Εκθετικές και Λογαριθμικές Καμπύλες

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Άλγεβρα Β΄ Λυκείου, Για τη Β΄ Λυκείου, Μαθηματικά Θετικών Σπουδών Β΄ Λυκείου | , στις 18-07-2018

Αναγνωρίζετε τις γραφικές παραστάσεις των εκθετικών και των λογαριθμικών συναρτήσεων;

Θα μπορούσατε να αντιστοιχίσετε διάφορα γραφήματα, τέτοιων συναρτήσεων, στους τύπους τους;

Με τη βοήθεια της ακόλουθης διαδραστικής εφαρμογής, ίσως να επαναλάβετε ορισμένα βασικά συμπεράσματα της θεωρίας, σχετικά με τη μορφή αυτών των γραφικών παραστάσεων, σε συνδυασμό με τις γνωστές συμμετρίες, που προκύπτουν, για γραφήματα συναρτήσεων όπου οι τύποι τους συνδέονται με βάση συγκεκριμένες διεργασίες.

Διαβάστε περισσότερα

Τυχαίος περίπατος

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Για την Γ΄ Λυκείου, Μαθηματικά Θετικών Σπουδών Γ΄ Λυκείου, Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γ΄ Λυκείου | , στις 01-05-2018

Κατά την απλούστερη περίπτωση, ένας τυχαίος περίπατος μπορεί να αναπαρασταθεί από μια ευθύγραμμη κίνηση, η οποία πραγματοποιείται σ’ έναν προσανατολισμένο, βαθμολογημένο άξονα, με αφετηρία το 0 και διαδοχικές μετατοπίσεις, κατά μία μονάδα, είτε προς τα δεξιά είτε προς τα αριστερά, δηλαδή, είτε +1 είτε -1, με πιθανότητα \frac{1}{2}, για την κάθε κατεύθυνση, όσο η κίνηση διαρκεί. Κάποια εύλογα ερωτήματα θα μπορούσαν να είναι τα εξής:

  • Κατά πόσο το κινητό θα μπορούσε να “δραπετεύσει” από την αρχική του θέση; Πόσο μακριά θα μπορούσε να φτάσει; Η “ακτίνα” της κίνησής του είναι περιορισμένη ή μπορεί να αυξάνεται απεριόριστα;

  • Γενικά, πόσο θα μπορούσε να απομακρυνθεί το κινητό, από την αρχική του θέση, σε σχέση με τον συνολικό αριθμό των μετατοπίσεων, δηλαδή, ποια θεωρείτε ότι θα μπορούσε να είναι η μέση μετατόπισή του, ως προς το 0, για “μεγάλο” αριθμό επαναλήψεων – μετατοπίσεων;

  • Θεωρώντας δεδομένο τον αριθμό επαναλήψεων – μετατοπίσεων, ποια είναι η πιθανότητα με την οποία το κινητό θα μπορούσε να καταλήξει σε κάποιο από τα σημεία, που αντιστοιχούν στους ακεραίους της ευθείας;

  • Θεωρώντας δεδομένο κάποιον ακέραιο, ως θέση – στόχο, πόσες επαναλήψεις και με ποια πιθανότητα, ενδεχομένως, να χρειαστούν ωσότου το κινητό φτάσει στο στόχο;

Με τη βοήθεια της ακόλουθης διαδραστικής εφαρμογής, ίσως να βοηθηθείτε στη κατανόηση των ιδιαίτερων χαρακτηριστικών ενός τυχαίου περιπάτου και, γιατί όχι, στην απάντηση των σχετικών ερωτημάτων.


Διαβάστε περισσότερα

Το πρόβλημα του μηχανικού παραγωγής

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Άλγεβρα Β΄ Λυκείου, Για τη Β΄ Λυκείου, Μαθηματικά Θετικών Σπουδών Β΄ Λυκείου | , στις 25-02-2018

Ένας μηχανικός παραγωγής αντιμετωπίζει μια σειρά από ερωτήματα σχετικά με τη συσκευασία ενός κονσερβοποιημένου προϊόντος. Η επίλυσή τους προϋποθέτει την εφαρμογή βασικών εννοιών από τις εισαγωγικές έννοιες των πολυωνύμων.

Η ακόλουθη δραστηριότητα, θα μπορούσε να αξιοποιηθεί, στο πλαίσιο κάποιου εισαγωγικού μαθήματος στα πολυώνυμα, με στόχο τη νοηματοδότηση της έννοιας του πολυωνύμου και των τιμών του, της ισότητας μεταξύ των πολυωνύμων, καθώς και των πολυωνύμων με παράμετρο, κάτω από το πρίσμα ενός πραγματικού προβλήματος.

 

 

Διαβάστε περισσότερα

Αναγωγή στο πρώτο τεταρτημόριο

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Άλγεβρα Β΄ Λυκείου, Για τη Β΄ Λυκείου, Μαθηματικά Θετικών Σπουδών Β΄ Λυκείου | , στις 01-01-2018

Η γενίκευση της έννοιας της γωνίας, όπως και των αντίστοιχων τριγωνομετρικών αριθμών της, αναδεικνύεται με τη βοήθεια του τριγωνομετρικού κύκλου. Ο τριγωνομετρικός κύκλος, ένας μοναδιαίος κύκλος με κέντρο την αρχή O ενός ορθοκανονικού συστήματος συντεταγμένων Oxy, μπορεί να δεχθεί, ως επίκεντρη, μια οποιαδήποτε γωνία, \omega, η οποία, μάλιστα, τοποθετείται έχοντας ως αρχική πλευρά της τον ημιάξονα Ox. Αν συμβολίσουμε με M(x,y) το σημείο στο οποίο η τελική πλευρά τέμνει τον κύκλο, τότε,

    \[ \mathrm{cos}(\omega)=x,\,\, \mathrm{ sin}(\omega)=y,\,\, \mathrm{ tan}(\omega)=\frac{y}{x},\,\, \mathrm{ ctg}(\omega)=\frac{x}{y}. \]

Παρεμπιπτόντως, το πρόσημο της γωνίας καθορίζει τη φορά κίνησης της τελικής πλευράς, με το θετικό να αντιστοιχεί στην αριστερόστροφη, ωσότου επιτευχθεί το αντίστοιχο “άνοιγμα”.

Γνωστές σχέσεις μεταξύ γωνιών (αντίθετες γωνίες, παραπληρωματικές γωνίες, συμπληρωματικές γωνίες, γωνίες που διαφέρουν κατά 180^{\circ}, γωνίες που διαφέρουν κατά 90^{\circ}, κ.ά.) μπορούν να παρασταθούν στον τριγωνομετρικό κύκλο, ο οποίος προσφέρεται για τη διερεύνηση των αντίστοιχων σχέσεων μεταξύ των τριγωνομετρικών αριθμών αυτών των γωνιών και τελικά στην αναγωγή τους στο πρώτο τεταρτημόριο.


Τα προηγούμενα μπορούν να γίνουν περισσότερο κατανοητά μέσω της διαδραστικής εφαρμογής που ακολουθεί.

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές εκθετικές εξισώσεις

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Άλγεβρα Β΄ Λυκείου, Για τη Β΄ Λυκείου, Μαθηματικά Θετικών Σπουδών Β΄ Λυκείου | , στις 07-10-2017

Σε σχολικό επίπεδο, η επίλυση μια εκθετικής εξίσωσης, πριν τη διδασκαλία των λογαρίθμων, συνήθως, ανάγεται στην επίλυση μιας αντίστοιχης πολυωνυμικής εξίσωσης, χάρη στην ιδιότητα της εκθετικής συνάρτησης,

    \[ f(x)=\alpha^x,\,\,\,\,0<\alpha\neq1,\,\,x\in\mathbb{R}, \]

να απεικονίζει, αμφιμονονοσήμαντα, τα στοιχεία του πεδίου ορισμού της στις αντίστοιχες τιμές της.

Αυτό εκφράζεται από τη συνεπαγωγή,

    \[ \alpha^{x_1}=\alpha^{x_2}\Rightarrow x_1=x_2, \]

η οποία εφαρμόζεται στις περισσότερες ασκήσεις αυτού του τύπου.

Η ακόλουθη διαδραστική εφαρμογή, προσφέρεται για εξάσκηση πάνω σε ορισμένες βασικές μορφές εκθετικών εξισώσεων, επιχειρώντας, μεθοδικά, την κατανόηση των βημάτων που, συνήθως, στο πλαίσιο της σχολικής άλγεβρας, ολοκληρώνουν την επίλυσή τους.

Γενικά, σκοπός είναι να μετασχηματιστούν τα δύο μέλη της εξίσωσης έτσι, ώστε, οι εκθετικές παραστάσεις να αναπαρασταθούν έχοντας ίδιες βάσεις. Η εφαρμογή επιχειρεί μέσω του διαδραστικού περιβάλλοντός της και μέσω κατάλληλων ερωτήσεων, οι οποίες συνοδεύονται από υποδείξεις, να κατευθύνει το χρήστη στην αντιμετώπιση των εξισώσεων που πραγματεύεται, διορθώνοντας ενδεχόμενες αστοχίες του. Προσφέρει ποικιλία εκθετικών εξισώσεων οι οποίες διακρίνονται σε δύο ξεχωριστές κατηγορίες.

Καλή ενασχόληση!

 

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορές διαδοχικών πρώτων

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Άλγεβρα Β΄ Λυκείου, Για τη Β΄ Λυκείου | , στις 24-09-2017

Με τη βοήθεια της ακόλουθης διαδραστικής εφαρμογής,

μπορείτε να διερευνήσετε την παρατήρηση του Δημήτρη Λ., μαθητή της Β΄Λυκείου, για την κορυφή του τριγώνου, που σχηματίζεται από τις διαφορές, κατ’ απόλυτη τιμή, μεταξύ των διαδοχικών πρώτων αριθμών, που βρίσκονται στη βάση του, όταν αυτές υπολογίζονται, επαναληπτικά, συγκροτώντας, αντίστοιχα, τις σειρές της παραπάνω τριγωνικής διάταξης.
Είναι αξιοσημείωτο ότι ο συγκεκριμένος μαθητής ανακάλυψε ένα συμπέρασμα το οποίο είναι γνωστό, από το 1958, ως εικασία του Gilbreath και έχει επαληθευτεί για όλα τα τρίγωνα, που κατασκευάζονται όπως προηγουμένως, των οποίων η βάση αποτελείται έως και από 3,4\cdot10^{11} διαδοχικούς πρώτους.

Διαβάστε περισσότερα

Σχήμα Horner

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Άλγεβρα Β΄ Λυκείου, Για τη Β΄ Λυκείου | , στις 21-07-2017

Η πραγματοποίηση της διαίρεσης ενός πολυωνύμου, μ’ ένα διαιρέτη της μορφής x-\rho, μπορεί να επιτευχθεί, ελαττώνοντας τον αριθμό των απαιτούμενων πράξεων, που απαιτείται στο συνήθη αλγόριθμο της γενικότερης διαίρεσης δύο πολυωνύμων, με μια διαδικασία η οποία είναι γνωστή ως σχήμα Horner, προς τιμή του Βρετανού μαθηματικού William George Horner (9 Ιουνίου 1786 – 22 Σεπτεμβρίου 1837), μολονότι, μάλλον, ήταν γνωστή 600 χρόνια νωρίτερα στον Κινέζο μαθηματικό Qin Jiushao.

Μπορείτε, άραγε, να εικάσετε πως προκύπτουν το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου {{{\alpha }_{\nu }}{{x}^{\nu }}+{{\alpha }_{{\nu -1}}}{{x}^{{\nu -1}}}+{{\alpha }_{{\nu -2}}}{{x}^{{\nu -2}}}+...+{{\alpha }_{2}}{{x}^{2}}+{{\alpha }_{1}}x+{{\alpha }_{0}}} όταν ο διαιρέτης είναι της μορφής x-\rho;

Να παρατηρήσετε τα διαδοχικά βήματα, κατά την εφαρμογή του γνωστού αλγορίθμου, σε μια προσπάθεια να βελτιωθούν ορισμένες διεργασίες αλλά και να αφαιρεθούν κάποιες περιττές, ίσως, συμβολικές παραστάσεις.

\begin{array}{*{20}{l}} {{{\alpha }_{\nu }}{{x}^{\nu }}+{{\alpha }_{{\nu -1}}}{{x}^{{\nu -1}}}+{{\alpha }_{{\nu -2}}}{{x}^{{\nu -2}}}+...+{{\alpha }_{2}}{{x}^{2}}+{{\alpha }_{1}}x+{{\alpha }_{0}}} \\ {\underline{{-{{\alpha }_{\nu }}{{x}^{\nu }}+\rho {{\alpha }_{\nu }}{{x}^{{\nu -1}}}\text{}}}} \\ {\text{ (}{{\alpha }_{{\nu -1}}}+\rho {{\alpha }_{\nu }}\text{)}{{x}^{{\nu -1}}}+{{\alpha }_{{\nu -2}}}{{x}^{{\nu -2}}}+...+{{\alpha }_{2}}{{x}^{2}}+{{\alpha }_{1}}x+{{\alpha }_{0}}\text{ }} \\ {\underline{{-\text{(}{{\alpha }_{{\nu -1}}}+\rho {{\alpha }_{\nu }}\text{)}{{x}^{{\nu -1}}}+\rho \text{(}{{\alpha }_{{\nu -1}}}+\rho {{\alpha }_{\nu }}\text{)}{{x}^{{\nu -2}}}\text{ }}}} \\ {\text{(}{{\alpha }_{{\nu -2}}}+\rho \text{(}{{\alpha }_{{\nu -1}}}+\rho {{\alpha }_{\nu }}\text{))}{{x}^{{\nu -2}}}+...+{{\alpha }_{2}}{{x}^{2}}+{{\alpha }_{1}}x+{{\alpha }_{0}}} \\ {\underline{{.............................................................................}}} \\ \begin{array}{l}\text{ }...\\\upsilon =.......................................................................\end{array} \end{array}\left| \begin{array}{l}\underline{{x-\rho }}\\{{\alpha }_{\nu }}{{x}^{{\nu -1}}}+\text{(}{{\alpha }_{{\nu -1}}}+\rho {{\alpha }_{\nu }}\text{)}{{x}^{{\nu -2}}}+...\text{+}...............\\\\\\\\\\\\\end{array} \right.

Ενδεχομένως, κατά την προηγούμενη ρουτίνα, να αναγνωρίζεται η χρησιμότητα της συμπλήρωσης μιας διάταξης της ακόλουθης μορφής,

\displaystyle \begin{array}{*{20}{c}} {\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{\alpha }_{\nu }}} & {{{\alpha }_{{\nu -1}}}} & {{{\alpha }_{{\nu -2}}}} & {{{\alpha }_{{\nu -3}}}} & {...} & {{{\alpha }_{1}}} & {{{\alpha }_{0}}} \\ \downarrow & {\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\rho {{\alpha }_{\nu }}} & {\rho ({{\alpha }_{{\nu -1}}}+\rho {{\alpha }_{\nu }})} & {..................} & {...} & {} & {} \\ {{{\alpha }_{\nu }}} & {{{\alpha }_{{\nu -1}}}+\rho {{\alpha }_{\nu }}} & {{{\alpha }_{{\nu -2}}}+\rho ({{\alpha }_{{\nu -1}}}+\rho {{\alpha }_{\nu }})} & {..................} & {...} & {..................} & {..................} \end{array}\begin{array}{*{20}{c}} {\text{ }\rho } \\ {} \\ {} \end{array}

της οποίας τα στοιχεία τοποθετούνται ως εξής:

  • Πρώτη σειρά: Τα κελιά της απαρτίζονται από τους συντελεστές του διαιρετέου, κατά τις φθίνουσες δυνάμεις του , από τα αριστερά προς τα δεξιά. Ακόμη, λίγο δεξιότερα τοποθετείται η τιμή του  \rho.

Έπειτα, ενώ το πρώτο κελί της δεύτερης σειράς, απλώς, “προετοιμάζει την κάθοδο” του στοιχείου του κελιού υπεράνω του, το πρώτο κελί της τρίτης σειράς είναι το ίδιο με το πρώτο στοιχείο της πρώτης σειράς.

  • Δεύτερη σειρά: Εκτός του πρώτου, τα κελιά της απαρτίζονται από τα γινόμενα του \rho επί το κελί της τρίτης σειράς που βρίσκεται στην αμέσως προηγούμενη στήλη.

  • Τρίτη σειρά: Εκτός του πρώτου, τα κελιά της προκύπτουν ως αθροίσματα των στοιχείων της πρώτης και δεύτερης σειράς.

Στην τελευταία σειρά του σχήματος Horner, έως το προτελευταίο κελί, ανακύπτουν οι συντελεστές του πηλίκου. Μπορείτε να μαντέψετε τι αποτελεί το ακροτελεύτιο κελί;

Η διαδικασία της διαίρεσης πολυωνύμων συμβάλλει, εκτός των άλλων, στην παραγοντοποίηση ενός πολυωνύμου, οπότε και στην επίλυση πολυωνυμικών εξισώσεων. Έτσι, το σχήμα Horner προσφέρει, σε αρκετές περιπτώσεις, ένα κομψό μηχανισμό επίλυσης πολυωνυμικών εξισώσεων βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου του 2.

Από την άλλη πλευρά το Σχήμα Horner, για να λειτουργήσει, κατά την επίλυση εξισώσεων, προϋποθέτει την ύπαρξη μιας γνωστής ρίζας.

Στο τελευταίο μπορεί να αποδειχτεί ιδιαίτερα χρήσιμο το Θεώρημα Ακέραιων ριζών, στην περίπτωση, βέβαια, όπου οι συντελεστές των όρων των πολυωνυμικών εξισώσεων είναι ακέραιοι.
Όλα τα παραπάνω μπορούν να διαπραγματευτούν με τη βοήθεια της ακόλουθης διαδραστικής εφαρμογής.

Διαβάστε περισσότερα

Προηγούμενο
Επόμενο
Αλλαγή μεγέθους γραμματοσειράς
Αντίθεση
Accessibility by WAH