Το «π»

0

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Γεωμετρία Β΄ Γυμνασίου, Για τη Β΄ Γυμνασίου | , στις 17-06-2011

PiΘα προσπαθήσουμε να ανακαλύψουμε πόσες φορές «χωράει» στην περιφέρεια τού διπλανού κύκλου η διάμετρός του.

Παίρνουμε ένα νήμα με μήκος ίσο με τη διάμετρο τού κύκλου.

Στερεώνουμε τη μία άκρη του σ’ ένα σημείο τού κύκλου το οποίο το συμβολίζουμε με A.

Φροντίζοντας, έτσι, ώστε το νήμα να παραμένει «εγκλωβισμένο» στην περιφέρεια του κύκλου, σημειώνουμε με B το σημείο τού κύκλου στο οποίο καταλήγει η άλλη άκρη τού νήματος.

Επαναλαμβάνουμε την προηγούμενη διαδικασία, στερεώνοντας, αυτή τη φορά, τη μία άκρη ενός ίδιου νήματος στο σημείο B, οπότε η άλλη άκρη καταλήγει στο σημείο τού κύκλου το οποίο συμβολίζουμε με \it\Gamma.

Παρατηρούμε ότι υπάρχει περιθώριο για ακριβώς μία, ακόμη, επανάληψη της διαδικασίας, με αφετηρία αυτή τη φορά το σημείο \it\Gamma και κατάληξη το σημείο τού κύκλου που συμβολίζουμε με \it\Delta.

Συμπεραίνουμε, λοιπόν, ότι, μέχρι στιγμής, το νήμα «χωράει» 3 φορές στην περιφέρεια του κύκλου.

Στη συνέχεια, γίνεται φανερό ότι αν θέλουμε να «καλύψουμε» ολόκληρη την περιφέρεια τού κύκλου, θα πρέπει να καταφύγουμε σε υποδιαιρέσεις ενός τέτοιου νήματος.

Αρχικά, το κόβουμε σε δέκα ίσα μέρη. Στερεώνοντας τη μια άκρη, για το ένα απ’ αυτά τα δέκα μέρη, στο σημείο \it\Delta, παρατηρούμε ότι η άλλη άκρη καταλήγει στο σημείο τού κύκλου που το συμβολίζουμε με το γράμμα E.

Άρα, μέχρι στιγμής, το νήμα «χωράει» 3,1 φορές στον κύκλο και για να συνεχίσουμε θα χρειαστούμε επιπλέον υποδιαίρεση.

Λοιπόν, το κόβουμε, τώρα, σε εκατό ίσα μέρη. Χρησιμοποιώντας τα τέσσερα απ’ αυτά, διαδοχικά, το ένα μετά το άλλο, σύμφωνα με την προηγούμενη διαδικασία, ξεκινώντας απ’ το σημείο E, παρατηρούμε ότι καταλήγουμε στο σημείο τού κύκλου που το συμβολίζουμε με το γράμμα Z.

Άρα, μέχρι στιγμής, το νήμα «χωράει» 3,14 φορές στον κύκλο.

Επίσης, το σημείο Z φαίνεται ότι έχει συμπέσει με το σημείο A και η διαδικασία μοιάζει να έχει ολοκληρωθεί.

Είναι, όμως, έτσι, ή μήπως πρόκειται για οφθαλμαπάτη;

Για να διαπιστώσετε ότι, πράγματι, πρόκειται για οφθαλμαπάτη, θα πρέπει να μεγεθύνετε το σχήμα. Πατήστε το αριστερό πλήκτρο του ποντικιού σ’ ένα οποιοδήποτε σημείο του, έτσι, ώστε, να σάς δοθεί δυνατότητα αλληλεπίδρασης μαζί του. Ακολούθως, αφού επιβεβαιώσετε με τη βοήθεια κατάλληλων ερωτήσεων τα παραπάνω, μεγεθύνετε όσο χρειαστεί, διαλέγοντας την αντίστοιχη επιλογή, ωσότου γίνει φανερό ότι τα σημεία A και Z είναι διαφορετικά.

Επομένως, δε μπορούμε να πούμε ότι το νήμα «χωράει» ακριβώς 3,14 φορές στον κύκλο, αφού εξακολουθεί κάποιο, έστω μικρό, μέρος τού κύκλου να παραμένει «ακάλυπτο».

Όσο κι αν προσπαθήσουμε, όσες φορές κι αν ακολουθήσουμε την προηγούμενη διαδικασία (κόβοντας το νήμα διαδοχικά σε 1000, 10000, 100000 κ.ο.κ. ίσα μέρη), δε θα καταφέρουμε να «καλύψουμε» ολόκληρη την περιφέρεια τού κύκλου. Βέβαια, κάθε φορά θα ανακαλύπτουμε κι ένα ακόμη δεκαδικό ψηφίο τού αριθμού που μάς δείχνει πόσες φορές «χωράει» η διάμετρος τού κύκλου στην περιφέρειά του.

Είναι αξιοσημείωτο ότι αυτό συμβαίνει σε οποιονδήποτε κύκλο.

Τα δεκαδικά ψηφία αυτού τού αριθμού δεν τελειώνουν ποτέ. Δε μπορούμε να τον διαβάσουμε, όπως διαβάζουμε έναν φυσικό, έναν ακέραιο ή έναν δεκαδικό αριθμό (περιοδικό ή μη), ωστόσο, αυτό μοιάζει περισσότερο με δική μας αδυναμία. Πρέπει να τον δεχτούμε στην «οικογένεια» των αριθμών. Άλλωστε, όπως οι υπόλοιποι «συγγενείς» του, κι αυτός μετράει:

Την περιφέρεια \left( L\right) τού κύκλου με τη βοήθεια τής διαμέτρου του \left( \delta\right).

    \[\boxed{L=\pi \cdot \delta}\]

Συμβολίζεται, διεθνώς, με το γράμμα \pi, από το πρώτο γράμμα της ελληνικής λέξης «περιφέρεια». Τα πρώτα 22 δεκαδικά ψηφία αυτού του άρρητου αριθμού είναι,

    \[\pi=3,1415926535897932384626...\]

(Για μια ενδελεχή μελέτη των δεκαδικών του ψηφίων, λίγη υπομονή μέχρι τη Β΄ Λυκείου …)

«Αεί ο Θεός ο Μέγας γεωμετρεί, το κύκλου μήκος ίνα ορίση διαμέτρω, παρήγαγεν αριθμόν απέραντον, καί όν, φεύ, ουδέποτε όλον θνητοί θα εύρωσι»

Copyright © 2011. Με την επιφύλαξη όλων των δικαιωμάτων.

Αφήστε μια απάντηση

Top
Αλλαγή μεγέθους γραμματοσειράς
Αντίθεση
Μετάβαση σε γραμμή εργαλείων