Παράγωγος συνάρτησης σε σημείο του πεδίου ορισμού της

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Για την Γ΄ Λυκείου, Μαθηματικά Θετικών Σπουδών Γ΄ Λυκείου, Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γ΄ Λυκείου | , στις 14-10-2018

Σε προηγούμενες τάξεις, είχατε συναντήσει την έννοια της εφαπτομένης, αρχικά, σε σημείο κύκλου, ενώ, στη συνέχεια, για τις υπόλοιπες κωνικές τομές, δηλαδή, για την έλλειψη, για την παραβολή και για την υπερβολή. Σε κάθε περίπτωση, η εφαπτομένη σ’ ένα σημείο μιας καμπύλης, απ’ τις παραπάνω, επιτυγχάνει να «πλησιάσει» την καμπύλη, τουλάχιστον, «κοντά» στο σημείο από το οποίο διέρχεται.

Το γεγονός ότι η απλούστερη γραμμή, δηλαδή, η ευθεία, θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί, μέσω της έννοιας της εφαπτομένης, για να προσεγγίσει ένα πιο σύνθετο, μη ευθύγραμμο σχήμα, όπως ο κύκλος, ή οι υπόλοιπες κωνικές τομές, αποτελεί κίνητρο, έτσι, ώστε, η έννοια αυτή να γενικευτεί και στις περιπτώσεις καμπυλών όπου μπορούν να θεωρηθούν γραφήματα συναρτήσεων τα οποία πληρούν μια συγκεκριμένη συνθήκη.

Όμως, ποια θα μπορούσε να είναι αυτή η συνθήκη και γιατί η εξασφάλισή της αποτελεί ικανό παράγοντα για να ορίζεται η εφαπτομένη; Ακόμη, πως θα μπορούσε να προσδιοριστεί η εφαπτομένη, μέσα από την προηγούμενη συνθήκη, δεδομένου ότι μια ευθεία μπορεί να οριστεί μέσω του συντελεστή διεύθυνσής της όταν είναι γνωστό ένα σημείο από το οποίο διέρχεται;

Η ακόλουθη διαδραστική εφαρμογή, διαπραγματεύεται τον ορισμό της εφαπτομένης σε σημείο A(x_0,f(x_0)) του γραφήματος, για μια συνάρτηση f, η οποία πληροί τη συνθήκη αυτή στο σημείο x_0 του πεδίου ορισμού της. Ενδεχομένως, με τη βοήθειά των διαδραστικών χαρακτηριστικών που παρέχει το γραφικό της περιβάλλον, να γίνει περισσότερο κατανοητή τόσο η συνθήκη όσο και η τεκμηρίωσή της, σε συγκεκριμένα παραδείγματα συναρτήσεων, καθώς και η σύνδεσή της με την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης στο A(x_0,f(x_0)) των συναρτήσεων αυτών.

Σ’ ένα επόμενο βήμα, ίσως, να μπορούσε να βρεθεί και η εξίσωση που παριστάνει την εφαπτομένη αυτή, η οποία, σύμφωνα με τα παραπάνω, θεωρούμενη, κατάλληλα, ως συνάρτηση ισούται, κατά προσέγγιση, με την f, τουλάχιστον, για εκείνα τα x τα οποία βρίσκονται σε μια «περιοχή» του x_0.

Copyright © 2018. Με την επιφύλαξη όλων των δικαιωμάτων.

Αφήστε μια απάντηση