Καρδιοειδής καμπύλη

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Άλγεβρα Α΄ Λυκείου, Άλγεβρα Β΄ Λυκείου, Γεωμετρία Α΄ Λυκείου, Για τη Β΄ Λυκείου, Για την Α΄ Λυκείου, Μαθηματικά Θετικών Σπουδών Β΄ Λυκείου | , στις 11-05-2019

Από προηγούμενες τάξεις, έχει γίνει φανερό ότι, με τη βοήθεια κατάλληλων συστημάτων συντεταγμένων, διάφορα γεωμετρικά αντικείμενα μπορούν να περιγραφούν με τη βοήθεια εξισώσεων. Για παράδειγμα, η εξίσωση y=\alpha x +\beta παριστάνει ευθεία, η εξίσωση y=\alpha x^2,\,\alpha\neq0 παριστάνει παραβολή, η εξίσωση y=\frac{\alpha}{x},\,\alpha,\,x\neq0 παριστάνει υπερβολή κ. ά..

Ωστόσο, ίσως να μην έχει γίνει απόλυτα κατανοητός ο τρόπος με τον οποίο ένα γεωμετρικό αντικείμενο θα μπορούσε να μετασχηματιστεί σε κάποιο άλλο γεωμετρικό αντικείμενο. Ενδεικτικά, πως μια ευθεία μπορεί να μετασχηματιστεί σε μια άλλη ευθεία, με διαφορετική κλίση; Πως μια παραβολή μπορεί να μετασχηματιστεί σε μια νέα παραβολή, περισσότερο ή λιγότερο κλειστή; Πως ένας κύκλος μπορεί να μετασχηματιστεί σ’ έναν «πεπλατυσμένο» ή «επιμηκυμένο» κύκλο (έλλειψη) ή, προχωρώντας λίγο πιο πέρα, πως μπορεί να μετασχηματιστεί σε μια «καρδιά»;

Ενδεχομένως, τα προηγούμενα ερωτήματα να συνδέονται και να είναι απλώς διαφορετικές πτυχές του ίδιου προβλήματος.

Αξίζει, λοιπόν, να προβληματιστεί κανείς πάνω στις αλλαγές που θα έπρεπε να συντελεστούν στους τύπους των αντίστοιχων εξισώσεων οι οποίες θα μπορούσαν να επιφέρουν αυτούς τους μετασχηματισμούς.

Ενδιαφέρον, βέβαια, παρουσιάζει και το αντίστροφο ερώτημα:

Τι αντίκτυπο, λόγου χάρη, θα είχε στη διχοτόμο του πρώτου και τρίτου τεταρτημορίου, δηλαδή στην ευθεία με εξίσωση y=x, μια «παρέμβαση» στον προηγούμενο τύπο, θέτοντας όπου x το 2x;

Αλγεβρικά, προφανώς, θα είχαμε την εξίσωση y=2x, η οποία αναπαριστά μια νέα ευθεία, ωστόσο, πως αυτό θα μπορούσε να ερμηνευτεί γεωμετρικά συσχετίζοντας τις δύο ευθείες; Φαίνεται, λοιπόν, ότι, σε μια τέτοια περίπτωση, ο άξονας των y «διαστέλλεται» συμπαρασύροντας τα σημεία της ευθείας y=x στις νέες θέσεις τους πάνω στην ευθεία y=2x. Τροποντινά, αλλάζει η κλίμακα των αξόνων και η αλλαγή αυτή κατευθύνεται από την αναλογία 1:2.

Απώτερος στόχος της διαδραστικής εφαρμογής που ακολουθεί είναι να σας βοηθήσει στην εύρεση της εξίσωσης μιας καμπύλης που το σχήμα της μοιάζει με το σχήμα της καρδιάς.  Όπως θα δείτε, ο συγκεκριμένος τύπος του καρδιοειδούς θα μπορούσε να ανακύψει «τροποποιώντας», κατάλληλα, έναν «εύπλαστο» κύκλο, αναδεικνύοντας, έτσι, την αντίστοιχη εξίσωση. Βέβαια, απαραίτητη προϋπόθεση είναι η γνώση της εξίσωσης του κύκλου, η οποία στην ειδική περίπτωση του κύκλου (O,\rho), αποδεικνύεται, εύκολα, με χρήση του Πυθαγόρειου Θεωρήματος, ότι είναι x^2+y^2=\rho^2.

Όμως, προτού φτάσετε στο σημείο να αναζητήσετε την εξίσωση του καρδιοειδούς, θα έχετε τη δυνατότητα να εξασκηθείτε πάνω στην κεντρική ιδέα της μεθόδου με απλούστερους μετασχηματισμούς, για ορισμένες βασικές γραμμές , με αφετηρία την ευθεία.

Copyright © 2019. Με την επιφύλαξη όλων των δικαιωμάτων.

Αφήστε μια απάντηση

Top
Αλλαγή μεγέθους γραμματοσειράς
Αντίθεση
Μετάβαση σε γραμμή εργαλείων