Εξισώσεις τρίτου βαθμού: Μέρος Δ΄

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Για την Γ΄ Λυκείου, Μαθηματικά Θετικών Σπουδών Γ΄ Λυκείου | , στις 20-10-2012

Το “χρέος” των μιγαδικών …

“[…] Έχετε υπάρξει βετεράνοι των δημιουργικών βασάνων. Συνεχίστε να εργάζεστε με την πίστη ότι τα αναίτια βάσανα είναι λυτρωτικά. […]”

Μάρτιν Λούθερ Κινγκ, “Έχω ένα όνειρο”

Το αδιέξοδο, στο οποίο οδηγήθηκε η μέθοδος των “Καρντάνο – Ταρτάλια”, για το πρόβλημα της επίλυσης των τριτοβάθμιων εξισώσεων,

(1)   \begin{equation*} x^3+mx=n,\,\,\,\,m,n\in \mathbb{R}, \end{equation*}

στην περίπτωση όπου,

    \[ D=\left(\dfrac{n}{2}\right)^2+\left(\dfrac{m}{3}\right)^3\leq0, \]

αποτέλεσε την αφορμή για την υλοποίηση της ιδέας της διεύρυνσης του συνόλου \mathbb{R} των πραγματικών στο σύνολο \mathbb{C} των μιγαδικών.

Πλέον, με τη συγκρότηση του \mathbb{C}, μπορεί να αναζητηθεί, για την (1), λύση της μορφής, x=\alpha-\beta, όπου, \alpha,\beta\in\mathbb{C}, τέτοια, ώστε,

    \begin{equation*} \left\{\begin{aligned} 3\alpha\beta&=m\\ \alpha^{3}-\beta^{3}&=n \end{aligned} \right, \end{equation*}

ή, ισοδύναμα, τέτοια ώστε,

    \begin{equation*} (\Sigma):\,\,\,\,\,\,\,\,\left\{\begin{aligned} \beta&=\dfrac{m}{3\alpha}\\ \left( \alpha ^{3}\right) ^{2}-n\alpha ^{3}-\left( \dfrac{m}{3}\right) ^{3}&=0 \end{aligned} \right.. \end{equation*}

Είναι αξιοσημείωτο ότι, στο πλαίσιο της αναζήτησης λύσης για το (Σ), ανακύπτουν βασικές έννοιες για το σύνολο \mathbb{C}, όπως η έννοια του συζυγούς, του μέτρου και της τριγωνομετρικής μορφής ενός μιγαδικού αριθμού, καθώς και βασικά συμπεράσματα που τις διέπουν, με κυριότερο το Θεώρημα De Moivre.

Παρατήρηση 1 Στο σύνολο \mathbb{C}, μια εξίσωση της μορφής, z^2=-\theta,\,\theta\in \mathbb{R} με \theta>0, ισοδύναμα, γράφεται,

    \begin{equation*} \begin{aligned} z^2-(i\sqrt{\theta})^2&=0\\ (z-i\sqrt{\theta})(z+i\sqrt{\theta})&=0 \end{aligned} \end{equation}

επομένως, έχει ακριβώς δύο λύσεις τις z_{1}= i\sqrt{\theta} και z_{2}=- i\sqrt{\theta}.

Με βάση την προηγούμενη παρατήρηση, από τη δεύτερη εξίσωση του (Σ), έπεται ότι,

    \[ \alpha^3=\frac{n\pm2i\sqrt{-D}}{2}=\dfrac{n}{2}\pm i\sqrt{-D}. \]

Οπότε, μια δυνατή επιλογή για το \alpha, μπορεί να προκύψει από την ισότητα,

(2)   \begin{equation*} \alpha^3=\dfrac{n}{2}+i\sqrt{-D}}, \end{equation*}

ενώ, η αντίστοιχη επιλογή για το \beta πρέπει να πληροί,

(3)   \begin{equation*} \beta^3=-\dfrac{n}{2}+i\sqrt{-D}}. \end{equation*}

Αν υποτεθεί ότι υπάρχει, για τη (2), λύση της μορφής,

    \[ \alpha_{1}=\gamma_{1}+i\delta_{1},\,\,\,\,\gamma_{1},\,\delta_{1}\in\mathbb{R}, \]

εύλογα, διερωτάται κανείς, αν, όπως στην περίπτωση όπου D>0, ο αντίθετος του συζυγή του \alpha_{1},

    \begin{equation*} \begin{aligned} \beta_{1}&=-\overline{\alpha_{1}}\\ &=-\gamma_{1}+i\delta_{1} \end{aligned} \end{equation*}

είναι λύση της (3).

Η απάντηση είναι καταφατική και απορρέει από την ιδιότητα,

    \[ \overline{z\cdot w}=\overline{z}\cdot\overline{w}, \]

που, εύκολα, αποδεικνύεται ότι ισχύει για οποιουσδήποτε z,\,w\in\mathbb{C}.

Πράγματι,

    \[ \beta_{1}^{3}=\left( -\overline{\alpha_{1}}\right) ^{3}=-\overline{\alpha_{1}^{3}}\stackrel{\text{(2)}}{=}-\dfrac{n}{2}+i\sqrt{-D}}. \]

Επειδή,

    \[ \alpha_{1}\cdot\beta_{1}=(\gamma_{1}+i\delta_{1})\cdot(-\gamma_{1}+i\delta_{1})=-\gamma_{1}^2-\delta_{1}^2, \]

αρκεί, λόγω του (Σ), να βρεθούν \gamma,\,\delta\in\mathbb{R} τέτοια, ώστε,

    \begin{equation*} (\Sigma'):\,\,\,\,\,\,\,\,\left\{\begin{aligned} \gamma^2+\delta^2&=-\dfrac{m}{3}\\ (\gamma+i\delta)^3&=\dfrac{n}{2}+i\sqrt{-D} \end{aligned} \right.. \end{equation*}

Παρατήρηση 2 Αφού D\leq0, προφανώς m\leq0.

Η πρώτη εξίσωση του (Σ΄), γράφεται,

    \[ \Bigg(\dfrac{\gamma}{\sqrt{-\dfrac{m}{3}}}\Bigg)^2+\Bigg(\dfrac{\delta}{\sqrt{-\dfrac{m}{3}}}\Bigg)^2=1. \]

Θέτουμε,

    \begin{equation*} \left\{\begin{aligned} \cos\omega&=\dfrac{\gamma}{\sqrt{-\dfrac{m}{3}}}\\ \sin\omega&=\dfrac{\delta}{\sqrt{-\dfrac{m}{3}}} \end{aligned} \right., \end{equation*}

άρα,

    \begin{equation*} \left\{\begin{aligned} \gamma&=\sqrt{-\dfrac{m}{3}}\cdot\cos\omega\\ \delta&=\sqrt{-\dfrac{m}{3}}\cdot\sin\omega \end{aligned} \right.. \end{equation*}

(Με \cos,\,\sin συμβολίζονται το συνημίτονο και το ημίτονο αντίστοιχα.)

Αντικαθιστώντας στη δεύτερη εξίσωση του (Σ΄),

    \[ \left(\sqrt{-\dfrac{m}{3}}\left(\cos\omega+i\sin\omega\right)\right)^3=\dfrac{n}{2}+i\sqrt{-D}, \]

επομένως,

    \[ \left(\cos\omega+i\sin\omega\right)^3=\dfrac{\dfrac{n}{2}}{\sqrt{-\dfrac{m}{3}}^{3}}+i\dfrac{\sqrt{-D}}{\sqrt{-\dfrac{m}{3}}^{3}}. \]

Με τη βοήθεια γνωστών τριγωνομετρικών ταυτοτήτων,

    \begin{equation*} \begin{aligned} \left(\cos\omega+i\sin\omega\right)^3&=\left(\cos\omega+i\sin\omega\right)^2\left(\cos\omega+i\sin\omega\right)\\ &=\left(\cos^2\omega-\sin^2\omega+2i\cos\omega\sin\omega\right)\left(\cos\omega+i\sin\omega\right)\\ &=\big(\cos(2\omega)+i\sin(2\omega)\big)\left(\cos\omega+i\sin\omega\right)\\ &=\big(\cos(2\omega)\cos\omega-\sin(2\omega)\sin\omega\big)\\ &+i\big(\sin\omega\cos(2\omega)+\cos\omega\right)\sin(2\omega)\big)\\ &=\cos(3\omega)+i\sin(3\omega). \end{aligned} \end{equation*}

Συνεπώς,

    \[ \cos(3\omega)+i\sin(3\omega)=\dfrac{\dfrac{n}{2}}{\sqrt{-\dfrac{m}{3}}^{3}}+i\dfrac{\sqrt{-D}}{\sqrt{-\dfrac{m}{3}}^{3}}. \]

Άρα, αρκεί να βρεθεί γωνία \omega τέτοια, ώστε,

    \begin{equation*} \left\{\begin{aligned} \cos(3\omega)=\dfrac{\dfrac{n}{2}}{\sqrt{-\dfrac{m}{3}}^{3}}\\ \sin(3\omega)=\dfrac{\sqrt{-D}}{\sqrt{-\dfrac{m}{3}}^{3}} \end{aligned} \right.. \end{equation*}

Όμως,

    \[ \Bigg(\dfrac{\dfrac{n}{2}}{\sqrt{-\dfrac{m}{3}}^{3}}\Bigg)^2+\Bigg(\dfrac{\sqrt{-D}}{\sqrt{-\dfrac{m}{3}}^{3}}\Bigg)^2=\dfrac{\Big(\dfrac{n}{2}\Big)^2-D}{-\Big(\dfrac{m}{3}\Big)^3}=1, \]

δηλαδή, υπάρχουν άπειρες λύσεις για το παραπάνω σύστημα.

Αν \omega_{1} είναι μια τέτοια λύση, τότε, \left( \gamma_{1},\delta_{1}\right) είναι λύση του (Σ΄), όπου,

    \begin{equation*} \begin{aligned} \gamma_{1}&=\sqrt{-\dfrac{m}{3}}\cdot\cos\omega_{1}\\ \delta_{1}&=\sqrt{-\dfrac{m}{3}}\cdot\sin\omega_{1}, \end{aligned} \end{equation*}

οπότε, \left( \alpha_{1},\beta_{1}\right) είναι λύση του (Σ), όπου,

    \begin{equation*} \begin{aligned} \alpha_{1}&=\sqrt{-\dfrac{m}{3}}\cdot\cos\omega_{1}+i\sqrt{-\dfrac{m}{3}}\cdot\sin\omega_{1}\\ \beta_{1}&=-\sqrt{-\dfrac{m}{3}}\cdot\cos\omega_{1}+i\sqrt{-\dfrac{m}{3}}\cdot\sin\omega_{1}. \end{aligned} \end{equation*}

Άρα,

    \begin{equation*} \begin{aligned} x_{1}&=\alpha_{1}-\beta_{1}=2\sqrt{-\dfrac{m}{3}}\cdot\cos\omega_{1} \end{aligned} \end{equation*}

είναι μία πραγματική λύση της (1).

Με τη βοήθεια αυτής της λύσης, η (1) μετασχηματίζεται ως εξής,

    \[ x^3+mx=n \]

    \[ x^3+3\alpha_{1}\beta_{1}x=\alpha_{1}^{3}-\beta_{1}^{3} \]

    \[ x^{3}+3\alpha _{1}\beta _{1}x-\left( \alpha _{1}^{3}-\beta _{1}^{3}\right) =0 \]

    \[ x^{3}+3\alpha _{1}\beta _{1}x-\left( \alpha _{1}-\beta _{1}\right) \left( \alpha _{1}^{2}+\alpha _{1}\beta _{1}+\beta _{1}^{2}\right) =0 \]

    \[ x^{3}+3\alpha _{1}\beta _{1}x-\left( \alpha _{1}^{2}+\alpha _{1}\beta _{1}+\beta _{1}^{2}\right) x+\left\big( x-\left( \alpha _{1}-\beta _{1}\right)\right\big) \left( \alpha _{1}^{2}+\alpha _{1}\beta _{1}+\beta _{1}^{2}\right) =0 \]

    \[ x\left\big( x-\left( \alpha _{1}-\beta _{1}\right)\right\big) \left\big( x+\left( \alpha _{1}-\beta _{1}\right)\right\big) +\left\big( x-\left( \alpha _{1}-\beta _{1}\right)\right\big) \left( \alpha _{1}^{2}+\alpha _{1}\beta _{1}+\beta _{1}^{2}\right) =0, \]

συνεπώς, γράφεται, τελικά,

(4)   \begin{equation*} \left\big( x-\left( \alpha _{1}-\beta _{1}\right)\right\big) \left\big( x^{2}+\left( \alpha _{1}-\beta _{1}\right) x+\alpha _{1}^{2}+\alpha _{1}\beta _{1}+\beta _{1}^{2}\right\big) =0. \end{equation*}

Το τριώνυμο,

    \[ x^{2}+\left( \alpha _{1}-\beta _{1}\right) x+\alpha _{1}^{2}+\alpha _{1}\beta _{1}+\beta _{1}^{2}, \]

έχει διακρίνουσα,

    \begin{equation*} \begin{aligned} \Delta=-3(\alpha_{1}+\beta_{1})^{2} &=-3\left(2i\sqrt{-\dfrac{m}{3}}\cdot\sin\omega_{1}\right)^{2} &=12\left(\sqrt{-\dfrac{m}{3}}\cdot\sin\omega_{1}\right)^{2}. \end{aligned} \end{equation*}

Τελικά, η (1), όταν D\leq0 έχει τρεις πραγματικές λύσεις που δίνονται από τους τύπους,

    \begin{equation*} \begin{aligned} x_{1}&=2\sqrt{-\dfrac{m}{3}}\cdot\cos\omega_{1}\\ x_{2}&=-\sqrt{-\dfrac{m}{3}}\cdot\left(\cos\omega_{1}+\sqrt{3}\sin\omega_{1}\right)\\ x_{3}&=-\sqrt{-\dfrac{m}{3}}\cdot\left(\cos\omega_{1}-\sqrt{3}\sin\omega_{1}\right). \end{aligned} \end{equation*}

Παράδειγμα 1 Για την εξίσωση, x^3-3x=-\sqrt{2}, έχουμε, m=-3,\,n=-\sqrt{2}, συνεπώς,

    \[ D=\left(\dfrac{-\sqrt{2}}{2}\right)^2+\left(\dfrac{-3}{3}\right)^3=\dfrac{2}{4}+(-1)=-\dfrac{1}{2}<0, \]

Αναζητείται \omega, τέτοιο, ώστε,

    \begin{equation*} \left\{\begin{aligned} \cos(3\omega)&=\dfrac{\dfrac{-\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{-\dfrac{-3}{3}}^{3}}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\ \sin(3\omega)&=\dfrac{\sqrt{\dfrac{1}{2}}}{\sqrt{-\dfrac{-3}{3}}^{3}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{aligned} \right., \end{equation*}

οπότε, μπορεί να επιλεγεί ως \omega_{1} το \dfrac{\pi}{4}.

Άρα, η εξίσωση έχει τρεις πραγματικές λύσεις,

    \begin{equation*} \begin{aligned} x_{1}&=2\sqrt{-\dfrac{-3}{3}}\cdot\cos\dfrac{\pi}{4}=\sqrt{2}\\ x_{2}&=-\sqrt{-\dfrac{-3}{3}}\cdot\left(\cos\dfrac{\pi}{4}+\sqrt{3}\sin\dfrac{\pi}{4}\right)=-\dfrac{(\sqrt{2}+\sqrt{6})}{2}\\ x_{3}&=-\sqrt{-\dfrac{-3}{3}}\cdot\left(\cos\dfrac{\pi}{4}-\sqrt{3}\sin\dfrac{\pi}{4}\right)=-\dfrac{(\sqrt{2}-\sqrt{6})}{2}. \end{aligned} \end{equation*}

Διαβάστε περισσότερα

Εξισώσεις τρίτου βαθμού: Μέρος Γ΄

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Για την Γ΄ Λυκείου, Μαθηματικά Θετικών Σπουδών Γ΄ Λυκείου | , στις 30-09-2012

“Φανταστικές” … επινοήσεις

Η πρώτη σημαντική πρόοδος στην αλγεβρική επίλυση των τριτοβάθμιων εξισώσεων σημειώνεται στην Ιταλία. Γύρω στο 1515, ο καθηγητής Μαθηματικών Σκιπιόνε νταλ Φέρο (1465-1526), κάτοχος της Έδρας Αριθμητικής και Γεωμετρίας στο Πανεπιστήμιο της Μπολόνια, ανακάλυψε τον τύπο επίλυσης των τριτοβάθμιων εξισώσεων της μορφής,

(1)   \begin{equation*} x^3+mx=n,\,\,\,\,m,n\in \mathbb{R}. \end{equation*}

Φυσικά, το γενικό πρόβλημα ανάγεται στην προηγούμενη περίπτωση, μιας και κάθε τριτοβάθμια εξίσωση μπορεί να μετασχηματιστεί όπως παραπάνω με τη μέθοδο “συμπλήρωσης κύβου”.

O νταλ Φέρο κράτησε μυστική την ανακάλυψή του, ωσότου, λίγο πριν τον θάνατό του, την αποκαλύψει στον μαθητή του Αντόνιο Φιόρ.

Έπειτα από δέκα χρόνια, περίπου, ένας προικισμένος μαθηματικός, ο Νικολό Φοντάνα (1499 – 1557), επονομαζόμενος Ταρτάλια, δημοσιοποίησε τον τρόπο επίλυσης τριτοβάθμιων εξισώσεων της μορφής,

    \[ x^{3}+px^{2}=q,\,\,\,\,p,q\in \mathbb{R}. \]

(Ο Φοντάνα έμεινε στην Ιστορία ως “Ταρτάλια”, που σημαίνει τραυλός, εξαιτίας ενός προβλήματος στην άρθρωσή του, έπειτα από ένα σοβαρό παιδικό τραύμα που λίγο έλειψε να του κοστίσει τη ζωή.)

Μετά απ’ αυτήν την εξέλιξη, ο Φιόρ προκάλεσε τον Ταρτάλια σε δημόσιο διαγωνισμό, όπου καθένας τους, εντός διαστήματος 40 ή 50 ημερών, έπρεπε να επιλύσει 30 προβλήματα κυβικών εξισώσεων. Νικητής θα ανακηρυσσόταν εκείνος που θα έλυνε τα περισσότερα. Όμως, οχτώ ημέρες προτού ξεκινήσει ο διαγωνισμός, ο Ταρτάλια είχε καταφέρει να ανανακαλύψει, ανεξάρτητα, τον γενικό τρόπο επίλυσης κυβικών εξισώσεων της μορφής (1). Όλα τα προβλήματα που τέθηκαν από τον Φιόρ ήταν, τροποντινά, αυτής της μορφής, με αποτέλεσμα να λυθούν από τον Ταρτάλια μέσα σε δύο ώρες.

Αργότερα, ο ιδιοφυής μαθηματικός Τζερόλαμο Καρντάνο (1501 – 1576) προσέγγισε τον Ταρτάλια, καταφέρνοντας, με αθέμιτα μέσα, να του αποσπάσει τις ανακαλύψεις του. Στο σπουδαίο έργο του “Μεγάλη τέχνη”, μια πραγματεία στην Άλγεβρα που δημοσιεύτηκε το 1545, παρουσιάζεται ο τύπος με τη βοήθεια του οποίου υπολογίζονται οι ρίζες των κυβικών εξισώσεων.

Ακριβέστερα, ο τύπος με τη βοήθεια του οποίου, αργότερα, θα μπορούσαν να υπολογιστούν οι ρίζες των κυβικών εξισώσεων. Διότι, τουλάχιστον, έτσι όπως αρχικά χρησιμοποιούταν, ήταν δυνατόν να υπολογιστούν μόνο οι ρίζες εξισώσεων όπου οι συντελεστές τους ικανοποιούσαν μια συγκεκριμένη συνθήκη. Ο ίδιος ο Καρντάνο είχε διερευνήσει γενικότερα το πρόβλημα έχοντας επικοινωνήσει, σχετικά, με τον Ταρτάλια. Παρότι έκανε βήματα προς τη σωστή κατεύθυνση, εντούτοις, ελλείψει απτών αποτελεσμάτων, χαρακτήρισε τη μέθοδό του “περισσότερο δεξιοτεχνική, παρά χρήσιμη”. Έτσι, αναγκάστηκε να παραδεχτεί αυτήν την “αδυναμία”, παραπέμποντας, μάλιστα, στις γεωμετρικές τεχνικές του παρελθόντος για μια πληρέστερη αντιμετώπιση του όλου προβλήματος.

Ο Ραφαήλ Μπομπέλι (1526 – 1572), ανίχνευσε με μεγαλύτερη “νηφαλιότητα” και “χωρίς αναστολές” τα “σκοτεινά” σημεία στο έργο του Καρντάνο. Τη χρονιά του θανάτου του, εκδίδεται το βιβλίο του “Άλγεβρα”, στο οποίο ο Μπομπέλι “αποδέχεται” ποσότητες, εκτός του μαθηματικού πλαισίου της εποχής, διευρύνοντας το πεδίο εφαρμογής των τύπων επίλυσης των κυβικών εξισώσεων.

Μέσα από τις διάφορες φάσεις της, με σύγχρονο συμβολισμό και λίγη … “φαντασία”, η ιστορία είχε ως εξής.

 

Η ταυτότητα,

    \[ \left( \alpha -\beta \right) ^{3}=\alpha ^{3}-3\alpha ^{2}\beta +3\alpha \beta ^{2}-\beta ^{3}, \]

η οποία γράφεται,

    \[ \left( \alpha -\beta \right) ^{3}+3\alpha\beta\left(\alpha -\beta\right)=\alpha ^{3}-\beta ^{3}, \]

υποδεικνύει, για την (1), αναζήτηση λύσης της μορφής, x=\alpha-\beta, με \alpha,\,\beta\in \mathbb{R}, όπου,

    \begin{equation*} \left\{\begin{aligned} 3\alpha\beta&=m\\ \alpha^{3}-\beta^{3}&=n \end{aligned} \right.. \end{equation}

Διαδοχικά,

    \begin{equation*} \left\{\begin{aligned} 3\alpha\beta&=m\\ \alpha^{3}-\beta^{3}&=n \end{aligned} \right. \Leftrightarrow\left\{\begin{aligned} \beta&=\dfrac{m}{3\alpha }\\ \alpha^{3}-\left( \dfrac{m}{3\alpha }\right) ^{3}&=n \end{aligned} \right. \Leftrightarrow\left\{\begin{aligned} \beta&=\dfrac{m}{3\alpha }\\ \left(\alpha^{3}\right)^2-\left(\dfrac{m}{3 }\right)^{3}&=n\alpha^{3} \end{aligned} \right., \end{equation*}

οπότε, προκύπτει το σύστημα,

    \begin{equation*} (\Sigma):\,\,\,\,\,\,\,\,\left\{\begin{aligned} \beta&=\dfrac{m}{3\alpha}\\ \left( \alpha ^{3}\right) ^{2}-n\alpha ^{3}-\left( \dfrac{m}{3}\right) ^{3}&=0 \end{aligned} \right.. \end{equation*}

Η δεύτερη εξίσωση του (Σ) είναι δεύτερου βαθμού ως προς \alpha ^{3} και έχει διακρίνουσα,

    \begin{equation*} \begin{aligned} \Delta&=n^2+4\left(\dfrac{m}{3}\right)^3\\ &= 4\left(\left(\dfrac{n}{2}\right)^2+\left(\dfrac{m}{3}\right)^3\right). \end{aligned} \end{equation*}

Έστω,

    \[ D=\left(\dfrac{n}{2}\right)^2+\left(\dfrac{m}{3}\right)^3. \]

Περίπτωση Ι)

    \[ D>0. \]

Από τη δεύτερη εξίσωση του (Σ), έπεται ότι,

    \[ \alpha^3=\frac{n\pm2\sqrt{D}}{2}=\dfrac{n}{2}\pm\sqrt{D}. \]

Οπότε, μια δυνατή επιλογή για το \alpha είναι,

    \[ \alpha _{1}=\root{3}\of{\frac{n}{2}+\sqrt{D}}. \]

Η αντίστοιχη επιλογή για το \beta είναι,

    \[ \beta _{1}=\root{3}\of{-\frac{n}{2}+\sqrt{D}}. \]

Επομένως, μια ρίζα της εξίσωσης είναι, x_{1}&=\alpha_{1}-\beta_{1}, δηλαδή,

(2)   \begin{equation*} x_{1}=\root{3}\of{\frac{n}{2}+\sqrt{D}}-\root{3}\of{-\frac{n}{2}+\sqrt{D}}. \end{equation*}

Με τη βοήθεια αυτής της λύσης, η (1) μετασχηματίζεται ως εξής,

    \[ x^3+mx=n \]

    \[ x^3+3\alpha_{1}\beta_{1}x=\alpha_{1}^{3}-\beta_{1}^{3} \]

    \[ x^{3}+3\alpha _{1}\beta _{1}x-\left( \alpha _{1}^{3}-\beta _{1}^{3}\right) =0 \]

    \[ x^{3}+3\alpha _{1}\beta _{1}x-\left( \alpha _{1}-\beta _{1}\right) \left( \alpha _{1}^{2}+\alpha _{1}\beta _{1}+\beta _{1}^{2}\right) =0 \]

    \[ x^{3}+3\alpha _{1}\beta _{1}x-\left( \alpha _{1}^{2}+\alpha _{1}\beta _{1}+\beta _{1}^{2}\right) x+\left\big( x-\left( \alpha _{1}-\beta _{1}\right)\right\big) \left( \alpha _{1}^{2}+\alpha _{1}\beta _{1}+\beta _{1}^{2}\right) =0 \]

    \[ x\big( x-\left( \alpha _{1}-\beta _{1}\right)\big) \left\big( x+\left( \alpha _{1}-\beta _{1}\right)\right\big) +\left\big( x-\left( \alpha _{1}-\beta _{1}\right)\right\big) \left( \alpha _{1}^{2}+\alpha _{1}\beta _{1}+\beta _{1}^{2}\right) =0, \]

συνεπώς, γράφεται, τελικά,

(3)   \begin{equation*} \left\big( x-\left( \alpha _{1}-\beta _{1}\right)\right\big) \left\big( x^{2}+\left( \alpha _{1}-\beta _{1}\right) x+\alpha _{1}^{2}+\alpha _{1}\beta _{1}+\beta _{1}^{2}\right\big) =0 \end{equation*}

Το τριώνυμο,

    \[ x^{2}+\left( \alpha _{1}-\beta _{1}\right) x+\alpha _{1}^{2}+\alpha _{1}\beta _{1}+\beta _{1}^{2}, \]

έχει διακρίνουσα,

    \[ \Delta'=-3(\alpha_{1}+\beta_{1})^{2}, \]

η οποία έχει αρνητικό πρόσημο διότι,

    \[ \Delta'=0\Leftrightarrow\alpha _{1}=-\beta _{1}\Leftrightarrow D=0. \]

Επομένως, η x_{1} είναι η μοναδική πραγματική λύση της (1).

Έπειτα, κάτι φαινομενικά περιττό:

Θα εκφραστούν τα \alpha_{1},\,\beta_{1} με τη βοήθεια της x_{1}.

Για το σκοπό αυτό, παρατηρούμε ότι,

    \begin{equation*} \left\{\begin{aligned} \alpha_{1}+(-\beta_{1})&=x_{1}\\ \alpha_{1}\cdot(-\beta_{1})&=-\frac{m}{3} \end{aligned} \right., \end{equation*}

που σημαίνει ότι τα \alpha_{1},\,-\beta_{1} είναι οι ρίζες της εξίσωσης,

    \[ y^2-x_{1}y-\frac{m}{3}=0. \]

Άρα,

(4)   \begin{equation*} \begin{aligned} \alpha_{1}&=\dfrac{x_{1}+\sqrt{x_{1}^{2}+\dfrac{4}{3}m}}{2}=\dfrac{x_{1}}{2}+\sqrt{\left(\dfrac{x_{1}}{2}\right)^{2}+\dfrac{m}{3}}}\\ \beta_{1}&=\dfrac{-x_{1}+\sqrt{x_{1}^{2}+\dfrac{4}{3}m}}{2}=\dfrac{-x_{1}}{2}+\sqrt{\left(\dfrac{x_{1}}{2}\right)^{2}+\dfrac{m}{3}}}. \end{aligned} \end{equation*}

Παρατήρηση 1 Από τις εκφράσεις (4), έπεται ότι το \beta_{1} είναι ο αντίθετος του συζυγή του \alpha_{1}.

 

Στα επόμενα, θα φανεί η σημασία της τελευταίας παρατήρησης.

Παράδειγμα 1 Για την εξίσωση, x^3-9x=28, είναι, m=-9,\,n=28, συνεπώς,

    \[ D =\left(\dfrac{28}{2}\right)^2+\left(\dfrac{-9}{3}\right)^3=196-27=169>0, \]

οπότε, έχει μοναδική πραγματική λύση,

    \[ x_{1}=\alpha_{1}-\beta_{1}=\root{3}\of{\frac{28}{2}+\sqrt{169}}-\root{3}\of{-\frac{28}{2}+\sqrt{169}}=\root{3}\of{27}-\root{3}\of{-1}=3-(-1)=4. \]

Από την άλλη μεριά, βάσει της λύσης x_{1}, χρησιμοποιώντας τους τύπους (4),

 

    \begin{equation*} \begin{aligned} \alpha_{1}&=\dfrac{4}{2}+\sqrt{\left(\dfrac{4}{2}\right)^{2}+\dfrac{-9}{3}}}=2+\sqrt{1}\\ \beta_{1}&=-\dfrac{4}{2}+\sqrt{\left(\dfrac{4}{2}\right)^{2}+\dfrac{-9}{3}}}=-2+\sqrt{1}. \end{aligned} \end{equation*}

Οι παραπάνω εναλλακτικές εκφράσεις για τα \alpha_{1},\beta_{1}, στο προηγούμενο παράδειγμα, δεν προσθέτουν, φυσικά, τίποτα καινούριο στην επίλυση της συγκεκριμένης εξίσωσης. Ωστόσο, με την ένταξή τους, μπορεί κανείς να είναι περισσότερο υποψιασμένος για τα όσα ακολουθούν.

Περίπτωση ΙΙ)

    \[ D\leq 0. \]

Για την ώρα, η ειδική περίπτωση της εξίσωσης,

(5)   \begin{equation*} \begin{aligned} x^3-15x=4, \end{aligned} \end{equation*}

για την οποία είναι, m=-15,\,n=4, οπότε,

    \[ D=\left(\dfrac{4}{2}\right)^2+\left(\dfrac{-15}{3}\right)^3=4-125=-121<0. \]

Σύμφωνα με την ανάλυση που έγινε στην Περίπτωση Ι, γίνεται φανερό ότι δεν υπάρχει λύση x της μορφής x=\alpha-\beta, με \alpha,\,\beta\in \mathbb{R}, τέτοια, ώστε,

    \begin{equation*} \left\{\begin{aligned} 3\alpha\beta&=m\\ \alpha^{3}-\beta^{3}&=n \end{aligned} \right.. \end{equation}

Από την άλλη μεριά, η εξίσωση έχει προφανή λύση τη x_{1}=4. Έτσι, παραγοντοποιώντας, γράφεται, ισοδύναμα,

(6)   \begin{equation*} (x-4)(x^2+4x+1)=0. \end{equation*}

Συνεπώς, οι ρίζες της είναι,

    \[x_{1}=4,\,\,\,\,x_{2}=-2+\sqrt{3},\,\,\,\,x_{3}=-2-\sqrt{3}.\]

Επομένως, η (6) έχει τρεις πραγματικές ρίζες.

Επιπλέον, σ’ αυτήν την περίπτωση, οι τύποι (4) δεν ισχύουν, ωστόσο, αν τα “εξαγόμενά τους”,

    \begin{equation*} \begin{aligned} \alpha_{1}&=\dfrac{4}{2}+\sqrt{\left(\dfrac{4}{2}\right)^{2}+\dfrac{-15}{3}}}=2+\sqrt{-1}\\ \beta_{1}&=-\dfrac{4}{2}+\sqrt{\left(\dfrac{4}{2}\right)^{2}+\dfrac{-15}{3}}}=-2+\sqrt{-1}, \end{aligned} \end{equation*}

για τη λύση x_{1}, μπορούσαν να ενσωματωθούν στην “οικογένεια” των αριθμών, εμπλουτίζοντάς την, με τέτοιο τρόπο, έτσι, ώστε, να “υπακούν” στους “νόμους” των πράξεων, τότε η (6) θα ήταν, πάλι, της μορφής (3). Πράγματι,

    \begin{equation*} \begin{aligned} \alpha _{1}-\beta _{1}&=\left(2+\sqrt{-1}\right)-\left(-2+\sqrt{-1}\right)=2-(-2)+{\sqrt{-1}}-\sqrt{-1}=4\\ \alpha _{1}^{2}+\alpha _{1}\beta _{1}+\beta _{1}^{2}\right&=\left(2+\sqrt{-1}\right)^2+\left(2+\sqrt{-1}\right)\left(-2+\sqrt{-1}\right)+\left(-2+\sqrt{-1}\right)^2\\ &=2^2+2\cdot2\sqrt{-1}+\sqrt{-1}^2+\sqrt{-1}^2-2^2+(-2)^2-2\cdot2\sqrt{-1}\\ &+\sqrt{-1}^2\\ &=4+4\cdot\2\sqrt{-1}+(-1)+(-1)-4+4-4\cdot\2\sqrt{-1}+(-1)\\ &=1 \end{aligned} \end{equation*}

Βέβαια, έστω και μ’ αυτήν την υπέρβαση, παραμένει ανοικτό το πρόβλημα εύρεσης των \alpha_{1},\,\beta_{1} μιας και υπολογίστηκαν με τη βοήθεια της λύσης x_{1} της (5). Φυσικά, δε μπορεί να θεωρείται γνωστή, εκ των προτέρων, μια λύση για την τριτοβάθμια εξίσωση που επιλύεται.

 

Αψηφώντας, για δεύτερη φορά, βασική ιδιότητα της διάταξης των πραγματικών αριθμών, επιστρατεύεται ο τύπος (2), με την προσδοκία άμεσου υπολογισμού ρίζας για την εξίσωση (5). Έτσι,

    \begin{equation*} \begin{aligned} x_{1}&=\alpha _{1}-\beta _{1}\\ &=\root{3}\of{\frac{4}{2}+\sqrt{-121}}-\root{3}\of{-\frac{4}{2}+\sqrt{-121}}\\ &=\root{3}\of{2+\sqrt{-121}}-\root{3}\of{-2+\sqrt{-121}}\\ &=\root{3}\of{2+11\sqrt{-1}}-\root{3}\of{-2+11\sqrt{-1}}. \end{aligned} \end{equation*}

Τώρα, εφαρμόζοντας τις ιδιότητες των πράξεων, όπως στην περίπτωση των πραγματικών αριθμών, έπεται ότι,

    \begin{equation*} \begin{aligned} \left(2+\sqrt{-1}\right)^3&=2+11\sqrt{-1}\\ \left(-2+\sqrt{-1}\right)^3&=-2+11\sqrt{-1},\\ \end{aligned} \end{equation*}

που σημαίνει ότι,

    \begin{equation*} \begin{aligned} x_{1}&=2+\sqrt{-1}-\left(-2+\sqrt{-1}\right)\\ &=2-(-2)+\sqrt{-1}-\sqrt{-1}\\ &=4. \end{aligned} \end{equation*}

Ίσως ο υπολογισμός της x_{1} να είναι, πάλι, έμμεσος, όμως, αναδεικνύεται, ξανά, το ενδεχόμενο αξιοποίησης αυτών των “φανταστικών” εκφράσεων.

Για άλλη μια φορά οι Μαθηματικοί βρέθηκαν μπροστά σ’ ένα δίλλημα. Να αποδεχτούν, κατ’ αρχήν, αυτές τις εκφράσεις, από τη στιγμή που διαφαινόταν η συνεισφορά τους στο γενικό πρόβλημα της επίλυσης της τριτοβάθμιας εξίσωσης, ή να τις απορρίψουν διότι, μέχρι τότε, στερούνταν νοήματος και, στη συνέχεια, να στραφούν σε άλλες στρατηγικές για την επίλυσή του.

Επέλεξαν αυτό που ίσως, αρχικά, έμοιαζε αδιανόητο. Η πρόκληση ήταν σίγουρα σπουδαία μα το εγχείρημα καθόλου εύκολο. Έπρεπε να θεμελιωθεί ένα υπερσύνολο των πραγματικών αριθμών το οποίο να έχει ένα στοιχείο, έστω i, επιφορτισμένο να αναλάβει το ρόλο που είχε η έκφραση \sqrt{-1} παραπάνω. Επιπλέον, να έχει τις ίδιες πράξεις με το \mathbb{R} και τις ίδιες ιδιότητες των πράξεων. Τα στοιχεία του, ως αποτέλεσμα των “προσμίξεών” του με τους πραγματικούς αριθμούς, έπρεπε να έχουν τη μορφή,

    \[ \alpha+\beta\cdot i,\,\,\,\,\alpha,\beta\in \mathbb{R}, \]

όπου i ^2=-1.

Άραγε, οι αριθμοί, εκτός από το να «αριθμούν», θα μπορούσαν, απλά, να υπόκεινται στις ιδιότητες που απορρέουν από τις αριθμητικές πράξεις;

Όταν ο αρχικός σκεπτικισμός ξεπεράστηκε, δίνοντας τη θέση του σε μια κριτική αναθεώρηση των ορισμών των διάφορων συνόλων των αριθμών, άρχισε να συγκροτείται το σύνολο \mathbb{C} των μιγαδικών. Προτεραιότητα δεν αποτέλεσε τόσο η φυσική ερμηνεία των στοιχείων του, όπως αυτά περιγράφηκαν παραπάνω, όσο η συνεπής μεταφορά, κατά τη δόμηση του νέου συνόλου, των πράξεων των πραγματικών και η ταυτόχρονη απελευθέρωση από τα δεσμά που επέβαλλε η διάταξη.

Αναφορές

  1. Eves H., Great moments in Mathematics Before 1650, Mathematical Association Of America, 1983.
  2. Henderson D.W., Geometric Solutions of quadratic and Cubic Equations, Department of Mathematics, Cornell University.
  3. O’Connor J. J. and Robertson E. F., Quadratic, Cubic and quartic equations, School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland , 1996.

Διαβάστε περισσότερα

Εξισώσεις τρίτου βαθμού: Μέρος Β’

1

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Για τη Β΄ Λυκείου, Μαθηματικά Θετικών Σπουδών Β΄ Λυκείου | , στις 26-08-2012

“Ποιητικές” … Τομές

Οι αρχαίοι Έλληνες, στην προσπάθειά τους να επιλύσουν το Δήλιο πρόβλημα, ανακάλυψαν μεθόδους, έτσι, ώστε να κατασκευάζουν δύο μέσους αναλόγους μεταξύ δύο τμημάτων.

Οι δύο μέσοι ανάλογοι παρίσταναν τις ακμές δύο κύβων, όπου ο πρώτος έχει όγκο ίσο με το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, που έχει βάση τετράγωνο πλευράς όσο το πρώτο τμήμα και ύψος όσο το δεύτερο τμήμα, ενώ ο δεύτερος έχει όγκο ίσο με το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, που έχει βάση τετράγωνο πλευράς όσο το δεύτερο τμήμα και ύψος όσο το πρώτο τμήμα.

Με σύγχρονη ορολογία, αυτό σημαίνει ότι, αν \alpha και \beta είναι δεδομένα τμήματα, τότε, μπορούσαν να κατασκευαστούν, όχι, όμως, με χρήση, αποκλειστικά, κανόνα και διαβήτη, \kappa, \lambda, τέτοια, ώστε,

    \[\dfrac{\alpha }{\kappa}=\dfrac{\kappa}{\lambda}=\dfrac{\lambda}{\beta },\]

απ’ όπου έπεται ότι,

    \[\kappa^{3}=\alpha ^{2}\beta\,\,\,\,\kappa\alpha\iota\,\,\,\,\lambda^{3}=\alpha \beta ^{2}.\]

Όπως απέδειξε ο Μέναιχμος, θα μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν, για τον σκοπό αυτό, μια παραβολή και μια υπερβολή ή, εναλλακτικά, δύο παραβολές. Να αλληλεπιδράσετε με το ακόλουθο γραφικό,

Finding_Two_Mean_Proportionals_Menaechmus'_Method

για να δείτε τον τρόπο του Μέναιχμου για την κατασκευή των \kappa, \lambda, με χρήση της τομής δύο παραβολών. Όπως θα διαπιστώσετε, αρκεί η γεωμετρική κατασκευή του μέσου αναλόγου δύο τμημάτων για τον σχεδιασμό των παραβολών.

Ο Πέρσης φιλόσοφος, μαθηματικός, αστρονόμος και ποιητής Ομάρ Καγιάμ (1048 – 1131), αναγνώρισε, στις μεθόδους του Μέναιχμου, τη στρατηγική με την οποία θα μπορούσαν να αξιοποιηθούν, γενικότερα, οι κωνικές τομές στην επίλυση εξισώσεων τρίτου βαθμού. Στο βιβλίο του «Πραγματεία στην Απόδειξη Προβλημάτων Άλγεβρας», επιλύονται 19 τύποι εξισώσεων τρίτου βαθμού, με τρόπους που προϊκονομούν τη γέννηση της Αναλυτικής Γεωμετρίας.

Ακολουθεί μια αντιπροσωπευτική επιλογή ορισμένων από τους τύπους των εξισώσεων, που επιλύονται στο βιβλίο του, καθώς και των αντίστοιχων μεθόδων επίλυσής τους. Παράλληλα, θα αναδειχθεί η διαδικασία με την οποία θα μπορούσε να αντιμετωπιστεί μια οποιαδήποτε τριτοβάθμια εξίσωση. Προς τούτο, επιστρατεύονται, από τη σύγχρονη Άλγεβρα, ο τωρινός συμβολισμός, η χρήση του 0 και των αρνητικών αριθμών, όπως, επίσης, ορισμένες στοιχειώδης, πλέον, ιδιότητες των πράξεων.

Αρχικά, ας θεωρηθεί η απλούστερη δυνατή μορφή εξίσωσης τρίτου βαθμού, δηλαδή, μια εξίσωση της μορφής,

    \[x^{3}=\beta,\,\,\,\,\beta>0.\]

“Αναζήτηση ενός κύβου ίσου μ’ έναν αριθμό”, όπως θα έγραφε ο Πέρσης μαθηματικός.

“Ανάγκη συσχέτισης του αριθμού μ’ ένα (τρισδιάστατο) σχήμα”, όπως θα μηχανευόταν ο Πέρσης φιλόσοφος.

Η παραπάνω εξίσωση γράφεται,

    \[x^{3}=1^{2}\beta }.\]

Έτσι, από γεωμετρική σκοπιά, αυτό που αναζητείται ισούται με την ακμή ενός κύβου με όγκο όσο ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο με βάση τετράγωνο πλευράς 1 και ύψος \beta. Με άλλα λόγια, το x δεν είναι τίποτε άλλο, παρά ο πρώτος από τους δύο μέσους αναλόγους που μπορούν να κατασκευαστούν μεταξύ των τμημάτων 1 και \beta. Εφαρμογή των μεθόδων των Ελλήνων, λοιπόν. Ιδιαίτερα, αυτών του Μέναιχμου.

Συνέχεια με την εξίσωση,

    \[x^{3}+\alpha x=\beta, \,\,\,\,\alpha,\beta >0.\]

Όπως θα έγραφε ο Ομάρ Καγιάμ, “ένας κύβος και πλευρές ίσες με έναν αριθμό”.

Η εξίσωση γίνεται,

    \[x^{3}=-\alpha x+\beta .\]

Συνεπακόλουθα, θα ήταν χρήσιμο το β΄ μέλος της εξίσωσης να μετατραπεί, έτσι, ώστε, κατά απόλυτη τιμή, τουλάχιστον, να παριστάνει τον όγκο ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου τετραγωνικής βάσης.

Πράγματι, ο Ομάρ Καγιάμ θεώρησε ένα τετράγωνο εμβαδού \alpha και ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο με βάση το προηγούμενο τετράγωνο και όγκο \beta. Οπότε, συμβολίζοντας με AB την πλευρά του τετραγώνου και με B\it{\Gamma} το ύψος του παραλληλεπιπέδου, η εξίσωση μετασχηματίζεται ως εξής,

    \[x^{3}=-AB^{2} x+AB^{2}B\it{\Gamma} ,\]

δηλαδή,

    \[x^{3}=AB^{2}(B\it{\Gamma} -x).\]

Μ’ αυτόν τον τρόπο, η επίλυσή της ανάγεται στην αναζήτηση x,y, τέτοιων, ώστε,

    \[\dfrac{AB }{x}=\dfrac{x}{y}=\dfrac{y}{B\it{\Gamma} -x}.\]

Τελικά, το x μπορεί να προσδιορίστεί ως τετμημένη του σημείου τομής της παραβολής,

    \[\dfrac{AB }{x}=\dfrac{x}{y},\]

με τον κύκλο,

    \[\dfrac{x}{y}=\dfrac{y}{B\it{\Gamma} -x}.\]

Βασικές γνώσεις Αναλυτικής Γεωμετρίας επαρκούν, έτσι, ώστε να επαληθευτεί ότι οι προηγούμενες εξισώσεις παριστάνουν τις συγκεκριμένες κωνικές τομές. Βέβαια, οι γνώσεις αυτές δεν υπήρχαν την εποχή του Ομάρ Καγιάμ, ωστόσο, τα x, y, που εμφανίζονται σε καθεμία από τις παραπάνω αναλογίες, μπορούσαν, επεκτείνοντας τις μεθόδους του Μέναιχμου, να απεικονιστούν χάρη στη γνωστή κατασκευή του μέσου αναλόγου δύο τμημάτων. Από την ισότητα,

    \[\dfrac{AB }{x}=\dfrac{x}{y},\]

προκύπτει ότι το x είναι το μέσο ανάλογο των AB,\,y και από την ισότητα,

    \[\dfrac{x}{y}=\dfrac{y}{B\it{\Gamma} -x},\]

ότι το y είναι το μέσο ανάλογο των x,\,B\it{\Gamma} -x.

Ο Πέρσης μαθηματικός θεώρησε, για την πρώτη ισότητα, μεταβλητό το y και κατασκεύαζε, με τη βοήθειά του, κάθε φορά, το x, ενώ, ενήργησε αντίστροφα για τη δεύτερη ισότητα. Με τη βοήθεια του ακόλουθου γραφικού, με το οποίο μπορείτε να αλληλεπιδράσετε, μπορεί να γίνει αντιληπτό πως ακριβώς σχηματίζονται οι παραπάνω κωνικές τομές.

Cubic_Equations_Omar Khayyam's_Method_01

Αντίστοιχα, η εξίσωση,

    \[x^{3}+\beta=\alpha x, \,\,\,\,\alpha,\beta >0,\]

γράφεται,

    \[x^{3}=\alpha x -\beta,\]

ή, αν AB, B\it{\Gamma}, όπως παραπάνω,

    \[x^{3}=AB^{2}(x -B\it{\Gamma}),\]

οπότε, αναζητούνται x,y, τέτοια, ώστε,

    \[\dfrac{AB }{x}=\dfrac{x}{y}=\dfrac{y}{x-B\it{\Gamma} }.\]

Άρα, το x είναι η τετμημένη του σημείου τομής της παραβολής,

    \[\dfrac{AB }{x}=\dfrac{x}{y},\]

με την υπερβολή,

    \[\dfrac{x}{y}=\dfrac{y}{x-B\it{\Gamma}}.\]

Κι εδώ, η επαλήθευση μπορεί να γίνει με χρήση μεθόδων της Αναλυτικής Γεωμετρίας ή με τη βοήθεια του ακόλουθου γραφικού,

Cubic_Equations_Omar Khayyam's_Method_02

το οποίο, όπως προηγουμένως, αξιοποιεί, με δυναμικό τρόπο, τη γεωμετρική κατασκευή του μέσου αναλόγου δύο τμημάτων, καθώς αυτά μεταβάλλονται. Προφανώς, ο δεύτερος τρόπος προσιδιάζει, καλύτερα, στην προσέγγιση του Ομάρ Καγιάμ.

Είναι δυνατό, συνθέτοντας τις διάφορες, κατά περίπτωση, μεθόδους του Ομάρ Καγιάμ, να επιλυθεί, γενικότερα, μια οποιαδήποτε εξίσωση τρίτου βαθμού της μορφής,

    \[ x^{3}=\alpha x+\beta,\,\,\,\,\alpha,\beta \in \mathbb{R}.\]

Για να κατανοήσετε, καλύτερα, τον τρόπο, μπορείτε να αλληλεπιδράσετε με το ακόλουθο γραφικό.

Cubic_Equations_Omar Khayyam's_Generalized_Method

Τέλος, η γενική μορφή εξίσωσης τρίτου βαθμού,

    \[\alpha x^{3}+\beta x^{2}+\gamma x+\delta =0,\,\,\,\,\alpha\neq0, \]

μπορεί να μετασχηματιστεί στην προηγούμενη μορφή, συμπληρώνοντας το α΄ μέλος της σε τέλειο κύβο. Πραγματικά, διαδοχικά, ισχύει,

    \[\alpha x^{3}+\beta x^{2}+\gamma x+\delta =0 \]

    \[x^{3}+\dfrac{\beta }{\alpha }x^{2}+\dfrac{\gamma }{\alpha }x+\dfrac{\delta }{\alpha }=0\]

    \[x^{3}+3\dfrac{\beta }{3\alpha }x^{2}+3\left( \dfrac{\beta }{3\alpha }\right) ^{2}x+\left( \dfrac{\gamma }{\alpha }-3\left( \dfrac{\beta }{3\alpha }\right) ^{2}\right) x+\dfrac{\delta }{\alpha }=0\]

    \[x^{3}+3\dfrac{\beta }{3\alpha }x^{2}+3\left( \dfrac{\beta }{3\alpha }\right) ^{2}x+\left( \dfrac{\beta }{3\alpha }\right) ^{3}+\left( \dfrac{\gamma }{\alpha }-3\left( \dfrac{\beta }{3\alpha }\right) ^{2}\right) x+\dfrac{\delta }{\alpha }-\left( \dfrac{\beta }{3\alpha }\right) ^{3}=0\]

    \[\left( x+\dfrac{\beta }{3\alpha }\right) ^{3}=\left( 3\left( \dfrac{\beta }{3\alpha }\right) ^{2}-\dfrac{\gamma }{\alpha }\right) x+\left( \dfrac{\beta }{3\alpha }\right) ^{3}-\dfrac{\delta }{\alpha }\]

    \[\left( x+\dfrac{\beta }{3\alpha }\right) ^{3}=\dfrac{\beta ^{2}-3\alpha \gamma }{3\alpha ^{2}} x+\dfrac{\beta ^{3}-27\delta \alpha ^{2}}{27\alpha ^{3}}\]

    \[\left( x+\dfrac{\beta }{3\alpha }\right) ^{3}=\dfrac{\beta ^{2}-3\alpha \gamma }{3\alpha ^{2}} \left( x+\dfrac{\beta }{3\alpha }\right) +\dfrac{\beta ^{3}-27\delta \alpha ^{2}}{27\alpha ^{3}}-\dfrac{\beta }{3\alpha }\dfrac{\beta ^{2}-3\alpha \gamma }{3\alpha ^{2}}\]

    \[\left( x+\dfrac{\beta }{3\alpha }\right) ^{3}=\dfrac{\beta ^{2}-3\alpha \gamma }{3\alpha ^{2}}\left( x+\dfrac{\beta }{3\alpha }\right) +\dfrac{-2\beta ^{3}-27\delta \alpha ^{2}+9\alpha \beta \gamma }{27\alpha ^{3}}.\]

Η τελευταία εξίσωση είναι της μορφής,

    \[y^{3}=\alpha ^{\prime }y+\beta ^{\prime },\]

όπου,

    \[y=x+\dfrac{\beta }{3\alpha },\,\,\,\,\alpha ^{\prime }=\dfrac{\beta ^{2}-3\alpha \gamma }{3\alpha ^{2}},\,\,\,\,\beta ^{\prime }=\dfrac{-2\beta ^{3}-27\delta \alpha ^{2}+9\alpha \beta \gamma }{27\alpha ^{3}}.\]

Όμως, η Άλγεβρα δε θα περιοριζόταν σε βοηθητικό ρόλο για πάρα πολύ ακόμη. Μέσα στο εννοιολογικό της πλαίσιο, θα τεθεί το πρόβλημα της εύρεσης τύπων που να επιλύουν μια οποιαδήποτε τριτοβάθμια εξίσωση και οι μέθοδοί της θα οδηγήσουν τις εξελίξεις.

Έτσι, το 1500, περίπου, στην Ιταλία, εγκαινιάζεται μία νέα φάση στο πρόβλημα με συναρπαστικές και αναπάντεχες προεκτάσεις για την Άλγεβρα και τα Μαθηματικά γενικότερα.

Αναφορές

  1. Henderson D.W., Geometric Solutions of quadratic and Cubic Equations, Department of Mathematics, Cornell University.
  2. O’Connor J. J. and Robertson E. F., Doubling the cube, School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland , 1999.

Διαβάστε περισσότερα

Εξισώσεις τρίτου βαθμού: Μέρος Α΄

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Γεωμετρία Β΄ Λυκείου, Για τη Β΄ Λυκείου, Μαθηματικά Θετικών Σπουδών Β΄ Λυκείου | , στις 23-08-2012

Η “εξίσωση” ενός χρησμού

Η αρχή της ιστορίας των εξισώσεων τρίτου βαθμού βρίσκεται στην καρδιά ενός φημισμένου προβλήματος των αρχαίων ελληνικών μαθηματικών.

Το Δήλιο πρόβλημα, ή, αλλιώς, ο “διπλασιασμός” του κύβου, δηλαδή, η κατασκευή ενός κύβου με διπλάσιο όγκο από ένα δεδομένο κύβο, ήταν ένα γεωμετρικό πρόβλημα με, κάπως, ασαφή και μυστηριώδη προέλευση. Σύμφωνα με την εκδοχή που έδωσε ο μαθηματικός, φιλόσοφος και σχολιαστής των αρχαίων ελληνικών μαθηματικών Θέων ο Σμυρναίος (τέλος 1ου – αρχές 2ου αιώνα μ.Χ.), τέθηκε διά μέσου ενός χρησμού.

Το 430 π.Χ., περίπου, ο θεός Απόλλωνας διαμηνούσε στους κατοίκους της Δήλου, σύμφωνα με τον χρησμό, ότι για να απαλλαγούν από τον λοιμό, που μάστιζε την πόλη τους, θα έπρεπε να “διπλασιάσουν” τον κυβικό βωμό του στο νησί.

Οι κάτοικοι, λόγω των δυσκολιών που συνάντησαν στην προσπάθειά τους να ικανοποιήσουν το αίτημα του θεού, ζήτησαν τη βοήθεια του Πλάτωνα. Ο Πλάτωνας τούς επισήμανε ότι ο θεός ήθελε, περισσότερο από το να “διπλασιαστεί” ο βωμός του ναού του, να τους δώσει, μ’ αυτόν τον τρόπο, ένα μάθημα για την παραμέληση των Μαθηματικών και, ιδιαίτερα, για την περιφρόνηση της Γεωμετρίας.

Ωστόσο, είναι πιθανό το πρόβλημα να ήταν γνωστό νωρίτερα. Για την επίλυσή του, αρκεί, φυσικά, να κατασκευαζόταν η ακμή του ζητούμενου κύβου, δηλαδή, με σημερινό συμβολισμό, η λύση της τριτοβάθμιας εξίσωσης,

    \[x^3=2\alpha^3,\]

όπου \alpha παριστάνει την ακμή του δεδομένου κύβου.

Όμως, η παραπάνω αλγεβρική έκφραση του προβλήματος είναι μεταγενέστερη. Οι προσπάθειες επίλυσής του, από τους αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς, πραγματοποιήθηκαν μέσα στο γεωμετρικό πλαίσιο της εποχής το οποίο, τελικά, εμπλούτισαν με νέες καμπύλες και ιδιοφυείς – ακόμη και τριών διαστάσεων – μηχανικές κατασκευές.

Αναζητήθηκε, επισταμένα, κατασκευή με κανόνα και διαβήτη, χωρίς, φυσικά, επιτυχία, αφού, όπως απέδειξε το 1837 ο Γάλλος μαθηματικός Pierre Wantzel, κάτι τέτοιο είναι αδύνατο.

Ο Ιπποκράτης ο Χίος (περίπου 470 – 410 π.Χ.) ανήγαγε το πρόβλημα στην εύρεση δύο μέσων αναλόγων μεταξύ του τμήματος της ακμής του δεδομένου κύβου και του διπλάσιου αυτού του τμήματος. Με σύγχρονη ορολογία, αυτό σημαίνει να βρεθούν \kappa, \lambda, τέτοια, ώστε,

    \[$\dfrac{\alpha }{\kappa}=\dfrac{\kappa}{\lambda}=\dfrac{\lambda}{2\alpha }.$\]

Το \kappa είναι η ζητούμενη ακμή, διότι, συνδυάζοντας, κατάλληλα, τις τελευταίες ισότητες, προκύπτει ότι,

    \[$\kappa^{3}=2\alpha^{3}.$\]

Δεν είναι σίγουρο τι οδήγησε τον Ιπποκράτη σ’ αυτήν τη διαπίστωση. Μοιάζει, όμως, λογικό να υποτεθεί ότι γνώριζε το πρόβλημα “διπλασιασμού” του τετραγώνου. Διότι ο “διπλασιαμός” του τετραγώνου ισοδυναμεί με το πρόβλημα εύρεσης του μέσου αναλόγου μεταξύ του τμήματος της πλευράς του τετραγώνου και του διπλάσιου αυτού του τμήματος. Παρεμπιπτόντως, το τετράγωνο με πλευρά τη διαγώνιο ενός δεδομένου τετραγώνου έχει διπλάσιο εμβαδό από το δεδομένο τετράγωνο.

Ακολουθεί μια προσπάθεια απόδοσης του συλλογισμού του Ιπποκράτη σε μια γλώσσα περισσότερο οικεία προς εκείνη την εποχή, μια γλώσσα γεωμετρική. Βέβαια, για λόγους συντομίας στην έκφραση και μόνο, διατηρούνται ορισμένοι αλγεβρικοί συμβολισμοί. Θεωρείται, επίσης, γνωστή η γεωμετρική κατασκευή του μέσου αναλόγου δύο ευθύγραμμων τμημάτων.

Το παραλληλεπίδο που σχηματίζουν δύο κύβοι ίσοι με τον δεδομένο κύβο, όταν τοποθετηθούν, έτσι, ώστε να ταυτίζονται δύο έδρες τους, έχει όγκο ίσο με τον όγκο κάθε παραλληλεπιπέδου το οποίο έχει εμβαδόν βάσης 2\alpha^{2} και ύψος \alpha.

Στο παρακάτω γραφικό,

Menaichmos1

με το οποίο μπορείτε να αλληλεπιδράσετε, παριστάνεται μια “οικογένεια” ορθογώνιων παραλληλεπιπέδων, με ύψη \alpha, όπου οι διαστάσεις των βάσεών τους \kappa και \lambda μεταβάλλονται, ώστε το γινόμενό τους να παραμένει σταθερό, ίσο με 2\alpha^{2}.

Συνεπώς, τα τμήματα \lambda και \alpha είναι ανάλογα προς τα τμήματα 2\alpha και \kappa. (Συνθήκη 1).

(Βάσει αυτής της συνθήκης, άλλωστε, με χρήση όμοιων τριγώνων, κατασκευάστηκε το παραπάνω δυναμικό σχήμα.)

Επίσης, καθεμία από τις δύο διαστάσεις μπορεί να πάρει οποιαδήποτε θετική τιμή, επιλέγοντας, κατάλληλα, κάποιο “μέλος” της οικογένειας.

Κατά κάποιον τρόπο, στο “κίτρινο” παραλληλεπίπεδο, έχουν “απελευθερωθεί” το μήκος και το πλάτος του “μπλε” παραλληλεπιπέδου, με μόνη δέσμευση αυτήν που απορρέει από τη Συνθήκη 1.

Αναλύοντας, λοιπόν, το πρόβλημα, ας υποτεθεί ότι η ζητούμενη ακμή, \beta, κατασκευάστηκε.

Doubling_cube2

Φυσικά, ο κύβος ακμής \beta θα έχει ίσο όγκο και με καθένα από τα μέλη της προηγούμενης οικογένειας.

Προφανώς, κάποιο απ’ αυτά τα παραλληλεπίπεδα έχει μήκος \beta. Αν \gamma συμβολίζει το πλάτος του, τότε, κάθε πλαϊνή έδρα του έχει εμβαδό όσο το τετράγωνο πλευράς \beta.

Doubling_cube1

Συνεπώς το \beta είναι μέσο ανάλογο των \alpha και \gamma.

Απαιτείται, λοιπόν, το \kappa να είναι μέσο ανάλογο των \alpha και \lambda. (Συνθήκη 2).

Εύκολα, αποδεικνύεται ότι το συμπέρασμα του Ιπποκράτη ισοδυναμεί με την ταυτόχρονη ισχύ των Συνθηκών 1 και 2.

Αλληλεπιδρώντας με το παρακάτω γραφικό,

Menaichmos2

μπορείτε να προσπαθήσετε να ικανοποιήσετε ταυτόχρονα τις δύο συνθήκες, συνθέτοντας τη λύση στο πρόβλημα του διπλασιασμού του κύβου.

Θα ανακαλύψετε τον έναν απ’ τους δύο τρόπους, που έδωσε ο Μέναιχμος (περίπου 380 π.Χ. – 320 π.Χ.), για την εύρεση των τιμών των \kappa και \lambda, χρησιμοποιώντας την τομή δύο νέων, για εκείνη την εποχή, καμπυλών: μιας παραβολής και μιας υπερβολής.

Ο Μέναιχμος έδωσε και δεύτερο τρόπο λύσης στο πρόβλημα, χρησιμοποιώντας, αυτή τη φορά, την τομή δύο παραβολών.

Πραγματικά, λόγω της Συνθήκης 1, τα τμήματα \lambda και \alpha είναι ανάλογα προς τα τμήματα 2\alpha και \kappa, ενώ, λόγω της Συνθήκης 2, τα τμήματα \alpha και \kappa είναι ανάλογα προς τα τμήματα \kappa και \lambda. Επομένως, τα τμήματα \lambda και \kappa είναι ανάλογα προς τα τμήματα 2\alpha και \lambda.

Αυτό σημαίνει ότι το \lambda είναι μέσο ανάλογο των 2\alpha και \kappa. (Συνθήκη 3.)

Ο δεύτερος τρόπος του Μέναιχμου συνθέτει τις Συνθήκες 2 και 3.

Menaichmos3

Άλλοι αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί, ανάμεσά τους ο Αρχύτας, ο Απολλώνιος, ο Διοκλής, ο Ερατοσθένης, ο Εύδοξος κι ο Νικομήδης, έδωσαν διαφορετικές λύσεις στο πρόβλημα. Όλες αυτές οι μέθοδοι οδηγούν, τροποντινά, στη γεωμετρική κατασκευή της λύσης μιας εξίσωσης τρίτου βαθμού.

Ας σημειωθεί, τέλος, ότι το πρόβλημα διερευνήθηκε και επιλύθηκε, από τους αρχαίους Έλληνες, σε μια γενικότερη μορφή, στην οποία, πάλι, αναζητούνταν δύο μέσοι ανάλογοι, όχι, όμως, μεταξύ ενός τμήματος και του διπλάσιου αυτού του τμήματος, αλλά μεταξύ δύο τμημάτων. Οι δύο μέσοι ανάλογοι παρίσταναν τις ακμές δύο κύβων, όπου ο πρώτος έχει όγκο ίσο με το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, που έχει βάση τετράγωνο πλευράς όσο το πρώτο τμήμα και ύψος όσο το δεύτερο τμήμα, ενώ ο δεύτερος έχει όγκο ίσο με το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, που έχει βάση τετράγωνο πλευράς όσο το δεύτερο τμήμα και ύψος όσο το πρώτο τμήμα.

Χρόνια αργότερα, ο Πέρσης φιλόσοφος, μαθηματικός, αστρονόμος και ποιητής Ομάρ Καγιάμ (1048 – 1131), θα γενικεύσει τις μεθόδους των Ελλήνων για την επίλυση διάφορων τύπων εξισώσεων τρίτου βαθμού.

Αναφορές

  1. Henderson D.W., Geometric Solutions of quadratic and Cubic Equations, Department of Mathematics, Cornell University.
  2. O’Connor J. J. and Robertson E. F., Doubling the cube, School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland , 1999.

Διαβάστε περισσότερα

Αλλαγή μεγέθους γραμματοσειράς
Αντίθεση
Accessibility by WAH