο από τον μεγάλο μαθηματικό της αρχαιότητας Απολλώνιο τον Περγαίο, είναι το κορυφαίο πρόβλημα, από μια σειρά επί μέρους προβλημάτων των οποίων η επίλυση οδηγεί σταδιακά στην λύση του.

Τα προβλήματα αυτά έχουν τη γενική διατύπωση: «Να γραφεί κύκλος που εφάπτεται σε τρία αντικείμενα.» Τα αντικείμενα αυτά μπορεί να είναι κύκλος, σημείο, ευθεία και προκύπτουν συνολικά 10 επιμέρους προβλήματα.

Στην παρούσα δημοσίευση διαπραγματευόμαστε το πρόβλημα: Nα γραφεί κύκλος που διέρχεται από δύο διακεκριμένα σημεία και εφάπτεται δεδομένου κύκλου. Η παρουσίαση και η λύση του προβλήματος γίνεται με Ευκλείδεια γεωμετρία και οι κατασκευές γίνονται με κανόνα και διαβήτη. Η αναλυτική λύση του προβλήματος χρησιμοποιεί φυσικά τη αναλυτική και συνθετική μέθοδο που δυστυχώς έχει αφαιρεθεί από τη διδακτέα ύλη της Γεωμετρίας στο Ελληνικό Λύκειο.

Μπορείτε να δείτε το αρχείο πατώντας εδώ.

Στα αρχεία της δημοσίευσης περιλαμβάνεται και το εργαλείο apollonius.ppc που δημιουργεί τη λύση του προβλήματος σε κάθε περίπτωση. Για να κατεβάσετε τα αρχεία geogebra κάνετε κλικ επάνω στην εικόνα.

Δημοσιεύουμε αρχείο Geogebra που προσδιορίζει τους πρώτους αριθμούς από 1 έως 100 με την μέθοδο του Ερατοσθένη με σχετικό κείμενο που επεξηγεί την μέθοδο. Ίσως φανεί χρήσιμο σε όποιους θελήσουν να το διδάξουν. Για την λήψη των αρχείων κάνετε κλικ εδώ.

micro
ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ – ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Η φιλοσοφία της εφαρμογής είναι: Να μπορέσει ο μαθητής να αναγνωρίζει γραφικά το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών συνάρτησης.
Βήματα της εφαρμογής. Δίνουμε τον τύπο συνάρτησης f, ορίζουμε γραφικά την αρχή και το τέλος του διαγράμματος δηλαδή τον περιορισμό της f σε ένα διάστημα [α,β] και το αρχείο μας σχεδιάζει, μετά από επιλογή μας, το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών.
Όλα αυτά γίνονται με διαδοχικά βήματα ώστε να δίνεται η ευκαιρία στον μαθητή να μαντεύσει, να δώσει την απάντησή του πριν την εποπτική παρουσίαση που δίνει η εφαρμογή. Έτσι έχουμε ένα εργαλείο για την διδασκαλία και κατανόηση των αντίστοιχων εννοιών.
Η εφαρμογή δίνεται σε δύο εκδόσεις:
α) Η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής και ορισμένη στο R και ούτε ο περιορισμός της είναι ορισμένη συνεχής στο διάστημα [α,β]. Τα αποτελέσματα δίνονται μόνο γραφικά
β) Η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής και ορισμένη στο R, αλλά ο περιορισμός της στο [α,β] να είναι ορισμένη και συνεχής. Τα αποτελέσματα δίνονται και αλγεβρικά.
Προσοχή: Η εφαρμογή έχει περισσότερο διδακτική και λιγότερο υπολογιστική αξία.
Για να κατεβάσετε τα αρχεία κάνετε κλικ εδώ.

efaptomni_sinartisis

Καταγραφή2_mikro
Το εργαλείο του Geogebra «εφαπτομένη προς κύκλο, κωνική ή συνάρτηση», στην περίπτωση των συναρτήσεων, λειτουργεί σωστά μόνο για σημεία που βρίσκονται επί της γραφικής παράστασης. Στην περίπτωση όμως που θα θέλαμε να φέρουμε εφαπτόμενες προς την καμπύλη της συνάρτησης από σημεία που βρίσκονται εκτός αυτής, το λογισμικό παρουσιάζει προβλήματα αδυνατώντας, τις περισσότερες φορές, να δώσει τις αναμενόμενες απαντήσεις.

Ο συνάδελφος και φίλος Παύλος Τρύφωνας είχε την ιδέα να κατασκευαστεί ένα εργαλείο που να προσδιορίζει σε κάθε περίπτωση τις εφαπτόμενες από σημείο προς τη γραφική παράσταση μίας συνάρτησης. Το αρχείο που δημοσιεύω ανταποκρίνεται σε ικανοποιητικό βαθμό στο αίτημα αυτό.

Για να κατεβάσετε τα αρχεία πατήστε εδώ.

Untitled-1 copy

Πριν από λίγο καιρό αγαπητός συνάδελφος μας ζήτησε να κατασκευάσουμε ένα αρχείο Geogebra στο οποίο να δίνουμε τιμές στην ανεξάρτητη μεταβλητή και να υπολογίζει την αντίστοιχη τιμή της συνάρτησης και παράλληλα να εμφανίζει το αντίστοιχο σημείο της γραφικής παράστασης σε σύστημα συντεταγμένων.

Ανταποκρινόμενοι στο αίτημα του κατασκευάσαμε δύο αρχεία το καθένα με τη δική του φιλοσοφία, τα οποία σκεφτήκαμε και να δημοσιεύσουμε…

Για να κατεβάσετε τα αρχεία πατήστε επάνω στην εικόνα.

Δημήτρης-Ντικράν

 

Το παράδοξο των γενεθλίων

 

 

 

 

 

 

 

Το παράδοξο των γενεθλίων στη θεωρία πιθανοτήτων αναφέρεται σε ένα πρόβλημα το οποίο, κατά την κοινή λογική, έχει μια απίθανη απάντηση. Μία από τις μορφές του προβλήματος είναι: «σε μία ομάδα 23 ατόμων τι πιθανότητα υπάρχει δύο από αυτά τα άτομα να έχουν την ίδια ημέρα γενέθλια»; Η «πιθανά προφανής» απάντηση είναι 23/365=0,063 δηλαδή έξι τοις εκατό. Η μαθηματική λύση όμως μας δίνει 50%! Ακόμα πιο εντυπωσιακά, το ποσοστό γίνεται 99% με μόνο 57 άτομα! Στην εφαρμογή που αναρτούμε υπολογίζεται η πιθανότητα αυτή για διαφορετικά πλήθη ατόμων. Επίσης, υπολογίζεται και η πιθανότητα ύπαρξης της ίδιας μέρας γενεθλίων με συγκεκριμένο άτομο της ομάδας, ανεξάρτητα ή και σε αντιδιαστολή με την προηγούμενη πιθανότητα.

Θα μπορούσε να διδαχθεί στο μάθημα των πιθανοτήτων τόσο στην Α’ Λυκείου, όσο και στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας στη Γ’ Λυκείου.

Για να μεταφορτώσετε την εφαρμογή πιέστε επάνω στην εικόνα.

 

Bisection_method

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Oι εξισώσεις για τις οποίες είναι γνωστή η αναλυτική λύση είναι πολύ λιγότερες από αυτές στις οποίες η αναλυτική λύση δεν είναι γνωστή. Για παράδειγμα για την εξίσωση x + ex = 0 δεν είναι γνωστή η αναλυτική λύση. Σε αυτήν την περίπτωση είναι δυνατή η επίλυση της εξίσωσης με αριθμητικές μεθόδους. Στο Λύκειο γίνεται μια αναφορά σε προσεγγιστική λύση εξίσωσης (πολυωνυμικής) στη Β’ Λυκείου, η οποία χωρίς τη χρήση υπολογιστή μένει μετέωρη… Εξάλλου η συγκεκριμένη μέθοδος βασίζεται στο θεώρημα του Bolzano που διδάσκεται την επόμενη χρονιά. Στην εφαρμογή που παρουσιάζουμε δίνουμε τη δυνατότητα αριθμητικής επίλυσης μιας εξίσωσης με τη μέθοδο της «Διχοτόμησης» και με τη μέθοδο «Newton-Raphson», που κατά τη γνώμη μας θα μπορούσαν να παρουσιαστούν στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Γ’ Λυκείου, η πρώτη σαν εφαρμογή του θεωρήματος Bolzano, ενώ η δεύτερη σαν εφαρμογή των παραγώγων.

Εισάγουμε με αυτόν τον τρόπο τους μαθητές στην έννοια των αριθμητικών μεθόδων που εφαρμόζονται ευρέως στις θετικές επιστήμες.

Μπορείτε να μεταφορτώστε το αρχείο πατώντας πάνω στην εικόνα. Μπορείτε επίσης να μεταφορτώσετε ένα αρχείο εύρεσης ριζών εξίσωσης με τις δύο μεθόδους σε Mathematica 8.0 πατώντας εδώ.

Νόμος των μεγάλων αριθμών

 

 

 

 

 

 

 

Στη θεωρία Πιθανοτήτων ο νόμος των μεγάλων αριθμών περιγράφει το αποτέλεσμα της επανάληψης ενός πειράματος τύχης. Σύμφωνα με το νόμο αυτό, ο μέσος όρος των αποτελεσμάτων που έχουν πραγματοποιηθεί σε διαδοχικές επαναλήψεις του πειράματος προσεγγίζει την αναμενόμενη τιμή (θεωρητική μέση τιμή) του πειράματος, όσο ο αριθμός των επαναλήψεων αυξάνει, Από αυτό προκύπτει ότι όταν το πλήθος των δοκιμών ενός πειράματος τύχης αυξάνει απεριόριστα, η σχετική συχνότητα ενός εκάστου ενδεχομένου προσεγγίζει τη θεωρητική του πιθανότητα. Η εφαρμογή που αναρτάται αναπαριστά το συγκεκριμένο νόμο στις περιπτώσεις του νομίσματος και του ζαριού. Ο χρήστης μπορεί να επιλέξει το συνολικό αριθμό ρίψεων καθώς επίσης και το ενδεχόμενο που σας ενδιαφέρει (στην περίπτωση του νομίσματος Κεφάλι ή Γράμματα, ενώ στην περίπτωση του ζαριού οποιοδήποτε απλό ή σύνθετο ενδεχόμενο).

Η εφαρμογή βασίζεται στην ακόλουθη ιδέα: δημιουργεί μια λίστα, μήκους ν0 (που καθορίζεται από το χρήστη και παριστάνει το συνολικό αριθμό ρίψεων), τυχαίων αριθμών (στη περίπτωση του νομίσματος είναι {Κεφάλι ή Γράμματα} ενώ στην περίπτωση του ζαριού {1, 2, 3, 4, 5 ή 6}. Δημιουργείται, στη συνέχεια , ένας δρομέας ν που ανατρέχει τη λίστα που έχει δημιουργηθεί, ανά δέκα στοιχεία, και μετρά τον αριθμό των απλών ή σύνθετων (στην περίπτωση του ζαριού)  ενδεχομένων του πειράματος που έχουν προκύψει μέχρι την τρέχουσα τιμή του ν.

Θα μπορούσε να διδαχθεί στο μάθημα των πιθανοτήτων τόσο στην Α’, όσο και στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας στη Γ’ Λυκείου.

Για να μεταφορτώσετε την εφαρμογή πατήστε πάνω στην εικόνα.

DSCN0947 Limnos 14_12_2015 Limnos 17_12_2015

Κατόπιν απόφασης του Περιφερειακού Διευθυντή Α/θμιας & Β/θμιας Εκπαίδευσης Βορείου Αιγαίου Αριστείδη Καλάργαλη και θετικής εισήγησης του Προϊστάμενου Επιστημονικής & Παιδαγωγικής Καθοδήγησης Β/θμιας Εκπ/σης Β. Αιγαίου κ. Πρόδρομου Ελευθερίου, διοργανώθηκε από το Σχολικό Σύμβουλο ΠΕ03 της Δ/νσης Β/θμιας Εκπ/σης Σάμου με αρμοδιότητα και στις περιοχές Ν. Χίου και Λέσβου κ. Ιωάννη Ράλλη, την 15η Δεκεμβρίου 2015  στη Λήμνο,  επιμορφωτική συνάντηση με θέμα τη «Χρήση του λογισμικού Geogebra στη διδασκαλία των Μαθηματικών», στην οποία ήταν εισηγητής ο συνάδελφος και φίλος Δημήτρης Ζαχαριάδης.

Στο περιθώριο της συνάντησης αυτής, παρουσίασε δύο δειγματικές διδασκαλίες. Η πρώτη έγινε στις 14 Δεκεμβρίου, στη Β’ Λυκείου του Λυκείου Μούδρου, με θέμα τη μελέτη των τριγωνομετρικών συναρτήσεων και ιδιαίτερα μελέτη και γραφική παράσταση της συνάρτησης εφαπτομένη. Η δεύτερη έγινε στις 17 Δεκεμβρίου, στη Β’ Λυκείου του Λυκείου Μύρινας, με θέμα τη μελέτη των τριγωνομετρικών συναρτήσεων ημίτονο και συνημίτονο και μελέτη της συνάρτησης f(x)=ρημωx με ρ≠0 και ω>0

Μπορείτε να μεταφορτώσετε το υλικό της πρώτης δειγματικής διδασκαλίας πατώντας εδώ και της δεύτερης πατώντας εδώ.