Οι αρχαίοι πρόγονοί μας ανεγνώρισαν τον Πρωταγόρα, ως τον διασημότερο σοφιστή, από όλους τους σοφιστές.

Ο ίδιος έλεγε ότι το επάγγελμά του ήταν να παρέχει μόρφωση στους συνανθρώπους του.

Ο Πλάτων (αρχαίος Αθηναίος φιλόσοφος), εις τον «Μένωνα» (πλατωνικός διάλογος περί αρετής), μας πληροφορεί, ότι ο Πρωταγόρας απέκτησε δεκαπλάσιο πλούτο του Φειδίου (αρχαίος Έλληνας γλύπτης) και δέκα άλλων αδριαντοποιών.

Η πατρίδα του Πρωταγόρα ήταν τα Άβδηρα (πόλις της Θράκης), ως και του φιλοσόφου Δημοκρίτου, του πρώτου ατομικού επιστήμονα και του ιστορικού Εκαταίου.

Ο Πρωταγόρας επισκέφθηκε πολλές πόλεις της Ελλάδος (Σικελία), ως και την Αθήνα, στην οποία έμεινε πολλά χρόνια και δίδαξε την σοφιστική, με συνέπεια να αποκτήσει όχι μόνο πολλούς μαθητάς, αλλά και φήμη.

Πολύ ενδιαφέρουσα είναι η δικαστική διένεξη που είχε με τον μαθητή του Εύαθλο, η οποία είχε ως εξής:

Ο Πρωταγόρας ανέλαβε να διδάξει, στον Εύαθλο, τη ρητορική. Συμφωνήσανε τα μισά της αμοιβής του να καταβληθούν με την έναρξη των μαθημάτων και τα άλλα μισά με την πρώτη δίκη που θα κέρδιζε ο Εύαθλος.

Ο Εύαθλος δεν άσκησε ποτέ το επάγγελμα του δικηγόρου, μοιραίως ποτέ δεν κέρδισε δίκη και γι αυτό αρνιόταν να πληρώσει το υπόλοιπο ποσό.

Ο Πρωταγόρας κατέθεσε αγωγή σε βάρος του Ευάθλου, υποστηρίζοντας, ότι εάν το δικαστήριο κάνει δεκτή την αγωγή του, νόμιμα θα εισπράξει την αμοιβή του. Εάν πάλι απορριφθεί η αγωγή του, αυτό σημαίνει ότι ο Εύαθλος κέρδισε την πρώτη δίκη και πρέπει να καταβάλει το υπόλοιπο ποσό στον Πρωταγόρα.

Ο Εύαθλος στις προτάσεις του, ως καλός και αντάξιος μαθητής του μεγάλου του δασκάλου, υποστήριξε:

Εάν το δικαστήριο αποφανθεί, ότι δεν έχω υποχρέωση να πληρώσω το υπόλοιπο, δεν θα το πληρώσω. Εάν το δικαστήριο με υποχρεώσει να πληρώσω, πάλι δεν θα δώσω το υπόλοιπο, διότι θα έχω χάσει την πρώτη δίκη.

Το δικαστήριο μπροστά σ’ αυτή την αντιφατική επιχειρηματολογία, κατά την παράδοση, ανέβαλε την έκδοση αποφάσεως.

Αθάνατο Ελληνικό σπινθηροβόλο πνεύμα, είσαι ανεπανάληπτο!

[Περισσότερα: Νεώτερο Εγκυκλοπαιδικό Λεξικό «Ηλίου» Αρχαίο Ελληνικό Πνεύμα, σελ.: 33034 και 249-251, Φιλόστρατος Φλάβιος, Έλληνας Ιστορικός, «Βίοι Σοφιστών». Διογένης Λαέρτιος, Έλλην Συγγραφεύς, «Βίοι φιλοσόφων» Ησύχιος Αλεξανδρινός Έλληνας «Ησύχιον Λεξικό», Πλούταρχος, Έλληνας Πεζογράφος από τη Χαιρώνεια Βοιωτίας, «Βίοι παράλληλοι», Περικλής].

1

Η επιρροή των Μαθηματικών

στη φιλοσοφική εξέλιξη του Πλάτωνα

για παιδεία και Σύμπαν

Μπερκέτης Μ. Νικόλαος

Δρ. Εφαρμοσμένων Μαθηματικών

Τμήματος Μαθηματικών, Ε.Κ.Π.Α

Οκτώβριος 2009

Περίληψη

Τα μαθηματικά και η φιλοσοφία γεννήθηκαν στην αρχαία Ελλάδα, ως

αποτέλεσμα της αγάπης των αρχαίων Ελλήνων για την ακρίβεια του λόγου

τους και την απόδειξη. Χρησιμοποιήθηκαν για να περιγράψουν τις

φιλοσοφικές δομές των Πλάτωνα και Αριστοτέλη για την θεμελίωση της

παιδείας και την οριοθέτηση του ορθού.

Ο Πλάτων, ο μεγάλος φιλόσοφος του 4ου π.Χ. αιώνα, είναι εκείνος που

πίστευε στην ύπαρξη του κόσμου των «Ιδεών» και θεωρούσε τον άνθρωπο

δέσμιο του αισθητού κόσμου.

Τα μαθηματικά κατά τον Πλάτωνα είναι ένα μέσο για να εξυψωθεί το

πνεύμα πέρα από τον υλικό κόσμο στον αιώνιο κόσμο του “Είναι”.

Η γεωμετρία αποτελεί κατά τον Πλάτωνα ένα παράδειγμα του κόσμου

των “Ιδεών” και της σχέσης του με τον φυσικό κόσμο. Τα γεωμετρικά

αντικείμενα ως αιώνια και αναλλοίωτα δεν υπάρχουν στον φυσικό κόσμο. Την

θεωρία των αριθμών στην αρχαία Ελλάδα την έλεγαν αριθμητική, ενώ την

πρακτική αριθμητική λογιστική. Η αριθμητική και η λογιστική κατά τον

Πλάτωνα ανήκουν στον κόσμο των “Ιδεών”.

Για την δημιουργία του κόσμου, στον Τίμαιο, εισάγει με τη βοήθεια των

μαθηματικών ένα μοντέλο στηριζόμενο στα τέσσερα κανονικά στερεά : Το

τετράεδρο, το οκτάεδρο, το εικοσάεδρο, και τον κύβο. Ως βασικές δομικές

μονάδες θεωρεί τα δύο ορθογώνια τρίγωνα. Το ιδεαλιστικό αυτό μοντέλο

διαφέρει από το υλιστικό μοντέλο του Δημόκριτου γιατί ο Πλάτων θεωρεί, ως

βασική προϋπόθεση για την ανακάλυψη του κόσμου των “Ιδεών”, τη μελέτη

και χρήση των Μαθηματικών.

Οι απόψεις του Πλάτωνα έρχονται στην επικαιρότητα με την εστίαση

των αστροφυσικών στις ιδιότητες του κανονικού δωδεκαέδρου, με το οποίο ο

φιλόσοφος συμβόλιζε το Σύμπαν.

Η διαχρονική της θεωρίας των “Ιδεών” και της

“Μάθησης” του Πλάτωνα

H αρχαία Ελλάδα ήταν το μέρος όπου γεννήθηκε η δυτική, μη

θρησκευτική κοσμική φιλοσοφία. Βλέπουμε τον Σωκράτη , τον Πλάτωνα και

τον Αριστοτέλη ( όπως επίσης και μερικούς από τους Προσωκρατικούς

φιλοσόφους) να παλεύουν με πολλά από τα ζητήματα που απασχολούν τους

2

σημερινούς φιλοσόφους. Βλέπουμε τον Πλάτωνα να επιθυμεί τη φυγή από

αυτόν τον κάτω κόσμο, για να ξανασυναντηθεί με τη θεϊκή τελειότητα, ενώ ο

Αριστοτέλης να καταγράφει μεθοδικά αυτό που έχουμε στα χεριά μας,

μπροστά στα μάτια μας και στο κεφάλι μας. Επίσης βλέπουμε τον Σωκράτη

να είναι μαιευτήρας ψυχών, ο δάσκαλος του Πλάτωνα να είναι ο δημιουργός

της μόρφωσης δια των σωστών ερωτήσεων, αντιτιθέμενος στις πρόχειρες

απαντήσεις και εμβαθύνοντας στην γενεαλογία των «Ιδεών».

Ο Πλάτωνας αρχίζει μια φιλοσοφική και επιστημονική επανάσταση

( ήταν ο κατ’ εξοχήν μαθηματικός φιλόσοφος) θεωρώντας ότι ο μιμητισμός και

η αντιγραφή είναι τα δεσμά που κρατάνε τις ψυχές φυλακισμένες στο

σπήλαιο. Για τον Αθηναίο φιλόσοφο η υπόθεση της Παιδείας είναι εξ’ ίσου

σημαντική όσο και η επιστημονική έρευνα, και τα δύο αυτά συνθετικά

αποτελούν μέρος του ίδιου του προβλήματος. Η παιδεία είναι απαραίτητη για

την αποκάλυψη της αλήθειας, και η αλήθεια δεν είναι μόνο χρήσιμη για την

ίδια την παιδεία, σαν αυτοσκοπός, αλλά αποτελεί και στόχο απελευθέρωσης

του ατόμου από την κατάσταση της δουλείας που το υποτάσσει η έλλειψή της.

Ο Πλάτωνας είναι επικεφαλής μιας μεγάλης παράδοσης της

φιλοσοφίας που λέγεται ρασιοναλισμός1 ή <<πλα-τωνισμός>>.

Το πλατωνικό φιλοσοφικό σύστημα αποτελεί κορυφαία στιγμή της

αρχαίας Ελληνικής σκέψης, όχι γιατί οι βασικές του αρχές και τα αξιώματα

παρέμειναν απρόσβλητα στην πάροδο των αιώνων, αλλά γιατί η διάσταση

ανάμεσα στο “όν” και στη γνώση του αναδεικνύεται για πρώτη φορά γυμνή σ’

όλη της την πραγματικότητα και στη συνέχεια έρχεται να γεφυρώσει το χάσμα

με τις “Ιδέες” ως μόνες απόλυτες πραγματικές οντότητες που μπορούν να

γνωσθούν άμεσα.

Ο Πλάτωνας θεωρεί τη μόνη πραγματικότητα, η οποία δεν αλλοιώνεται,

αυτή των “Ιδεών”, οι οποίες είναι αιώνιες και σταθερές οντότητες. Το σύμπαν

των “Ιδεών” γίνεται αντιληπτό από τη νόηση, παραμένει αμετάβλητο και δεν

προσδιορίζεται χωροχρονικά. Η πραγματική γνώση είναι αυτή του κόσμου

των “Ιδεών”. Δεν μπορούμε να γνωρίσουμε αυτόν τον κόσμο βασιζόμενοι στις

αισθήσεις μας και στον υλικό κόσμο. Σε αντίθεση με τους Επικούρειους ο

μεταβαλλόμενος υλικός κόσμος δεν είναι αντικείμενο της γνώσης. Ο αισθητός

κόσμος είναι πεπερασμένος και φθαρτός. Σύμφωνα με τον Πλάτωνα

στηριζόμενοι στις αισθήσεις δεν έχουμε γνώση αλλά γνώμη. Ο αισθητός

κόσμος δημιουργήθηκε σε ιδεατά πρότυπα. Γι αυτό λοιπόν στον Τίμαιο

παρουσιάζει μια κοσμογονία, η οποία βασίζεται σε καθαρά γεωμετρικά και όχι

σε υλικά στοιχεία.

Ο διάλογος που φέρει το όνομα Τίμαιος, είναι ένα από τα πλέον

σημαντικά έργα του Πλάτωνα, όπου αναπτύσσονται οι απόψεις του μεγάλου

αυτού φιλοσόφου σχετικά με τη φυσική. Για το λόγο αυτό φέρει και τον

υπότιτλο “Περί φύσεως”. Είναι ένα έργο που ανήκει στην τελευταία

συγγραφική περίοδο του Πλάτωνα και έχει περιεχόμενο κοσμολογικής φύσης

καθώς και ανθρωπολογική διάσταση. Τα πρόσωπα που διαλέγονται στο έργο

αυτό είναι ο Τίμαιος, ο Κριτίας, ο Ερμοκράτης και ο Σωκράτης. Ο διάλογος

1 Ο Ρασιοναλισμός ( από το λατινικό “ratio”που σημαίνει <<λογική>>) είναι φιλοσοφία που

επικεντρώνεται στην λογική διαδικασία για την απόκτηση γνώσης. Πατέρας του Ρασιοναλισμού

θεωρείται ο Γάλλος επιστήμονας και φιλόσοφος Ren Descartes του 17ου αιώνα, ο οποίος υποστήριξε

πως με την λογική και μαθηματική συνέχεια και σκέψη, μπορεί να ανακαλυφθεί η οποιαδήποτε αλήθεια,

είτε αυτή είναι επιστημονική, είτε είναι φιλοσοφική.

3

αυτός του Πλάτωνα φαίνεται να διαδραματίζεται στην εποχή της Νικίειας

ειρήνης (421 π.Χ.) ή λίγο νωρίτερα και έχει γραφεί περί το 360-347 π.Χ.

Δύο βασικά στοιχεία ξεχωρίζουν στο διάλογο αυτό.

 Το πρώτο είναι ότι κάθε τι που βλέπουμε και ακούμε ή μάλλον γενικότερα

κάθε τι που μπορούμε να το αντιληφθούμε με τις αισθήσεις ανήκει στον

λεγόμενο κόσμο του αισθητού και για το λόγο αυτό στον κόσμο της

γενέσεως. Άρα κάθε αισθητό αντικείμενο είναι αποτέλεσμα της

δημιουργίας.

 Το δεύτερο στοιχείο είναι η αιτιολόγηση αυτής της δημιουργίας του

αισθητού κόσμου είναι δηλαδή η απάντηση στο «γιατί». Η αιτία της

ύπαρξης των πραγμάτων που μας περιβάλλουν είναι ο δημιουργός. Είναι

ο μεγάλος τεχνίτης που κατασκεύασε τον κόσμο αυτό. Η δημιουργία του

αισθητού κόσμου έχει ως αρχικό υπόδειγμα κάτι το οποίο συγκεντρώνει

όλα εκείνα τα στοιχεία της τελειότητας, της αρμονίας και της ωραιότητας,

τον κόσμο των «Ιδεών», ο οποίος είναι αιώνιος και αμετάβλητος.

Υπάρχουν δύο βασικές κατηγορίες «Ιδεών»: οι ηθικές-αισθητικές

(όπως αυτές της δικαιοσύνης, του ωραίου, του αγαθού) και οι μαθηματικές-

γεωμετρικές (όπως του ίσου ή του τριγώνου). Στην εξέλιξη της οντολογικής

σκέψης του Πλάτωνα οι Ιδέες γίνονται όλο και πιο αφηρημένες. Στον Σοφιστή

τα πέντε μέγιστα γένη είναι το ον, η στάσις, η κίνησις, το ταυτόν και το έτερον.

Αλλά υπάρχουν Ιδέες πραγμάτων όπως η τρίχα και ο πηλός ; Ο Πλάτωνας

θέτει το ερώτημα, χωρίς να το απαντάει. Στους μετέπειτα διάλογους

χρησιμοποιεί τις Ιδέες για να αποκρυπτογραφήσει την ίδια τη δομή του

φυσικού κόσμου. Η αρμονία που διέπει τον τελευταίο γίνεται εμφανής στις

σταθερές τροχιές των ουράνιων σωμάτων και μπορεί να συλληφθεί μέσω των

μαθηματικών.

Οι “Ιδέες” αποτελούν οντότητες άφθαρτες και ανεξάρτητες από την

εμπειρία και από οποιοδήποτε γνωστικό υποκείμενο. Είναι επίσης οι

εξηγητικές αρχές της πραγματικότητας: ο λόγος που ένας άνθρωπος ή μια

πράξη είναι δίκαιη είναι ότι «μετέχει» της Ιδέας της δικαιοσύνης. Αλλά το

εμπειρικό τρίγωνο δεν έχει πλήρως τις ιδιότητες (της Ιδέας) του τριγώνου, γι’

αυτό και ταυτόχρονα είναι (στον βαθμό που μιμείται το ιδεατό) και δεν είναι

(εφόσον δεν ταυτίζεται απόλυτα με αυτό) τρίγωνο. Από εδώ ο Πλάτωνας

καταλήγει στο ότι μόνο οι “Ιδέες” μπορούν να αποτελέσουν αντικείμενο

«επιστήμης», δηλαδή βέβαιης γνώσης, ενώ για τα αισθητά μόνο «δόξαι»,

δηλαδή γνώμες, μπορούν να υπάρξουν.

Οι “Iδέες”, κατά τον Πλάτωνα, υπάρχουν στην ψυχή μας χωρίς την

άμεση γνώση μας, αφού μία ιδέα μπορεί να γίνει γνωστή μόνο κατά την

επαναφορά της στην μνήμη μας, την οποία δεχόμαστε από τον ανάλογο

ερεθισμό που διεγείρει τη συνείδηση μας. Η επαναφορά της ιδέας στη μνήμη

μας από το υποσυνείδητο σημαίνει την ίδια την ιδέα που γνωρίζουμε, την

ανάμνηση της ιδέας που υπάρχει στην ψυχή μας.

Η ανάμνηση των «Ιδεών» είναι γνωστή ως η θεωρία της “ανάμνησης”

του Πλάτωνα, η οποία σημαίνει ότι ο άνθρωπος ξετυλίγει τη συνείδησή του και

ανακαλύπτει την αλήθεια των πραγμάτων. Αποτέλεσμα της γνωστικής

διαδικασίας της ανάμνησης, κατά τον Πλάτωνα, είναι η μάθηση αφού η γνώση

λαμβάνει χώρα κατά την επαναφορά των «Ιδεών» στη μνήμη του ανθρώπου

από το υποσυνείδητό του.

4

Η μάθηση κατά τον Πλάτωνα είναι έμφυτη και συμβαίνει κατά την

ανάμνηση των «Ιδεών», τις οποίες η ψυχή μας συλλαμβάνει μέσω της

νοήσεως, αφού μπορεί να γίνουν κατανοητές μόνο από το νου.

Κλασικό παράδειγμα της θεωρίας “ανάμνησης” του Πλάτωνα, αποτελεί

ο απαίδευτος δούλος του Μένωνος, ο οποίος, χωρίς να έχει διδαχθεί

γεωμετρία από κανένα γεωμέτρη και χωρίς την βοήθεια κανενός δίνει σωστές

γεωμετρικές απαντήσεις. Στο διάλογο αυτόν ο Πλάτωνας βάζει τον Σωκράτη

να οδηγήσει έναν σκλάβο στο θεώρημα το οποίο λέει ότι το τετράγωνο της

διαγωνίου ενός δοσμένου τετραγώνου είναι το διπλάσιο του αρχικού

τετραγώνου. Ο Σωκράτης δίνει έμφαση στο ότι ούτε αυτός ούτε κάποιος

άλλος δίδαξε το θεώρημα στον σκλάβο. Ρωτώντας προσεκτικά επιλεγμένες

ερωτήσεις και με τη βοήθεια κάποιου σχήματος, ο Σωκράτης οδηγεί τον

σκλάβο στο να ανακαλύψει το θεώρημα από μόνος του.

Ο Πλάτωνας χρησιμοποιεί το πείραμα για να υποστηρίξει τη θεωρία

ότι, όταν πρόκειται για γεωμετρία -ή για τον κόσμο του Γίγνεσθαι γενικότερα-

αυτό που λέγεται “μάθηση” είναι στη πραγματικότητα “ανάμνηση” από μια

προηγούμενη ζωή, πιθανώς από μια περίοδο όπου η ψυχή είχε απευθείας

πρόσβαση στον κόσμο του Είναι.

Οι ειδικοί μελετητές διαφωνούν σχετικά με τη φύση και το ρόλο αυτής

της “ανάμνησης” στην επιστημολογία του Πλάτωνα, και πολλοί μετέπειτα

πλατωνιστές τον αμφισβητούν. Ασχέτως μ’ αυτό, ο Πλάτωνας υποστήριζε ότι

η ψυχή ανήκει σε μια τρίτη οντολογική κατηγορία, με την ικανότητα να

καταλαβαίνει και τον κόσμο του Είναι και το κόσμο του Γίγνεσθαι.

Με ή χωρίς τα “μυστικιστικά” στοιχεία της επιστημολογίας, έχει κανείς

την εντύπωση από τους διάλογους ότι ο φυσικός κόσμος είναι

κατασκευασμένος με αυτό τον τρόπο ακριβώς για να μας οδηγεί πέρα από τις

αισθήσεις για την εξερεύνηση του κόσμου του Είναι.

Για τον Πλάτωνα, τα μαθηματικά είναι ένα κρίσιμο μέσον για αυτήν τη

διαδικασία. Εξυψώνουν το πνεύμα, φτάνοντας πέρα από τον υλικό κόσμο

στον αιώνιο κόσμο του Είναι.

Το Πλατωνικό Σύμπαν, τα Μαθηματικά και ο Άνθρωπος

Οι νόμοι που αφορούν τις κινήσεις των ουρανίων σωμάτων και είναι η

απόδειξη της αιώνιας αρμονίας αποτέλεσαν την αφετηρία της φυσικής και

μεταφυσικής αναζήτησης του Πλάτωνα. Το γεγονός ότι ο Πλάτων στην

πραγματικότητα δημιούργησε μια εξ ολοκλήρου νέα ατομική θεωρία

στηριγμένη σ’ αυτή του Δημόκριτου ( ουσιαστικά του Λεύκιππου), είναι κάτι

που πρέπει να κατακτήθηκε μέσα από πολλά χρόνια αναζήτησης. Βέβαια, η

δημοκρίτεια μηχανική εξήγηση του σύμπαντος, η οποία δεν αναγνώριζε καμία

αρχική αιτία, βρισκόταν σε πλήρη αντίθεση με όσα πρέσβευε ο Πλάτων.

Η Πλάτων χωρίς αμφιβολία έκανε τις σκέψεις ότι η ατομική θεωρία

φαινόταν να δίνει τη δυνατότητα να κατανοήσει το “ον”, το “είναι”, το “μη ον”,

αυτό που “δεν είναι” και κατέβαλε προσπάθεια για να εξελίξει τις σκέψεις σε

γνώση. Στην προσπάθεια του να εξηγήσει τη φυσική του σύμπαντος,

χρησιμοποίησε τη μεταφυσική του πεποίθηση, την ύπαρξη ενός νοητού

κόσμου, ενός κόσμου αιώνιων μορφών, μέσα από τον οποίον παίρνουν

μορφή τα πράγματα του κόσμου που αντιλαμβανόμαστε με τις αισθήσεις.

Στον Αναξαγόρα βρήκε τον νου, σαν μορφοποιό, κοσμική δύναμη. Στον

5

Εμπεδοκλή, εντόπισε τα τέσσερα στοιχεία, στα οποία στηρίχθηκε αργότερα,

συνδυάζοντάς τα ακόμα και με τον Δημόκριτο, παρόλο που δύσκολα

ταίριαζαν.

Βασικά από όλους ήταν κατανοητό ότι μέσα στο φαινομενικά άνομο

γίγνεσθαι, όπου απέναντι του είναι το αιώνια-ταυτόν αποδεικνύεται ότι

υπάρχει μια “αναγκαιότητα”, αιτία για νομοτέλεια. Μόνο όταν εμφανίζεται κάτι

που έγινε, πρέπει αναγκαστικά να υπάρχει χώρος και χρόνος που να το

προσδιορίζει.

Ο Πλάτων θεωρούσε τη σπουδή των μαθηματικών απαραίτητη

προϋπόθεση για τη σπουδή της φιλοσοφίας. Η μελέτη των αριθμών και των

γεωμετρικών σχημάτων και στερεών ήταν ο καταλληλότερος τρόπος για την

τελική απελευθέρωση της ανθρώπινης σκέψης από τα δεσμά του εφήμερου

κόσμου. Κάνοντας χρήση των μαθηματικών του ο Πλάτωνας, των θεωριών

της στερεομετρίας που διατύπωσε στον Θεαίτητο, υποστήριξε ότι το τρίγωνο

είναι ένα υλικό που πάνω του είναι κατασκευασμένο το σύμπαν.

Παρουσίασε αυτή την ιδέα του για την κατασκευή του κόσμου, ως να

δημιουργήθηκε το σύμπαν για να μοιάζει σε μια γεωμετρική ακολουθία. Τα

τρίγωνα, λέει ο Πλάτωνας δημιουργούν 5 στερεά. Τα πλατωνικά στερε__________ά και

πως αυτά τα στερεά τα 4 στοιχεία και τον Παράδεισο. Τα Πλατωνικά στερεά

ανήκουν στο σύνολο των γεωμετρικών σχημάτων που ονομάζονται

πολύεδρα. Πολύεδρο είναι ένα στερεό που οριοθετείται από επίπεδα

πολύγωνα. Ένα κανονικό πολύεδρο είναι αυτό που όλες οι πλευρές του είναι

κανονικά πολύγωνα. Μόνο 5 κανονικά στερεά είναι πιθανά, ο κύβος, το

τετράεδρο, το οκτάεδρο, το δωδεκάεδρο και το εικοσάεδρο.

Σύμφωνα με τη φιλοσοφία του Πλάτωνα ο κόσμος στηρίζεται πάνω σε

πέντε βασικά στοιχεία. Αυτά είναι: η φωτιά, ο αέρας, το νερό, η Γή και το

σύμπαν. Σε κάθε ένα από αυτά τα στοιχεία αντιστοιχεί και ένα κανονικό

κυρτό πολύεδρο εγγράψιμο σε μια σφαίρα. Όλες οι έδρες των πολυέδρων

αυτών είναι κανονικά πολύγωνα, όλες οι ακμές είναι μεταξύ των ίσες και όλες

οι γωνίες του στερεές και επίπεδες είναι αντίστοιχα μεταξύ των ίσες. Τέτοια

πολύγωνα υπάρχουν μόνο πέντε! Είναι το τετράεδρο, το οκτάεδρο, το

εικοσάεδρο, ο κύβος και το δωδεκάεδρο. Σύμφωνα με τον Πλάτωνα η

τελειότητα του κόσμου μοιάζει με την απαράμιλλη ομορφιά των κανονικών

αυτών πολυέδρων.

 Το τετράεδρο συμβολίζει τη φωτιά.

 Το οκτάεδρο συμβολίζει τον αέρα.

Έχει 4 έδρες οι οποίες είναι

ισόπλευρα τρίγωνα, 4 κορυφές

και 6 ακμές.

6

 Το εικοσάεδρο συμβολίζει το νερό

 Ο κύβος συμβολίζει τη Γη

 Το δωδεκάεδρο συμβολίζει το Σύμπαν

.

Έχει 8 έδρες οι οποίες είναι ισόπλευρα

τρίγωνα , 6 κορυφές και 12 ακμές

Αποτελείται από 20 έδρες οι

οποίες είναι ισόπλευρα τρίγωνα, 12

κορυφές και 30 ακμές

Αποτελείται από 6 έδρες οι

οποίες είναι τετράγωνα, 8

κορυφές και 12 ακμές

Αποτελείται από 12 έδρες οι

οποίες είναι κανονικά

πεντάγωνα, 20 κορυφές και

30 ακμές

7

Δηλαδή το τετράεδρο, το οκτάεδρο και το εικοσάεδρο κατασκευάζονται

από ίσα μεταξύ των ισόπλευρα τρίγωνα, το εξάεδρο δηλαδή ο κύβος

κατασκευάζεται από ίσα τετράγωνα και το δωδεκάεδρο κατασκευάζεται από

ίσα κανονικά πεντάγωνα.

Τα πέντε αυτά αποκαλούνται σήμερα πλατωνικά στερεά, επειδή ο

Πλάτωνας τα χρησιμοποίησε για την συγκρότηση του υλικού σύμπαντος.

Ένας σπουδαίος μαθηματικός και συνεργάτης του Πλάτωνα στην Ακαδημία

του, ο Θεαίτητος προχώρησε στην κατασκευή αυτών των στερεών και μάλλον

είναι αυτός που απέδειξε ότι υπάρχουν ακριβώς πέντε. Την ίδια πρόταση περί

μοναδικότητας βρίσκουμε και στον

Ευκλείδη. Η απόδειξη του Πλάτωνα, για

τη μοναδικότητα αυτών των στερεών, δεν

θεωρείται αξιόλογη γιατί δεν στηρίζεται

στα μαθηματικά αλλά στην φιλοσοφία.

Πολύ αργότερα κατά την περίοδο

της Αναγέννησης Ο Ιωάννης

Κέπλερ(1571-1630) δημοσιεύει στα 1596

το έργο του «Κοσμολογικό Μυστήριο»

όπου προτείνει ένα μοντέλο του

σύμπαντος στηριζόμενος στα στερεά του

Πλάτωνα. Αυτή την εποχή, έξη μόνο

πλανήτες ήταν γνωστοί. Ο Κέπλερ

σημειώνει ότι οι σφαίρες στις οποίες

ανήκουν οι τροχιές των πλανητών

μπορούν να περιέχουν τα στερεά του

Πλάτωνα. Στον Κρόνο αντιστοιχεί τον

κύβο, στον Δία το τετράεδρο, στον Άρη το δωδεκάεδρο, στην Αφροδίτη το

εικοσάεδρο και στο Ερμή το οκτάεδρο. Η Γη, η οποία παρουσιάζεται ως η

εικόνα του Θεού, χρησιμεύει ως διαχωριστικό μεταξύ των δύο ομάδων των

στερεών αυτών.

Τέλος ο Leonard Euler αποδείχνει το έτος 1752 ότι για τα στερεά αυτά

και όχι μόνο, ισχύει ο τύπος:

Κ+Ε=Α+2

όπου: Κ= το πλήθος των κορυφών

Ε= το πλήθος των εδρών

Α= το πλήθος των ακμών

Η Επίδραση των Μαθηματικών στον Πλάτωνα

Τα μαθηματικά και η φιλοσοφία γεννήθηκαν στην αρχαία Ελλάδα, ως

αποτέλεσμα της αγάπης των αρχαίων ελλήνων στην ακριβολόγηση και την

απόδειξη, υπάρχει στενή σχέση μεταξύ φιλοσοφίας και μαθηματικών.

“Ο Πλάτων θεώρησε τα Μαθηματικά όχι σαν μια εξιδανίκευση

ορισμένων πλευρών του εμπειρικού κόσμου από τους Μαθηματικούς,

αλλά σαν την περιγραφή ενός μέρους της πραγματικότητας.”2

Μπορούμε να ισχυριστούμε ότι: α) Ο Πλάτωνας, που τόνισε την σχέση

μεταξύ Μαθηματικών και Φιλοσοφίας, θεωρούσε τα Μαθηματικά σαν

2 “S. Korner The Philosophy of Mathematics. Hutchinson Un. Library, London, 1971, σ.18.

8

προπαρασκευαστικό μάθημα για την Φιλοσοφία. β) Υπάρχουν πολλές

ομοιότητες μεταξύ Φιλοσοφίας και Μαθηματικών. Για παράδειγμα, είναι οι δύο

πιο αφηρημένες επιστήμες, καθώς επίσης και στις δύο αυτές επιστήμες, η

ορθολογικότητα παίζει κυρίαρχο ρόλο. γ) Η αναζήτηση της αλήθειας δια

μέσου της επιστημονικής έρευνας αναπόφευκτα γεννά όλο και πιο βαθιά και

πολυσύνθετα ερωτήματα, που με την σειρά τους οδηγούν στην τάση για μια

ενοποιημένη αντιμετώπισή τους και κατά συνέπεια στην φιλοσοφία.

Ο θαυμασμός του Πλάτωνα για τα συναρπαστικά επιτεύγματα των

μαθηματικών είναι προφανής, ακόμα και στον περιστασιακό αναγνώστη των

διαλόγων. O Πλάτωνας «μπορούσε να συναναστρέφεται με άνεση στην

Ακαδημία τους καλύτερους μαθηματικούς της εποχής του συμμεριζόμενος και

ενθαρρύνοντας τον ενθουσιασμό τους για τη δουλειά τους». Σήμερα είναι

παραδεκτό πως τα Στοιχεία του Ευκλείδη είναι το αποτέλεσμα μιας

διαδικασίας που ξεκίνησε κατά τη διάρκεια της ζωής του Πλάτωνα. Μερικοί

πρόσφατοι μελετητές έχουν εστιάσει τη προσοχή τους στην επιρροή της

εξέλιξης των μαθηματικών στη φιλοσοφία του Πλάτωνα.

Ο Πλάτωνας πιστεύει ότι τα μαθηματικά «είναι καθολικά χρήσιμα σε

όλες τις τέχνες και σε κάθε μορφή γνώσης και διανοητικής λειτουργίας – το

πρώτο πράγμα που πρέπει κανείς να μάθει». Σημειώνει ο Πλάτωνας, ότι για

να μάθει κανείς μαθηματικά χρειάζονται εντατικές και παρατεταμένες

σπουδές, μια πρόχειρη εξοικείωση με αυτά δεν είναι καθόλου αρκετή. Κατά

συνέπεια, ο Πλάτωνας συνειδητοποίησε ότι τα Μαθηματικά όντα είναι το κατ’

εξοχήν πραγματικό ερέθισμα της διανόησης μας για πνευματικές

δραστηριότητες, ενώ η αλήθεια της ύπαρξης τους είναι αποτέλεσμα του

διαχρονικού και σταθερού χαρακτήρα τους, συνεπώς για τον Πλάτωνα

χρειαζόταν κανείς εντατικές και μακροχρόνιες σπουδές για οποιαδήποτε

«μορφή γνώσης και διανοητικής λειτουργίας>>.

Τα μαθηματικά «αποσπούν την ψυχή από τον κόσμο της αλλαγής στη

πραγματικότητα». «Ξυπνά με φυσικό τρόπο τη δύναμη της σκέψης… να μας

αποσπάσει από την πραγματικότητα» -τουλάχιστον για τις λίγες ψυχές που

είναι ικανές για μια τέτοια άνοδο.

Η διαφοροποίηση του Πλάτωνα από τον δάσκαλο του είναι κατανοητή,

εάν όχι αξιοθαύμαστη. Ο Σωκράτης δεν έδινε αξία στα μαθηματικά, ενώ ο

Πλάτωνας έβλεπε τα μαθηματικά ως μια πύλη στον κόσμο του Είναι, μια πύλη

την οποία πρέπει κανείς να περάσει εάν θέλει να έχει κάποια ελπίδα να

καταλάβει οτιδήποτε πραγματικό. Τα μαθηματικά, η προϋπόθεση της

φιλοσοφικής μελέτης, απαιτούν μια μεγάλη περίοδο εντατικών σπουδών.

Η γοητεία που ασκούσαν τα μαθηματικά στον Πλάτωνα ίσως να ήταν

υπεύθυνη για την αντιπάθεια του για την υποθετική και υποκείμενη σε λάθη

σωκρατική μεθοδολογία.

Το μέρος του Πλατωνικού κόσμου των “Ιδεών” που περιέχει τις

αριθμητικές και τις γεωμετρικές Ιδέες αποτελεί το αντικείμενο των

Μαθηματικών. Ο Πλάτων δεν αναφέρεται σε μαθηματικούς τύπους και δεν

είναι στα ενδιαφέροντα του να κάνει προβλέψεις με χρήση των μαθηματικών.

Αντιθέτως, προσπαθεί να αναγάγει τις αισθητές ποιότητες των τεσσάρων

στοιχείων στις γεωμετρικές κατασκευές μέσα στη μικροφυσική του Τιμαίου,

όπως και να ενσωματώσει τις μαθηματικές δομές του σύμπαντος.

Η αναγκαιότητα της αλήθειας των σωστών μαθηματικών προτάσεων

οφείλεται στο ότι περιγράφουν αναλλοίωτες δομικές σχέσεις ενός σύμπαντος

αναλλοίωτων αντικειμένων. Ο μαθηματικός, για τον Πλάτωνα , δεν εφευρίσκει

9

νέες μαθηματικές αλήθειες, οι αλήθειες αυτές δεν εξαρτώνται από τη

δυνατότητα ή μη του μαθηματικού να τις συλλάβει, αυτές υπάρχουν

ανεξάρτητα απ’ αυτόν και αναμένουν υπομονετικά τον εξερευνητή τους,

αποδέχεται την ύπαρξη των μαθηματικών ανεξάρτητα από την ανθρώπινη

διανόηση ,η σχέση μαθηματικών και αισθητού κόσμου δεν είναι αυτονόητη.

Υπάρχουν ανεξάρτητα από αυτόν και ο μαθηματικός τις ανακαλύπτει, όπως ο

αστρονόμος ανακαλύπτει για πρώτη φορά ένα άγνωστο άστρο.

Η σχέση ανάμεσα στα εφαρμοσμένα και στα καθαρά Μαθηματικά είναι

κατά τον Πλάτωνα τέτοια ώστε η ύπαρξη των εφαρμοσμένων να δικαιώνεται

από την ύπαρξη των καθαρών και όχι να τη δικαιώνει, όπως θα συνέβαινε, για

παράδειγμα, στα πλαίσια μια φιλοσοφικής θεωρίας με εμπειρικό χαρακτήρα.

Αυτή η πλατωνική αντίληψη για τα Μαθηματικά επιτρέπει την κατανόηση των

θεμελίων της σύγχρονης Φυσικής, πιο συγκεκριμένα τη μηχανική αντίληψη

της φύσης στους κλασικούς ( Γαλιλαίο, Ντεκάρτ, Χάιζενμπεργκ).

Δεν υπάρχει αμφιβολία ότι οι πιο πολλοί από τους μεγάλους μαθηματικούς

είναι Πλατωνιστές. Όπως είναι ευρύτατα γνωστό, ο Πλάτωνας μίλαγε για ένα

κόσμο ιδεών ο οποίος υπάρχει ανεξάρτητα από εμάς σε μια άλλη

πραγματικότητα. Οι Πλατωνιστές Μαθηματικοί πιστεύουν ότι σε αυτόν

ακριβώς τον κόσμο κατοικούν και θεμελιώδεις μαθηματικές σχέσεις τις οποίες

εμείς απλώς προσπαθούμε να ανακαλύψουμε. Δηλαδή, δεν δημιουργούμε

αλλά ανακαλύπτουμε Μαθηματικά. Θα ήθελα να παρουσιάσω δύο

επιχειρήματα υπέρ αυτής της απόψεως. α) Υπάρχει πειραματική επιβεβαίωση

ότι οι βασικοί νόμοι της φύσεως εκφράζονται με μαθηματικές εξισώσεις. Για

παράδειγμα οι νόμοι της Κβαντομηχανικής εκφράζονται με την περίφημη

εξίσωση του Schrödinger και οι νόμοι της Θεωρίας της Γενικής Σχετικότητος

με τις εξισώσεις του Einstein. Είναι επίσης γνωστό ότι επειδή οι δύο

παραπάνω βασικές θεωρίες είναι ασυμβίβαστες, η μεγάλη πρόκληση σήμερα

των θεωρητικών φυσικών είναι να ανακαλύψουν μια καινούρια θεωρία, την

λεγόμενη «Θεωρία των Πάντων». Κατά συνέπεια ο Steven Hawking στο

Cambridge και άλλοι μεγάλοι θεωρητικοί φυσικοί προσπαθούν να

ανακαλύψουν ένα καινούριο μαθηματικό φορμαλισμό που θα ενοποιεί όλες τις

φυσικές αλληλοεπιδράσεις. Προφανώς αυτός ο μαθηματικός φορμαλισμός

ήδη κατοικεί στο κόσμο του Πλάτωνα. Εδώ πρέπει να τονίσω ότι όσο πιο

πολύ βαθαίνει η σχέση Μαθηματικών και Θεωρητικής Φυσικής τόσο και

φαίνεται πιο καθαρά ότι σε μεγάλο βαθμό αποτελούν ένα ενιαίο σύνολο. Κατά

συνέπεια τόσο πιο πολύ αποκτούν Πλατωνική υπόσταση, μεγάλες κατηγορίες

αφηρημένων Μαθηματικών όπως η μη Riemanian Γεωμετρία, η Τοπολογία, η

Αλγεβρική Γεωμετρία και η Θεωρία Αριθμών. β) Γνωρίζουμε ήδη από το 1931,

βάσει του περίφημου θεωρήματος του Gödel πως καμία μαθηματική λογική

δεν είναι πλήρης. Δηλαδή, δεν υπάρχει κανένα σύστημα, στο οποίο

αρχίζοντας από ένα πεπερασμένο αριθμό αξιωμάτων τα οποία έχουμε

επινοήσει (τους κανόνες λογικής αυτού του συστήματος) να μπορούμε να

απαντήσουμε αν οποιαδήποτε πρόταση σε αυτό το σύστημα είναι αληθινή ή

όχι. Αυτό συνήθως χρησιμοποιείται ως τεκμηρίωση της αδυναμίας των

Μαθηματικών. Η άποψη μου όμως είναι ότι το θεώρημα του Gödel εκφράζει

ακριβώς το αντίθετο, ότι δηλαδή μέσα στα Μαθηματικά συστήματα υπάρχει

περισσότερη πληροφορία, περισσότερη «αλήθεια» αν θέλετε, από αυτή που

εμείς μπορούμε να αντιληφθούμε.

10

Βιβλιογραφία – Εργασίες

[1] Δ.Α ΑΝΑΠΟΛΙΤΑΝΟΣ: “ Φιλοσοφία των Μαθηματικών”, Εκδόσεις

Νεφέλη, Αθήνα 1986.

[2] Γ. ΒΛΑΣΤΟΣ : “Πλατωνικές μελέτες”, Μετάφραση, Ι. Αρζόγλου, Εκδόσεις

ΜΙΕΤ, Αθήνα 1994.

[3] Β. ΚΑΛΦΑΣ : Πλάτων, “Τίμαιος”, Εισαγωγικά, μετάφραση, σχόλια,

Εκδόσεις Πόλις.

[4] Ι.Ν. ΞΥΡΟΤΥΗΣ : “ Η Κοινωνιολογική σκέψη και ο Πλάτων”, Ομότιμος

καθηγητής της Κοινωνιολογίας στην Ανωτάτη Βιομηχανική Σχολή

Θεσσαλονίκης.

[5] Α.Π.ΦΩΤΕΙΝΗΣ: “ Η διαχρονικότητα της θεωρίας της γνώσεως του

Πλάτωνος”, Εκδόσεις “Ερωδιός”.

[6] ULRICH VON WILAMOWITZ-MOELLENDORFF: Πλάτων, Εκδόσεις

Κάκτος 2005.

[7] STEWART SHAPIRO: “Ο Ρασιοναλισμός του Πλάτωνα και ο

Αριστοτέλης”, Σκέψεις για τα Μαθηματικά.

[8] Κ. ΔΟΡΤΣΙΟΣ : “Τα Μαθηματικά των Αρχαίων Ελλήνων – Τα στερεά του

Πλάτωνα”. Η στήλη των Μαθηματικών.

[9] Κ. ΔΟΡΤΣΙΟΣ , Σ. ΑΜΑΡΑΝΤΙΔΗΣ : “Η Κοσμολογία του Πλάτωνα μέσα

από τον Τίμαιο”. Η Στήλη των Μαθηματικών.

[10] Π. ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ : “Τα Μαθηματικά ως γλώσσα της φύσης – Η

Πλατωνική θέση και οι νεώτερες εκδοχές της”. Ινστιτούτο Πολιτιστικής και

Εκπαιδευτικής Τεχνολογίας.__

Ο Αυστριακός μαθηματικός Kurt Gödel κράτησε το μυστικό του για την ύπαρξη του Θεού για δεκαετίες. Τώρα δύο επιστήμονες αναφέρουν ότι έχουν αποδείξει την ύπαρξη του Θεού με μαθηματικό τρόπο χρησιμοποιώντας υπολογιστές. Οι δύο επιστήμονες τυποποίησαν το θεώρημα του μαθηματικού Kurt Gödel περί υπάρξεως του Θεού ωστόσο αυτή η οπτική γωνία τίθεται κάπως υπό αμφισβήτηση. Το πραγματικό επίτευγμα είναι το παράδειγμα που δίνουν για το πώς οι υπολογιστές και η προηγμένη τεχνολογία μπορεί να απλοποιήσουν και να προωθήσουν την επιστημονική ανακάλυψη.
Όταν ο Gödel πέθανε το 1978, άφησε ως κληρονομιά μια ελκυστική θεωρία βασισμένη σε αρχές της λογικής με την οποία αποδείκνυε την ύπαρξη ενός ανωτέρου όντος.
Οι λεπτομέρειες της μαθηματικής απόδειξης του Gödel είναι πολύπλοκες ωστόσο η ουσία της θεωρίας του ήταν ότι εξ ορισμού ο Θεός είναι κάποιο Όν του Οποίου δεν μπορεί να υπάρξει κάτι ανώτερο.
Αυτή η ιδέα δεν είναι καινούργια. Για πολλούς αιώνες οι διάφοροι φιλόσοφοι προσπάθησαν να χρησιμοποιήσουν την αφηρημένη λογική για να αποδείξουν την αναγκαιότητα της ύπαρξης του Θεού. Ωστόσο το μαθηματικό μοντέλο που επινόησε ο Gödel, εισηγήθηκε μια απόδειξη αυτής της ιδέας. Τα αξιώματα και τα θεωρήματα που την σχηματίζουν μπορεί να εκφραστούν με μαθηματικές εξισώσεις και επομένως να αποδειχτούν με μαθηματικό τρόπο.
Έτσι ο Christoph Benzmüller του Free University του Βερολίνου και ο Bruno Woltzenlogel Paleo του Τεχνικού Πανεπιστημίου της Βιέννης χρησιμοποίησαν ένα συνηθισμένο ηλεκτρονικό υπολογιστή για να αποδείξουν ότι τουλάχιστον στο μαθηματικό επίπεδο η απόδειξη του Gödel ήταν ορθή, χρησιμοποιώντας ανώτερη λογική συνδυασμών.
Το γεγονός ότι η τυποποίηση τέτοιων πολύπλοκων θεωρημάτων μπορεί να αφεθεί στους ηλεκτρονικούς υπολογιστές και να γίνει αυτόματα σε λίγα δευτερόλεπτα ανοίγει διάπλατα τους ορίζοντες της επιστήμης.
Οι δύο επιστήμονες πιστεύουν ότι η μέθοδος τους μπορεί να έχει ευρύτερες εφαρμογές σε τομείς όπως η τεχνητή νοημοσύνη και η επαλήθευση λογισμικών και ηλεκτρονικών προγραμμάτων.
Τελικά η τυποποίηση του υπαρξιακής απόδειξης του Gödel μπορεί να μην κερδίσει τους άθεους ούτε και να επηρεάσει τους πιστούς, οι οποίοι μπορεί να αντιτάξουν ότι ο Θεός εξ ορισμού υπερβαίνει τη λογική, ωστόσο για τους μαθηματικούς που ψάχνουν τρόπους για να ανοίξουν νέους δρόμους αυτή η είδηση μπορεί και να θεωρηθεί ως η απάντηση στις προσευχές τους!
Του Ντεϊβιντ Νάϊτ
Μετάφραση διασκευή: Φιλοθέη
Πηγή: spiegel.de

Προτού αποφασίσετε να δοκιμάσετε τις δυνάμεις σας σε αυτό το παιχνίδι – το οποίο εύκολα από τις «επαγγελματικές» αίθουσες μπορεί να μεταφερθεί στο σαλόνι του σπιτιού σας – φανταζόμαστε ότι θα θέλατε να ξέρετε ποιες είναι οι πιθανότητές σας να φύγετε κερδισμένος από το τραπέζι.
Δυστυχώς αυτή είναι μια ερώτηση στην οποία κανένας δεν μπορούσε να σας απαντήσει με σαφήνεια – τουλάχιστον ως τώρα. Οι πιθανότητες που διέπουν το «ρίξιμο» του ζαριού είναι ένα πρόβλημα που έχει απασχολήσει μερικά από τα μεγαλύτερα μυαλά των μαθηματικών, και όχι μόνο, εδώ και αιώνες, αν όχι χιλιετίες. Ο Γαλιλαίος και ο Πέτερ Χόιγκενς έγραψαν διατριβές για τα παιχνίδια με τα ζάρια ενώ ο Μπλεζ Πασκάλ και ο Πιερ-Σιμόν ντε Φερμά συζητούσαν το ζήτημα σε επιστολές που αντήλλασσαν μεταξύ τους. Οσο και αν ορισμένοι φαίνονται να παίζουν «μιλητό» τάβλι φέρνοντας εξάρες ή ασόδυο ακριβώς όταν το χρειάζονται και όσο και αν κάποιοι άλλοι κατηγορούνται ότι «τσιμπάνε» τα ζάρια, ένας μαθηματικός τύπος για την πρόβλεψη της πορείας που θα ακολουθήσει ένα ζάρι από τη στιγμή που θα φύγει από τα δάχτυλά σας ώσπου να προσγειωθεί ακίνητο μπροστά σας δεν υπήρχε. Η γενική άποψη ήταν ότι επρόκειτο για ένα γεγονός απόλυτα τυχαίο, η έκβαση του οποίου δεν είναι δυνατόν να προβλεφθεί εκ των προτέρων.

Το ζάρι δεν το κυβερνά η Τύχη…

Καρέ-καρέ στην κάμερα υψηλής ταχύτητας: οι διαδοχικές αναπηδήσεις ενός ζαριού σε σχήμα κύβου επάνω σε μια επιφάνεια από καθρέφτη. Οι ερευνητές μελέτησαν επίσης άλλες επιφάνειες, όπως π.χ. από φελλό.

Τώρα μια ομάδα μαθηματικών από την Πολωνία κατόρθωσε να αναπτύξει το πρώτο τρισδιάστατο θεωρητικό μοντέλο για το ρίξιμο του ζαριού. Οι ερευνητές μάλιστα δεν συνέταξαν μόνο τις απαραίτητες εξισώσεις, αλλά επιπλέον «τεστάρισαν» τα θεωρητικά τους ευρήματα στην πράξη, «παρακολουθώντας» με μια κάμερα υψηλής ταχύτητας την κίνηση του ζαριού καρέ-καρέ και διαπιστώνοντας ότι αυτή ακολουθεί τις προβλέψεις τους. Το κύριο συμπέρασμα στο οποίο κατέληξαν ύστερα από πολυετείς μελέτες ανατρέπει την κρατούσα άποψη: αποκαλύπτει ότι το ρίξιμο του ζαριού δεν είναι τελικά τυχαίο, αλλά εξαρτάται από κάποιες πολύ συγκεκριμένες παραμέτρους.
Μη βιαστείτε παρ’ όλα αυτά να ενθουσιαστείτε, θεωρώντας ότι ήρθε επιτέλους η στιγμή να τινάξετε όλες τις μπάνκες στον αέρα. Οπως σπεύδουν να τονίσουν στη μελέτη τους, η οποία έχει γίνει δεκτή προς δημοσίευση στην επιθεώρηση «Chaos», ο προσδιορισμός – ή, ακόμη καλύτερα, ο έλεγχος – αυτών των παραμέτρων είναι τόσο δύσκολος ώστε μάλλον θα πρέπει να δεχθούμε πως το αν θα φέρουμε ντόρτια ή εξάρες τελικά στην πράξη εναπόκειται κατά κύριο λόγο στην τύχη. Αυτό ωστόσο δεν σημαίνει ότι δεν μπορείτε και εσείς να… βάλετε ένα χεράκι: η έρευνα ανέδειξε για πρώτη φορά ορισμένα άγνωστα ως τώρα συμπεράσματα – tips που μπορούν να βοηθήσουν δεινούς ταβλαδόρους, επίδοξους «βασιλιάδες» του καζίνου αλλά και απλούς ερασιτέχνες του Γκρινιάρη να «σπρώξουν» λίγο την τύχη προς το μέρος τους.

Οι πλευρές που είναι «πιο ίσες από τις άλλες»
Το κυριότερο είναι ότι, για να παραφράσουμε τον Οργουελ, αν και θεωρητικά όλες οι πλευρές του ζαριού είναι ίσες, ορισμένες είναι «πιο ίσες από τις άλλες». Συγκεκριμένα, πρόκειται για αυτές που βρίσκονται επάνω και κάτω όταν ξεκινάει η κίνηση. Αυτό σημαίνει πως παρ’ ότι ως τώρα θεωρούνταν πως κάθε πλευρά είχε τις ίδιες πιθανότητες να βρεθεί από πάνω – και άρα να δώσει την τιμή της στη «ζαριά» σας – οι πολωνοί μαθηματικοί διαπίστωσαν ότι είναι λιγάκι περισσότερες οι πιθανότητες της πλευράς που βρίσκεται από κάτω κατά την εκκίνηση του ζαριού να βρεθεί από κάτω και κατά την προσγείωσή του. Αυτές οι πιθανότητες γίνονται δε ακόμη πιο πολλές αν η τριβή κατά την προσγείωση είναι μεγαλύτερη – αν δηλαδή το ζάρι πέσει σε μια σχετικά μαλακή επιφάνεια.
Ας πάρουμε όμως τα πράγματα από την επιστημονική… αρχή τους. Αν και για εμάς είναι μια απλή κίνηση, το ρίξιμο του ζαριού αποτελεί ένα πρόβλημα πολυδιάστατο για τους ερευνητές, όπως εξηγεί μιλώντας στο «Βήμα» ο Μάρτσιν Καπιτάνιακ, διδακτορικός φοιτητής στο Πανεπιστήμιο του Αμπερντίν και ένας εκ των συγγραφέων της μελέτης η οποία διεξήχθη από μαθηματικούς του Πολυτεχνείου του Λοτζ της Πολωνίας με επικεφαλής τον καθηγητή Τόμας Καπιτάνιακ. «Ενας τρόπος για να το προσεγγίσει κάποιος» διευκρινίζει «είναι με βάση τις πιθανότητες και, υπό αυτό το πρίσμα, γενικώς θεωρούνταν ότι οι πιθανότητες κάθε πλευράς να βρεθεί από πάνω είναι ίσες – σε ένα ζάρι δηλαδή σε σχήμα κύβου είναι μία προς έξι».
Ταυτοχρόνως όμως, προσθέτει, ένα ζάρι είναι ένα τέλειο στερεό σώμα και ως τέτοιο κινείται σύμφωνα με τους νόμους του Νεύτωνα. Αυτό σημαίνει ότι η κίνησή του θα πρέπει να είναι απολύτως προβλέψιμη. «Το πρόβλημα είναι ότι η εξίσωση της κίνησης του ζαριού, αν λάβει κάποιος υπ’ όψιν όλες τις παραμέτρους, όπως την τριβή ή την αναπήδηση στο τραπέζι, δεν είναι εύκολο να περιγραφεί» λέει. «Ισως γι’ αυτό κανένας δεν είχε φτιάξει ένα τρισδιάστατο μοντέλο πριν από εμάς. Τα προβλήματα είναι πολλά: πρέπει να κάνεις μοντέλο για την τριβή, μοντέλο για την αναπήδηση, μοντέλο για την επαφή… Ας πούμε ότι η ιδέα είναι απλή, όλοι ξέρουν να κάνουν εξισώσεις, κανένας όμως δεν είχε διάθεση να το κάνει εξαιτίας της σύνθετης μορφής αυτών των εξισώσεων».

Με 9 μποφόρ και στα Ιμαλάια λίγα αλλάζουν…

Αριθμητικός υπολογισμός της πορείας των γωνιών ενός ζαριού σε σχήμα κύβου, με δεδομένες παραμέτρους όπως η μάζα του ζαριού (m), ο συντελεστής κρούσης (x) και το μήκος της ακμής του ζαριού (α)

Ακριβώς επειδή το ζήτημα είναι τόσο σύνθετο, το Τμήμα Μαθηματικών του καθηγητή Καπιτάνιακ στο Πολυτεχνείο του Λοτζ ασχολείται με αυτό εδώ και αρκετά χρόνια. Σε προηγούμενες μελέτες οι ερευνητές είχαν εξετάσει ξεχωριστά τις διάφορες παραμέτρους – το πώς π.χ. μπορεί να επηρεάσει το ζάρι η αντίσταση του αέρα ή η τριβή του με την επιφάνεια όπου πέφτει κάθε φορά. Σε αυτό το τελευταίο υπό δημοσίευση άρθρο «χτίζουν» επάνω στα προηγούμενα ευρήματά τους για να αναπτύξουν το ολοκληρωμένο θεωρητικό μοντέλο τους.
Ισως δεν θα το περιμένατε, όμως μερικά στοιχεία που με βάση τη μηχανική θα μπορούσε κάποιος να θεωρήσει ότι «καθοδηγούν» την κίνηση που θα ακολουθήσει το ζάρι δεν φαίνονται τελικά να παίζουν ρόλο – τουλάχιστον με τρόπο ο οποίος να μπορεί να θεωρηθεί άξιος λόγου. Η βαρύτητα στο σημείο στο οποίο βρίσκεστε, για παράδειγμα, δεν επηρεάζει σχεδόν καθόλου τη ζαριά σας. Εξίσου αμελητέα είναι και η αντίσταση του αέρα – «πρακτικά μπορεί να παραβλεφθεί εντελώς» λέει ο κ. Καπιτάνιακ -, οπότε μπορείτε να συνεχίσετε να παίζετε άφοβα το τάβλι σας με τα μελτέμια στις καλοκαιρινές σας διακοπές.

Η τριβή κάνει τη ζαριά
Μια μηχανική παράμετρος που αποδείχθηκε ωστόσο σημαντική είναι η τριβή. «Υπολογίσαμε την τριβή ανάμεσα στο ζάρι και στο τραπέζι, υπό την έννοια της ποσότητας της ενέργειας που διασκορπίζεται, του λεγόμενου συντελεστή της αντίστασης» εξηγεί ο ερευνητής. Οπως διαπίστωσαν, όσο μικρότερη είναι η τριβή τόσο πιο πολλές αναπηδήσεις θα κάνει το ζάρι προσκρούοντας στην επιφάνεια, με αποτέλεσμα η πρόβλεψη της έκβασης της κίνησής του να είναι δυσκολότερη. «Μικρότερη τριβή έχουν οι σκληρές επιφάνειες» διευκρινίζει. Οι μαλακές επιφάνειες έχουν μεγαλύτερη τριβή επειδή μπορούν να σταματήσουν επάνω τους το ζάρι αμέσως». Αυτό σημαίνει ότι αν παίζετε στο ξύλινο τάβλι η ζαριά σας είναι δυσκολότερο να προβλεφθεί. Αντιθέτως, στην πράσινη τσόχα του καζίνου τα πράγματα είναι ελαφρώς πιο προβλέψιμα.
Ελαφρώς γιατί, εξαιτίας της πολυπλοκότητας του όλου ζητήματος, τα πράγματα στα ζάρια παραμένουν εξαιρετικά ρευστά. Ακόμη και οι αναπηδήσεις δεν φαίνεται να παίζουν πάντοτε τον ίδιο ρόλο. Βεβαίως όσο πιο πολλές είναι οι αναπηδήσεις τόσο λιγότερο προβλέψιμο είναι το γεγονός, όπως όμως έδειξαν οι εικόνες της κάμερας υψηλής ταχύτητας αρκετά συχνά το ζάρι δεν άλλαζε τον προσανατολισμό του ύστερα από μια αναπήδηση.

«Τσίμπημα» ακριβείας
Η μόνη παράμετρος που φάνηκε να επηρεάζει πάντοτε το αποτέλεσμα ήταν η θέση που είχε το ζάρι όταν ξεκινούσε την κίνησή του, τη στιγμή δηλαδή που το «έριχνε» το ειδικό μηχάνημα. «Νομίζω ότι ο πιο σημαντικός παράγοντας είναι η αρχική θέση» λέει ο κ. Καπιτάνιακ. «Φανταστείτε ότι ρίχνετε ένα ζάρι στην ίδια επιφάνεια επαναλαμβανόμενα. Επειδή δεν μπορείτε να επιτύχετε την ίδια αρχική θέση, ακριβώς την ίδια, το αποτέλεσμα θα είναι διαφορετικό κάθε φορά. Φυσικά και η τριβή παίζει ρόλο, στο συγκεκριμένο πείραμα όμως η τριβή δεν έχει σημασία γιατί ρίχνετε το ίδιο ζάρι στην ίδια επιφάνεια». Το γεγονός ότι είναι τόσο δύσκολο να επιτύχουμε ακριβώς την επιθυμητή θέση, συμπληρώνει, είναι αυτό που καθιστά την κατά τα άλλα προκαθορισμένη και υπολογίσιμη πορεία της ζαριάς πρακτικά τυχαία.
Αν όλα αυτά σάς φαίνονται «ασκήσεις πολυτελείας» χρήσιμες μόνο για την εκγύμναση του πνεύματος ορισμένων μαθηματικών ή ενδιαφέρουσες μόνο για τους παίκτες των καζίνων, ίσως θα πρέπει να το ξανασκεφθείτε.
Οπως μας εξηγεί ο ερευνητής, η μελέτη της κίνησης του ζαριού μπορεί να έχει εφαρμογή σε οποιοδήποτε ασυνεχές μηχανικό σύστημα – μπορεί δηλαδή να περιγράψει κάθε μηχανικό σύστημα στο οποίο προκαλείται ασυνέχεια εξαιτίας μιας πρόσκρουσης ή ενός κραδασμού. Ως παράδειγμα αναφέρει τα συστήματα απορρόφησης των κραδασμών σε διάφορα μηχανήματα, όπως τα κρουστικά τρυπάνια.
Μπορεί να μας πει τι θα πρέπει να κάνουμε για να φέρουμε την «καλή ζαριά» στα παιχνίδια μας; «Δυστυχώς δεν μπορώ. Αν μπορούσα, θα ήμουν μάγος» απαντά.
«Εμείς είδαμε ότι η πλευρά που είναι επάνω όταν ρίχνετε το ζάρι είναι πιθανότερο να παραμείνει επάνω όταν αυτό προσγειωθεί. Είναι όμως πολύ δύσκολο να εξασφαλίσετε ότι το ζάρι θα έχει την κατάλληλη θέση όταν θα φύγει από το χέρι σας». Αυτό δεν σημαίνει ότι έχετε κάτι να χάσετε αν το προσπαθήσετε – αντιθέτως, αν φροντίσετε να ξεκινάτε τη ζαριά σας με τον επιθυμητό αριθμό στο επάνω μέρος, ίσως τελικά να βγείτε κερδισμένοι.

Χάος στην πράσινη τσόχα

Η χαοτική πορεία ενός ζαριού επάνω σε ένα περιοδικά παλλόμενο τραπέζι.

Τα παιχνίδια όπως τα ζάρια και η ρουλέτα – ή ακόμη και το πιο απλό κορόνα-γράμματα – δεν λέγονται τυχαία «τυχερά». Εξαιτίας του γεγονότος ότι αρνούνται να δώσουν εκ των προτέρων ένα προβλέψιμο αποτέλεσμα με βάση τους νόμους των πιθανοτήτων και της μηχανικής, αποτελούν ένα διαχρονικό πρόβλημα για την επιστήμη. Στον 20ό αιώνα η εμφάνιση της θεωρίας του χάους φάνηκε να προσφέρει μια λογική εξήγηση στο αιώνιο παζλ, δίνοντας μια άλλου είδους «χαοτική» διάσταση στην πράσινη τσόχα των καζίνων.
Οι περισσότεροι έχουν ίσως συνδέσει τη θεωρία του χάους με τα φτερά μιας πεταλούδας που πετώντας στη Βραζιλία προκαλεί τυφώνα στο Τέξας. Το παράδειγμα θέλει να τονίσει το γεγονός ότι σε ένα αιτιοκρατικό μη γραμμικό σύστημα σαν αυτά που περιγράφονται με τη θεωρία του χάους (όπως π.χ. τα μετεωρολογικά συστήματα ή οι κινήσεις των υποατομικών σωματιδίων) οι αρχικές συνθήκες είναι πολύ σημαντικές. Εστω και μια ανεπαίσθητη μεταβολή τους – όπως το άνοιγμα των φτερών μιας πεταλούδας – μπορεί να προκαλέσει μια σειρά από αντιδράσεις που θα αλλάξουν την έκβαση των πραγμάτων και το τελικό αποτέλεσμα. Για τον λόγο αυτόν λέγεται και ότι τα συστήματα αυτά χαρακτηρίζονται από φαινομενική τυχαιότητα: αν και είναι ντετερμινιστικά, δηλαδή εξελίσσονται τακτοποιημένα και καθορισμένα και κάθε άλλο παρά τυχαία, η μεγάλη «ευαισθησία» τους ως προς τις αρχικές συνθήκες μοιάζει να εισάγει κατά κάποιον τρόπο τον παράγοντα της τύχης. Από την άποψη αυτή, η θεωρία ταιριάζει «γάντι» σε παιχνίδια όπως το ζάρι ή η ρουλέτα. Τα πράγματα δεν είναι όμως τόσο απλά.
«Η θεωρία του χάους παίζει ρόλο, θα πρέπει όμως να πάτε λίγο πιο πέρα και να σκεφθείτε κάτι που λέγεται μεταβατική θεωρία του χάους» μας λέει ο κ. Καπιτάνιακ. «Πριν από χρόνια, όταν εγώ ήμουν στο δημοτικό και ξεκίνησε όλη η θεωρία του χάους, όλοι θεωρούσαν ότι όλα μπορούν να περιγραφούν με αυτήν. Και βεβαίως το φυσικό ερώτημα ήταν: “Μήπως και το ρίξιμο του ζαριού μπορεί να εξηγηθεί με αυτήν;”». Παρ’ ότι οι πολωνοί μαθηματικοί κατέληξαν στο συμπέρασμα πως οι αρχικές συνθήκες στο ρίξιμο του ζαριού είναι τόσο δύσκολο να καθοριστούν ώστε, αν και θεωρητικά προβλέψιμο, το γεγονός πρακτικά είναι τυχαίο, το ζάρι δεν έχει χαοτική συμπεριφορά.
«Οι χαοτικές διαδικασίες είναι συνήθως ασυμπτωτικές, εξελίσσονται επ’ άπειρον» λέει ο μαθηματικός. «Το ρίξιμο του ζαριού είναι όμως πεπερασμένο, το “φινάλε” είναι η προσγείωσή του». Οπως ανακάλυψαν οι πολωνοί ερευνητές, το ζάρι μπορεί να γίνει χαοτικό – αποκτώντας «άπειρη» κίνηση – μόνο σε δύο περιπτώσεις: Η πρώτη είναι αν θεωρήσουμε ότι οι προσκρούσεις του ζαριού στην επιφάνεια στην οποία πέφτει είναι ελαστικές έτσι ώστε η ενέργεια να μη χάνεται ποτέ – σε ένα χαμιλτονιανό σύστημα, όπως ονομάζεται. Η δεύτερη είναι αν το ζάρι πέσει σε ένα τραπέζι που δονείται – κάτι το οποίο επίσης διατηρεί την ενέργεια. Και οι δύο περιπτώσεις όμως, όπως τονίζεται στη μελέτη, είναι μη ρεαλιστικές. «Νομίζω ότι το βασικό συμπέρασμα της δουλειάς μας είναι πως το ρίξιμο του ζαριού δεν είναι ούτε χαοτικό ούτε τυχαίο» καταλήγει ο ερευνητής. «Εξαιτίας όμως της δυσκολίας καθορισμού των αρχικών συνθηκών, δεν μπορούμε να προβλέψουμε τα αποτελέσματα».

Πηγη: http://www.tovima.gr/science/article/?aid=490044&h1=true#commentForm

Τα επτά αινίγματα των σύγχρονων μαθηματικών
Ενα από τα προβλήματα που δεν έχουν λύσει οι ασχολούμενοι με τα μαθηματικά είναι η ανατροπή της εικόνας του στρυφνού και απρόσιτου μαθήματος. Ωστόσο η μαθηματική επιστήμη συνεχίζει να επηρεάζει την ανθρώπινη επιστημονική οδύσσεια στην αυγή της νέας χιλιετίας έχοντας αλματώδη ανάπτυξη

ΣΤ. ΛΕΙΒΑΔΑΣ

Σε πολύ λίγους φαντάζομαι είναι γνωστό ότι το 2000 έχει ανακηρυχθεί Παγκόσμιο Ετος Μαθηματικών από τη Διεθνή Μαθηματική Εταιρεία και την Unesco• πιθανόν και μέσα στους κόλπους της ευρείας επιστημονικής ή της εκπαιδευτικής μαθηματικής κοινότητας να είναι αρκετοί που το αγνοούν ή τους αφήνει αδιάφορους! Ακόμη περισσότερο βέβαια τον μέσο καθημερινό άνθρωπο οποιασδήποτε ηλικίας για τον οποίο συνήθως τα μαθηματικά είναι ένα σύνολο δύσκολων και δυσνόητων ασκήσεων και τύπων τα οποία… του έκαναν τη ζωή δύσκολη στα μαθητικά χρόνια και δεν είναι και λίγες οι περιπτώσεις που νέοι πτυχιούχοι έχουν τελειώσει τις σπουδές τους σε θετική επιστήμη έχοντας πάντα μια απωθητική εικόνα για τα μαθηματικά και… τους μαθηματικούς! Ποιος τελικά ευθύνεται γι’ αυτή τη γνωστή σε όλους τάση; Τα ίδια τα μαθηματικά που όσο ανεβαίνει το επίπεδό τους δείχνουν να απαιτούν ακόμη πιο εκλεπτυσμένες πνευματικές ικανότητες προσαρμοσμένες στις απαιτήσεις τους (αναλυτική και συνθετική ικανότητα, νοητική αφαίρεση και παραλληλισμός κ.ά.), η μαθηματική παιδεία από τα πρώιμα μαθητικά χρόνια, η ικανότητα των ίδιων των εκπαιδευτικών του κλάδου να αναζωογονήσουν, να τονώσουν το ενδιαφέρον γι’ αυτή την επιστήμη στις νέες γενιές μαθητών και φοιτητών, αφού πρώτα οι ίδιοι εμβαθύνουν στο νόημα, στην προοπτική και στην εξέλιξη των μαθηματικών;
Η απάντηση δεν είναι τόσο εύκολη και θα απαιτούσε ανάλυση διά μακρών αφού το θέμα απασχολούσε και απασχολεί πολλούς εξειδικευμένους επιστήμονες της διδακτικής των μαθηματικών σε όλες τις προηγμένες μαθηματικά (και γενικά) χώρες. Μια πρώτη grosso modo προσέγγιση είναι ότι πρόκειται για συνδυασμό όσων προαναφέρθηκαν. Είναι αλήθεια ότι τα μαθηματικά η ακριβής επιστήμη για τον Καντ που «μας δείχνει και μας προσφέρει ένα εκρηκτικό παράδειγμα του πόσο μπορούμε να πάμε μακριά, ανεξάρτητα από την πείρα, στην εκ των προτέρων γνώση» (Κριτική του Καθαρού Λόγου) , όντας ένα σύνολο γνώσεων και δεξιοτήτων αυξανόμενης απαιτητικότητας και από μια άποψη δεν είναι για όλους, όπως η μουσική π.χ. δεν είναι για όλους , πάσχουν, και όχι μόνο στην Ελλάδα, εδώ και χρόνια, ίσως ανέκαθεν, από τον τρόπο, τη μέθοδο που διδάσκονται από τα χρόνια της δημοτικής εκπαίδευσης καθώς και από τις προκαταλήψεις που δημιουργούνται γι’ αυτά από το σύστημα των εξετάσεων, ακόμη και από τους ίδιους τους μαθηματικούς, οι οποίοι σε πολλές περιπτώσεις δεν κάνουν σχεδόν τίποτε για να απαγκιστρώσουν το αντικείμενό τους από μια καλλιεργημένη χρονία εικόνα του στρυφνού, αφηρημένου, απρόσιτου μαθήματος ή επιστήμης, ενός κλάδου γνώσεων που έχει «απονεκρωθεί» σε ένα σύστημα θεωρημάτων και προτάσεων πιθανόν χρήσιμων για άλλες παρεμφερείς επιστήμες, άχρηστων όμως στην καθημερινή ζωή και εξέλιξη.
Το θεμέλιο της πληροφορικής
Και όμως δεν είναι καθόλου έτσι. Πρώτα απ’ όλα τα λεγόμενα καθαρά μαθηματικά είναι ο πνευματικός «πατέρας», το θεμέλιο της σύγχρονης πληροφορικής (ξεκινώντας από τη θεωρία αλγεβρών Boole, στα τέλη του περασμένου αιώνα, περνώντας στη θεωρία αλγοριθμικών μηχανών στα μέσα του 20ού αιώνα, φθάνοντας στις σύγχρονες θεωρίες υπολογιστικής λογικής) και συνεχίζουν να ανατροφοδοτούνται σε θεωρητικό και πρακτικό επίπεδο. Είναι απίθανο να φανταστεί κανείς ένα σύγχρονο επιστημονικό – τεχνολογικό επίτευγμα, μία σύγχρονη θεωρία αιχμής που να μην έχει βάση ή τουλάχιστον να μην αφορά τα μαθηματικά στην ολότητά τους. Χωρίς μαθηματικά δεν θα υπήρχαν υπολογιστές, δεν θα υπήρχαν οι ημιαγωγοί των επεξεργαστών υπολογιστών, δεν θα υπήρχαν τηλεπικοινωνίες, γενετική – μηχανική, αεροναυτική, νανοτεχνολογία, κατάκτηση του Διαστήματος!.. Στη σύγχρονη έρευνα στις μεγάλες φυσικές θεωρίες (κβαντική βαρύτητα, ενιαιοποίηση των δυνάμεων της φύσης κτλ.) είναι δύσκολο να πει κανείς αν προηγείται η μορφοποίηση μιας πρωτοπόρου μαθηματικής σύλληψης ή η πειραματική – εμπειρική παρατήρηση. Ακόμη και στη σύγχρονη οικονομική επιστήμη οι ερευνητές ξέρουν ότι η επεξεργασία νέων οικονομικών μοντέλων και δράσεων απαιτεί υψηλού, υψηλοτάτου επιπέδου μαθηματική κατάρτιση.
Είναι εκ παραλλήλου άξιο να αναφερθεί ότι είναι ως έναν βαθμό εσφαλμένη η εντύπωση πως τα σύγχρονα μαθηματικά διαχωρίζονται στα λεγόμενα εφαρμοσμένα, τα οποία ακολουθούν τη σύγχρονη εξέλιξη και τεχνολογία, και στα καθαρά, τα οποία είναι σχεδόν άχρηστα και αφορούν μια ελίτ ακαδημαϊκού ή ερευνητικού επιπέδου μαθηματικών. Τα μαθηματικά είναι ενιαία επιστήμη, ενιαίος οργανισμός με ξεχωριστά εξειδικευμένα μέρη, τα οποία όμως βρίσκονται σε οσμωτική σχέση μεταξύ τους και αναπτύσσονται παράλληλα. Αφηρημένες μαθηματικές θεωρίες οι οποίες στην εποχή τους αφορούσαν ακριβώς μια ιδιοφυή μαθηματική ελίτ διαμόρφωσαν μετά από δεκαετίες ολόκληρες επιστήμες (όπως η περίπτωση των θεωρητικών υπολογιστικών μηχανών του άγγλου μαθηματικού Alan Turing στα μέσα της δεκαετίας του ’30) ή νέες φυσικές κοσμοθεωρίες (όπως οι μαθηματικοί χώροι του Β. Riemann που χρησίμευσαν ως γεωμετρικό μοντέλο της γενικής σχετικότητας του Αϊνστάιν ύστερα από 60 περίπου χρόνια!). Οπως παρατηρεί ο Alain Connes, καθηγητής στο College de France και κάτοχος του μαθηματικού βραβείου Fields το 1982, «τα μαθηματικά είναι περίπου όπως ο νους του εγκεφάλου: ένας βαθύς στοχασμός που δεν είναι πάντα άμεσης χρησιμότητας».
Ενα στοίχημα στο Παρίσι
Ο ίδιος ο Alain Connes είναι μαζί με τρεις άλλους μεγάλους σύγχρονους μαθηματικούς, ανάμεσά τους και ο Andrew Wiles, που απέδειξε το τελευταίο θεώρημα του Fermat το 1994, μέλος στην Επιστημονική Επιτροπή του Ινστιτούτου Μαθηματικών Clay, το οποίο με την αποκλειστική γενναιοδωρία ενός αμερικανού επιχειρηματία και φίλου των μαθηματικών, του κ. Landon Clay, θεσμοθετεί από εφέτος το έπαθλο του 1.000.000 δολαρίων γι’ αυτόν που θα λύσει ένα από τα επτά μεγάλα αινίγματα της σύγχρονης μαθηματικής επιστήμης! Τα αινίγματα αυτά δεν απευθύνονται βέβαια σε ερασιτέχνες μαθηματικούς γιατί καθένα απ’ αυτά είναι και ένα… «βουνό» με προηγούμενες απόπειρες πολλών χρόνων ούτε μπορούν καν να αναφερθούν σε έναν μη εξειδικευμένο αναγνώστη. Μερικά τουλάχιστον απ’ αυτά δεν βρίσκονται σε κάποιο ιδεατό πλατωνικό σύμπαν(!) αλλά αφορούν άμεσα ή έμμεσα άλλες λίαν γήινες επιστήμες, δηλαδή την κβαντομηχανική και την κρυπτογραφία.
Η επιλογή του 2000 γι’ αυτή την πρόκληση δεν είναι τυχαία• τα μαθηματικά συνεχίζουν με τον έναν ή τον άλλον τρόπο να επηρεάζουν την ανθρώπινη επιστημονική οδύσσεια στην αυγή της νέας χιλιετίας, συνεχίζοντας μια αλματώδη ανάπτυξη που άφησε τη σφραγίδα της μέσω της λεγομένης κρίσης των θεμελίων τους τον προηγούμενο αιώνα ακόμη και στη φιλοσοφία. Ταυτόχρονα υπενθυμίζει το στοίχημα που είχε θέσει 100 χρόνια πριν, από το Παρίσι, ενώπιον του παγκόσμιου μαθηματικού συνεδρίου, ένας μεγάλος γερμανός μαθηματικός, ο David Hilbert υποβάλλοντας 23 προβλήματα προς επίλυση στις μελλοντικές γενιές μαθηματικών. Δώδεκα απ’ αυτά έχουν ήδη επιλυθεί, σε οκτώ έχει γίνει σημαντική πρόοδος και ένα, ίσως το σπουδαιότερο (Υπόθεση Riemann για τους πρώτους αριθμούς), φιγουράρει άλυτο στη νέα λίστα των επτά αινιγμάτων του κ. Clay! *
* Ο κ. Στάθης Λειβαδάς είναι μαθηματικός, μέλος της Ελληνικής Μαθηματικής και Φιλοσοφικής Εταιρείας.

Το ΒΗΜΑ, 17/12/2000 , Σελ.: B11
Κωδικός άρθρου: B13145B111

Πηγή: A. ΓΑΛΔΑΔΑΣ /ΒΗΜΑ/31-7-05
Ημερμομηνία καταχώρησης: Aug 4 2005 at 03:06:24 PM

Τα θεωρήματα των ΖΟΓΚΛΕΡ
Μαθηματικά ΚΟΛΠΑ

Διάσημοι επιστήμονες, όπως ο Ρίτσαρντ Φέινμαν και ο Κλοντ Σάνον, αλλά και άλλοι, λιγότερο γνωστοί, από τον χώρο των μαθηματικών και της φυσικής, όχι μόνο αρέσκονταν και αρέσκονται ακόμη στο να παίζουν κρατώντας στον αέρα όσο γίνεται περισσότερες μπάλες, κρίκους ή κορύνες, αλλά ασχολήθηκαν εντατικά και με το να βρουν εξισώσεις ή να διατυπώσουν σχετικά θεωρήματα. Στην Ελλάδα είναι ενασχόληση λίγων, αλλού όμως υπάρχουν ακόμη και προγράμματα στους υπολογιστές που την αναδεικνύουν αληθινή επιστήμη, ενώ γερμανοί ερευνητές ανακάλυψαν ότι η απασχόληση αυτή βοηθάει πολύ στην ανάπτυξη του εγκεφάλου!

A. ΓΑΛΔΑΔΑΣ

Την περασμένη χρονιά το μεγάλου κύρους περιοδικό «Nature» δημοσίευσε ένα άρθρο σχετικά με τον εγκέφαλο κάποιων εθελοντών που είχαν για λίγο μεταβληθεί σε… ζογκλέρ. Ερευνητές του Πανεπιστημίου του Ρέγκενσμπουργκ υπέβαλαν 24 άτομα σε μια πολύ λεπτομερή σάρωση και μέτρηση της συγκέντρωσης του εγκεφαλικού ιστού. Στη συνέχεια ζήτησαν τα μισά άτομα να αρχίσουν να εξασκούνται στην κλασική και πιο εύκολη φιγούρα των ζογκλέρ όπου τα δύο χέρια κατορθώνουν να διατηρούν τρεις μπάλες εναλλάξ στον αέρα. Επειτα από τρεις μήνες, μετρώντας ξανά τον εγκεφαλικό ιστό, βρήκαν ότι σε όσους είχαν ασκηθεί ανελλιπώς η φαιά ουσία είχε αυξηθεί κατά 3% περίπου στις περιοχές που ήταν υπεύθυνες για την επεξεργασία των οπτικών ερεθισμάτων. Οταν μετά σταμάτησαν να εξασκούνται, ο εγκέφαλός τους γύρισε στις παλιές του διαστάσεις. Ετσι οι ερευνητές άρχισαν να σκέπτονται ότι τέτοιες δραστηριότητες όπως αυτές των ζογκλέρ αναγκάζουν τον εγκέφαλο να αναπτυχθεί για να αντιμετωπίσει τον φόρτο νέων δεδομένων που πρέπει να επεξεργαστεί όταν οι απαιτήσεις αυξάνονται τόσο δραματικά. Και αυτό ίσως ανοίγει την πόρτα για να βρεθεί απάντηση σε παλιά αινίγματα του ανθρώπινου οργανισμού όπως η δυσλεξία.

«Παίζεις, παίζεις;».

«E, λίγο».

«Πόσα;».

«Οχι πολύ, τρία-τέσσερα μπαλάκια. Καταρράκτη, αντίστροφο καταρράκτη, μποξ».

Εχουν τη δική τους διάλεκτο όσοι ασχολούνται με τα… ζογκλερικά κι εδώ στην Αθήνα. Στην Τζαβέλλα, στον πεζόδρομο που ενώνει την Εμμανουήλ Μπενάκη με την οδό Ζωοδόχου Πηγής, βρίσκεται ένα μαγαζί που πουλάει όλα όσα χρειάζεται ένας ζογκλέρ για να εξασκήσει την τέχνη του. Εκεί μαζεύονται όταν έχει καλό καιρό όχι μόνο όσοι θέλουν να αγοράσουν κρίκους, μπάλες, κορύνες και διάφορα άλλα σχετικά σύνεργα ή να ακούσουν τα νέα αλλά και όσοι τους αρέσει να εξασκούνται παρέα και να μαθαίνουν από τους άλλους. Είναι πολύ εύκολο να μπεις στην ομάδα. Οι περαστικοί όμως κοιτούν για λίγο αλλά οι πιο πολλοί δεν στέκονται. Θεωρείται μια ασχολία μάλλον περιθωριακή για ανθρώπους που θα καταλήξουν σε κάποιο τσίρκο ή έστω σε μια σκηνή θιάσου ποικιλιών.

Το Caltech, εκεί όπου δίδαξαν μερικοί από τους πιο μεγάλους φυσικούς, έχει τη δική του λέσχη ερασιτεχνών ζογκλέρ, όπου ποτέ δεν ξέρεις, εκτός από τους φοιτητές, ποιος καθηγητής θα σκάσει μύτη στις εβδομαδιαίες συναντήσεις για προπόνηση που γίνονται ανελλιπώς από το 1999. Υπάρχει μάλιστα και φωτογραφία του Ρίτσαρντ Φέινμαν από το 1950 καθώς αυτός, ο πιο διάσημος καθηγητής της σχολής, διασκεδάζει εκτελώντας ο ίδιος κάποιο ζογκλερικό νούμερο. Από το 1970 το MIT, ένα από τα πιο γνωστά πολυτεχνεία στον κόσμο, έχει τη δική του λέσχη και υπερηφανεύεται για τις επιδόσεις των μελών του. Ενας από αυτούς υπήρξε και ο Κλοντ Σάνον. Ο άνθρωπος που σκέφθηκε ότι το 0 και το 1 θα ήταν το λεξιλόγιο ενός επιτυχημένου υπολογιστικού μηχανήματος, η εργασία του οποίου για το Μάστερ θεωρείται η πιο σημαντική του 20ού αιώνα και ο ίδιος ένας από τους εξυπνότερους ανθρώπους που έζησαν ποτέ. Ενας αυτόπτης μάρτυρας διηγείται ότι κάποτε, όταν τον αναγνώρισαν καθώς παρακολουθούσε μια διάλεξη και τον ανάγκασαν να ανεβεί στο βήμα και να πει δυο λόγια, δεν παρέλειψε να διασκεδάσει το ακροατήριό του κάνοντας και κάποια ζογκλερικά. Το ενδιαφέρον του άλλωστε έχει απαθανατιστεί και από το Θεώρημα του Σάνον για τον Καταρράκτη, ένα από τα πιο κλασικά νούμερα της ζογκλερικής τέχνης. Διότι για όλους αυτούς τους επιστήμονες, ερευνητές, κατόχους διδακτορικών τίτλων, τις διασημότητες της ακαδημαϊκής κοινότητας, το να παιδεύεσαι να κρατήσεις στον αέρα, με μια θαυμαστή σύμπνοια εγκεφάλου, ματιών, αφής και όρασης, όσο γίνεται περισσότερα αντικείμενα είναι μια δραστηριότητα απελευθερωτική, αξιομίμητη, προκλητικά ενδιαφέρουσα και καθόλου περιθωριακή. Για αυτούς φυσικά που δεν αφήνουν τη σοβαροφάνειά τους να νοθέψει την ουσία μιας πανάρχαιας δραστηριότητας. Εμείς εδώ στην Ελλάδα είναι αλήθεια ότι δεν το έχουμε δει έτσι το θέμα…

Εκατόν πενήντα τάφοι έχουν βρεθεί σε μια τοποθεσία της Αιγύπτου που ονομάζεται Μπενί Χασάν και χρονολογούνται περίπου στο μέσον της περιόδου 1994 ως 1781 π.X. Ενας από αυτούς ανήκει σε κάποιον άγνωστο πρίγκιπα και αυτοί που έμειναν πίσω φρόντισαν να στολίσουν την τελευταία κατοικία του με τοιχογραφίες γεμάτες ευχάριστες εικόνες της καθημερινής ζωής. Μία από αυτές λοιπόν φαίνεται ότι ήταν και τα παιχνίδια με τις μπάλες στα επιδέξια χέρια των νεαρών γυναικών και είναι φανερό ότι μερικά από τα κλασικά σημερινά κόλπα των ζογκλέρ ήταν γνωστά από τότε. Και ένα άλλο μεταγενέστερο αγγείο με την παράσταση μιας γυναίκας καθισμένης που «παίζει» με τρεις μπάλες αλλά και το αγαλματίδιο της εποχής των Πτολεμαίων (200 π.X.) από τις Θήβες της Αιγύπτου θυμίζουν την πανάρχαια καταγωγή αυτής της συνήθειας. Μπάλες από δέρμα με σπόρους μέσα ή από έντεχνα πλεγμένα φύλλα, μαχαίρια και δάδες ήταν τα σύνεργα των ζογκλέρ ανά τους αιώνες. H πρώτη επιστημονική μελέτη γύρω από το θέμα εμφανίζεται μόλις το 1903, όταν μελετήθηκαν οι δυσκολίες να ρίχνεις και να πιάνεις εναλλάξ δύο μπάλες με το ένα χέρι. Το 1970 χάρη στον Σάνον έπαψαν οι ασκήσεις των ζογκλέρ να είναι μονοπώλιο των ανθρώπων του τσίρκου και των ηθοποιών του δρόμου. Από τότε έχουμε και το Θεώρημα του Σάνον, που δίνεται συνοπτικά από την ισότητα: (F+D)Η = (V+D)Ν, όπου F είναι ο χρόνος παραμονής μιας μπάλας στον αέρα, D ο χρόνος που μια μπάλα μένει στο χέρι, V είναι ο χρόνος ενόσω το χέρι δεν κρατά κάποια μπάλα, το N δείχνει το πόσες μπάλες παίζουμε και το H πόσα χέρια χρησιμοποιούμε. Από το θεώρημα φαίνεται και το αυτονόητο ότι παίζοντας με περισσότερες μπάλες τα χέρια μας θα είναι περισσότερο χρόνο απασχολημένα.

Οχι μόνο κατασκευάστηκαν στο MIT και αλλού διάφορα ρομπότ που μπορούν να παίζουν ακόμη και με πέντε μπάλες αλλά έγινε προσπάθεια να ερευνηθούν με μαθηματικές μεθόδους θέματα σχετικά με την τέχνη του να κρατάς στον αέρα περισσότερα αντικείμενα από όσα είναι τα χέρια σου. Μάλιστα το 1995 εμφανίστηκε άρθρο στο περιοδικό «Scientific American» όπου γινόταν λόγος και για τον τρόπο επιστημονικής καταγραφής των συνδυασμών που επινοεί ένας ζογκλέρ. Σήμερα έχουμε καταλήξει σε μια αριθμητική καταγραφή τόσο αποτελεσματική ώστε με κατάλληλα προγράμματα ο υπολογιστής «επινοεί» συνδυασμούς που μπορούμε στη συνέχεια να δοκιμάσουμε με τα χέρια μας και επίσης είναι εύκολο να ξέρουμε ποια κόλπα είναι αδύνατον να γίνουν!

5 4 3 ή 5 5 5 0 0 ή μήπως 4 4 4 4;..

Στην εικόνα φαίνονται οι «ρίψεις» από κάθε χέρι και ο αριθμός που αντιστοιχεί στην καθεμία με βάση τον γενικά αποδεκτό πλέον τρόπο καταγραφής των διαφόρων «κόλπων». Μονοί αριθμοί για το πέρασμα από το ένα χέρι στο άλλο, ζυγοί όταν το αντικείμενο δεν αλλάζει χέρι

Ενας αριθμός στο σύστημα καταγραφής δείχνει το σχετικό ύψος στο οποίο φθάνει μια μπάλα προτού καταλήξει πάλι σε κάποιο χέρι. Ταυτόχρονα σε αυτό το ύψος αντιστοιχούν και κάποιες μονάδες χρόνου που χρειάζονται για την αντίστοιχη πτήση. Εχει συμφωνηθεί πως οι ζυγοί αριθμοί θα δείχνουν ότι η μπάλα επιστρέφει στο ίδιο χέρι από το οποίο ξεκίνησε ενώ οι μονοί αριθμοί δείχνουν ότι κατέληξε στο άλλο χέρι. Ο αριθμός μηδέν δείχνει ότι έχουμε κάποια στιγμή που το αντίστοιχο χέρι είναι άδειο ενώ το 1 δείχνει ότι απλά περάσαμε γρήγορα μια μπάλα οριζόντια από το ένα χέρι στο άλλο. Δεν χρειάζεται να σημειώνουμε από ποιο χέρι αρχίζουμε, άλλωστε δεν έχει σημασία, αρκεί να θυμόμαστε ότι οι αριθμοί αναφέρονται πάντα εναλλάξ στο δεξί και στο αριστερό. Με λίγη εξάσκηση φθάνεις να βλέπεις πολύ μακριά.

Παράδειγμα 1: 3 3 3 3 3 3 3 3 3…

Το πρώτο τριάρι σημαίνει ότι εκτοξεύεται μια μπάλα από το ένα χέρι προς το άλλο αφού το 3 είναι μονός και φθάνει εκεί μετά από τρία ίσα χρονικά διαστήματα. Το δεύτερο τριάρι αντιστοιχεί στο άλλο χέρι. Το τρίτο τριάρι δείχνει ότι άλλη μια μπάλα που κρατούσαμε στο πρώτο χέρι έφυγε για το άλλο. Τελικά η σειρά από τα τριάρια δείχνει στον μυημένο τον λεγόμενο καταρράκτη, το πιο απλό από τα κόλπα των ζογκλέρ.

Παράδειγμα 2: 4 4 4 4 4 4 4 4…

Εδώ έχουμε δύο μπάλες που κρατούμε από μία στο κάθε χέρι και τις εκσφενδονίζουμε προς τα επάνω εναλλάξ και τις πιάνουμε με το ίδιο χέρι, αφού ο 4 είναι ζυγός αριθμός.

Γενικά υπάρχει ένας ακόμη κανόνας που λέει ότι για να βρεις πόσες μπάλες χρειάζεσαι για ένα κόλπο αθροίζεις τους αριθμούς και διαιρείς με το πλήθος τους. Αν το αποτέλεσμα δεν δίνει ακέραιο αριθμό, το κόλπο δεν γίνεται. Και αν όμως το αποτέλεσμα δίνει ακέραιο, θέλει προσοχή.

Παράδειγμα 3: 5 4 3 5 4 3…

Εδώ 5+4+3=12 και 12: 3=4, ακέραιος, άρα με 4 μπάλες πραγματοποιείται;

Εεεπ, εδώ υπάρχει πρόβλημα διότι, αν αναλυθούν οι χρόνοι, θα δούμε ότι λόγω του 5 και του 4 θα καταλήξουν δύο μπάλες στο ίδιο χέρι την ίδια στιγμή, πράγμα που απαγορεύεται.

Βρείτε τρεις μικρές μπάλες με το κατάλληλο βάρος και ξεκινήστε. Στην αρχή η προσπάθεια είναι βασανιστική αλλά οδηγεί σε μια θαυμαστή συνεργασία αισθήσεων και εγκεφάλου που λειτουργεί απελευθερωτικά…

Το ΒΗΜΑ, 31/07/2005 , Σελ.: H01
Κωδικός άρθρου: B14527H011

Πηγή: tovima
Ημερμομηνία καταχώρησης: Feb 17 2008 at 10:51:57 AM

Οι ρίζες των μαθηματικών και οι καρποί της εξουσίας

Η μαθηματική σκέψη είναι έμφυτη στον άνθρωπο, αλλά η προαγωγή της έχει απόλυτη συνάφεια με τη γλώσσα και το πολιτισμικό υπόβαθρο. Και ενώ η ευχέρεια στα μαθηματικά λογίζεται ως κοινωνικό όπλο, η παγκοσμιοποιημένη κοινωνία μας αναζητεί απεγνωσμένα τρόπους για να απεγκλωβίσει τη διδασκαλία τους από τα δεσμά της… εξουσίας

Α. ΓΑΛΔΑΔΑΣ

Τα τελευταία χρόνια πολλές εργασίες σε διεθνές επίπεδο στρέφονται γύρω από τον ρόλο που παίζει ο τεκμηριωμένος συλλογισμός στα μαθηματικά. Το άτομο καταλήγει να πάρει μια θέση αφού ακούσει – σταθμίσει – ψάξει για επιχειρήματα και τα αξιολογήσει, ενώ υπάρχει μια κοινή παραδοχή για τιμές και μαθηματικούς κανόνες. Τα πράγματα βέβαια γίνονται δύσκολα όταν προσπαθήσουμε να μιλήσουμε στην καθημερινή φυσική μας γλώσσα για θέματα μαθηματικά. Γι’ αυτό και αντί της φυσικής γλώσσας φορτώθηκαν σιγά σιγά με σύμβολα και τύπους και το τοπίο σκοτείνιασε. Από τις χαρακιές επάνω σε κόκαλα και τη σφηνοειδή γραφή ως σήμερα όλα τα σύμβολα που χρησιμοποιούνται στα μαθηματικά, όπως αριθμοί, τύποι, πίνακες, διαγράμματα, γράφοι, μπορούμε και τα βλέπουμε ενοποιημένα σαν «σημάδια» και στη συνέχεια ψάχνουμε να βρούμε τρόπους για το πώς θα τα μεταδώσουμε καλύτερα και πιο κατανοητά στους άλλους. Αλλά χωρίς αυτό να δημιουργεί σχέσεις εξουσίας ανάμεσα στον διδάσκοντα και στον διδασκόμενο. Αυτή τη στιγμή σε πολλές χώρες ψάχνονται διαθέτοντας χρήματα και σημαντικούς ανθρώπους γύρω από το θέμα «διδασκαλία των μαθηματικών».

Η πολύπαθη προπαίδεια

Στην Ελλάδα τα παιδιά μαθαίνουν όλη την προπαίδεια του πολλαπλασιασμού απέξω. Και πόσο κάνει 6Χ7 και πόσο κάνει 7Χ6. Στην Κίνα μαθαίνουν στα παιδιά μόνο το πόσο κάνει 6Χ7 και τους διδάσκουν ότι το 7Χ6 δίνει το ίδιο αποτέλεσμα με το 6Χ7 και έτσι κόβουν στο μισό, σε σχέση με εμάς, την ύλη που έχει να μάθει το μικρό παιδί για να εκτελεί πολλαπλασιασμούς.

Αλλοι λαοί στη γαλλική Auvergne ή στη ρουμανική Βλαχία από πολύ παλιά δεν χρειαζόταν να γνωρίζουν περισσότερο από το κομμάτι της προπαίδειας ως το 5. Γιατί αν είχαν να πολλαπλασιάσουν, για παράδειγμα, 6Χ7 αρκούσε να βρουν ο καθένας από τους δύο αριθμούς πόσες μονάδες περισσότερες από το πέντε έχει και τόσα δάχτυλα από το κάθε χέρι να λυγίσουν. Στο παράδειγμά μας λυγίζουμε ένα δάχτυλο στο αριστερό (6-5=1) και δύο στο δεξί (7-5=2). Συνολικά λοιπόν τρία δάχτυλα λυγισμένα και πολλαπλασιάζουμε 3Χ10=30. Πόσα δάχτυλα μένουν στο κάθε χέρι τεντωμένα; Τέσσερα στο αριστερό και τρία στο δεξί. Πολλαπλασιάζουμε 3Χ4=12, άρα το τελικό αποτέλεσμα είναι 30+12=42.

Οταν εξασκηθούμε αρκετά κάνουμε το ίδιο και με μεγαλύτερους αριθμούς. Π.χ. 12Χ14, μόνο που τώρα παίρνουμε τις διαφορές πάνω από το δέκα. Αρα λυγίζουμε 2 και 4 δάχτυλα στο κάθε χέρι. Προσθέτουμε 2+4=6, αυτό είναι οι δεκάδες μας, και πολλαπλασιάζουμε 2Χ4=8, που είναι οι μονάδες, και συνολικά έχουμε 100 (από το 10Χ10)+60+8 = 168! Υπάρχει βέβαια και ένας λαός που ζει ακόμη στα δάση του Αμαζονίου στη βραζιλιάνικη επαρχία Para, οι Mundurucu, που αν και είναι σε επαφή με τους λευκούς περισσότερο από διακόσια χρόνια, ζουν μια χαρά χωρίς η γλώσσα τους να διαθέτει λέξεις για αριθμούς μεγαλύτερους του 3!

Αγωνία για τη διδασκαλία

Στη Γερμανία κάθε νέο έτος αφιερώνεται σε μία από τις επιστήμες και το 2008 θα είναι αφιερωμένο στα μαθηματικά, με κορυφή των διαφόρων εκδηλώσεων τις εκθέσεις και τα δρώμενα που θα γίνουν από 28 Ιουνίου ως και 4 Ιουλίου στη Λειψία. Ταυτόχρονα ο αντίστοιχος του δικού μας ΟΤΕ γερμανικός οργανισμός δίνει τουλάχιστον 2 εκατ. ευρώ για παραστάσεις, εκθέσεις, ταινίες, διοργάνωση συζητήσεων, προγράμματα ακόμη και για τα νηπιαγωγεία σχετικά με τα μαθηματικά.

Στις Ηνωμένες Πολιτείες έβαλαν επικεφαλής του Εκπαιδευτικού Προγράμματος για τα Μαθηματικά έναν νομπελίστα καθηγητή, τον Carl Wieman, που εργάστηκε επάνω στην υπερρευστότητα, και του έδωσαν αρκετά εκατομμύρια δολάρια για να οργανώσει ξανά τη διδασκαλία των μαθηματικών στη Μέση Εκπαίδευση. Στη Μεγάλη Βρετανία δηλώνουν ότι ανησυχούν πολύ για τις ικανότητες των άγγλων μαθητών στα μαθηματικά και στη Γαλλία ερευνούν πολύ εντατικά σχετικά με το πώς λειτουργεί ο εγκέφαλος όταν κάνουμε ακριβείς και όταν κάνουμε κατά προσέγγιση υπολογισμούς. Υπάρχει δηλαδή ένας οργασμός ερευνητικός γύρω από το θέμα πώς οι άνθρωποι έρχονται σε επαφή με τα μαθηματικά, ενώ σε εργασίες κυρίως στη Βόρεια Ευρώπη εξετάζεται και το θέμα του ρόλου των μαθηματικών στην αντίληψη των μαθητών περί δημοκρατίας και στις αντιλήψεις που επάγουν στις κοινωνικές και επαγγελματικές σχέσεις.

Μαθηματικά και δημοκρατία

Οι περισσότεροι εστιάζουν στο πώς ο μαθητής, της όποιας ηλικίας, θα εξοικειωθεί με τα σημάδια των μαθηματικών, κάνοντας στη συνέχεια με τη βοήθειά τους χρήση διαφόρων τεχνικών και σε επόμενη φάση ίσως επινοήσει νέες. Αλλά, κυρίως στην αρχή, με το μυαλό του σε πρακτικές της καθημερινής ζωής. Από το να καταλαβαίνουμε τις εκπτώσεις, τον ΦΠΑ, το Στοίχημα, ως τις προσφορές των τραπεζικών προϊόντων και τις ασφάλειες ζωής. Το θέμα μας όμως είναι αν μπορούν τα μαθηματικά να συσχετίζονται και με κάτι κοινωνικό.

Επ’ αυτού υπάρχει μια ομάδα ερευνητών που δεν παραδέχεται την πλατωνική άποψη ότι «τα μαθηματικά έχουν μια αυτόνομη ύπαρξη, ανεξάρτητη από τους ανθρώπους οι οποίοι τα έχουν επινοήσει και τα χρησιμοποιούν», αλλά αντίθετα πιστεύει ότι «όταν τα μαθηματικά θεωρηθούν ως μία από τις πολλές κοινωνικές δραστηριότητες και πρακτικές που αναπτύσσουν οι άνθρωποι, τότε η συνάφειά τους με τα πολιτισμικά, πολιτικά και οικονομικά φαινόμενα γίνεται εμφανής».

Στατιστική, Πιθανότητες, Μαθηματικά μοντέλα, Μαθηματικά με τη βοήθεια υπολογιστών, Επιχειρησιακή έρευνα είναι πεδία που θεωρείται ότι εφοδιάζουν τους ανθρώπους του 21ου αιώνα με πολύ δυνατά «εργαλεία» (μερικοί μάλιστα προτιμούν τη λέξη «όπλα»), άρα τελικά με ισχύ (εδώ χρησιμοποιείται η λέξη power σε διάφορα ξενόγλωσσα κείμενα). Ετσι όσοι μαθητές τα καταφέρνουν στα μαθηματικά φαίνεται ότι αποκτούν και πρόσβαση σε μια πηγή ισχύος. Ενας άγγλος ερευνητής αυτών των θεμάτων, καθηγητής μαθηματικών και ο ίδιος, ο Tony Cotton, θυμάται ότι στο σχολείο του από το Δημοτικό ακόμη είχε ενταχθεί στην ομάδα των κορυφαίων μαθητών στην αριθμητική. Τις Παρασκευές γινόταν διαγωνισμός προφορικός για υπολογισμούς από μνήμης. Το παιδί που έπαιρνε τον υψηλότερο βαθμό καθόταν στο θρανίο Νο. 1, δίπλα στον δάσκαλο, όλη την επόμενη εβδομάδα. Ο δεύτερος στο αμέσως πιο κοντινό θρανίο και αντίστοιχα οι υπόλοιποι. Ετσι καταλαβαίνει κάποιος εύκολα τι αγωνία επικρατούσε κάθε Παρασκευή, και μάλιστα οι τελευταίοι ήξεραν ότι και οι γονείς πλέον γνώριζαν τη σημασία του κάθε θρανίου και αντιδρούσαν ανάλογα όταν πήγαιναν να πάρουν τα παιδιά τους από την τάξη. Τι φρίκη!

Γι’ αυτό και ο Cotton μαζί με τους Δανούς Ole Skovmose και Paola Valero κάνουν λόγο για μια σχολική τάξη όπου «τα μαθηματικά αντί να είναι μόνο ένα εργαλείο για να εξηγείται η δομή του κόσμου γύρω μας, χρησιμοποιούνται για να διαμορφώνουν τον κόσμο». Και αντίστοιχα κάποιοι μαθηματικοί, επιφορτισμένοι με τη διδασκαλία σε οποιοδήποτε επίπεδο, ίσως πρέπει να αναρωτηθούν: Τι μαθηματικά διδάσκουμε; Πώς τα διδάσκουμε; Ποιες αξίες προωθούμε; Πώς αισθανόμαστε;

Σεβασμός στους Mundurucus

Υπάρχει μια μικρή πληθυσμιακή ομάδα στις όχθες του ποταμού Παρανά, στη Βραζιλία, που ήταν εύρημα για τον διάσημο μαθηματικό και καθηγητή της Πειραματικής Γνωστικής Ψυχολογίας Stanislas Dehaene, γνωστό και από το βιβλίο του «The Number Sense» με τον εύγλωττο υπότιτλο: Πώς το μυαλό φτιάχνει μαθηματικά.

Η μελέτη της γλώσσας των μελών της φυλής είχε αρχίσει από το 1998 και βρέθηκε ότι: δεν χρησιμοποιούσαν άλλες από περίπου πέντε λέξεις στην καθημερινή ζωή τους, μόνο για τους πρώτους τέσσερις ακεραίους αριθμούς και από εκεί και πέρα για ό,τι άλλο απαιτούσε κάτι περισσότερο είχαν τη λέξη «πολύ». Και ήταν εύρημα διότι σκέφθηκε πως αν η ικανότητά μας να σκεπτόμαστε μαθηματικά δεν είναι έμφυτη, δεν γεννιόμαστε δηλαδή με αυτήν, αλλά εξαρτάται από τα σύμβολα που μαθαίνουμε να χρησιμοποιούμε, οι Mundurucus θα έπρεπε να είχαν σχεδόν μηδαμινές δυνατότητες σε σχέση με τον χειρισμό συνόλων. Τα πειράματα όμως που έγιναν δεν αποκάλυψαν κάποια αδυναμία τους στις κατά προσέγγιση εκτιμήσεις του πλήθους διαφόρων αντικειμένων. Καταλάβαιναν στη στιγμή πότε πρόκειται να γίνει μία αφαίρεση, μία πρόσθεση ή μία στο περίπου σύγκριση. Και ας μην είχαν λέξεις για τα πλήθη των αντικειμένων που χειρίζονταν. Δεν ήξεραν να απαριθμούν τα αντικείμενα, αλλά μπορούσαν να κάνουν πράξεις με αυτά, και ας ήταν περισσότερα σε πλήθος από τρία ή τέσσερα.

Το τελικό και συγκλονιστικό, όπως ομολόγησαν οι ερευνητές, συμπέρασμα είναι ότι η ικανότητα για προσεγγιστικούς υπολογισμούς είναι μια πολύτιμη προίκα που ανήκει σε ένα σύνολο βασικών γνώσεων, κοινό σε όλο το ανθρώπινο είδος, άσχετα από το πώς και πού ζει ο καθένας μας. Ασχετα και από το αν μετά, με βάση μια άλλη περιοχή του εγκεφάλου όπου βρίσκεται το κέντρο της γλώσσας, κάποιοι λαοί και κάποιοι άνθρωποι ατομικά προχωρούν περισσότερο και αποκτούν πολύ πιο συγκεκριμένη αίσθηση των αριθμητικών ποσοτήτων και μπορούν να τις κατονομάζουν επιπλέον.

Αυτό το τελευταίο όμως δεν πρέπει να υποβάλλει κάποια αίσθηση ανωτερότητας σε μερικούς από εμάς, διότι οι άνθρωποι αναπτύσσουν τις ικανότητες που τους χρειάζονται. Οι Mundurucus μπορεί να μην έχουν την ικανότητα ακριβούς αρίθμησης, αλλά δεν χρειάζεται να προσπαθήσουμε να τους τη διδάξουμε. Οχι μόνο διότι ξέρουν όσα τους χρειάζεται για να ζήσουν στο δικό τους περιβάλλον, αλλά αν προσπαθήσουν να μάθουν όσα οι λευκοί δάσκαλοί τους διδάσκουν και στα δικά τους παιδιά, θα πρέπει να ξεχάσουν άλλα, εδώ και αιώνες χρήσιμα γι’ αυτούς πράγματα. Οπως ίσως η εκπληκτική αίσθηση συμμετρίας που έχουν και τους βοηθάει να προσανατολίζονται μέσα στο δάσος και να αναγνωρίζουν ταυτόχρονα ένα πλήθος από πλάσματα που ζουν στο δάσος.

Η αλήθεια είναι ότι αυτή η πληθυσμιακή ομάδα δεν είναι η μοναδική. Η Annemarie Schimmel στο βιβλίο της «The Mystery of Numbers» πολύ πριν από τον Dehaene έκανε λόγο για πληθυσμούς στα βάθη της Τουρκίας που επίσης δεν είχαν πολλούς αριθμούς και για λαούς στην Αφρική που είχαν μια εξαιρετικά καλή αίσθηση για τα μεγέθη των κοπαδιών τους αλλά μόνο κατά προσέγγιση. Και από αυτά τα παραδείγματα θα πρέπει να προβληματιστούν πολύ όσοι θέλουν να ασχοληθούν με τα λεγόμενα εθνομαθηματικά. Διότι τα μαθηματικά του δυτικού κόσμου επέβαλαν τον ορθολογισμό των ισχυρών λευκών πάνω σε όλα τα άλλα είδη σκέψης και στις μορφές έκφρασης των άλλων, των μη Δυτικών, ιθαγενών που υπέστησαν την αποικιοποίηση και της σκέψης τους.

Η κοινωνική διάσταση

Για το πώς θα διδάσκονται μαθηματικά στην τάξη υπάρχει η πολύ ενδιαφέρουσα άποψη ότι αυτό ως πρακτική δεν πρέπει να θεωρείται θέμα που μένει μέσα στην τάξη και όλα ξεχνιούνται με το που θα χτυπήσει το κουδούνι, αλλά έχει και μια άλλη, κοινωνική διάσταση. Και αυτό το συνοψίζει καλά ένας ερευνητής, ο Lerman, που με δυο λόγια λέει ότι η αύξηση του ενδιαφέροντος για τις όψεις της εκπαίδευσης ειδικά στα μαθηματικά οφείλεται στην άποψη ότι οι κοινωνικές ανισότητες ενισχύονται και αναπαράγονται από την αποτυχία μερικών μαθητών μέσα στην τάξη και την επιτυχία μερικών άλλων ειδικά στο μάθημα αυτό.

Την ίδια στιγμή θεωρείται ότι τα μαθηματικά πλέον είναι κλειδί για την επιτυχία μιας αποφασισμένης «εργατικής δύναμης» που μετά τις σπουδές θα επιδοθεί σε πολύ απαιτητικές αλλά οικονομικά άκρως αποδοτικές επαγγελματικές δραστηριότητες. Εξαιτίας προφανώς και της παγκοσμιοποίησης και της συνάφειας με τους ηλεκτρονικούς υπολογιστές. Η αντίρρηση λοιπόν είναι στο ότι τα μαθηματικά κουβαλούν μαζί τους ισχύ και, με τη διδασκαλία να λειτουργεί κάπως σαν μαγικό ποτό, μια αίσθηση ισχύος τη μεταγγίζουν και σε όποιον γίνει καλός σε αυτά. Ή αλλιώς, όπως γράφει η Valero: οι δάσκαλοι μεταφέρουν γνώση στους μαθητές τους και ως αποτέλεσμα οι μαθητές τους (αισθάνονται να) αποκτούν ισχύ. Στη συνέχεια την ισχύ τους αυτή οι μαθητές και οι πρώην μαθητές την ασκούν όταν σχετίζονται με άλλους ανθρώπους.

Υπάρχει λοιπόν μια μερίδα εκπαιδευτικών που πιστεύουν ότι ζώντας σε μια άνιση και σε τάξεις διαιρεμένη κοινωνία, η εκπαίδευση στα μαθηματικά θα μπορούσε να βοηθήσει τα παιδιά να καταλάβουν και το πώς τα μαθηματικά και οι τεχνικές τους ευθύνονται για τη δημιουργία αυτών των ανισοτήτων. Αντίθετα η αδυναμία ενός ατόμου στα μαθηματικά το εμποδίζει να καταλάβει πόσο η κοινωνία είναι δομημένη επάνω σε διάφορες μαγικές εικόνες και σε κάποιους καταπιεστικούς μηχανισμούς. Ακόμη χειρότερα οι διαγωνισμοί και οι Ολυμπιάδες, ο χωρίς φαντασία τρόπος διδασκαλίας σε φροντιστήρια αλλά και σε αρκετά σχολεία και εδώ και έξω, με το να διορθώνονται μπροστά σε όλους τα λάθη κυρίως των αδυνάτων αφού αυτά είναι πιο συχνά και να επιδοκιμάζεται με μπράβο μπροστά σε όλους η καλή επίδοση, σκεπάζουν σχεδόν την ωφέλεια από τη διδασκαλία του μαθήματος. Διότι καθιερώνεται αυτή η απαράδεκτη ιδέα για ισχύ αλλά και η άποψη για λαούς πρωτόγονους, ανίκανους να λύσουν προβλήματα ή παιδιά-κακούς μαθητές και άλλα τέτοια, που η έρευνα γύρω από το θέμα όσο συνεχίζεται φαίνεται πως θα τα διαψεύδει.

Οι αριθμοί με λόγια

* Σύμβολα για τους αριθμούς χρησιμοποίησαν οι περισσότεροι λαοί. Τα σύμβολα για τους αριθμούς που χρησιμοποιούμε σήμερα είναι ινδικής προέλευσης και όχι αραβικής αφού γράφονται και διαβάζονται από αριστερά προς τα δεξιά, άλλωστε οι αραβόφωνοι χρησιμοποιούν άλλα σύμβολα από τα δικά μας.

* Εκτός από τους Ινδούς που πρωτοχρησιμοποίησαν σύμβολο για το μηδέν, οι Μάγιας, ίσως και πιο πριν, είχαν ένα άδειο όστρακο ως σύμβολο του μηδενός, κάτι που θυμίζει το σημερινό ακόμη και ως σχήμα.

* Σε σχέση με την αρίθμηση όλοι οι άνθρωποι διαθέτουν την ικανότητα να μπορούν να κάνουν κατά προσέγγιση εκτιμήσεις και συγκρίσεις ως προς το πλήθος κάποιων αντικειμένων που θεωρούνται σύνολο, π.χ. ένα κοπάδι ζώων, αν και ξεχωρίζουν με μεγαλύτερη ευκολία τη διαφορά ανάμεσα σε 20 και 23 αντικείμενα απ’ ό,τι ανάμεσα σε 1.001 και 1.004 ενώ η διαφορά τους είναι ίδια.

* Παράλληλα με την πρώτη αυτή δυνατότητα σε λαούς που τους χρειάζεται, έχει αναπτυχθεί και η ικανότητα για ακριβή μέτρηση και ακριβείς πράξεις. Αυτή η ικανότητα συνδέεται και με την ανάπτυξη που έχει η γλώσσα του αντίστοιχου λαού. Ετσι εξηγείται ίσως και η ανάπτυξη των μαθηματικών στην αρχαία Ελλάδα, αφού η ελληνική γλώσσα αποδεικνύεται ένα εξαιρετικό εργαλείο για μαθηματικούς συλλογισμούς.

* Για ένα παιδί που παρουσιάζει δυσκολία στα μαθηματικά πρέπει να ξέρουμε ότι έχει έμφυτη την ιδέα των συνόλων και καλό είναι να εξετάσουμε μήπως οι κακές επιδόσεις του στη γλώσσα το εμποδίζουν να αποδώσει στο άλλο κομμάτι, της αριθμητικής.

* Για αιώνες οι μαθηματικοί πίστεψαν στην παντοδυναμία των μαθηματικών και έφθασαν να πιστεύουν ότι θα μπορούσαν ξεκινώντας από τα κατάλληλα αξιώματα να κατασκευάσουν μια συλλογιστική μηχανή που θα απεδείκνυε αυτόματα κάθε επιθυμητό και εφικτό θεώρημα. Ευτυχώς ο Γερμανός Kurt Godel κατάφερε να τους αποδείξει ότι κάτι τέτοιο δεν μπορεί να γίνει.

* Επίσης αμφισβητείται η πλατωνική αντίληψη ότι το σώμα των μαθηματικών ιδεών υπάρχει και οι μαθηματικοί απλώς ανακαλύπτουν κάθε τόσο ένα νέο κομμάτι του και δεν επινοούν κάθε φορά κάποια νέα σειρά συλλογισμών που οδηγεί σε νέες μαθηματικές κατασκευές.

* Σήμερα είναι καιρός να αμφισβητηθεί και ο τρόπος που ως τώρα διδάσκονται τα μαθηματικά σε σχέση με τις αντιλήψεις περί του δέους που προκαλεί και της αντίληψης περί ισχύος και ανωτερότητος αυτού που τα διδάσκει και κατ’ επέκταση και του μαθητή που φθάνει στο σημείο να μπορεί να τα χειρίζεται με ευχέρεια.

* Σε πολλές χώρες, όπως είδαμε, υπάρχει οργασμός γύρω από το θέμα. και στην Ελλάδα, πέρα από κάποιους πανεπιστημιακούς στη Θεσσαλονίκη, χειμερία νάρκη.

Το ΒΗΜΑ, 17/02/2008 , Σελ.: H04
Κωδικός άρθρου: B15289H041

Παίρνοντας αφορμή από τις προσεχείς βουλευτικές εκλογές στην Κύπρο, επιστρέφω μετά από περισσότερο από ένα χρόνο απραξίας με ένα καινούργιο άρθρο.

Φυσικά εδώ θα ασχοληθούμε με μαθηματικά και όχι με την πολιτική. Θα παρουσιάσω λοιπόν ένα εκλογικό παράδοξο το οποίο ανακαλύφθηκε από τον οικονομολόγο Kenneth Arrow ο οποίος το 1972 τιμήθηκε και με το βραβείο Νόμπελ.

Οι βουλευτές μιας χώρας προσπαθούν να φτιάξουν ένα καινούργιο εκλογικό νόμο. Μετά από αρκετή ένταση και πάρα πολλές διαφωνίες αποφασίζουν να καλέσουν ένα μαθηματικό για να τους βοηθήσει στην δημιουργία μιας καινούργιας εκλογικής διαδικασίας.

1) Το πρώτο πράγμα που απαιτούν οι βουλευτές είναι να ληφθεί πρόνοια για οποιοδήποτε αριθμό υποψηφίων. Κάθε πολίτης θα δικαιούται να κατατάσσει τους εκάστοτε υποψηφίους με την σειρά προτίμησης του. Η εκλογική διαδικασία πρέπει να είναι τέτοια ώστε λαμβάνοντας υπόψη τις προτιμήσεις των ψηφοφόρων να βγάζει μια τελική σειρά κατάταξης όλων των υποψηφίων.

Ο μαθηματικός τους λέει ότι υπάρχει ένας πολύ απλός τρόπος για να γίνει η εκλογική διαδικασία. Να μην λαμβάνουν καθόλου υπόψη τις ψήφους και να γίνεται κλήρωση! Αυτό οδηγεί τους βουλευτές να βάλουν και ένα νέο όρο για την εκλογική διαδικασία.

2) Η διαδικασία πρέπει να είναι ντετερμινιστική. Αν επαναληφθεί η ψηφοφορία και όλοι δώσουν τις ίδιες ακριβώς ψήφους τότε η τελική κατάταξη πρέπει να είναι η ίδια.

Και πάλι ο μαθηματικός βρίσκει μια πολύ απλή εκλογική διαδικασία. Να κατατάσσονται οι υποψήφιοι αλφαβητικα! Αφού και αυτή η λύση θεωρείται απαράδεκτη οι βουλευτές θέτουν και ένα καινούργιο όρο.

3) Αν όλοι οι ψηφοφόροι προτιμούν τον υποψήφιο Α από τον υποψήφιο Β τότε πρέπει και στην τελική κατάταξη ο Α να λάβει ψηλότερη θέση από τον Β.

Οι βουλευτές εξακολουθούν να φοβούνται τι θα γίνει αν κάποιοι ψηφοφόροι προσπαθούν να βάζουν σε χαμηλή κατάταξη αντίπαλους υποψηφίους για να ευνοηθούν οι δικοί τους. Ο μαθηματικός προτείνει να μπει ο ακόλουθος όρος

4) Για κάθε δύο υποψηφίους Α και Β, η σχετική τους κατάταξη πρέπει να εξαρτάται μόνο από την σχετική τους κατάταξη στις προτιμήσεις των ψηφοφόρων. Δηλαδή αν επαναληφθεί η ψηφοφορία και κάθε ψηφοφόρος αλλάζει την ψήφο του αλλά προτιμά τον Α από τον Β αν και μόνο αν τον προτιμούσε και στην αρχική ψηφοφορία τότε και στο τελικό αποτέλεσμα ο Α είναι πιο ψηλά από τον Β αν και μόνο αν ήταν πιο ψηλά και στην αρχική ψηφοφορία.

Παρατηρεί επίσης ο μαθηματικός ότι ο όρος (2) δεν χρειάζεται πλέον αφού είναι συνέπεια του όρου (4).

Αφού δεν υπάρχουν ενστάσεις ο μαθηματικός ξεκινάει την προσπάθειά του για να φτιάξει μια εκλογική διαδικασία που να ικανοποιεί τους παραπάνω όρους. Μετά από λίγο καιρό επιστρέφει στην βουλή και τους ανακοινώνει ότι έχει καλά και κακά νέα. Τα καλά νέα είναι ότι έχει φτιάξει μια πολύ απλή εκλογική διαδικασία που ικανοποιεί τους παραπάνω όρους: Η τελική κατάταξη να είναι ότι ψηφίσει ο ίδιος! Μετά από το σχετικό πανδαιμόνιο μπαίνει και ένας πέμπτος όρος

(5) Απαγορεύεται η ύπαρξη δικτάτορα: Απαγορεύεται να υπάρχει συγκεκριμένο άτομο ώστε όπως και αν ψηφίσουν οι υπόλοιποι να λαμβάνεται μόνο η δική του ψήφος υπόψη.

Ο μαθηματικός όμως έχει ήδη μελετήσει και αυτό το ζήτημα και τους ανακοινώνει τα κακά νέα. «Κύριοι, αδυνατώ να φτιάξω μια τόσο δημοκρατική εκλογική διαδικασία. Μάλιστα δεν θα καταφέρετε να βρείτε κανένα που να μπορέσει να σας φτιάξει μια τέτοια διαδικασία διότι η ύπαρξή της είναι αδύνατη!»

Ας δούμε λοιπόν μια απόδειξη αυτού του ισχυρισμού:

Θα ονομάζουμε μια ομάδα ατόμων «κλίκα» αν υπάρχουν δύο υποψήφιοι Α και Β ώστε όταν όλα τα μέλη της κλίκας προτιμούν τον Α από τον Β, τότε στην τελική κατάταξη ο Α παίρνει πιο ψηλή θέση από τον Β. Για παράδειγμα, το σύνολο όλων των ψηφοφόρων είναι μια κλίκα. Αν μια κλίκα αποτελείται από μόνο ένα άτομο τότε θα ονομάζουμε αυτό το άτομο «ημιδικτάτορα». Η απόδειξη βασίζεται στους ακόλουθους δυο ισχυρισμούς:

α) Υπάρχει ένας ημιδικτάτορας.
β) Κάθε ημιδικτάτορας είναι δικτάτορας.

Για να αποδείξουμε το (α), παίρνουμε μια κλίκα με τον μικρότερο αριθμό ατόμων. Θα αποδείξουμε πως η κλίκα αποτελείται από ένα μόνο άτομο. Ας υποθέσουμε πως δεν ισχύει αυτό. Έστω Α,Β υποψήφιοι ώστε όποτε η κλίκα προτιμά τον Α από τον Β, τότε στην τελική κατάταξη ο Α είναι πάνω από τον Β, και έστω Γ ένας τρίτος υποψήφιος. Έστω ένα μέλος της κλίκας. Έστω λοιπόν ότι σε μια εκλογική διαδικασία έχουμε τις εξής προτιμήσεις:

– Ο x προτιμά τον Α από τον Β και τον Γ από τον Α. (Δηλαδή ψηφίζει Β<Α<Γ.)
– Κάθε μέλος του εκτός από τον ψηφίζει Γ<Β<Α.
– Κάθε άλλος ψηφοφόρος ψηφίζει Α<Γ<Β.

(Από την υπόθεση (4), αν έχουμε ακόμη περισσότερους υποψηφίους, η τελική κατάταξη των Α,Β,Γ δεν επηρεάζεται.)

Ποια είναι λοιπόν η σχετική κατάταξη των Α,Β,Γ; Σίγουρα θα έχουμε Β<Α αφού κάθε μέλος του προτιμά τον Α από τον Β. Αν Β<Γ τότε ο είναι ημιδικτάτορας αφού όλοι οι άλλοι προτιμάνε τον Β από τον Γ. Άρα μπορούμε να υποθέσουμε ότι στην τελική κατάταξη έχουμε Γ<Β<Α και άρα Γ<Α. Αλλά τότε το αποτελεί κλίκα αφού όποτε προτιμάει τον Α από τον Γ τότε στην τελική κατάταξη ο Α είναι πιο πάνω από τον Γ. Αυτό όμως είναι άτοπο αφού ήδη βρήκαμε κλίκα με λιγότερα άτομα από την .

Μένει να δείξουμε το (β). Έστω λοιπόν ένας ημιδικτάτορας και δυο υποψήφιοι Α και Β ώστε όταν ο προτιμάει τον Α από τον Β τότε και στην τελική κατάταξη ο Α είναι πάνω από τον Β. Θα γράφουμε ότι ο είναι (Α,Β)-δικτάτορας. Αρκεί (από το (4)) να δείξουμε ότι για κάθε δυο υποψηφίους Γ και Δ ο είναι (Γ,Δ)-δικτάτορας.

(β1) Για κάθε υποψήφιο Γ (διαφορετικό από τον Α), ο είναι (Α,Γ)-δικτάτορας: Πράγματι αν ο ψηφίσει Α>Β>Γ και όλοι οι άλλοι ψηφοφόροι ψηφίσουν Β>Γ>Α στην τελική κατάταξη πρέπει να έχουμε Α>Β (αφού ο είναι (Α,Β)-δικτάτορας) και Β>Γ (από το (3)) άρα και Α>Γ.

(β2) Για κάθε δυο υποψηφίους Γ και Δ (διαφορετικούς από τον Α), ο είναι (Γ,Δ)-δικτάτορας: Πράγματι αν ο ψηφίσει Γ>Α>Δ και όλοι οι άλλοι ψηφοφόροι ψηφίσουν Δ>Γ>Α στην τελική κατάταξη πρέπει να έχουμε Α>Δ (αφού ο είναι (Α,Δ)-δικτάτορας) και Γ>Α (από το (3)) άρα και Γ>Δ.

(β3) Δουλεύοντας με παρόμοιο τρόπο, βρίσκουμε ότι για κάθε δυο υποψηφίους Γ και Δ (διαφορετικούς από τον Β), ο είναι (Γ,Δ)-δικτάτορας.

(β4) Μένει να δείξουμε ότι ο είναι (Β,Α)-δικτάτορας. Πράγματι αν Γ ένας άλλος υποψήφιος, ο ψηφίσει Β>Γ>Α και όλοι οι άλλοι ψηφίσουν Γ>Α>Β τότε αφού ο είναι (Β,Γ)-δικτάτορας η τελική κατάταξη θα είναι Β>Γ>Α και άρα ο είναι (Β,Α)-δικτάτορας.

Πηγη:   http://christofides.wordpress.com/2011/05/17/%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%BF%CE%BA%CF%81%CE%B1%CF%84%CE%AF%CE%B1-%CE%AE-%CE%B4%CE%B9%CE%BA%CF%84%CE%B1%CF%84%CE%BF%CF%81%CE%AF%CE%B1/