ΚΡΟΥΣΕΙΣ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Ταλάντωση και ελαστική κρούση.

Δύο σώματα Σ₁ και Σ₂ με μάζες m₁=m₂=2kg ηρεμούν όπως στο σχήμα, απέχοντας μεταξύ τους κατά h=10cm. Τα δύο ελατήρια έχουν σταθερές Κ₁=200Ν/m και Κ₂=150Ν/m. Σε μια στιγμή εκτρέπουμε το σώμα Σ₁ κατακόρυφα προς τα πάνω κατά d=0,2m και για t=0 το αφήνουμε να κινηθεί.

α) Ν? αποδειχθεί ότι το σώμα Σ₁ εκτελεί α.α.τ.

β) Να βρεθεί η περίοδος και το πλάτος ταλάντωσης.

γ) Να βρεθεί η εξίσωση της απομάκρυνσης του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο ( x=f(t) ), αν η προς τα πάνω κατεύθυνση θεωρηθεί θετική.

δ) Ποια χρονική στιγμή τα δύο σώματα θα συγκρουσθούν;

ε) Αν η κρούση μεταξύ των δύο σωμάτων είναι κεντρική-ελαστική, να βρεθεί το πλάτος ταλάντωσης των δύο σωμάτων μετά την κρούση.

Απάντηση:

Σύνθεση Ταλαντώσεων και κρούση.

Σώμα Σ₁ μάζας m₁=1kg εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις που έχουν την ίδια οριζόντια διεύθυνση και γίνονται γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας. Οι εξισώσεις των δύο ταλαντώσεων σε συνάρτηση με το χρόνο είναι:

x₁=0,1 ημ20t (S.Ι) και x₂= 0,1· 3^1/2 ημ(20t+ π/2 ) (S.Ι).

α) Να γράψετε την εξίσωση της συνισταμένης ταλάντωσης που εκτελεί το σώμα Σ₁.

β) Τη χρονική στιγμή t₁= π/5 s το σώμα Σ₁ συγκρούεται μετωπικά και πλαστικά με σώμα Σ₂ μάζας m₂=0,5kg που κινείται προς την αντίθετη κατεύθυνση από το σώμα Σ₁ με ταχύτητα μέτρου υ₂=1m/s. Το συσσωμάτωμα που προκύπτει εκτελεί α.α.τ. της ίδιας διεύθυνσης γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας.

i) Να προσδιορίσετε την ταχύτητα του σώματος Σ₁ ελάχιστα πριν την κρούση.

ii) Να βρείτε την κοινή ταχύτητα του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση.

iii) Η ενέργεια ταλάντωσης μετά την κρούση είναι:

Α) Ε= ½ m₁·υ_κ² + ½ m₁·ω² ·x₁² = 6,5J

Β) Ε= ½ (m₁ +m₂)·υ_κ² + ½ m₁·ω² ·x₁² = 6,75 J

Γ) Ε= ½ (m₁ +m₂)·υ_κ² + ½ (m₁+m₂)·ω² ·x₁² =9,75 J

Επιλέξτε την σωστή απάντηση.

Απάντηση:

ΚΡΟΥΣΗ ΚΑΙ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ.

Μια σφαίρα μάζας m=1kg εκτοξεύεται για t=0 με ταχύτητα υ₁ από το σημείο Β, το οποίο απέχει απόσταση s=3m από ακίνητο σώμα Σ, το οποίο ηρεμεί δεμένο στο άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k=20Ν/m. Μετά από λίγο η σφαίρα συγκρούεται μετωπικά με το σώμα Σ, το οποίο μετά την κρούση εκτελεί α.α.τ. με εξίσωση x=(2/π) ημ(πt-π) (μονάδες S.Ι.). Αν το επίπεδο είναι λείο και η διάρκεια της κρούσεως αμελητέα, ενώ π²?10, ζητούνται:

i) Η ταχύτητα υ₁ της σφαίρας.

ii) Ποια χρονική στιγμή η σφαίρα θα ξαναπεράσει από το σημείο Β.

iii) Πόσο θα απέχουν μεταξύ τους τη στιγμή αυτή τα δύο σώματα;

Απάντηση:

Μηχανικό σύστημα – Ελαστική κρούση.

Στο σχή­μα το σώ­μα Γ κι­νεί­ται ο­ρι­ζό­ντια με τα­χύ­τη­τα υ₀=3m/s και για t=0 συ­γκρού­ε­ται με­τω­πι­κά και ε­λα­στι­κά με το σώ­μα Β. Αν m_Α=m_Β=2m_Γ= 2kg και το ε­λα­τή­ριο έ­χει φυ­σι­κό μή­κος 0,5m και στα­θε­ρά Κ=128N/m, ζη­τού­νται:

α) Η τα­χύ­τη­τα του σώ­μα­τος Β με­τά την κρού­ση.
β) Η ε­λά­χι­στη α­πό­στα­ση με­τα­ξύ των σω­μά­των Α και Β.
γ) Ποι­α χρο­νι­κή στιγ­μή το Α θα α­πο­σπα­σθεί α­πό τον τοί­χο.
δ) Ποι­α η δύ­να­μη που δέ­χε­ται το σώ­μα Α α­πό τον τοί­χο, σε συ­νάρ­τη­ση με τον χρό­νο, αν η κρούση έγινε για t=0 και είχε αμελητέα διάρκεια.
ε) Η μέ­γι­στη τα­χύ­τη­τα του Α.

Αρ­χι­κά τα σώ­μα­τα Α και Β ή­ταν α­κί­νη­τα και δε­μέ­να με το ε­λα­τή­ριο και το ε­πί­πε­δο εί­ναι λεί­ο.

Απάντηση:

Ελαστική κρούση και δυνάμεις.

Μια σφαίρα Α μάζας m₁=2kg κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητα υ₁=10m/s και συγκρούεται κεντρικά ελαστικά με ακίνητη σφαίρα Β μάζας m₂=3kg. Σε μια στιγμή t₁ στη διάρκεια της κρούσης η σφαίρα Β έχει ταχύτητα υ_Β=6m/s.

i) Για τη στιγμή t₁:

α) Πόση κινητική ενέργεια έχει κάθε σφαίρα;

β) Πόση είναι η δυναμική ενέργεια παραμόρφωσης των δύο σφαιρών;

ii) Να βρείτε τα έργα των δυνάμεων που ασκούνται μεταξύ των δύο σωμάτων από την στιγμή t₁ μέχρι το τέλος της κρούσης.

iii) Με βάση τα παραπάνω αποτελέσματα χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές ή λαθεμένες.

α) Κατά τη διάρκεια μιας ελαστικής κεντρικής κρούσης η ορμή του συστήματος παραμένει σταθερή.

β) Κατά τη διάρκεια μιας ελαστικής κεντρικής κρούσης η κινητική ενέργεια του συστήματος παραμένει σταθερή.

γ) Κατά τη διάρκεια μιας ελαστικής κεντρικής κρούσης η ορμή κάθε σφαίρας παραμένει σταθερή.

δ) Η παραμόρφωση των σφαιρών είναι ελαστική.

ε) Τα έργα της δράσης ? αντίδρασης είναι αντίθετα.

στ) Οι δυνάμεις που ασκούνται μεταξύ των δύο σφαιρών κατά τη διάρκεια μιας ελαστικής κεντρικής κρούσης είναι συντηρητικές.

Απάντηση:

Πλαστική κρούση και αλλαγή της θέσης Ισορροπίας Ταλάντωσης.

Ένα σώ­μα Σ μά­ζας Μ=9kg ηρεμεί στο πάνω άκρο κατακόρυφου ε­λα­τη­ρί­ου στα­θε­ράς Κ=100N/m. Α­πό ύ­ψος 5m πά­νω α­πό το σώ­μα Σ, ρί­χνου­με κα­τα­κό­ρυ­φα με αρ­χι­κή τα­χύ­τη­τα υ₀=10m/s έ­να σώ­μα Σ₁ μά­ζας 1kg που σφη­νώ­νε­ται στο σώ­μα Σ. Να βρεί­τε:

i) την κοινή ταχύτητα του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση

ii) το πλά­τος της τα­λά­ντω­σης που θα ε­κτε­λέ­σει το σύ­στη­μα των δύ­ο σω­μά­των. g=10m/s².

Απάντηση:

Πλάγια κρούση.

Μια σφαίρα Α κινείται με ταχύτητα υ σε λείο οριζόντιο επίπεδο και συγκρούεται με ακίνητη σφαίρα Β, ίσης μάζας όπως στο σχήμα. Στο σχήμα βλέπετε τις συνιστώσες της ταχύτητας, υ_x στη διεύθυνση της διακέντρου των δύο σφαιρών και υ_y σε κάθετη διεύθυνση.

Χαρακτηρίστε σαν σωστές ή λαθεμένες τις παρακάτω προτάσεις.

α) Μετά την κρούση η Α σφαίρα στον άξονα x θα έχει ταχύτητα με φορά προς τα αριστερά και μέτρο ίσο με υ_x.

β) Μετά την κρούση η Α σφαίρα στον άξονα y θα έχει ταχύτητα με φορά προς τα πάνω και μέτρο ίσο με υ_y.

γ) Η σφαίρα Β θα κινηθεί μετά την κρούση στη διεύθυνση x.

δ) Οι δύο σφαίρες θα κινηθούν σε κάθετες διευθύνσεις.

ε) Το ποσοστό απώλειας της κινητικής ενέργειας της Α σφαίρας που οφείλεται στην κρούση είναι ίσο με 100συν²θ, όπου θ η γωνία που σχηματίζει η αρχική ταχύτητα με τη διάκεντρο των δύο σφαιρών.

Απάντηση:

Τάση του νήματος. Πλαστική κρούση.

Σώ­μα Σ μά­ζας 950g κρέ­με­ται α­πό νή­μα μή­κους 2,5m. Βλή­μα μά­ζας 50g που κι­νεί­ται ο­ρι­ζό­ντια με τα­χύ­τη­τα 100m/s σφη­νώ­νε­ται στο Σ.

α) Ποι­α η ε­λά­χι­στη τι­μή του ο­ρί­ου θραύ­σης του νή­μα­τος, ώ­στε αυ­τό να μην σπά­σει;

β) Ποι­α η ε­λά­χι­στη τι­μή της τά­σης του νή­μα­τος;

γ) Ποι­ο το πο­σο­στό της ε­νέρ­γει­ας που έ­γι­νε θερ­μό­τη­τα κα­τά την κρού­ση; g=10m/s².

Απάντηση:

Κοινή ταχύτητα και πλαστική κρούση.

Σε λεί­ο ο­ρι­ζό­ντιο ε­πί­πε­δο η­ρε­μεί σα­νί­δα μά­ζας Μ= 3kg και μή­κους 4m. Α­πό το έ­να ά­κρο της ε­κτο­ξεύ­ου­με πά­νω της σώμα Σ μά­ζας m=1kg με τα­χύ­τη­τα υ₀=4m/s. Αν το μι­σό τμή­μα της σα­νί­δας Α, δεν πα­ρου­σιά­ζει τρι­βή με τη σφαίρα, ενώ το άλλο μι­σό Β πα­ρου­σιά­ζει συντελεστή τριβής ολίσθησης μ=0,4 ζη­τού­νται:

α) Ποι­α η τα­χύ­τη­τα της σα­νί­δας, ό­ταν στα­μα­τή­σει πά­νω της το σώμα Σ;

β) Πό­ση α­πό­στα­ση θα δια­νύ­σει το σώμα Σ στο τμή­μα Β μέ­χρι να στα­μα­τή­σει;

γ) Υπολογίστε τα έργα των δυνάμεων που ασκούνται στα σώματα και βρείτε την α­πό­στα­ση που δια­νύ­ει η σα­νί­δα μέ­χρι να στα­μα­τή­σει να κινείται πάνω της το σώμα Σ;

δ) Ένα σώμα μάζας m=1kg κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο και συγκρούεται πλαστικά με ακίνητο σώμα μάζας Μ=3kg. Ποια η κοινή ταχύτητα του συσσωματώματος και ποια η απώλεια της Μηχανικής ενέργειας που αφείλεται στην κρούση;

Δίνεται: g=10m/s².

Απάντηση

Μοντελοποίηση της Πλαστικής και της Ελαστικής κρούσης.

Έ

να σώμα Α μάζα m₁=2kg κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητα υ₁=10m/s και προσπίπτει στο ελεύθερο άκρο ενός ελατηρίου σταθεράς Κ=750Ν/m και μήκους 0,5m, το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο σε δεύτερο σώμα Β m₂=3kg, το οποίο είναι ακίνητο. Ζητούνται:

α) Η ελάχιστη απόσταση μεταξύ των δύο σωμάτων.

β) Η μέγιστη επιτάχυνση που αποκτά το σώμα Β.

γ) Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος Β, τη στιγμή που έχει μέγιστη επιτάχυνση.

δ) Οι τελικές ταχύτητες των δύο σωμάτων.

Απάντηση:

Μονωμένο σύστημα και ελατήριο.

Ένα σώμα Α μάζα m₁=2kg κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητα υ₁=14m/s και προσπίπτει στο ελεύθερο άκρο ενός ελατηρίου, το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο σε δεύτερο σώμα Β m₂=5kg, το οποίο είναι ακίνητο. Σε μια στιγμή μετά από ελάχιστο χρόνο το σώμα Β έχει ταχύτητα υ₂΄=6m/s και επιτάχυνση α₂=4m/s². Ζητούνται για τη στιγμή αυτή:

α) Η ταχύτητα του σώματος Α και

β) Η επιτάχυνση του Α σώματος.

γ) Η ενέργεια του ελατηρίου.

Απάντηση:

Αρχή διατήρησης της ορμής.

Στο σχήμα δύο σφαίρες κινούνται σε κάθετες διευθύνσεις και συγκρούονται, οπότε η πράσινη σφαίρα μετά την κρούση έχει ταχύτητα υ₁΄, με αντίθετη κατεύθυνση από την αρχική υ₁. Ποιο από τα διανύσματα 1,2,3 και 4 παριστά την ταχύτητα της κόκκινης σφαίρας μετά την κρούση;

Απάντηση:

Κρούση σφαίρας με το έδαφος

Αφήνουμε από ορισμένο ύψος h μια μπάλα να πέσει και αφού κτυπήσει στο έδαφος, επιστρέφει στην αρχική της θέση. Αντίσταση από τον αέρα δεν υπάρχει.

i) Ποιες προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος.

• Το ολικό έργο του βάρους είναι μηδέν, επειδή ήταν κάθετο στην μετατόπιση.
• Κατά την κρούση της μπάλας με το έδαφος, διατηρείται η κινητική της ενέργεια.
• Η κρούση με το έδαφος ήταν ελαστική.
• Η ορμή της μπάλας, κατά την κρούση της με το έδαφος, διατηρείται.

ii) Σε μια στιγμή, κατά την κρούση, η ταχύτητα της μπάλας γίνεται (στιγμιαία) μηδέν. Τι έχει γίνει την στιγμή αυτή η αρχική δυναμική ενέργεια της σφαίρας;

iii) Η δύναμη που δέχεται η μπάλα από το έδαφος είναι διατηρητική (Συντηρητική); Εξηγείστε.

Απάντηση:

Απώλεια Μηχανικής ενέργειας στην Πλαστική κρούση.

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί ένα σώμα Α μάζας Μ. Σε μια στιγμή ένα βλήμα μάζας m που κινείται οριζόντια με ταχύτητα υ₀, σφηνώνεται στο σώμα Α.

i) Να αποδειχτεί ότι κατά την κρούση παρουσιάζεται απώλεια κινητικής ενέργειας.

ii) Να υπολογίσετε το ποσοστό επί τοις % της αρχικής κινητικής ενέργειας που μετατρέπεται σε θερμότητα.

iii) Ποια είναι η μέγιστη και ποια η ελάχιστη τιμή του παραπάνω ποσοστού;

Απάντηση:

Σκέδαση

Σε ένα πείραμα του Rutherford ένα σωμάτιο α κινούμενο με ταχύτητα υ₀=10⁶m/s αλληλεπιδρά με έναν ακίνητο πυρήνα δεκαπλάσιας μάζας. Μετά τη κρούση το σωμάτιο α κινείται σε διεύθυνση κάθετη προς την αρχική.

i) Ποια η τελική ταχύτητα του σωματίου α;

ii) Ποιο το μέτρο και ποια η διεύθυνση κίνησης του πυρήνα μετά τη κρούση;

Απάντηση

Ελαστική κρούση με τοίχο.

Μια μι­κρή σφαί­ρα μά­ζας 0,1kg κι­νεί­ται σε λείο οριζόντιο επίπεδο με τα­χύ­τη­τα 40m/s και πέ­φτει σε μια α­κλό­νη­τη ε­πι­φά­νει­α, σχη­μα­τί­ζο­ντας γω­νί­α θ=60° με την κά­θε­τη στην ε­πι­φά­νει­α στο ση­μεί­ο πρό­σπτω­σης. Αν η κρού­ση εί­ναι ε­λα­στι­κή και διαρκεί 0,2s, να βρε­θούν:

i) Η τα­χύ­τη­τα με­τά την κρού­ση και

ii) Η μεταβολή της ορμής της σφαίρας.

iii) Η μέση δύναμη που δέ­χτη­κε α­πό την ε­πι­φά­νει­α.

Απάντηση

Γιατί ελαστική η κρούση;

Σε ένα λείο οριζόντιο επίπεδο κινούνται δύο σώματα Α και Β, με μάζες 2kg και 3kg αντίστοιχα και ταχύτητες ίσων μέτρων 5m/s, όπως στο σχήμα. Τα σώματα συγκρούονται κεντρικά και ελαστικά.

i) Ποιες οι ταχύτητας των δύο σωμάτων μετά την κρούση;

ii) Σε μια στιγμή στη διάρκεια της κρούσης, το σώμα Α σταματά στιγμιαία.

a) Ποια η ταχύτητα του Β σώματος τη στιγμή αυτή;

b) Πόση είναι τη στιγμή αυτή η δυναμική ενέργεια παραμόρφωσης των δύο σωμάτων;

Απάντηση:

Μεταφορά Κινητικής Ενέργειας στην ελαστική κρούση.

Μια σφαίρα Α μάζας m₁ κινείται με ταχύτητα υ₁ και συγκρούεται κεντρικά με άλλη σφαίρα Β μάζας m₂ που αρχικά είναι ακίνητη.

i) Βρείτε το ποσοστό της κινητικής ενέργειας της Α σφαίρας που μεταφέρεται στην Β.

ii) Σε ποιες περιπτώσεις το ποσοστό αυτό είναι:

α) Μέγιστο

β) Ελάχιστο.

Απάντηση:

Ελαστική κρούση και μεταβολή της ορμής.

Μια ελαστική μπάλα Α κινείται με ορμή Ρ₁=10kgm/s και συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με ακίνητη μπάλα Β. Μετά την κρούση η μπάλα Β αποκτά ορμή Ρ₂΄=20kgm/s.

α) Πόση είναι η ορμή της Α μπάλας μετά την κρούση;

β) Ποια μπάλα είχε μεγαλύτερη μάζα;

Απάντηση:

Ελαστική κρούση και μεταβολή της ορμής.

Μια σφαίρα Α μάζας m₁=2kg κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητα υ₁=10m/s και συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με ακίνητη σφαίρα Β μάζας m₂=3kg.

Να υπολογιστούν:
α) Οι ταχύτητες των σφαιρών μετά τη κρούση

β) Η μεταβολή της ορμής κάθε σφαίρας που οφείλεται στην κρούση.

Απάντηση: