Η «ρίζα» του – αναγκαίου – κακού …

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Άλγεβρα Α΄ Λυκείου, Γεωμετρία Α΄ Λυκείου, Για την Α΄ Λυκείου | , στις 04-09-2014

Θα μπορούσατε να τοποθετήσετε, κατάλληλα, τέσσερα ίδια τετράγωνα, χωρίς αλληλεπικαλύψεις, έτσι, ώστε να κατασκευάσετε ένα νέο τετράγωνο; Είναι δυνατόν να γίνει το ίδιο με εννιά ίδια τετράγωνα; Με δεκαέξι; Με δύο; Τι παρατηρείτε;

Ο όρος «τετραγωνική ρίζα», για μια έννοια που συνήθως χρησιμοποιείται στο πλαίσιο αλγεβρικών διαδικασιών, έτσι κι αλλιώς, προϊδεάζει για δεσμούς της υπόστασής της με τη Γεωμετρία. Έχετε κάποια υπόννοια για το ποια θα μπορούσε να είναι η «ρίζα» ενός τετραγώνου;

Η σύνδεση με τη Γεωμετρία μπορεί να γίνει σχετικά εύκολα λ.χ. για τις τετραγωνικές ρίζες (τετράγωνων) αριθμών όπως το 4, το 9, το 16, το 25 κλπ. Για παράδειγμα, για τον αριθμό 4, η τετραγωνική του ρίζα δεν είναι τίποτε άλλο παρά η πλευρά τετραγώνου με εμβαδό 4. Εναλλακτικά, πρόκειται για την πλευρά ενός τετραγώνου που έχει εμβαδό όσο το συνολικό εμβαδό τεσσάρων ίδιων τετραγώνων εμβαδού 1.

Στα αρχαία Ινδικά εγχειρίδια «Sulbasutra», που αντλούν γνώσεις οι οποίες χρονολογούνται, ίσως, από το 2000 π.Χ. και μεταφέρθηκαν μέσω της προφορικής παράδοσης, περιγράφονται τρόποι κατασκευής βωμών και ναών, ενώ, ταυτόχρονα, δίνεται το απαραίτητο «τεχνικό» υπόβαθρο˙ μια συλλογή εμπειρικών «κανόνων» («Sutra»), ουσιαστικά, από το πεδίο που αργότερα θα στοιχειοθετούσε τη «Γεωμετρία». Προφανώς, σε κάποια από τις κατασκευές των αρχαίων Ινδών, χρειάστηκε ο υπολογισμός της διαγωνίου ενός τετραγώνου:

«Το μέτρο της πλευράς του πρέπει να αυξηθεί κατά το ένα τρίτο του κι αυτό (το ένα τρίτο του) ξανά με το ένα τέταρτό του μειωμένο κατά το τριακοστό τέταρτο (αυτού του τετάρτου)˙ αυτή είναι η διαγώνιος ενός τετραγώνου …»

Με σύγχρονη ορολογία και συμβολισμό:

    \[ \sqrt{2}=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3\cdot4}-\frac{1}{3\cdot4\cdot34}\simeq 1.4142..., \]


Αλήθεια πως ήταν σε θέση οι αρχαίοι Ινδοί να προσδιορίσουν με τόσο μεγάλη ακρίβεια την εύρεση του \sqrt{2}; Ποιές πρωταρχικές γεωμετρικές διαδικασίες θα μπορούσαν να έχουν αξιοποιήσει; Άραγε, κατά την προσέγγισή τους, να αντιλήφθηκαν την ιδιαιτερότητα έκφρασης αυτού του αριθμού;

Με τη βοήθεια της ακόλουθης διαδραστικής εφαρμογής,

Sulbasutram_Square_Root_Of_Two

μπορείτε, ίσως, με μέθοδο παρόμοια μ΄ αυτήν που ενδεχομένως να ακολουθούσαν οι αρχαίοι Ινδοί, να βρείτε τρόπο έκφρασης των \sqrt{2},\sqrt{3} και \sqrt{5}.

Αναφορές

  1. Henderson D.W., Square Roots in the Sulbasutra, Department of Mathematics, Cornell University.

Οι «ρίζες» … της τετραγωνικής ρίζας

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Γεωμετρία Β΄ Λυκείου, Για τη Β΄ Λυκείου | , στις 12-07-2012

Στην αρχαιότητα, η θεμελίωση και η νοηματοδότηση μιας μαθηματικής έννοιας επιτυγχάνοταν, συνήθως, μέσα από την απτή γεωμετρική της υπόσταση.

Η τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού σήμαινε, ουσιαστικά, την πλευρά ενός τετραγώνου με εμβαδό ίσο με τον αριθμό. Φυσικά, μπορούσε, εύκολα, να κατασκευαστεί, γεωμετρικά, στις περιπτώσεις των (τετράγωνων) αριθμών 1, 4, 9, 16, 25, κ.ο.κ..

Επειδή κάθε αριθμός είναι γινόμενο δύο άλλων αριθμών, η γενική περίπτωση αναγόταν στην εύρεση της πλευράς του ισοδύναμου τετραγώνου ενός ορθογωνίου.

Στο δεύτερο βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη, συγκεκριμένα, στην Πρόταση 14, δίνεται ο τρόπος κατασκευής αυτού του τετραγώνου. Αν συμβολίσουμε τις διαστάσεις του ορθογωνίου με \alpha, \beta, τότε πρόκειται, τροποντινά, για την κατασκευή του μέσου αναλόγου x των ευθύγραμμων τμημάτων \alpha, \beta. Άλλωστε,

    \[$\dfrac{\alpha }{x}=\dfrac{x}{\beta }\Leftrightarrow x^{2}=\alpha \cdot \beta .$\]

Αλληλεπιδρώντας με το ακόλουθο γραφικό,

Square_Root_1

μπορείτε να δείτε τα βήματα της κατασκευής, η οποία παρουσιάζεται ελαφρώς τροποποιημένη σε σχέση με το βιβλίο των Στοιχείων. Αυτό έγινε, έτσι, ώστε να αναδειχθεί η βασική ιδέα της κατασκευής, αλλά και για να ενοποιηθούν οι επιμέρους προτάσεις των Στοιχείων που χρησιμοποιήθηκαν. Όπως θα διαπιστώσετε, μία από αυτές ήταν το Πυθαγόρειο Θεώρημα.

Ακόμη παλαιότερα, στο βιβλίο «Sulbasutram» γραμμένο στα Σανσκριτικά από τον Ινδό μαθηματικό Baudhayana, υπήρχε ένας διαφορετικός τρόπος κατασκευής αυτού του τετραγώνου. Ο τίτλος του βιβλίου, που χρονολογείται μεταξύ 800 και 600 π.Χ., μεταφράζεται ως «Κανόνες των σχοινιών». Ήταν ένα εγχειρίδιο κατασκευών βωμών και ναών, όπου στο 1ο Κεφάλαιο είχαν συγκεντρωθεί αριθμημένες γεωμετρικές προτάσεις επονομαζόμενες «Sutra».

Η κατασκευή στηρίζεται στον Kανόνα 50 (Sutra 50), που, κι εδώ, δεν είναι τίποτε άλλο, παρά αυτό που, αργότερα, ονομάστηκε Πυθαγόρειο Θεώρημα. Αλληλεπιδρώντας με το ακόλουθο γραφικό,

Square_Root_2

μπορείτε να δείτε, ενοποιημένα, τα ενδιάμεσα στάδια της κατασκευής.

Αναφορές

  1. Κέντρο έρευνας επιστήμης και εκπαίδευσης, Ευκλείδη Στοιχεία – Σύγχρονη απόδοση με εισαγωγή επεξηγήσεις και σχολιασμό – , Αθήνα 2001.
  2. Henderson D.W., Geometric Solutions of quadratic and Cubic Equations, Department of Mathematics, Cornell University.
Top
Αλλαγή μεγέθους γραμματοσειράς
Αντίθεση
Μετάβαση σε γραμμή εργαλείων