ΜαθηματιΚά

Εξισώσεις τρίτου βαθμού: Μέρος Α΄

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Γεωμετρία Β΄ Λυκείου, Για τη Β΄ Λυκείου, Μαθηματικά Θετικών Σπουδών Β΄ Λυκείου | , στις 23-08-2012

Η “εξίσωση” ενός χρησμού

Η αρχή της ιστορίας των εξισώσεων τρίτου βαθμού βρίσκεται στην καρδιά ενός φημισμένου προβλήματος των αρχαίων ελληνικών μαθηματικών.

Το Δήλιο πρόβλημα, ή, αλλιώς, ο “διπλασιασμός” του κύβου, δηλαδή, η κατασκευή ενός κύβου με διπλάσιο όγκο από ένα δεδομένο κύβο, ήταν ένα γεωμετρικό πρόβλημα με, κάπως, ασαφή και μυστηριώδη προέλευση. Σύμφωνα με την εκδοχή που έδωσε ο μαθηματικός, φιλόσοφος και σχολιαστής των αρχαίων ελληνικών μαθηματικών Θέων ο Σμυρναίος (τέλος 1^ου – αρχές 2^ου αιώνα μ.Χ.), τέθηκε διά μέσου ενός χρησμού.

Το 430 π.Χ., περίπου, ο θεός Απόλλωνας διαμηνούσε στους κατοίκους της Δήλου, σύμφωνα με τον χρησμό, ότι για να απαλλαγούν από τον λοιμό, που μάστιζε την πόλη τους, θα έπρεπε να “διπλασιάσουν” τον κυβικό βωμό του στο νησί.

Οι κάτοικοι, λόγω των δυσκολιών που συνάντησαν στην προσπάθειά τους να ικανοποιήσουν το αίτημα του θεού, ζήτησαν τη βοήθεια του Πλάτωνα. Ο Πλάτωνας τούς επισήμανε ότι ο θεός ήθελε, περισσότερο από το να “διπλασιαστεί” ο βωμός του ναού του, να τους δώσει, μ’ αυτόν τον τρόπο, ένα μάθημα για την παραμέληση των Μαθηματικών και, ιδιαίτερα, για την περιφρόνηση της Γεωμετρίας.

Ωστόσο, είναι πιθανό το πρόβλημα να ήταν γνωστό νωρίτερα. Για την επίλυσή του, αρκεί, φυσικά, να κατασκευαζόταν η ακμή του ζητούμενου κύβου, δηλαδή, με σημερινό συμβολισμό, η λύση της τριτοβάθμιας εξίσωσης,

$x^3=2\alpha^3,$

όπου $\alpha$ παριστάνει την ακμή του δεδομένου κύβου.

Όμως, η παραπάνω αλγεβρική έκφραση του προβλήματος είναι μεταγενέστερη. Οι προσπάθειες επίλυσής του, από τους αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς, πραγματοποιήθηκαν μέσα στο γεωμετρικό πλαίσιο της εποχής το οποίο, τελικά, εμπλούτισαν με νέες καμπύλες και ιδιοφυείς – ακόμη και τριών διαστάσεων – μηχανικές κατασκευές.

Αναζητήθηκε, επισταμένα, κατασκευή με κανόνα και διαβήτη, χωρίς, φυσικά, επιτυχία, αφού, όπως απέδειξε το 1837 ο Γάλλος μαθηματικός Pierre Wantzel, κάτι τέτοιο είναι αδύνατο.

Ο Ιπποκράτης ο Χίος (περίπου 470 – 410 π.Χ.) ανήγαγε το πρόβλημα στην εύρεση δύο μέσων αναλόγων μεταξύ του τμήματος της ακμής του δεδομένου κύβου και του διπλάσιου αυτού του τμήματος. Με σύγχρονη ορολογία, αυτό σημαίνει να βρεθούν $\kappa$ , $\lambda$ , τέτοια, ώστε,

$\dfrac{\alpha }{\kappa}=\dfrac{\kappa}{\lambda}=\dfrac{\lambda}{2\alpha }.$

Το $\kappa$ είναι η ζητούμενη ακμή, διότι, συνδυάζοντας, κατάλληλα, τις τελευταίες ισότητες, προκύπτει ότι,

$\kappa^{3}=2\alpha^{3}.$

Δεν είναι σίγουρο τι οδήγησε τον Ιπποκράτη σ’ αυτήν τη διαπίστωση. Μοιάζει, όμως, λογικό να υποτεθεί ότι γνώριζε το πρόβλημα “διπλασιασμού” του τετραγώνου. Διότι ο “διπλασιαμός” του τετραγώνου ισοδυναμεί με το πρόβλημα εύρεσης του μέσου αναλόγου μεταξύ του τμήματος της πλευράς του τετραγώνου και του διπλάσιου αυτού του τμήματος. Παρεμπιπτόντως, το τετράγωνο με πλευρά τη διαγώνιο ενός δεδομένου τετραγώνου έχει διπλάσιο εμβαδό από το δεδομένο τετράγωνο.

Ακολουθεί μια προσπάθεια απόδοσης του συλλογισμού του Ιπποκράτη σε μια γλώσσα περισσότερο οικεία προς εκείνη την εποχή, μια γλώσσα γεωμετρική. Βέβαια, για λόγους συντομίας στην έκφραση και μόνο, διατηρούνται ορισμένοι αλγεβρικοί συμβολισμοί. Θεωρείται, επίσης, γνωστή η γεωμετρική κατασκευή του μέσου αναλόγου δύο ευθύγραμμων τμημάτων.

Το παραλληλεπίδο που σχηματίζουν δύο κύβοι ίσοι με τον δεδομένο κύβο, όταν τοποθετηθούν, έτσι, ώστε να ταυτίζονται δύο έδρες τους, έχει όγκο ίσο με τον όγκο κάθε παραλληλεπιπέδου το οποίο έχει εμβαδόν βάσης $2\alpha^{2}$ και ύψος $\alpha$ .

Στο παρακάτω γραφικό,

με το οποίο μπορείτε να αλληλεπιδράσετε, παριστάνεται μια “οικογένεια” ορθογώνιων παραλληλεπιπέδων, με ύψη $\alpha$ , όπου οι διαστάσεις των βάσεών τους $\kappa$ και $\lambda$ μεταβάλλονται, ώστε το γινόμενό τους να παραμένει σταθερό, ίσο με $2\alpha^{2}$ .

Συνεπώς, τα τμήματα $\lambda$ και $\alpha$ είναι ανάλογα προς τα τμήματα $2\alpha$ και $\kappa$ . (Συνθήκη 1).

(Βάσει αυτής της συνθήκης, άλλωστε, με χρήση όμοιων τριγώνων, κατασκευάστηκε το παραπάνω δυναμικό σχήμα.)

Επίσης, καθεμία από τις δύο διαστάσεις μπορεί να πάρει οποιαδήποτε θετική τιμή, επιλέγοντας, κατάλληλα, κάποιο “μέλος” της οικογένειας.

Κατά κάποιον τρόπο, στο “κίτρινο” παραλληλεπίπεδο, έχουν “απελευθερωθεί” το μήκος και το πλάτος του “μπλε” παραλληλεπιπέδου, με μόνη δέσμευση αυτήν που απορρέει από τη Συνθήκη 1.

Αναλύοντας, λοιπόν, το πρόβλημα, ας υποτεθεί ότι η ζητούμενη ακμή, $\beta$ , κατασκευάστηκε.

Φυσικά, ο κύβος ακμής $\beta$ θα έχει ίσο όγκο και με καθένα από τα μέλη της προηγούμενης οικογένειας.

Προφανώς, κάποιο απ’ αυτά τα παραλληλεπίπεδα έχει μήκος $\beta$ . Αν $\gamma$ συμβολίζει το πλάτος του, τότε, κάθε πλαϊνή έδρα του έχει εμβαδό όσο το τετράγωνο πλευράς $\beta$ .

Συνεπώς το $\beta$ είναι μέσο ανάλογο των $\alpha$ και $\gamma$ .

Απαιτείται, λοιπόν, το $\kappa$ να είναι μέσο ανάλογο των $\alpha$ και $\lambda$ . (Συνθήκη 2).

Εύκολα, αποδεικνύεται ότι το συμπέρασμα του Ιπποκράτη ισοδυναμεί με την ταυτόχρονη ισχύ των Συνθηκών 1 και 2.

Αλληλεπιδρώντας με το παρακάτω γραφικό,

μπορείτε να προσπαθήσετε να ικανοποιήσετε ταυτόχρονα τις δύο συνθήκες, συνθέτοντας τη λύση στο πρόβλημα του διπλασιασμού του κύβου.

Θα ανακαλύψετε τον έναν απ’ τους δύο τρόπους, που έδωσε ο Μέναιχμος (περίπου 380 π.Χ. – 320 π.Χ.), για την εύρεση των τιμών των $\kappa$ και $\lambda$ , χρησιμοποιώντας την τομή δύο νέων, για εκείνη την εποχή, καμπυλών: μιας παραβολής και μιας υπερβολής.

Ο Μέναιχμος έδωσε και δεύτερο τρόπο λύσης στο πρόβλημα, χρησιμοποιώντας, αυτή τη φορά, την τομή δύο παραβολών.

Πραγματικά, λόγω της Συνθήκης 1, τα τμήματα $\lambda$ και $\alpha$ είναι ανάλογα προς τα τμήματα $2\alpha$ και $\kappa$ , ενώ, λόγω της Συνθήκης 2, τα τμήματα $\alpha$ και $\kappa$ είναι ανάλογα προς τα τμήματα $\kappa$ και $\lambda$ . Επομένως, τα τμήματα $\lambda$ και $\kappa$ είναι ανάλογα προς τα τμήματα $2\alpha$ και $\lambda$ .

Αυτό σημαίνει ότι το $\lambda$ είναι μέσο ανάλογο των $2\alpha$ και $\kappa$ . (Συνθήκη 3.)

Ο δεύτερος τρόπος του Μέναιχμου συνθέτει τις Συνθήκες 2 και 3.

Άλλοι αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί, ανάμεσά τους ο Αρχύτας, ο Απολλώνιος, ο Διοκλής, ο Ερατοσθένης, ο Εύδοξος κι ο Νικομήδης, έδωσαν διαφορετικές λύσεις στο πρόβλημα. Όλες αυτές οι μέθοδοι οδηγούν, τροποντινά, στη γεωμετρική κατασκευή της λύσης μιας εξίσωσης τρίτου βαθμού.

Ας σημειωθεί, τέλος, ότι το πρόβλημα διερευνήθηκε και επιλύθηκε, από τους αρχαίους Έλληνες, σε μια γενικότερη μορφή, στην οποία, πάλι, αναζητούνταν δύο μέσοι ανάλογοι, όχι, όμως, μεταξύ ενός τμήματος και του διπλάσιου αυτού του τμήματος, αλλά μεταξύ δύο τμημάτων. Οι δύο μέσοι ανάλογοι παρίσταναν τις ακμές δύο κύβων, όπου ο πρώτος έχει όγκο ίσο με το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, που έχει βάση τετράγωνο πλευράς όσο το πρώτο τμήμα και ύψος όσο το δεύτερο τμήμα, ενώ ο δεύτερος έχει όγκο ίσο με το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, που έχει βάση τετράγωνο πλευράς όσο το δεύτερο τμήμα και ύψος όσο το πρώτο τμήμα.

Χρόνια αργότερα, ο Πέρσης φιλόσοφος, μαθηματικός, αστρονόμος και ποιητής Ομάρ Καγιάμ (1048 – 1131), θα γενικεύσει τις μεθόδους των Ελλήνων για την επίλυση διάφορων τύπων εξισώσεων τρίτου βαθμού.

Αναφορές

Henderson D.W., Geometric Solutions of quadratic and Cubic Equations, Department of Mathematics, Cornell University.
O’Connor J. J. and Robertson E. F., Doubling the cube, School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland , 1999.

Διαβάστε περισσότερα

Οι «ρίζες» … της τετραγωνικής ρίζας

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Γεωμετρία Β΄ Λυκείου, Για τη Β΄ Λυκείου | , στις 12-07-2012

Στην αρχαιότητα, η θεμελίωση και η νοηματοδότηση μιας μαθηματικής έννοιας επιτυγχάνοταν, συνήθως, μέσα από την απτή γεωμετρική της υπόσταση.

Η τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού σήμαινε, ουσιαστικά, την πλευρά ενός τετραγώνου με εμβαδό ίσο με τον αριθμό. Φυσικά, μπορούσε, εύκολα, να κατασκευαστεί, γεωμετρικά, στις περιπτώσεις των (τετράγωνων) αριθμών $1$ , $4$ , $9$ , $16$ , $25$ , κ.ο.κ..

Επειδή κάθε αριθμός είναι γινόμενο δύο άλλων αριθμών, η γενική περίπτωση αναγόταν στην εύρεση της πλευράς του ισοδύναμου τετραγώνου ενός ορθογωνίου.

Στο δεύτερο βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη, συγκεκριμένα, στην Πρόταση 14, δίνεται ο τρόπος κατασκευής αυτού του τετραγώνου. Αν συμβολίσουμε τις διαστάσεις του ορθογωνίου με $\alpha, \beta$ , τότε πρόκειται, τροποντινά, για την κατασκευή του μέσου αναλόγου $x$ των ευθύγραμμων τμημάτων $\alpha, \beta$ . Άλλωστε,

$\dfrac{\alpha }{x}=\dfrac{x}{\beta }\Leftrightarrow x^{2}=\alpha \cdot \beta .$

Αλληλεπιδρώντας με το ακόλουθο γραφικό,

μπορείτε να δείτε τα βήματα της κατασκευής, η οποία παρουσιάζεται ελαφρώς τροποποιημένη σε σχέση με το βιβλίο των Στοιχείων. Αυτό έγινε, έτσι, ώστε να αναδειχθεί η βασική ιδέα της κατασκευής, αλλά και για να ενοποιηθούν οι επιμέρους προτάσεις των Στοιχείων που χρησιμοποιήθηκαν. Όπως θα διαπιστώσετε, μία από αυτές ήταν το Πυθαγόρειο Θεώρημα.

Ακόμη παλαιότερα, στο βιβλίο “Sulbasutram” γραμμένο στα Σανσκριτικά από τον Ινδό μαθηματικό Baudhayana, υπήρχε ένας διαφορετικός τρόπος κατασκευής αυτού του τετραγώνου. Ο τίτλος του βιβλίου, που χρονολογείται μεταξύ 800 και 600 π.Χ., μεταφράζεται ως “Κανόνες των σχοινιών”. Ήταν ένα εγχειρίδιο κατασκευών βωμών και ναών, όπου στο 1^ο Κεφάλαιο είχαν συγκεντρωθεί αριθμημένες γεωμετρικές προτάσεις επονομαζόμενες “Sutra”.

Η κατασκευή στηρίζεται στον Kανόνα 50 (Sutra 50), που, κι εδώ, δεν είναι τίποτε άλλο, παρά αυτό που, αργότερα, ονομάστηκε Πυθαγόρειο Θεώρημα. Αλληλεπιδρώντας με το ακόλουθο γραφικό,

μπορείτε να δείτε, ενοποιημένα, τα ενδιάμεσα στάδια της κατασκευής.

Αναφορές

Κέντρο έρευνας επιστήμης και εκπαίδευσης, Ευκλείδη Στοιχεία – Σύγχρονη απόδοση με εισαγωγή επεξηγήσεις και σχολιασμό – , Αθήνα 2001.
Henderson D.W., Geometric Solutions of quadratic and Cubic Equations, Department of Mathematics, Cornell University.

Διαβάστε περισσότερα

Κάντο όπως ο … αλ – Κβαρίσμι

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Άλγεβρα Α΄ Λυκείου, Για την Α΄ Λυκείου | , στις 11-02-2012

Το 800 μ.Χ., περίπου, ο Άραβας μαθηματικός αλ – Κβαρίσμι, συνθέτοντας διάφορες γνωστές τεχνικές που εφαρμόζονταν για την επίλυση συγκεκριμένων μορφών δευτεροβάθμιων εξισώσεων, υποδεικνύει τον τρόπο με τον οποίο θα μπορούσε να αντιμετωπιστεί, γενικά, μια οποιαδήποτε δευτεροβάθμια εξίσωση.

Η μέθοδός του είναι, ουσιαστικά, γεωμετρική. Πρόκειται για τη “συμπλήρωση τετραγώνου”, η οποία ήταν γνωστή στους λαούς της αρχαιότητας. Οι Ινδοί, το 800 με 600 π.Χ., περίπου, χρησιμοποίησαν τη μέθοδο στον “τετραγωνισμό” του ορθογωνίου, οι Βαβυλώνιοι, το 400 π.Χ., περίπου, σε προβλήματα, τα οποία, με μεταγενέστερη ορολογία, οδηγούν στην επίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων, αλλά κι οι Έλληνες, με τον Ευκλείδη το 300 π.Χ., περίπου, για την κατασκευή τμημάτων, τα μήκη των οποίων, αργότερα, θα μπορούσαν να θεωρηθούν λύσεις δευτεροβάθμιων εξισώσεων.

Ο αλ – Κβαρίσμι, στο βιβλίο του “Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī hīsāb al-ğabr wa’l-muqābala”, ανέπτυξε την προηγούμενη μέθοδο για να επιλύσει πέντε διαφορετικές δευτεροβάθμιες εξισώσεις, που εκπροσωπούσαν πέντε διαφορετικούς τύπους δευτεροβάθμιων εξισώσεων. Η απουσία του $0$ και των αρνητικών αριθμών καθιστούσε αδύνατη την ενοποίησή τους σε ένα γενικό τύπο.

Για παράδειγμα, ενώ, σήμερα, οι εξισώσεις,

$x^2+10x=39$

και

$x^2+21=10x,$

εντάσσονται στον γενικό τύπο,

$\alpha x^{2}+\beta x+\gamma =0,$

εκείνη την εποχή εκπροσωπούσαν, αναγκαστικά, δύο διαφορετικούς τύπους δευτεροβάθμιων εξισώσεων.

Παρεμπιπτόντως, η ονομασία “Άλγεβρα” προέρχεται από τον αραβικό όρο “al-ğabr” στον τίτλο του βιβλίου. Οι όροι “al-ğabr” και “al-muqābala”, που αποδίδονται στα ελληνικά ως “συμπλήρωση” και “αντιπαράθεση”, χρησιμοποιήθηκαν για να περιγράψουν, σ’ ένα πρωτογενές στάδιο, τη διαδικασία της αναγωγής ομοίων όρων.

“Συνοπτική πραγματεία στις λογιστικές μεθόδους συμπλήρωσης και αντιπαράθεσης”, λοιπόν, ο τίτλος, σε ελεύθερη απόδοση, αυτού που για πολλούς θεωρείται ως το πρώτο βιβλίο Άλγεβρας στην ιστορία των Μαθηματικών.

Η εργασία του αλ – Κβαρίσμι προανήγγειλε τη γέννηση των τύπων που δίνουν τις ρίζες μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης, όταν η διακρίνουσά της είναι μεγαλύτερη ή ίση του μηδενός.

Η εξίσωση,

$x^{2}+10x=39,$

είναι μία από τις πέντε διαφορετικές δευτεροβάθμιες εξισώσεις που επιλύονται στο βιβλίο του.

Η μέθοδος επίλυσης, που ακολούθησε ο ίδιος ο αλ – Κβαρίσμι, σκιαγραφείται ελαφρώς παραλλαγμένη στη συνέχεια. Βασίζεται στη “συμπλήρωση” του ακόλουθου σχήματος.

Τα ερωτήματα που ακολουθούν προετοιμάζουν το έδαφος για την καλύτερη κατανόηση της μεθόδου.

Τι είδους χωρία απαρτίζουν το παραπάνω σχήμα;
Tι παριστάνει το συνολικό εμβαδόν του σε σχέση με την εξίσωση;
Σε τι θα μπορούσε να «συμπληρωθεί»;
Ποιο θα είναι το νέο του εμβαδόν βάσει της εξίσωσης;
Ποια είναι, τελικά, η τιμή του $x$ ;

Εύκολα γίνεται αντιληπτό ότι το τετράγωνο και τα δύο ορθογώνια, που αποτελούν το παραπάνω σχήμα, έχουν συνολικό εμβαδό,

$x^{2}+10x,$

δηλαδή, ίσο με την παράσταση του α΄ μέλους της εξίσωσης.

Επομένως, η θετική τιμή, αν υπάρχει, του αγνώστου $x$ της εξίσωσης, μπορεί να αναζητηθεί με βάση τη συνθήκη το συνολικό εμβαδό του σχήματος να είναι $39$ .

Ισοδύναμα, από τη συνθήκη το εμβαδό του τετραγώνου $AEHI$ ,

που προκύπτει, μετά τη «συμπλήρωση», να είναι,

$39+25=64,$

όπου το $25$ εκφράζει το εμβαδό του τετραγώνου ${\Gamma}ZH{\Theta}$ που προστέθηκε στο αρχικό σχήμα.

Μ’ άλλα λόγια, η πλευρά $x+5$ του τετραγώνου $AEHI$ πρέπει και αρκεί να ισούται με $8$ .

Άρα, τελικά, η λύση της εξίσωσης είναι $x=3$ .

Φυσικά, όπως προαναφέρθηκε, η αναζήτηση του αγνώστου περιορίστηκε στους θετικούς αριθμούς μιας και οι αρνητικοί αριθμοί δεν είχαν γίνει, καθολικά, αποδεκτοί την εποχή του αλ – Κβαρίσμι.

Μια οποιαδήποτε δευτεροβάθμια εξίσωση θα μπορούσε νε επιλυθεί με τρόπο όμοιο μ’ αυτόν που περιεγράφηκε προηγουμένως. Μάλιστα, η έννοια της απόλυτης τιμής μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να άρει τον περιορισμό των θετικών τιμών κατά την αναζήτηση των ριζών της εξίσωσης.

Αλληλοεπιδρώντας με το ακόλουθο γραφικό, μπορείτε να δοκιμάσετε να βρείτε τις ρίζες διάφορων δευτεροβάθμιων εξισώσεων, γεωμετρικά, χωρίς να χρησιμοποιήσετε τους γνωστούς τύπους.

Αναφορές

Henderson D.W., Geometric Solutions of quadratic and Cubic Equations, Department of Mathematics, Cornell University.
O’Connor J. J. and Robertson E. F., Quadratic, cubic and quartic equations, School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland , 1996.
O’Connor J. J. and Robertson E. F., Abu Ja’far Muhammad ibn Musa Al-Khwarizmi, School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland , 1999.

Διαβάστε περισσότερα

Το «άρρητο» της τετραγωνικής ρίζας του 2

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Γεωμετρία Β΄ Γυμνασίου, Για τη Β΄ Γυμνασίου | , στις 26-12-2011

Είναι σίγουρο ότι είστε εξοικειωμένοι με τη διαδικασία της μέτρησης ευθύγραμμων τμημάτων. Θα έχετε καταλάβει ότι δε μπορεί να είναι πάντοτε ακριβής. Αντίθετα, τις περισσότερες φορές έχει προσεγγιστικό χαρακτήρα. Άραγε, γιατί συμβαίνει αυτό;

Θα έλεγε κανείς ότι το ευθύγραμμο τμήμα δεν ευθύνεται σε τίποτα. Παραμένει «αμέτοχο» και «παθητικό» καθ’ όλη τη διαδικασία, «αναμένοντας» τη μέτρησή του.

Από την άλλη πλευρά, το ανθρώπινο χέρι και το ανθρώπινο μάτι δε μπορούν να συνεργαστούν πάντοτε αρμονικά. Ακόμη, το ίδιο το όργανο μέτρησης, που χρησιμοποιείται, δεν έχει απεριόριστες δυνατότητες. Όπως γνωρίζετε, σ’ ένα συνηθισμένο υποδεκάμετρο, οι υποδιαιρέσεις του είναι συγκεκριμένες: δεκατόμετρα (δέκατα), εκατοστόμετρα (εκατοστά), χιλιοστόμετρα (χιλιοστά).

Οι παραπάνω αδυναμίες ξεπερνιούνται σε σημαντικό βαθμό με τη βοήθεια ενός «ηλεκτρονικού υποδεκάμετρου». Όπως θα διαπιστώσετε, μάς παρέχει πολύ μεγαλύτερη ακρίβεια από ένα συνηθισμένο υποδεκάμετρο. Επίσης, η πιθανότητα ανθρώπινου σφάλματος ελαττώνεται αρκετά.

Στο ακόλουθο γραφικό, καλείστε να μετρήσετε, επακριβώς, τρία διαφορετικά ευθύγραμμα τμήματα, με ένα τέτοιο ηλεκτρονικό υποδεκάμετρο. Αρκεί να χρησιμοποιήσετε, επαναληπτικά, το εργαλείο του μεγεθυντικού φακού, κατάλληλο αριθμό επαναλήψεων, διαφορετικό, ίσως, για κάθε ευθύγραμμο τμήμα.

Τι σημαίνει, λοιπόν, «ακριβής μέτρηση» για το μήκος ενός ευθύγραμμου τμήματος;

Όπως έγινε αντιληπτό, αρκεί να τοποθετηθεί το όργανο μέτρησης – στην προκειμένη περίπτωση το ηλεκτρονικό υποδεκάμετρο – έτσι, ώστε, το $0$ να συμπέσει με το ένα άκρο του ευθύγραμμου τμήματος και έπειτα να βρεθεί, μεγεθύνοντας αν χρειαστεί, η ένδειξη που αντιστοιχεί στο άλλο άκρο του τμήματος.

Για μια στιγμή, είναι λογικό να υποτεθεί ότι κάτι τέτοιο θα μπορούσε να γίνει σε οποιοδήποτε ευθύγραμμο τμήμα. Όμως, προκύπτουν αναπόφευκτα ορισμένα ερωτήματα:

Μπορούμε να μεγεθύνουμε όσες φορές κι αν χρειαστεί, ή ακόμη και η χρήση ενός ηλεκτρονικού υποδεκάμετρου έχει τους δικούς της περιορισμούς;

Άρα, μήπως μπορούμε πάντοτε να βρίσκουμε τμήματα, που το μήκος τους «δραπετεύει» από τη διαδικασία της ακριβής μέτρησης;

Τελικά, αυτό να οφείλεται μόνο στην ανθρώπινη αδυναμία να κατασκευαστεί και να χρησιμοποιηθεί στην εντέλεια ένα ακριβές όργανο μέτρησης;

Κι όμως, όσο παράλογο κι αν ακούγεται, ακόμη κι αν υποτεθεί ότι π.χ. αυτό το ηλεκτρονικό υποδεκάμετρο μπορεί να χρησιμοποιηθεί με τρόπο που να αξιοποιεί τη δυνατότητα της μεγέθυνσης απεριόριστα, πάλι δε θα μπορεί να μετρηθεί επακριβώς το μήκος οποιουδήποτε ευθύγραμμου τμήματος.

Αυτό συμβαίνει διότι στις ενδείξεις ενός υποδεκάμετρου βρίσκονται κλασματικοί (ρητοί) αριθμοί.

Για παράδειγμα, στο ακόλουθο γραφικό, παριστάνεται ένα ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο με κάθετες πλευρές ίσες με $1$ .

Αλληλεπιδρώντας μαζί του, μπορείτε να διαπιστώσετε, τουλάχιστον, ως ένα βαθμό, ότι δε μπορείτε να μετρήσετε το μήκος της υποτείνουσάς του, χρησιμοποιώντας τις υποδιαιρέσεις του υποδεκάμετρου. Μάλιστα, ακόμη κι αν υπήρχε η δυνατότητα να μεγεθύνετε περαιτέρω το προηγούμενο γραφικό, πάλι δε θα αντιστοιχιζόταν κανείς κλασματικός αριθμός στο μήκος της.

Οι πρώτοι που ανακάλυψαν αυτήν την «αδυναμία» πρέπει να ήταν οι Πυθαγόρειοι. Θεωρείται, μάλιστα, ότι απέδειξαν ότι το μήκος της υποτείνουσας αυτού του ορθογώνιου τριγώνου δεν είναι κλασματικός (ρητός) αριθμός. Μ’ άλλα λόγια, ότι ο αριθμός $\sqrt{2}$ δεν είναι κλασματικός (ρητός). Επειδή ήταν ο πρώτος μη κλασματικός αριθμός, εγκαινίασε μια νέα κατηγορία αριθμών, τους «άρρητους».

Διαβάστε περισσότερα

Πυθαγόρειοι: Θεώρημα και ναυάγιο

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Γεωμετρία Β΄ Γυμνασίου, Για τη Β΄ Γυμνασίου | , στις 19-11-2011

Πυθαγόρας: Γεννήθηκε το 569 π. Χ., περίπου, στη Σάμο της Ιωνίας και πέθανε, περίπου, το 475 π .Χ.. Λίγα είναι γνωστά για το μαθηματικό του έργο. Άλλωστε, δεν άφησε πίσω του κανένα γραπτό.

Δάσκαλός του υπήρξε ο φιλόσοφος Φερεκύδης, ενώ επηρεάστηκε σημαντικά και από άλλους δύο φιλοσόφους: τον Θαλή και τον μαθητή του Αναξίμανδρο. Μάλιστα, ο Θαλής τον παρότρυνε να ταξιδέψει στην Αίγυπτο ώστε να διδαχθεί από τους Αιγύπτιους ιερείς.

Το 535 π.Χ., περίπου, ο Πυθαγόρας ταξίδεψε στην Αίγυπτο. Εκεί παρέμεινε μέχρι την εισβολή του Πέρση Καμβύση Β΄ και την μεταφορά του ως αιχμαλώτου στη Βαβυλώνα το 525 π.Χ.. Έπειτα από 5 χρόνια, περίπου, αποκτά ξανά την ελευθερία του και επιστρέφει στη Σάμο.

Λίγα χρόνια αργότερα, εγκαθίσταται στη Νότια Ιταλία όπου ιδρύει τη σχολή του.

Πυθαγόρεια Σχολή: Ιδρύθηκε από τον Πυθαγόρα στον Κρότωνα της Νότιας Ιταλίας. Ήταν μια θρησκευτική και φιλοσοφική σχολή, αλλά και κάτι περισσότερο: ήταν μια Κοινωνία με μέλη τα οποία ήταν υποχρεωμένα να τηρούν αυστηρούς κανόνες και υποχρεώσεις . Οι επιρροές από Ανατολικά στοιχεία ήταν εμφανείς σε αρκετές αρχές και συνήθειες των μελών της. Προφανώς, αυτό ήταν συνέπεια της μακρόχρονης παραμονής του Πυθαγόρα εκεί.

Απώτερος σκοπός ήταν τα μέλη της σχολής να προσεγγίσουν το “Θείο” μέσω του εξαγνισμού τους. Όμως, στην Πυθαγόρεια φιλοσοφία, η θεϊκή αρμονία εκφραζόταν από τους αριθμούς οι οποίοι, θεωρούνταν πανταχού παρόντες:

“καὶ πάντα γαμὰν τὰ γιγνωσκόμενα ἀριθμὸν ἔχοντι· οὐ γὰρ οἷον τε οὐδὲν οὔτε νοηθῆμεν οὐτε γνωσθῆμεν άνευ τούτου“

(Φιλόλαος ο Κροτωνιάτης).

Γι’ αυτό και τα Μαθηματικά με τη φιλοσοφική τους διάσταση, κυρίως, διαδραμάτιζαν κυρίαρχο ρόλο στη διδασκαλία των Πυθαγορείων.

Τα μέλη της σχολής διακρίνονταν στους Μαθηματικούς και τους Ακουσματικούς.

Οι Μαθηματικοί αφού έδιναν όλα τα υπάρχοντά τους στην Κοινωνία, ζούσαν μόνιμα στα οικήματά της και διδάσκονταν από τον ίδιο τον Πυθαγόρα. Εκτός από τα μαθηματικά συμπεράσματα μάθαιναν και τις αποδείξεις τους.

Οι Ακουσματικοί έμεναν στα δικά τους σπίτια, μπορούσαν να έχουν προσωπική περιουσία και μόνο την ημέρα παρακολουθούσαν τα δρώμενα της Κοινωνίας. Δεν μάθαιναν τις αποδείξεις των μαθηματικών συμπερασμάτων.

Γενικά, στη σχολή υπήρχε μυστικισμός και στη διδασκαλία κυριαρχούσε ο προφορικός χαρακτήρας.

Σύμμετρα Μεγέθη: Οι Πυθαγόρειοι πίστευαν ότι για δύο οποιουσδήποτε αριθμούς μπορούσε να βρεθεί “κοινό μέτρο”, δηλαδή ένας τρίτος αριθμός τέτοιος ώστε καθένας τους να είναι ακέραιο πολλαπλάσιό του.

Με σημερινή ορολογία, θεωρούσαν ότι όλοι οι αριθμοί είναι ρητοί, δηλαδή έχουν ή μπορούν να πάρουν κλασματική μορφή.

Πυθαγόρειο Θεώρημα:

“Το εμβαδόν του τετραγώνου της υποτείνουσας ορθογώνιου τριγώνου ισούται με το άθροισμα των εμβαδών των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών.”

(Να πατήσετε σε ένα οποιοδήποτε σημείο του παραπάνω γραφήματος για να αλληλεπιδράσετε.)

Το Πυθαγόρειο Θεώρημα ήταν γνωστό στους Βαβυλώνιους 1000 χρόνια πριν τον Πυθαγόρα. Στην Βαβυλωνιακή πινακίδα « Plimpton 322», υπάρχουν σειρές από αριθμούς, όπου, σύμφωνα με μια εκδοχή, καθεμιά τους αποτελείται από τα μήκη της υποτείνουσας, της μιας κάθετης πλευράς, καθώς και από τον υπολογισμό μιας ποσότητας η οποία προϋποθέτει τη γνώση της άλλης κάθετης πλευράς ορθογώνιων τριγώνων.

Ωστόσο, ίσως, ο Πυθαγόρας να ήταν εκείνος που το απέδειξε για πρώτη φορά.

Ασύμμετρα μεγέθη: Είναι πιθανό οι Πυθαγόρειοι να ήταν οι πρώτοι οι οποίοι κατέληξαν στην ανακάλυψη των άρρητων αριθμών. Ενδεχομένως, αυτό να προήλθε από την εξής διαπίστωση. Λόγω του Πυθαγόρειου Θεωρήματος, γνώριζαν ότι σ’ ένα ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο με κάθετες πλευρές ίσες με το $1$ , το τετράγωνο της υποτείνουσάς του θα έχει εμβαδόν ίσο με $2$ .
Όμως, ποιος θα μπορούσε να είναι ο αριθμός που εκφράζει το μήκος της πλευράς αυτού του τετραγώνου;

Οι Πυθαγόρειοι τον αναζήτησαν ανάμεσα στους ρητούς χωρίς επιτυχία. Μάλιστα, θεωρείται ότι απέδειξαν ότι αυτός ο αριθμός δεν υπάρχει (στους ρητούς). Μπορούσαν, λοιπόν, να εκφράσουν την επιφάνεια του συγκεκριμένου τετραγώνου, όχι, όμως, την πλευρά του.

Το Ναυάγιο: Που είχαν κάνει το λάθος; Ή θα έπρεπε να συμβιβαστούν με την ιδέα ότι υπάρχουν μεγέθη που δεν εκφράζονται από αριθμούς, ή να εγκαταλείψουν την
πεποίθησή τους ότι όλοι οι αριθμοί είναι ρητοί. Έτσι κι αλλιώς, το κόστος ήταν σημαντικό.

Επέλεξαν το δεύτερο, καλωσορίζοντας τον αριθμό $\sqrt{2}$ .

Παρότι δε μπορούσαν να τον εκφράσουν (ρητά), έπρεπε να δεχτούν την ύπαρξή του ως αναγκαία:

Είναι ο αριθμός που μετρά την πλευρά ενός τετραγώνου με εμβαδό ίσο με $2$ .

Σύμφωνα με την παράδοση, όταν ο Πυθαγόρειος Ίππασος ο Μεταποντίνος διέδωσε την ανακάλυψή τους, πλήρωσε το λάθος του αυτό με την ίδια του τη ζωή. Την έχασε σ’ ένα ναυάγιο …

Αναφορές

Μιχαηλίδης Τ., Πυθαγόρεια εγκλήματα, Εκδόσεις ΠΟΛΙΣ, 2006.
Guedj D., Το Θεώρημα του παπαγάλου, μετάφραση: Τεύκρος Μιχαηλίδης, Εκδόσεις ΠΟΛΙΣ, 1999.
O’Connor J. J. and Robertson E. F., Pythagoras of Samos, School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland , 1999.
VanDerWaerdenB. L., Η αφύπνιση της επιστήμης, μετάφραση – επιμέλεια: Γιάννης Χριστιανίδης, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, 2007.

Διαβάστε περισσότερα

Ο Θαλής μετρά την πυραμίδα του Χέοπα (η ταινία …)

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Για την Γ΄ Γυμνασίου, Σινέ Μακρυκάπας Γ΄ Γυμνασίου | , στις 04-04-2011

Η μέτρηση του ύψους της πυραμίδας του Χέοπα από τον Θαλή όπως προβλήθηκε, τη χρονιά 2010 – 2011, στη Γ΄ Γυμνασίου του Γυμνασίου Μακρυκάπας, από εδώ.

Διαβάστε περισσότερα

Η μέτρηση του ύψους της Πυραμίδας του Χέοπα από τον Θαλή

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Γεωμετρία Γ΄ Γυμνασίου, Για την Γ΄ Γυμνασίου | , στις 27-02-2011

Ο Θαλής ο Μιλήσιος γεννήθηκε στη Μίλητο της Μ. Ασίας περίπου το 624 π.Χ.. Ήταν ο πρώτος απ’ τους επτά σοφούς της αρχαιότητας, ο πρώτος Έλληνας φιλόσοφος και, ίσως, ο πρώτος μαθηματικός, αφού εισήγαγε την απόδειξη στη Γεωμετρία. Θεωρείται ότι διδάχθηκε Γεωμετρία στον τόπο γέννησής της, δηλαδή στην Αίγυπτο.

Ποια ανάγκη, όμως, είχε ωθήσει τους Αιγύπτιους στη δημιουργία των πρώτων γεωμετρικών εννοιών; Η απάντηση πρέπει να αναζητηθεί σ’ ένα πρόβλημα πρακτικής φύσης. Οι Αιγύπτιοι κάθε φορά που πλημμύριζε ο Νείλος, έπρεπε να αποκαταστήσουν τα σύνορα των ιδιοκτησιών τους. Αυτό τους οδήγησε στο να ανακαλύψουν ένα σύνολο εμπειρικών κανόνων με πρακτικές εφαρμογές, κυρίως, σε μετρήσεις επί του εδάφους:

«γη» + «μέτρηση» = «γεωμετρία».

Ο Θαλής έμαθε τις πρώτες γεωμετρικές τεχνικές από τους Αιγύπτιους ιερείς και, προχωρώντας ένα βήμα πιο πέρα, τις μετέφερε στο χαρτί, αντικαθιστώντας αντικείμενα της εμπειρίας όπως πάσσαλοι, σχοινιά, κυκλικές περιφέρειες εδαφικών εκτάσεων, από σημεία, ευθύγραμμα τμήματα, ευθείες γραμμές και κύκλους. Έτσι, θεμελίωσε το υπόβαθρο πάνω στο οποίο έπρεπε να γίνει η καταγραφή αλλά και η αιτιολόγηση αυτών των κανόνων. Με την επιστροφή του στην αρχαία Ελλάδα, οι εμπειρικοί κανόνες των Αιγυπτίων άρχισαν να μετασχηματίζονται στα πρώτα γεωμετρικά θεωρήματα.

Ενδεικτικά, ας αναφερθεί ότι αν και οι πέντε προτάσεις που ακολουθούν πρέπει να ήταν γνωστές στους Αιγύπτιους, ωστόσο, οι αποδείξεις τους αποδίδονται από ορισμένους ιστορικούς των Μαθηματικών στον Θαλή:

Κάθε διάμετρος χωρίζει τον κύκλο σε δύο ίσα τόξα (ημικύκλια).
Οι προσκείμενες στη βάση γωνίες ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες.
Η εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι ορθή.
Οι κατακορυφήν γωνίες είναι ίσες.
Αν μία πλευρά ενός τριγώνου είναι ίση με μία πλευρά ενός δεύτερου τριγώνου και οι προσκείμενες γωνίες στις πλευρές αυτές είναι ίσες μία προς μία, τότε τα δύο τρίγωνα είναι ίσα.

Ο αρχαίος Έλληνας ιστορικός Διογένης ο Λαέρτιος αναφέρει ότι ο Θαλής, κατά τη διάρκεια της παραμονής του στην Αίγυπτο, κατάφερε να μετρήσει το ύψος της Πυραμίδας του Χέοπα. Σύμφωνα με εκείνον, ο Θαλής πραγματοποίησε τη μέτρηση χρησιμοποιώντας τη σκιά του εαυτού του, παρατηρώντας ότι αν κάποια μέρα η σκιά του γινόταν ίση με το ύψος του, τότε το ίδιο θα συνέβαινε και με τη σκιά του ύψους της πυραμίδας.

Επομένως, η μέτρηση του ύψους της πυραμίδας μπορούσε, τελικά, να γίνει στο έδαφος. Όμως, ποια γωνία θα σχημάτιζαν, τότε, οι ακτίνες του ήλιου με το έδαφος; Θα μπορούσε να συμβεί κάτι τέτοιο; Αν ναι, πότε; Τι προσανατολισμό έπρεπε να έχει η σκιά της πυραμίδας, ώστε να είναι δυνατό να μετρηθεί η σκιά του ύψους της; Πώς μπορούσε ο Θαλής, έστω και στο έδαφος, να μετρήσει τη σκιά του ύψους της πυραμίδας, αφού ένα μέρος της σκιάς του δεν ήταν ορατό;

Το ακόλουθο γραφικό, με το οποίο μπορείτε να αλληλεπιδράσετε, βοηθά στο να κατανοηθούν και να απαντηθούν, εν μέρει, τα προηγούμενα ερωτήματα. Έχετε υπόψη σας, ότι μετακινώντας, κατάλληλα, την κορυφή $A$ της πυραμίδας $KAB{\Gamma \Delta}$ και το άκρο $Z$ του ευθύγραμμου τμήματος $ZH$ , αλλάζουν οι διαστάσεις της πυραμίδας και του τμήματος. Επίσης, χρησιμοποιώντας το σημείο ελέγχου του ήλιου, μπορείτε να αλλάξετε την κατεύθυνσή των ακτίνων φωτός. Ακόμη, για να περιστραφεί το γραφικό, αρκεί να κρατηθεί το δεξί πλήκτρο του ποντικιού πατημένο και να μετακινηθεί ο κέρσορας. Τέλος, μπορείτε να αλλάξετε τη θέση της πυραμίδας και του τμήματος μετακινώντας τον κέρσορα του ποντικιού, αφού κρατήσετε πατημένο το πλήκτρο “Shift”.

Στο σημείο αυτό πρέπει να σημειωθούν τα εξής:

Πρώτα απ’ όλα ότι το γεωγραφικό πλάτος της Γκίζας, όπου βρίσκεται η πυραμίδα, είναι 29^ο57′ βόρεια του Ισημερινού. Αυτό επιτρέπει στις ακτίνες του ήλιου να σχηματίζουν γωνία 45^ομε το έδαφος, το μεσημέρι, δύο φορές κάθε χρόνο (μπορείτε να δείτε τις ακριβείς ημερομηνίες που συμβαίνει αυτό, από εδώ). Αυτή η ειδική τιμή τής γωνίας διαδραμάτισε σημαντικό ρόλο στην προσπάθεια του Θαλή, διότι σ’ αυτήν την περίπτωση το μήκος της σκιάς ενός αντικειμένου γίνεται ίσο με το ύψος του.

Ακόμη, η πυραμίδα είχε κατασκευαστεί, έτσι, ώστε η μία έδρα της, στο γραφικό η $KAB$ , να είναι στραμμένη προς την ανατολή. Αυτό σημαίνει ότι τα μεσημέρια, όπου ο ήλιος «βλέπει» την έδρα $KA\Delta$ , οι ακτίνες του ήλιου είναι κάθετες στην πλευρά $A\Delta$ της βάσης της πυραμίδας, γι’ αυτό, τότε, η σκιά της είναι το ισοσκελές τρίγωνο $K^{\prime }B\Gamma$ .

Άρα, το μεσημέρι μιας τέτοιας μέρας, όπου η σκιά του Θαλή γινόταν ίση με το ύψος του, θα είχαμε,

$KO=OK^{\prime }=OE+EK^{\prime }=\dfrac{AB}{2}+EK^{\prime }$ ,

με τα επιμέρους μεγέθη να μπορούν, πλέον, να μετρηθούν.

Την εποχή της κατασκευής της, το 2560 π. Χ., η πυραμίδα του Χέοπα είχε ύψος 146,6 μέτρα. Για 3800 χρόνια ήταν το ψηλότερο μνημείο στον κόσμο. Σήμερα γνωρίζουμε ότι το ύψος της είναι 138,8 μέτρα, περίπου, αφού εκτός από καθίζηση έχει υποστεί και φθορές στο εξωτερικό της. Ο Θαλής πέθανε περίπου το 547 π.Χ..

Όμως, ό,τι συμβαίνει με την ύλη, δε συμβαίνει με το ανθρώπινο πνεύμα. Η βασική ιδέα που υπήρχε στη μέθοδο του Θαλή, γενικεύεται στο “Θεώρημα του Θαλή” ,το οποίο παραμένει, αναλλοίωτα στο χρόνο, ένα από τα πιο διάσημα θεωρήματα των Μαθηματικών.

Αναφορές

Douglass C., Thales, California 2006.
Guedj D., Το Θεώρημα του παπαγάλου, μετάφραση: Τεύκρος Μιχαηλίδης, Εκδόσεις ΠΟΛΙΣ, 1999.
O’Connor J. J. and Robertson E. F., Thales of Miletus, School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland ,1999.
VanDerWaerdenB. L., Η αφύπνιση της επιστήμης, μετάφραση – επιμέλεια: Γιάννης Χριστιανίδης, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, 2007.
Wikipedia, the free encyclopedia, Great pyramid of Giza.

Διαβάστε περισσότερα

ΜαθηματιΚά Ένα ιστολόγιο του ΠΣΔ

Εξισώσεις τρίτου βαθμού: Μέρος Α΄

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Γεωμετρία Β΄ Λυκείου, Για τη Β΄ Λυκείου, Μαθηματικά Θετικών Σπουδών Β΄ Λυκείου | , στις 23-08-2012

Οι «ρίζες» … της τετραγωνικής ρίζας

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Γεωμετρία Β΄ Λυκείου, Για τη Β΄ Λυκείου | , στις 12-07-2012

Κάντο όπως ο … αλ – Κβαρίσμι

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Άλγεβρα Α΄ Λυκείου, Για την Α΄ Λυκείου | , στις 11-02-2012

Το «άρρητο» της τετραγωνικής ρίζας του 2

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Γεωμετρία Β΄ Γυμνασίου, Για τη Β΄ Γυμνασίου | , στις 26-12-2011

Πυθαγόρειοι: Θεώρημα και ναυάγιο

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Γεωμετρία Β΄ Γυμνασίου, Για τη Β΄ Γυμνασίου | , στις 19-11-2011

Ο Θαλής μετρά την πυραμίδα του Χέοπα (η ταινία …)

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Για την Γ΄ Γυμνασίου, Σινέ Μακρυκάπας Γ΄ Γυμνασίου | , στις 04-04-2011

Η μέτρηση του ύψους της Πυραμίδας του Χέοπα από τον Θαλή

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Γεωμετρία Γ΄ Γυμνασίου, Για την Γ΄ Γυμνασίου | , στις 27-02-2011

Μήνυμα Διαχειριστή

Σελίδες

Ιστορικό

Σαν σήμερα

Μετάφραση

ΜαθηματιΚά Ένα ιστολόγιο του ΠΣΔ

Εξισώσεις τρίτου βαθμού: Μέρος Α΄

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Γεωμετρία Β΄ Λυκείου, Για τη Β΄ Λυκείου, Μαθηματικά Θετικών Σπουδών Β΄ Λυκείου | , στις 23-08-2012

Οι «ρίζες» … της τετραγωνικής ρίζας

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Γεωμετρία Β΄ Λυκείου, Για τη Β΄ Λυκείου | , στις 12-07-2012

Κάντο όπως ο … αλ – Κβαρίσμι

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Άλγεβρα Α΄ Λυκείου, Για την Α΄ Λυκείου | , στις 11-02-2012

Το «άρρητο» της τετραγωνικής ρίζας του 2

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Γεωμετρία Β΄ Γυμνασίου, Για τη Β΄ Γυμνασίου | , στις 26-12-2011

Πυθαγόρειοι: Θεώρημα και ναυάγιο

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Γεωμετρία Β΄ Γυμνασίου, Για τη Β΄ Γυμνασίου | , στις 19-11-2011

Ο Θαλής μετρά την πυραμίδα του Χέοπα (η ταινία …)

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Για την Γ΄ Γυμνασίου, Σινέ Μακρυκάπας Γ΄ Γυμνασίου | , στις 04-04-2011

Η μέτρηση του ύψους της Πυραμίδας του Χέοπα από τον Θαλή

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Γεωμετρία Γ΄ Γυμνασίου, Για την Γ΄ Γυμνασίου | , στις 27-02-2011

Μήνυμα Διαχειριστή

Σελίδες

Ιστορικό

Σαν σήμερα

Μετάφραση

Ετικέτες