damianosk2001's blog

Just another Blogs.sch.gr site Μαθηματικα

Αρχεία για 'Αρθρα μαθηματικων'

Μη πληρότητα GODEL

Συγγραφέας: damianosk2001 στις 11 Φεβρουαρίου 2020

4.4.3 Genikeymenh Mh Plhrothta (A. Aragevrghs)

Κατηγορία Αρθρα μαθηματικων | Δε βρέθηκαν σχόλια »

Τα παράδοξα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Συγγραφέας: damianosk2001 στις 27 Απριλίου 2019

Η γεωμετρία όπως είναι γνωστό ασχολείται με το χώρο, αφού καταστήσει σαφές τι είναι χώρος. Χώρος για τη γεωμετρία είναι ένα σύνολο σημείων και ευθειών. Έτσι αν ο  χώρος αναφέρεται στην επιφάνεια μιας σφαίρας, τα σημεία του χώρου μας είναι τα σημεία της επιφάνειας της σφαίρας και οι ευθείες του χώρου μας είναι οι μέγιστοι κύκλοι της σφαίρας.

 

Κείμενο  του  Γιώργου Μπαντέ 

Ο επίπεδος χώρος των δύο διαστάσεων, δηλαδή το γνωστό μας επίπεδο, περιγράφεται πλήρως από τη γεωμετρία του Ευκλείδη, με σημεία και ευθεία τα γνωστά μας Ευκλείδεια σχήματα. Τα σχήματα αυτά συμπεριφέρονται με έναν ορισμένο τρόπο, όπως τα περιέγραψε ο Ευκλείδης στα «Στοιχεία» του, τα οποία περιέχουν 23 Ορισμούς, 9 κοινές αρχές και 5 αξιώματα-αιτήματα, τα οποία αξιώματα δεν είναι τίποτα άλλο παρά υποθέσεις για τη συμπεριφορά των σημείων και των ευθειών του επιπέδου. Το να ρωτούμε λοιπόν αν τα αξιώματα του Ευκλείδη ισχύουν στο χώρο, ισοδυναμεί με το να ρωτούμε αν ο χώρος είναι Ευκλείδειος.

Ένα παράδειγμα ορισμού είναι οι παράλληλες ευθείες (ορισμός 23), παράλληλες είναι οι ευθείες του ίδιου επιπέδου, που προεκτεινόμενες επ’ άπειρο και από τα δύο μέρη, δεν συναντώνται σε κανένα από αυτά.
Παράδειγμα κοινής αρχής: αν σε ίσα προστεθούν ίσα, προκύπτουν ίσα.

Τα αξιώματα του Ευκλείδη είναι τα εξής [1]:

1. Υπάρχει ακριβώς μία ευθεία που διέρχεται από δύο σημεία.
2.Κάθε ευθεία γραμμή μπορεί να επεκταθεί επ’ άπειρο, είναι ανοιχτή. Αργότερα συμπληρώθηκε από το ότι  για δύο τυχόντα σημεία της Α, Β υπάρχει πάντα ένα άλλο Γ,  ώστε το Β  να βρίσκεται μεταξύ των Α και Γ
3.Είναι δυνατόν να χαράξουμε ένα κύκλο, με οποιοδήποτε κέντρο και ακτίνα. Το αξίωμα αυτό φαίνεται να μην έχει σχέση με τα σημεία και τις ευθείες. Όμως αν προσέξουμε τον Ευκλείδειο ορισμό του κύκλου, που είναι η γραμμή της οποίας τα σημεία ισαπέχουν από ένα άλλο, θα δούμε ότι το αξίωμα αυτό εξασφαλίζει τη λειτουργία του διαβήτη παντού στο χώρο. Με άλλα λόγια ορίζει ότι η απόσταση στο επίπεδο (χώρο) όπως κι αν οριστεί, πρέπει να εξασφαλίζει το αμετάβλητο του μήκους για ένα ευθύγραμμο τμήμα, το οποίο μετακινείται από το ένα μέρος στο άλλο.
4.Όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους. Πάλι πρέπει να γνωρίζουμε τον Ευκλείδειο ορισμό της ορθής γωνίας για να ερμηνεύσουμε το αξίωμα: «όταν δύο τεμνόμενες ευθείες σχηματίζουν τις διαδοχικές γωνίες ίσες, τότε κάθε μια από αυτές είναι ορθή γωνία. Άρα το 4ο αξίωμα ισοδυναμεί με την υπόθεση ότι οι ευθείες γραμμές δεν έχουν γωνιακά σημεία, «σπάσιμο». Ας θυμηθούμε το μέγιστο κύκλο της σφαίρας και την ευθεία του επιπέδου.
5. το διασημότερο: [2] εάν ευθεία τέμνουσα δύο ευθείες σχηματίζει τις εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες μικρότερες των δύο ορθών, τότε αν οι δύο ευθείες επεκταθούν επ’ άπειρον, θα τέμνονται προς τα μέρη όπου σχηματίζονται οι μικρότερες των δύο ορθών γωνίες)


Όλα  αυτά είναι τα θεμέλια   της γεωμετρίας του Ευκλείδη.

Οι συνδυασμοί των πρώτων αυτών αρχών,  θα παράγουν μέσω του παραγωγικού συλλογισμού την αποδεικτική επιστήμη, για τη γεωμετρία θα παράγουν τα θεωρήματα.

Το τμήμα της γεωμετρίας που οι προτάσεις του θεμελιώνονται στο 5ο  αξίωμα (αίτημα)  αποτελεί την καθαυτό Ευκλείδεια γεωμετρία, ενώ το σύνολο των προτάσεων που δεν στηρίζονται στο 5ο αξίωμα, αποτελούν τη Απόλυτη γεωμετρία.
Παραδείγματα προτάσεων της Ευκλείδειας γεωμετρίας είναι:
Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι δύο ορθές.
Το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών πολυγώνου είναι 4 ορθές.
Το Πυθαγόρειο θεώρημα και οι επεκτάσεις του.
Το μήκος περιφερείας είναι 2πρ  κλπ
Προτάσεις της απόλυτης γεωμετρίας είναι οι 28 πρώτες των «Στοιχείων» (κατασκευαστικές) π.χ  είναι δυνατόν να κατασκευαστεί ισόπλευρο τρίγωνο με δοθείσα πλευρά.

Αλλά γεννιέται συγχρόνως ένα ερώτημα που δεν απαντήσαμε. Πως γνωρίζουμε ότι τα αξιώματα που πήραμε είναι τα σωστά αξιώματα; Τι θα πει σωστά αξιώματα; Για παράδειγμα, είναι απαλλαγμένα από αντιφάσεις; Κάθε θεώρημα της γεωμετρίας αποδεικνύεται με τη χρήση των αξιωμάτων ή μήπως θα χρειάζονταν περισσότερα,  που ο Ευκλείδης παρέβλεψε; Τι σχέση πρέπει να έχουν τα αξιώματα μεταξύ τους;

Αυτά θα μπουν στην έρευνα μετά δύο χιλιάδες χρόνια! Είναι τα μυστικά των αξιωματικών βάσεων, που η ανακάλυψή τους στη μαθηματική πρακτική, θα  ξ ε κ ι ν ή σ ε ι  τ υ χ α ί α   με τη φοβερή ιδέα του Λομπατσέφσκυ.

Τα παράδοξα της Ευκλείδειας γεωμετρίας

Κάθε κλάδος των Μαθηματικών, στην αρχή παρουσιάζει «παράδοξα», μέχρις ότου  οι έννοιες που εισάγει να «καθήσουν» καλά στα μυαλά των μαθηματικών. Το ίδιο συνέβη και με τη γεωμετρία. Τα παράδοξα της γεωμετρίας κράτησαν αιώνες, όσους περίπου και τα παράδοξα του Ζήνωνα, και τερματίστηκαν με τη λεγόμενη «απελευθέρωση» της γεωμετρίας, μετά το Λομπατσέφσκυ.
Μια κριτική μελέτη των «Στοιχείων» σε μεταγενέστερες εποχές, απεκάλυψε ότι ορισμένες προτάσεις βασίζονται σε γεωμετρικές ιδιότητες τις οποίες ο Ευκλείδης θεώρησε αυτονόητες, χωρίς όμως αυτές να μπορούν να δικαιολογηθούν ούτε από τους ορισμούς και τα αξιώματα , ούτε και να προκύπτουν από άλλες γνωστές προτάσεις. Κατά το 19ο αιώνα είχε γίνει αντιληπτό ότι τα αξιώματα και οι ορισμοί του Ευκλείδη δεν επαρκούσαν για τη λογική απόδειξη όλων των θεωρημάτων των «Στοιχείων». Θα δούμε το πρώτο παράδοξο, που είναι η «απόδειξη» ότι όλα τα τρίγωνα είναι ισοσκελή.
Σε ένα τρίγωνο ABC έστω η διχοτόμος της Α και η μεσοκάθετος  του τμήματος BC όπως φαίνεται στο σχήμα. Αν αυτές συμπίπτουν τότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές . Έστω ότι τέμνονται στο Ρ και φέρουμε τις κάθετες ΡΕ και ΡF  στις πλευρές ΑΒ και ΑC. Tότε τα τρίγωνα που συμβολίζονται με α είναι ίσα (μια πλευρά και δύο γωνίες., άρα ΡΕ=ΡF  Ομοίως τα τρίγωνα που συμβολίζονται με γ  είναι ίσα άρα ΡΒ=ΡC. Από αυτό προκύπτει ότι και τα τρίγωνα β είναι ίσα άρα ΒΕ+ΕΑ=CF+FA  δηλαδή το ΑBC είναι ισοσκελές.

Το σωστό σχήμα δίνεται με το Ρ έξω από το τρίγωνο αλλά ακριβώς ένα από τα σημεία Ε και F να βρίσκεται ανάμεσα στις κορυφές του τριγώνου, όπως φαίνεται στο επόμενο σχήμα. Ακόμα έχουμε AE=AF  και PE=PF  και PB=PC ακόμα προκύπτει ότι BE=FC αλλά τώρα βλέπουμε  δεν προκύπτει ότι AB=AC , διότι ενώ το F είναι ανάμεσα στα A και C, το Ε δεν είναι ανάμεσα στα Α και Β. Αυτό δείχνει τη σπουδαιότητα του «μεταξύ» σαν έννοια στη γεωμετρία, που δεν υπάρχει στον Ευκλείδη. Ο Pasch ήταν ανάμεσα στους πρώτους  που θεώρησε τα «αξιώματα διάταξης» και ο Χίλμπερτ τα ενσωμάτωσε στα δικά του «θεμέλια της Γεωμετρίας»

Ένα άλλο σημείο της κριτικής στον Ευκλείδη ήταν στο θέμα των ορισμών. Ο Ευκλείδης ακολουθώντας το Ελληνικό σχέδιο της υλικής αξιωματικής μεθόδου, έκανε προσπάθειες να ορίσει ή τουλάχιστον να εξηγήσει όλους τους όρους της μεθόδου του. Τι είναι σημείο; Κάτι που δεν έχει μέρη ή μέγεθος. Δηλαδή; Αυτό μοιάζει με ορισμό του «τίποτα». Στην πραγματικότητα  θέλουμε το σημείο σαν κάτι πολύ μικρό, πολύ συγκεκριμένο στίγμα, και αν μας πιέσουν τι εννοούμε με το πολύ μικρό, πολύ συγκεκριμένο στίγμα θα πούμε:  λοιπόν εννοούμε σημείο.
Δεν μπορούμε λοιπόν να ορίσουμε ρητά όλους τους όρους, το έναν μέσω των άλλων, αυτό δεν μπορεί να συμβεί χωρίς να αποφύγουμε την κυκλικότητα, και πάντα θα υπάρχουν κάποιοι πρωταρχικοί όροι που θα ορίζονται σιωπηρά, με την έννοια ότι είναι αυτά τα πράγματα που πληρούν τα αξιώματα, τα αξιώματα σε τελευταία ανάλυση είναι υποθέσεις για τους πρωταρχικούς όρους. Αυτή είναι η συνταγή για τη σύγχρονη αξιωματική μέθοδο. Και πώς  ορίστηκε το σημείο; Αυτό χρειάστηκαν χιλιετίες για να απαντηθεί: απλά αδιαφορούμε  τι σημαίνει. Ο Χίλμπερτ όρισε ότι «για κάθε ζεύγος σημείων υπάρχει μια ευθεία γραμμή που τα περιέχει» Η πρόταση δεν απαιτεί από εμάς να ξέρουμε τι είναι το σημείο, αλλά όταν έχουμε δύο από αυτά, υπάρχει ένα άλλο πράγμα που λέγεται ευθεία, που τα περιέχει. Το σημείο δηλώνεται με αμοιβαίες σχέσεις οι οποίες εκφράζονται με  λέξεις όπως «κείνται» «μεταξύ» κλπ. Αλλά όμως η αντίληψη αυτή επεκτείνεται στα μαθηματικά, όπως είδαμε σε προηγούμενο άρθρο (φορμαλισμός).
Ένα  άλλο σημείο κριτικής από τους λογικιστές είναι η πρόταση 1.4  κατασκευής ισοπλεύρου τριγώνου δοθείσας πλευράς. Εκεί θεώρησε ότι δύο κύκλοι με κέντρα τα άκρα ενός τμήματος και ακτίνα το τμήμα, τέμνονται. Αυτό πράγματι δεν προκύπτει από τη θεμελίωση,  για τον Ευκλείδη όμως είναι διαισθητικά προφανές και δεν παράγει λανθασμένο αποτέλεσμα. Χρειάζονται εν τούτοις αξιώματα που να μας διαβεβαιώνουν για τη γεωμετρική έννοια της συνέχειας, η οποία σε Καρτεσιανούς όρους είναι ισοδύναμη με την πληρότητα των πραγματικών αριθμών. Θα μπορούσε, λέει η σύγχρονη κριτική, οι δύο κύκλοι να είχαν κενά στην περίμετρό τους, να έμπαινε ό ένας μέσα στον άλλο σαν κρίκοι, και να μην τέμνονται! Μα πότε θα μπορούσε να συμβεί αυτό; Αν π.χ  το επίπεδο είχε σημεία μόνο με ρητές συντεταγμένες δηλαδή το επίπεδο να είχε κενά, αόρατες τρύπες!

Ο Ποσειδώνιος έγραψε έργα για τη Φυσική, τη Μετεωρολογία, τη Φυσική Γεωγραφία, την Αστρονομία, την Αστρολογία και τη μαντεία, τη Σεισμολογία, τη Γεωλογία και την Ορυκτολογία, την Υδρολογία, τη Βοτανική, την Ηθική, τη Λογική, τα Μαθηματικά, την Ιστορία, τη Φυσική Ιστορία, την Ανθρωπολογία, και τη στρατηγική.
Την αυστηρότερη κριτική στο έργο του Ευκλείδη  άσκησε ο Ράσελ στο άρθρο του «η διδασκαλία του Ευκλείδη». Αν και το άρθρο είναι πολύ σημαντικό για την ιστορική συνέχεια της αξιωματικής μεθόδου, και η κριτική είναι πράγματι ένα δείγμα του λογικισμού, είναι εν τούτοις προκλητική και μίζερη. Όπως είπε κάποιος, το κυριότερο σφάλμα του Ευκλείδη στα μάτια του Ράσελ είναι ότι δεν είχε διαβάσει το έργο του Ράσελ. Κάνει κριτική με όρους… της ελλειπτικής γεωμετρίας, (πρόταση 1.4) «στην οποία δεν είναι πάντοτε δυνατό να κατασκευάσουμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο με δοθείσα βάση» άρα ο Ευκλείδης θεώρησε την ευθεία όχι κλειστή (στην ελλειπτική γεωμετρία η ευθεία είναι κλειστή), αλλά χωρίς να το ορίσει αυστηρά.
Πράγματι μια  σιωπηρή υπόθεση του Ευκλείδη είναι ότι η ευθεία έχει άπειρη έκταση. Αν και στο αξίωμα 2 ορίζεται ότι η ευθεία μπορεί να παραχθεί απεριόριστα, αυτό, αυστηρά λογικά,  δεν συνεπάγεται ότι η ευθεία είναι άπειρη σε έκταση, αλλά ότι είναι απεριόριστη. Το τόξο ενός μέγιστου κύκλου που ενώνει δύο σημεία στη σφαίρα, μπορεί να παράγεται επ’ αόριστον αλλά δεν συνεπάγεται ότι έχει άπειρη έκταση, απλά είναι απεριόριστο. Χρειάζεται, λέει ο Ράσελ  ένα αξίωμα «σε κάθε ευθεία γραμμή υπάρχει τουλάχιστο ένα σημείο του οποίου η απόσταση από ένα σημείο της ευθείας ή εκτός αυτής υπερβαίνει μια δοθείσα απόσταση».
Το σημείο αυτό για μας είναι χαρακτηριστικό: πράγματι υπάρχει έλλειμμα, όμως ο Ευκλείδης δουλεύει με την άπειρη σε έκταση ευθεία, το γνωρίζουμε, άρα τα λάθη της κατασκευής του θα αναφέρονται σε αυτήν την ευθεία, και όχι σε παρανόηση του ποια ευθεία εννοούμε. Όμως τέτοια λάθη δεν εντοπίστηκαν για αιώνες. Ο Ευκλείδης είναι συνεπής στη λογική επεξεργασία  για αυτά που ορίζει, έστω και υπονοεί διαισθητικά.
Άλλο σημείο της κριτικής του Ράσελ είναι η τέταρτη πρόταση για την μετακίνηση (επιθέτηση) των σχημάτων στον ορισμό της ισότητας: ο Ευκλείδης χρησιμοποίησε την μετακίνηση των τριγώνων για να αποδείξει ότι αν δύο πλευρές και οι γωνίες τους είναι ίσες, τότε τα τρίγωνα συμπίπτουν, αλλά δεν αξιωματικοποίησε, ούτε όρισε την μετατόπιση. Ο Ράσελ σχολιάζει: «η τέταρτη πρόταση είναι ο ιστός της ανοησίας. Η επιθέτηση είναι λογικά μια άχρηστη επινόηση. Γιατί αν τα τρίγωνά μας είναι χωρικά, όχι υλικά, υπάρχει μια λογική αντίφαση στο να τα μετακινήσουμε , ενώ αν είναι υλικά, δεν μπορούν να είναι τελείως άκαμπτα, και όταν τα επιθέσουμε σίγουρα θα παραμορφωθούν από το αρχικό τους σχήμα. Αυτό που προϋποτίθεται, αν πρέπει  να διατηρηθεί κάτι ανάλογο με την απόδειξη του Ευκλείδη είναι το παρακάτω περίπλοκο αξίωμα…..»
Επίσης για την πρόταση 7 «είναι τόσο εσφαλμένη ώστε ο Ευκλείδης θα έκανε καλύτερα να μην προσπαθήσει καν μια απόδειξη  Πρώτα  χρησιμοποιεί έναν απροσδιόριστο όρο στην έκφραση στην ίδια πλευρά της ευθείας. Ο ορισμός απαιτεί ένα αξίωμα που μπορεί να τεθεί ως εξής…..»
Πολλή λογική λοιπόν από το Ράσσελ, και όμως τα λογικά κενά στην παρουσίαση του Ευκλείδη δεν έφεραν ασάφειες ή αμφισβητήσεις όσον αφορά τους αποδεκτούς κανόνες του λογισμού. Οι μαθηματικοί όλων των αιώνων επικοινωνούσαν και συζητούσαν τις Ευκλείδειες αποδείξεις χωρίς ποτέ να θέσουν θέματα ορθότητας. Είναι η μεγάλη απόδειξη ότι χωρίς τη διαίσθηση δεν υπάρχει μαθηματική έμπνευση. Μπορούσε άραγε να ξεκινήσει η γεωμετρία με τους όρους του Ράσελ; Πως συνέβη ώστε ένας εξέχων λογικιστής όπως ο Ράσελ να μην έχει παράξει ποτέ ένα απλό θεώρημα; Ακόμα και το 5ο αίτημα ανήκει σε αυτή τη γραμμή της διαισθητικής  ερμηνείας.
Μέσα από αυτήν τη γενικευμένη κριτική έχουν προταθεί πολλά βελτιωμένα αξιωματικά συστήματα για τη γεωμετρία του Ευκλείδη, πρώτα από τον Moritz Pasch το 1882, και στη συνέχεια τους  Hilbert, Birkhoff,  και Tarski.
Το παράδοξο των παραλλήλων
Όμως το μεγαλύτερο παράδοξο της Ευκλείδειας γεωμετρίας, αυτό που σημάδεψε την ιστορία της γεωμετρίας μέχρι τον 19ο αιώνα είναι το 5ο αξίωμα, το περίφημο αξίωμα των παραλλήλων.
Τι ακριβώς συνέβαινε;
Σίγουρα το 5ο αξίωμα δεν είναι τόσο σαφές, σύντομο και κατανοητό όσο τα άλλα τέσσερα, αφού έμπαινε στην περιγραφή το άπειρο για τη συμπεριφορά  της ευθείας. Δεν ήταν σαφές και αποδεκτό να μιλούμε για τομή δύο ευθειών…στο άπειρο. Η πρόταση αυτή δε φάνηκε εξ’ αρχής άμεσα προφανής στους γεωμέτρες, (Παπαφλωράτος), όμως ο Αριστοτέλης είχε   προειδοποιήσει: «..το αξίωμα είναι μια υπόθεση όχι αναγκαστικά φανερή ούτε αναγκαστικά αποδεκτή από το μαθητή..».
Η πραγματική απαρχή της αμφισβήτησης φαίνεται να είναι γεωμετρική, που απορρέει από το ίδιο το σύστημα. Το χορό των είκοσι αιώνων τον άνοιξε ο Πρόκλος, που έθεσε το πρόβλημα εξ’ αρχής:
παρατηρεί ότι δύο προτάσεις του 1ου Βιβλίου των Στοιχείων είναι αντίστροφες:
1. το 5ο αίτημα: εάν ευθεία τέμνουσα δύο ευθείες σχηματίζει τις εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες μικρότερες των δύο ορθών, τότε αν οι δύο ευθείες επεκταθούν επ’ άπειρον, θα συμπίπτουν προς τα μέρη όπου σχηματίζονται οι μικρότερες των δύο ορθών γωνίες)
2. η 17η πρόταση: Σε κάθε τρίγωνο οι δύο γωνίες είναι μικρότερες των δύο ορθών, με οποιονδήποτε τρόπο και αν ληφθούν, − στην απόδειξη της οποίας δεν χρησιμοποιείται το 5ο αίτημα.

 


Εξώφυλλο βιβλίου έκδοσης 1791 για τον Πρόκλο
Θεωρεί λοιπόν ότι δεν είναι δυνατόν από δύο αντίστροφες προτάσεις η μία να έχει απόδειξη ενώ η άλλη να μην είναι δυνατόν να αποδειχθεί ούτε αν είναι αληθής, ούτε αν είναι ψευδής. Αν όμως μία πρόταση μπορεί να αποδειχθεί, τότε δεν είναι «νόμιμο» να τεθεί ως αίτημα, κι εδώ είχε δίκιο.
Και συνεχίζει: όταν οι δύο ορθές ελαττώνονται (ω+φ<180ο, σχ. 1) είναι αληθές και αναγκαίο ότι οι ευθείες ε και ε΄ συγκλίνουν. Αλλά η πρόταση ότι θα συναντηθούν κάποτε, αφού συγκλίνουν όλο και περισσότερο καθώς αναπτύσσονται, είναι εύλογη αλλά όχι αναγκαία χωρίς την  ύπαρξη κάποιου επιχειρήματος ότι πράγματι συμβαίνει αυτό. Η ύπαρξη των ασύμπτωτων καμπύλων, οι οποίες συνεχώς πλησιάζουν αλλά δεν τέμνονται, αφήνει ανοικτό το ενδεχόμενο να υπάρχουν και ασύμπτωτες ευθείες, δεν μπορεί λοιπόν αυτό να συμβαίνει  στην περίπτωση των παράλληλων ευθειών; και επομένως η απόδειξη του 5ου αιτήματος είναι αναγκαία. Το συμπέρασμα στο οποίο καταλήγει ο Πρόκλος μπορεί να συμπυκνωθεί στην φράση του: «Τοῦτο καὶ παντελῶς διαγράφειν χρὴ τῶν αἰτημάτων·»
Οι αποτυχημένες προσπάθειες για απόδειξη, διατυπώθηκαν από τους Πρόκλο, Πτολεμαίο, Ποσειδώνιο, Γέμινο, Wallis Saccheri, Carnot, Laplace, Lambert, Clairaut, Legendre,  W.Bolyai, Gauss, και  όλες αυτές αργά ή γρήγορα απεδείχτηκαν ότι στηρίζονται σε μια υπόθεση  ισοδύναμη με το αρχικό αξίωμα του Ευκλείδη.  Αναφέρω μερικές  χαρακτηριστικές διατυπώσεις:
Playfair: από σημείο εκτός ευθείας μία μόνο παράλληλη άγεται προς αυτή.
Γκάους: «δεν υπάρχει ανώτερο όριο στο εμβαδόν ενός τριγώνου».
Legendre και W.Bolyai: από τρία μη συνευθειακά σημεία διέρχεται ένας κύκλος.
Lambert  και Clairaut: αν σε ένα τετράπλευρο , τρεις γωνίες είναι ορθές, τότε και η τέταρτη είναι ορθή.
Το άθροισμα των γωνιών τριγώνου είναι δύο ορθές.
Όλες οι παραπάνω προτάσεις, και άλλες ακόμα, είναι ισοδύναμες εκφράσεις του 5ου αξιώματος.
Έχει ενδιαφέρον να δείξουμε την ισοδυναμία όλων των εναλλακτικών αξιωμάτων με αυτό του Ευκλείδη . Για να γίνει αυτό πρέπει να δείξουμε ότι το εναλλακτικό είναι ένα θεώρημα για το Ευκλείδειο σύστημα και αντίστροφα ότι το Ευκλείδειο 5ο αξίωμα προκύπτει ως θεώρημα από το Ευκλείδειο σύστημα στο οποίο έχουμε αντικαταστήσει το 5ο αξίωμα με το εν λόγω εναλλακτικό.
Όμως τα αίτια της ατέλειωτης έρευνας αιώνων για την απόδειξη του 5ου αξιώματος είναι βαθύτερα.
Ήταν που οι μαθηματικοί για πολλούς αιώνες, ξέχασαν την εμπειρική-διαισθητική βάση των αξιωμάτων του Ευκλείδη, ή ποτέ δεν την αξιολόγησαν ως τέτοια. Τα μυστικά των αξιωματικών βάσεων,  ανακαλύφτηκαν τυχαία, όταν  έγινε κατανοητό ότι το 5ο αξίωμα είναι αδύνατο να αποδειχτεί, α φ ο ύ   η   ά ρ ν η σ ή   τ ο υ   α π ό   τ ο   Λ ο μ π α τ σ έ φ σ κ υ ,   δ ε ν   ο δ η γ ο ύ σ ε   σ ε   κ ά π ο ι α   λ ο γ ι κ ή   α ν τ ί φ α σ η. Αυτή ήταν η μεγάλη ιδέα της νέας εποχής. Η μαθηματική ελευθερία που ήρθε μετά την αντικατάσταση του 5ου αξιώματος, άλλαξε τη γνώση αιώνων για το αξιωματικό σύστημα.  Τι ήταν τελικά τα αξιώματα; Πως ήταν δυνατόν το αξίωμα που καθορίζει τη φύση ολόκληρης της γεωμετρίας και αποτελεί τη βάση για τα περισσότερα θεωρήματα,  να …μην αποδεικνύεται, ούτε να είναι προφανές και αυταπόδεικτο, όπως τα άλλα; Κι όμως αυτό συνέβαινε! Το φαινόμενο αυτό ά φ η ν ε   α ν ο ι χ τ ό   τ ο   ε ν δ ε χ ό μ ε ν ο  η ευθεία να ορίζονταν και αλλιώς, πέρα από την εμπειρική περιγραφή του Ευκλείδη, που ήταν μια από τις πολλές. Αλλά αυτό άργησε να γίνει αντιληπτό, και όταν έγινε, η αξιωματική από εμπειρική μετεξελίχτηκε σε τυπική.
Η  αξιωματική μέθοδος ήταν μια μαθηματική μέθοδος, και σαν τέτοια  δεν θα έπρεπε να έχει σχέση με πεποιθήσεις για απόλυτες αλήθειες και a priori αντιλήψεις. Τα μαθηματικά κατασκευάζονται από τον άνθρωπο και δεν υπάρχουν έξω από αυτόν, σε κάποια παγκόσμια φιξαρισμένα σχέδια. Μια υπόθεση του δημιουργού παράγει μαθηματικά , μια άλλη υπόθεση, άλλα μαθηματικά. Αυτό ήταν που έφερε ο Λομπατσέφσκυ. Η διαπλοκή της διαίσθησης με το ά π  ε ι ρ ο  κατά την τομή των παραλλήλων, είναι κατά τη γνώμη μας  κομβικό σημείο, ωθούσε τη σκέψη  για άλλες υποθέσεις, πέραν της Ευκλείδειας, η οποία ήταν η ισχυρότερη. Σήμερα δεν μας κάνει καμιά εντύπωση που το πρώτο αξίωμα του Νεύτωνα για την αδρανειακή κίνηση δεν είναι ούτε προφανές ούτε αποδεικνύεται από τα άλλα, (κι εκεί υπάρχει η επ’  ά π ε ι ρ ο αδρανειακή κίνηση!) Η αποδέσμευση του αξιώματος από τα πράγματα και η ανάδειξή του σε πεποίθηση- υπόθεση του δημιουργού που κατασκευάζει την αξιωματική βάση, άργησε να αφομοιωθεί και ήταν μια επανάσταση στα μαθηματικά. Η αλήθεια των αξιωμάτων δε ήταν εξασφαλισμένη από τ ί π ο τ α.
Οι έννοιες της τυπικής αξιωματικής αναπτύχθηκαν περίπου έναν αιώνα μετά τις ανακαλύψεις του Λομπατσέφσκυ, τόσο κάνουν πάντα οι μαθηματικές ανακαλύψεις να αφομοιωθούν.
H μετεξέλιξη αυτή της αξιωματικής μεθόδου περιγράφεται στο  άρθρο: Αξιωματική μέθοδος. Ευκλείδης και Χίλμπερτ)
Πρέπει να αναφέρουμε εδώ, ότι πρωτοπόρος στην προσπάθεια ανάδειξης της ανεξαρτησίας του 5ου αξιώματος είναι ο Saccheri. Στην προσπάθειά του να αποδείξει το 5ο αξίωμα διατυπώνει τρεις υποθέσεις: της οξείας γωνίας (υπερβολική γεωμετρία), της αμβλείας (ελλειπτική γεωμετρία) και της ορθής(Ευκλείδεια). Τα θεωρήματα που παρήγαγε με την υπόθεση ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι μικρότερο των 180ο συγκροτούν ένα είδος γεωμετρίας τόσο λογικής όσο και η Ευκλείδεια. Ωστόσο ο Saccheri δεν το αντιλήφθηκε. (σχολικό βιβλίο γεωμετρίας για το Λύκειο)
Και ο Ευκλείδης; Γνώριζε ο Ευκλείδης μεταμαθηματικά; όχι βέβαια, αλλά  μάλλον η δ ι α ι σ θ η τ ι κ ή   σ ύ λ λ η ψ η   τ ο υ   φ α ι ν ο μ έ ν ο υ  ήταν τόσο ισχυρή, ώστε τον οδήγησε σε αυτή τη στάση σιωπής, αφήνοντας ανοιχτό το θέμα της ανεξαρτησίας για τους επόμενους.
Η ιστορία αυτή του 5ου αξιώματος θα τελειώσει τον 19ο αιώνα με τις ανεξάρτητες εργασίες των Bolyai (υιού) και του Λομπατσέφσκυ που θα παρακολουθήσουμε σε επόμενο άρθρο. Μέχρι τότε, τα αξιωματικά θεμέλια της γεωμετρίας (εννοιολογικά) ήταν τα πέντε αξιώματα του Ευκλείδη.

Πηγές:
Τα θεμέλια της γεωμετρίας (Xίλμπερτ) Τροχαλία, μετάφραση Στρατής Παπαδόπουλος
Foundations and fundamentals concepts of Mαthematics  του   Howard Eves
Η αλήθεια της γεωμετρίας www.mpantes.gr
www.mathpages.com
The teaching of Euclic (Bertrand Russel διαδίκτυο)
www.mathifone.gr
Σκέψεις  για τα μαθηματικά:  Steward Shapiro,Εκδόσεις Πανεπιστημίου Πατρών
[1] Παλιότερα, στην εποχή του Ευκλείδη η λέξη αίτημα  σήμαινε το αναπόδεικτο,  ή αυτό που αναγνωρίζεται ως αλήθεια , που γίνεται αποδεκτό, χωρίς απόδειξη. Σήμερα το αίτημα και το αξίωμα είναι ταυτόσημα.
[2] Ίσως η πιο διάσημη απλή έκφραση στην ιστορία της επιστήμης…..  C.J.Keyser

http://dimitris-ver.blogspot.gr/

Κατηγορία Αρθρα μαθηματικων | Δε βρέθηκαν σχόλια »

Ρήσεις για τα μαθηματικά

Συγγραφέας: damianosk2001 στις 5 Φεβρουαρίου 2018

Τι είναι λοιπόν τα Μαθηματικά; 
 « Φαίνεται ότι έχουμε τρεις επιλογές:
Τα Μαθηματικά είναι η ανθρωπιστική επιστήμη που υμνεί την αιώνια λογική.
Είναι η φυσική επιστήμη που μελετά το φαινόμενο λογική.
Είναι η τέχνη που πλάθει μορφές αιθέριας ομορφιάς από πρώτη ύλη που ονομάζεται λογική.
Είναι όλα αυτά και άλλα. Πάνω απ’ όλα, όμως, μπορώ να σας διαβεβαιώσω ότι τα Μαθηματικά είναι ευχαρίστηση.»
W. T. TUTTE


«Τα Μαθηματικά είναι η γλώσσα που χρησιμοποιεί ο εγκέφαλός μας, για να επικοινωνήσει με τον εαυτό του.»
GRACIELLA CHICHILNISKY


«Η ουσία των Μαθηματικών είναι η αλήθεια.»

GEORG CANTOR


«Τα Μαθηματικά είναι το αντικείμενο για το οποίο ποτέ δεν ξέρουμε για τι μιλάμε, ούτε αν αυτό που λέμε είναι αλήθεια.»
BERTRAND RUSSELL


«Εκείνο το υλικό που μερικές φορές είναι διαυγές … και μερικές φορές ασαφές … είναι …
τα μαθηματικά.»

IMRE LAKATOS

Γιατί ασχολούμαστε με τα Μαθηματικά;
 

«Όποιος τα αγνοεί [τα μαθηματικά] δεν μπορεί να γνωρίσει τις άλλες επιστήμες ούτε και τα αντικείμενα του κόσμου μας … Και το χειρότερο είναι ότι οι άνθρωποι που τα αγνοούν δεν συνειδητοποιούν την ίδια τους την άγνοια και επομένως δεν προσπαθούν να τη θεραπεύσουν.«
– ΡΟΓΗΡΟΣ ΒΑΚΩΝ
 
«Η ζωή είναι ευχάριστη για δύο μόνο λόγους:
για την ανακάλυψη στα Μαθηματικά και για τη διδασκαλία των Μαθηματικών
.«
SIMEON POISSON

«Όταν ήμουν 11 χρονών άρχισα να διαβάζω τα Στοιχεία του Ευκλείδη… Αυτό ήταν ένα από τα μεγάλα γεγονότα στη ζωή μου, τόσο εκτυφλωτικό όσο και ο πρώτος έρωτας. Δεν είχα ποτέ φανταστεί ότι υπήρχε κάτι τόσο γοητευτικό στον κόσμο.«
BERTRAND RUSSEL

Η μάθηση στα Μαθηματικά
 

«Όταν ήμουν μικρός, κόμπαζα για το πόσο πολλές σελίδες διάβαζα σε μία ώρα. Στο κολέγιο έμαθα πόσο βλακώδες ήταν αυτό. Το να διαβάζεις δέκα σελίδες μαθηματικά την ημέρα μπορεί να είναι ένας εξαιρετικά γοργός ρυθμός. Ακόμα και μία σελίδα, όμως, μπορεί να είναι αρκετή.»
WILLIAM THURSTON


«Το ξεκίνηµα της άλγεβρας το βρήκα πολύ δύσκολο, ίσως ως αποτέλεσµα κακής διδασκαλίας.
Έπρεπε να αποστηθίσω: ‘
το τετράγωνο του αθροίσµατος δύο αριθµών είναι ίσο µε το άθροισµα των τετραγώνων τους αυξηµένο κατά το διπλάσιο γινόµενό τους’.
Δεν είχα την παραµικρή ιδέα τι σήµαινε αυτό και όταν δεν µπορούσα να θυµηθώ τα λόγια, ο δάσκαλος µου πέταγε το βιβλίο στο κεφάλι µου, πράγµα που δεν διέγειρε µε κανένα τρόπο τη νόηση µου.»

BERTRAND RUSSEL


«Ένα μαθηματικό πρόβλημα πρέπει να είναι αρκετά δύσκολο ώστε να μας κινητοποιεί. Όχι όμως απρόσιτο, ώστε να βρίσκεται πέρα από τις δυνατότητές μας. Πρέπει να λειτουργεί ως οδηγός στα δαιδαλώδη μονοπάτια της κρυμμένης αλήθειας και ως υπόμνηση της χαράς μιας επιτυχούς λύσης.»
DAVID HILBERT

Σχετικά με τα Μαθηματικά


«Τα μαθηματικά είναι η βασίλισσα των επιστημών και η αριθμητική είναι η βασίλισσα των μαθηματικών.»
CARL FRIEDRICH GAUSS

«Τα μαθηματικά διαθέτουν όχι μόνον αλήθεια, αλλά και ανώτερη ομορφιά […] τόση όση μόνον η πιο μεγαλιώδης τέχνη μπορεί να επιδείξει.»
BERTRAND RUSSELL

«Ο Αρχιμήδης θα παραμένει στη μνήμη των ανθρώπων όταν ο Αισχύλος θα έχει ξεχαστεί, επειδή οι γλώσσες πεθαίνουν ενώ οι ιδέες των μαθηματικών όχι.»
G. H. HARDY

«Εκείνος που κατανοεί τον Αρχιμήδη και τον Απολλώνιο, θαυμάζει λιγότερο τις επινοήσεις των νεότερων μεγάλων ανδρών.»
G. W. LEIBNIZ

«Στη βάση όλων των μαθηματικών βρίσκεται η καθαρή θεωρία συνόλων.»
ANDREI KOLMOGOROV

«Η έμπνευση στη γεωμετρία είναι το ίδιο απαραίτητη, όσο και στην ποίηση.»
– ΠΟΥΣΚΙΝ

«Οι αριθμοί κυβερνούν το σύμπαν.»
– ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΙ

«Η φιλοσοφία είναι καταγεγραμμένη σε αυτό το τεράστιο βιβλίο – εννοώ το Σύμπαν – που βρίσκεται συνέχεια μπροστά μας. Δεν μπορούμε όμως να το κατανοήσουμε, εκτός αν καταλάβουμε τη γλώσσα του και ερμηνεύσουμε τα στοιχεία με τα οποία έχει γραφεί.
Είναι γραμμένο στη γλώσσα των μαθηματικών και τα στοιχεία του είναι τα τρίγωνα, οι κύκλοι και τα άλλα γεωμετρικά σχήματα, χωρίς τα οποία είναι ανθρωπίνως αδύνατο να γίνει κατανοητή έστω και μία λέξη.»

GALILEO GALILEI

«Η γνώση στην οποία στοχεύει η γεωμετρία είναι η γνώση του αιώνιου.»
– ΠΛΑΤΩΝΑΣ

«Δικαιούμαστε να χαρακτηρίσουμε τέλεια μια μαθηματική θεωρία μόνο όταν μπορούμε να την εξηγήσουμε σχεδόν σε κάθε άνθρωπο.»
DAVID HILBERT

Περιοχές των Μαθηματικών


«Η Άλγεβρα είναι γεναιόδωρη. Συχνά δίνει περισσότερα από όσα της ζητούνται.»
DALEMBERT

«Ο κάθε ανόητος μπορεί να κάνει ερωτήσεις σχετικά με τους πρώτους, που και ο σοφότερος μαθηματικός δεν θα μπορεί να απαντήσει.»
G. H. HARDY

«Ένα πρόβλημα της θεωρίας αριθμών είναι εξίσου διαχρονικό μ’ ένα αληθινό έργο τέχνης.»
DAVID HILBERT

«Η έννοια, η οποία είναι πραγματικά θεμελιώδης, που αποτελεί τη βάση και διεισδύει σε όλη τη μοντέρνα Ανάλυση και Γεωμετρία, είναι αυτή της φανταστικής ποσότητας στην Ανάλυση και του φανταστικού χώρου στη Γεωμετρία.»
ARTHUR CAYLLEY

«Σύμφωνα με τον Leibniz, ζούμε στον καλύτερο δυνατό κόσμο. Γι’ αυτό το λόγο οι νόμοι του είναι δυνατόν να περιγραφούν από αρχές ακροτάτων.»
C. L. SIEGEL

«Αποστρέφομαι με φόβο και φρίκη την αξιοθρήνητη κακία των συναρτήσεων που δεν έχουν παραγώγους.»
CHARLES HERMITE


«Ενώ η Ανάλυση ενδιαφέρεται για ολόκληρα μεταλλεία, η Γεωμετρία ψάχνει για τις ωραίες πέτρες.»
S. S. CHERN

«Στον κόσμο δεν συμβαίνει τίποτε του οποίου η σημασία να μην συμπίπτει με εκείνη κάποιου μεγίστου ή ελαχίστου.»
LEONARD EULER

«Αν κολλήσετε σε ένα πρόβλημα Απειροστικού Λογισμού και δεν ξέρετε τι άλλο να κάνετε, δοκιμάστε να ολοκληρώσετε κατά μέρη ή να κάνετε αλλαγή μεταβλητών.»
JERRY KAZDAN

«Όταν μια ποσότητα είναι μέγιστη ή ελάχιστη, εκείνη τη στιγμή η ροή της ούτε αυξάνεται ούτε ελαττώνεται.»
I. NEWTON

«Το ζήτημα που τίθεται σε κάθε επιστημονική εργασία είναι τούτο:
μαγεία ή γεωμετρία.»
RENE THOM

«Η εκθετική συνάρτηση ταυτίζεται με την παράγωγό της
Αυτή είναι η πηγή όλων των ιδιοτήτων της εκθετικής συνάρτησης και ο κύριος λόγος της μεγάλης σημασίας που έχει στις εφαρμογές.»

R. COURANT H. ROBBINS


«Νομίζω ότι [η θεωρία του Cantor] είναι ένα από τα σπουδαιότερα δείγματα ανθρώπινης ευφυΐας και ένα από τα μεγαλύτερα επιτεύγματα της ανθρώπινης δραστηριότητας.»
DAVID HILBERT

«Κανείς δεν θα μας εκδιώξει από τον παράδεισο που δημιούργησε ο Cantor για μας.»
– DAVID  HILBERT

Κατηγορία Αρθρα μαθηματικων | Δε βρέθηκαν σχόλια »

5 θεολογικά ερωτήματα και η «μαθηματική» τους απάντηση!

Συγγραφέας: damianosk2001 στις 5 Ιανουαρίου 2018

  1. 1. Πέντε Θεολογικά ερωτήµατα και αντίστοιχες προσπάθειες απάντησης µε µαθηµατικά εργαλεία. Ιωάννης Π. Πλατάρος , µετ.φοιτητής στο Παν. Αθηνών στο Μ.Π.Σ. «∆ιδακτική & Μεθοδολογία των Μαθηµατικών» ∆/ση: Καπετάν Κρόµπα 37 , Τ.Κ. 24 200 Μεσσήνη .ΠΕΡΙΛΗΨΗ: Σε όλες τις θρησκείες ο Θεός είναι άπειρος. Η κατανόησή του, αν είναιεφικτή, περνά µέσα από την κατανόηση του απείρου. Η διαισθητική προσέγγιση τηςέννοιας του απείρου , ιστορικά οδήγησε σε λάθη παρανοήσεις , παράξοξα και γόνιµεςαντιπαραθέσεις. Σήµερα τα µαθηµατικά έχουν διεισδύσει στην έννοια του άπειρου πάραπολύ και µπορεί εξ αυτού να εµπλουτισθεί και ο φιλοσοφικός και ο Θεολογικόςστοχασµός. Επίσης η µαθηµατική Λογική έχει άρει πλέον κάποια παράδοξά της. Μετέτοια εφόδια , µπορούµε να προσεγγίσουµε ερωτήµατα όπως τα παρακάτω: Μπορεί οΘεός που είναι άπειρη οντότητα να κατασκευάσει άλλες άπειρες οντότητες; Αφού είναιπαντοδύναµος , µπορεί να κατασκευάσει µια πέτρα που να µην µπορεί να σηκώσει; Ηέννοια «Θεάνθρωπος» που αποδίδεται στον Ιησού µήπως είναι αντιφατική; Μπορούσεάραγε ο Θεός να φτιάξει έναν καλύτερο κόσµο απ’ αυτόν µε τους πολέµους την πείνα καιτην αδικία που έφτιαξε;(Απ. : `Οχι σύµφωνα µε τον Leibniz !) Η πίστη στον Θεό απόέναν άνθρωπο και η ταυτόχρονη παραβατικότητά του µέσω αµαρτιών µήπως συνιστά τοάρον άωτον της ανθρώπινης ανοησίας; Αυτά τα ερωτήµατα διερευνά η παρούσα εργασίαστα οποία προσπαθεί είτε δώσει απαντήσεις είτε να διευρύνει το πεδίο αναφοράς τους.Παραθέτουµε τα ερωτήµατα που θα µας απασχολήσουν: ΕΡΩΤΗΜΑ 1. Ο Θεός ως άπειρη οντότητα , µπορεί να είναι κατασκευαστήςάπειρης οντότητας; Απάντηση: Οι στοχαστές του Μεσαίωνα ήταν ιδιαίτερα επιφυλακτικοί στο ανωτέρωερώτηµα , αφού η έννοια του απείρου εκείνη την εποχή ήταν ακόµα περιορισµένη. ∆ενείχε γίνει κατανοητό ότι υπάρχουν άπειρες οντότητες οι οποίες περιέχουν άλλες,«απείρως άπειρες», οντότητες! Για παράδειγµα σήµερα ξέρουµε ότι οι πραγµατικοί αριθµοί περιέχονται στοδιάστηµα (0,1) είναι περισσότεροι1 από όσους περιέχει το σύνολο των φυσικών .Κι όχι µόνο περισσότεροι από όσους έχει το , αλλά περισσότεροι κι από το 2σύνολο των φυσικών , περισσότεροι κι απ’ όσους έχει το σύνολο των ρητών ,1 «Περισσότεροι» υπό την έννοια ότι δεν είναι «αριθµήσιµοι» δηλ. δεν δύνανται να αντιστοιχηθούνµέσω µιας «1-1 και επί» αντιστοίχισης µε το σύνολο των φυσικών Ν. Αν υποθέσουµε ότι αυτό είναιεφικτό και όλοι οι αριθµοί του (0, 1) έχουν αντιστοιχηθεί στο Ν , τότε σύµφωνα µε το περίφηµο«διαγώνιο επιχείρηµα» του Cantor µπορούµε να βρούµε στοιχείο του (0,1) , που «να περισσεύει» και ναµην έχει αντιστοιχηθεί , όπερ…άτοπο !2 Εδώ αξίζει να σκεφθούµε ότι το χαρακτηρίζεται από την Ανάλυση ως «πυκνό» , δηλαδή µεταξύ δύοοσοδήποτε γειτονικών ρητών, πάντα υπάρχει κι ένας τρίτος!
  2. 2. περισσότεροι κι από τους αλγεβρικούς αριθµούς3 Α , περισσότερους ακόµα κι από τοπλήθος των στοιχείων του Ακ , όπου κ οποιοσδήποτε φυσικός! Αν έχοµε όρεξη να κατασκευάσουµε ένα ακόµη µεγαλύτερο σύνολο, µπορούµενα χρησιµοποιήσουµε την εντυπωσιακή πρόταση που λέει ότι «Αριθµήσιµη4 ένωσηαριθµησίµων συνόλων, µας δίνει αριθµήσιµο σύνολο» Για παράδειγµα, αν ορίσω ως An = {xn : x ∈ A , n ∈ A , οπου A το συνολο των Αλγεβρικων } αυτό είναι ένααριθµήσιµο απειροσύνολο. Σύµφωνα µε την προηγούµενη πρόταση , τότε και το 1σύνολο Α = ∪ Αi είναι ένα απίστευτα µεγάλο , πλην αριθµήσιµο συνολο. Με i∈Aεπαγωγικό τρόπο µπορούµε να ορίσουµε ακόµα πιο µεγάλα αριθµήσιµα σύνολα , λ.χ. n n −1 Α = ∪ Ai ∀n ∈ . (1) i∈A Και βέβαια αυτό µπορεί να συνεχιστεί ….άπειρες φορές, αλλά θα δίνει πάντααριθµήσιµα σύνολα. Σκεφθείτε το µέγεθος του αριθµήσιµου συνόλου που προκύπτει n −1από µια µικρή τροποποίηση της (1) , αν όπου Α , θέσω A (φανταστείτε το!). Μόνοπου κι αυτό το απιστεύτως µεγάλο σύνολο θα είναι αριθµήσιµο. Και φυσικά ηκατασκευή αυτή δεν σταµατά εδώ! Τώρα ήλθε η στιγµή να αλλάξουµε ποιότητα…..απείρου! ‘Ετσι:Αν θεωρήσουµε το ελαχίστου µέτρου υποσύνολο του (0,1) , λ.χ. το διάστηµα Χ=(0,10-100.000.000.000.000) µε µ(Χ)=10-100.000.000.000.000 θα εξακολουθήσει να έχει n nΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΑ5 στοιχεία από το…. A ( ∀n ∈ ) , ακόµα και από το ( A) k ∀n, k ∈ . nΑλλά µ( ( A) k )=0 (ως προς το σύνηθες µέτρο µ ). Εδώ µπορεί εύκολα να γίνει η ενορατική σκέψη, πως η ειδοποιός ποιοτικήδιαφορά µεταξύ αριθµήσιµου και υπεραριθµήσιµου απείρου είναι το µέτρο µηδέν ήµέτρο µεγαλύτερο του µηδενός. `Οµως τα πράγµατα δεν είναι έτσι! Το περίφηµο«σύνολο του Cantor6» παρ’ ότι έχει µέτρο ίσο µε 0 , εν τούτοις είναι υπεραριθµήσιµο nκαι έτσι κι αυτό περιέχει ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΑ στοιχεία από το σύνολο ( A) k ∀n, k ∈ .3 Τους αλγεβρικούς αριθµούς Α , µπορούµε να τους φανταστούµε ως το , αν του προσαρτήσουµεακόµη και όλες τις τετραγωνικές ρίζες ρητών, χρησιµοποιώντας τις 4 γνωστές πράξεις, ακόµα και τηνύψωση σε δύναµη , αλλ’ όµως δύναµη µε ρητό εκθέτη .4 Παραθέτουµε τον ορισµό του Αρισθµησίµου συνόλου: Ένα σύνολο λέγεται αριθµήσιµο, ότανδύναται να τεθεί σε αντιστοιχία «1-1 και επί» µε υποσύνολο του Ν ή το ίδιο το Ν. Σύµφωνα µε αυτόν, όλα τα πεπερασµένα είναι αριθµήσιµα και από τα άπειρα µια µεγάλη κατηγορία που είναι καιυπερσύνολα του Ν, όπως λ.χ. το5 «ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΑ» πάντα µε την µαθηµατική έννοια ότι πλέον δεν είναι αριθµήσιµο . ∆ιότι και το έχει «διπλάσια» στοιχεία από το , όµως και τα δύο είναι αριθµήσιµα άρα έχουν «ίσο» αριθµόστοιχείων .6 Το σύνολο του Cantor ορίζεται ως εξής: Θεωρούµε το σύνολο [0,1] . Το χωρίζουµε σε τρία µέρη ίσουµέτρου ως εξής: [0, 1/3] , [1/3, 2/3] , [2/3,1] Κρατάµε τα δύο ακραία και πετάµε το µεσαίο. Σε κάθε ένααπό τα δύο που έχουµε, επαναλαµβάνουµε την προηγούµενη διαδικασία: ∆ηλ. Τα χωρίζουµε σε τρία ίσαµέρη, πετάµε το µεσαίο και κρατάµε τα δύο ακραία. Αυτή την διαδικασία θεωρούµε ότι την εκτελούµεεπ’ άπειρον. Το προκύπτον σύνολο , είναι το περίφηµο «σύνολο του Cantor» το οποίο έχει σπουδαίεςιδιότητες, µία των οποίων είναι , ότι παρ’ ότι έχει µέτρο 0 , είναι υπεραριθµήσιµο!.
  3. 3. Περισσότερο ενδιαφέρον, αλλά και παραστατικότητα , παρουσιάζει τοµαθηµατικό γεγονός, ότι αν τµήσουµε το διάστηµα (0,1) µε µια ευθεία, η πιθανότητα νατο τµήσουµε σε αλγεβρικό αριθµό, είναι …µηδέν! Από την άλλη, το σύνολο των συναρτήσεων f : (0,1)  {0,1} έχει→περισσότερα στοιχεία από το (0,1) και µεταπηδούµε σε ακόµα ανώτερη τάξη απείρου!Κι αυτό βέβαια δεν σταµατά µόνον εδώ!……Επανερχόµενοι λοιπόν στο αρχικό ερώτηµα , διαπιστώνοµε µε ότι υπάρχουν οντότητεςάπειρες που περιέχουν άλλες «απείρως άπειρες» οντότητες. Συνεπώς , είναι δυνατόνµια άπειρη οντότητα όπως ο Θεός είναι δυνατόν να παράξει άπειρο αριθµό άπειρωνοντοτήτων. Βεβαίως όλα αυτά µε την προϋπόθεση ότι οι µαθηµατικές οντότητες«όντως υπάρχουν» στον πραγµατικό κόσµο και όχι σε κάποιον αφηρηµένο ιδεατόµαθηµατικό κόσµο ως ιδεατά µαθηµατικά αντικείµενα. Με αυτή την θεώρηση ηαπάντηση στο ερώτηµα, βεβαίως δεν είναι κλειστή και το περίφηµο θεολογικόερώτηµα του Μεσαίωνα περί του «Πόσοι `Αγγελοι είναι δυνατόν να χορέψουν στοκεφάλι µιας καρφίτσας» θα µένει ακόµα ανοικτό σε θεωρήσεις και απαντήσεις. ΕΡΩΤΗΜΑ 2. Ο Θεός ως Παντοδύναµος , δύναται να κατασκευάσει µιαπέτρα που να µην µπορεί να την …σηκώσει; Απάντηση: Η δήθεν απάντηση λέει ότι «αν µεν δεν µπορεί , τότε δεν είναι Παντοδύναµος»επίσης «αν µπορεί, τότε δεν θα µπορεί να σηκώσει την πέτρα, οπότε πάλι δεν είναιΠαντοδύναµος!» Η θεώρηση βεβαίως υπόκειται στην απλή Αριστοτέλεια λογική. Τοσυγκεκριµένο ερώτηµα, απλώς…δεν έχει νόηµα! , Στην ουσία ισοδυναµεί µε τοερώτηµα «αν είναι δυνατόν ο Θεός που είναι Παντοδύναµος , να µην είναι…Παντοδύναµος!» . Πρόκειται για αντίφαση. Σύµφωνα µε την «αρχή της αποκλίσεωςµέσου ή τρίτου» που κατά κόρον χρησιµοποιούµε στα µαθηµατικά , για κάθε πρότασηP , (ή Ρ αληθής ή ~Ρ αληθής ). Εποµένως το αγαπηµένο αυτό ερώτηµα των µαθητώνπρος τους θεολόγους καθηγητές τους, απλώς , δεν είναι κανονικό –λογικόερώτηµα!…… Το ενδιαφέρον της παραπάνω ερωτήσεως είναι το µη προφανές του µηνοήµατός της! Αυτό µάλλον συµβαίνει διότι ο λογισµός µε το άπειρο , ακόµα και σεστοιχειώδες επίπεδο δίνει συχνά αποτελέσµατα µη ευκόλως αποδεκτά –κατανοητά απότην ανθρώπινη συνείδηση που έχει µάθει να λογίζεται µε πεπερασµένες οντότητες. Ενδιαφέρουσα είναι και µια προσπάθεια απάντησης και του δικού µου θεολόγουπριν δεκαετίες , όπου προφανώς µη αντιλαµβανόµενος το αντιφατικόν τουερωτήµατος, µου έδωσε την εξής µεταφυσική απάντηση: «Ο Θεός δεν υπακούει στοδίπολο «λογικό-παράλογο» αφού είναι «Υπέρλογος!» ΕΡΩΤΗΜΑ 3. Υπό ποία έννοια ο Ιησούς ήταν «Θεάνθρωπος;» Απάντηση: Φυσικά πρόκειται για «δόγµα» της Χριστιανικής θρησκείας. Την έννοια«δόγµα» ένας µαθηµατικός την κατανοεί ως µια πρόταση της οποίας την αλήθεια τηνδεχόµαστε . Αυτό µοιάζει µε την έννοια «αξίωµα» µε την διαφορά ότι το αξίωµα είναιπροφανές και βέβαια µε βάση αυτό (στα πλαίσια µιας θεωρίας) δεν µπορεί να παραχθείαντίφαση. Υπάρχει όµως αντίφαση στην έννοια «Θεάνθρωπος;» Ας το δούµε: Ο Χριστός ως Θεός έχει άπειρες δυνατότητες. Ως άνθρωπος έχει πεπερασµένες .Σύµφωνα λοιπόν µε την αρχή «άπειρο +πεπερασµένο=άπειρο» θα µπορούσαµε ναπούµε αντιστοίχως , ότι «Θεός+άνθρωπος=Θεός» Συνεπώς η ανθρώπινη συµπεριφοράτου Ιησού είναι απολύτως αντιφατική. Εκτός αν δεχθούµε ότι άλλες χρονικές περιόδους
  4. 4. ήταν Θεός και άλλες άνθρωπος. Αυτό ένας θεολόγος –ίσως- δεν το δέχεται, αφού οΘεός είναι «πέραν του χρόνου» και «υπέρ τον χρόνο» . Και σίγουρα αποτελεί δόγµα,πλην όµως η διαφαινόµενη αντίφαση πρέπει να απαντηθεί περισσότερο πειστικά. Βεβαίως κι από την µυθολογική µας αρχαιότητα υπήρχε η έννοια του «ηµιθέου»πλην όµως αυτή ήταν µη αντιφατική, αρκετά σαφώς ορισµένη και –το κυριότερο- οιτότε «Θεοί» είχαν µεν τεράστιες δυνατότητες, όχι όµως και άπειρες !…. ΕΡΩΤΗΜΑ 4 . Ο κόσµος µας , µε όλα τα στραβά του και τα ανάποδά του(πόλεµοι, εγκλήµατα, φτώχια, αδικία κ.τ.λ.) είναι ο καλύτερος δυνατός κόσµος πουθα µπορούσε να κατασκευάσει ο Θεός; Απάντηση: Και η διατύπωση και η απάντηση στο παραπάνω ερώτηµα ανήκειστον µεγάλο φιλόσοφο και εκ των θεµελιωτών του απειροστικού λογισµού Leibniz. Toεξαιρετικά εντυπωσιακό είναι ότι ο Leibniz απαντά «ναι» και το αποδεικνύει! το είδοςτου αποδεικτικού συλλογισµού που χρησιµοποιεί λέγεται «τρίληµµα» αφού στηρίζεταισε τρεις προτασιακές συνιστώσες7. Σύµφωνα µε τον Leibniz: «Αν ο κόσµος µας δεν είναι άριστος, ο Θεός που τον δηµιούργησε ή δεν ήξερα ήδεν ήθελε ή δεν µπορούσε να τον κάνει άριστο. Αλλά ο Θεός ως Πάνσοφος ήξερε, ως Πανάγαθος ήθελε και ως Παντοδύναµοςµπορούσε να τον κάνει άριστο. `Αρα: Ο κόσµος µας είναι άριστος!» Η παραπάνω απόδειξη του Leibniz λογικά είναι υποδειγµατικά άψογη . Τοσυµπέρασµα όµως –εµπειρικά- µοιάζει «αντιφατικό» .γιατί αυτό; Μήπως επειδήχρησιµοποιεί ιδιότητες του Θεού που εµπεριέχουν το άπειρο; Πράγµατι : «Πανάγαθος» , δηλ έχει άπειρο βαθµό αγαθότητας . «Πάνσοφος» : `Εχει άπειροβαθµό σοφίας και γνώσης . «Παντοδύναµος» : `Εχει απεριόριστες δυνατότητες. Ανσκεφθούµε ότι ιστορικά ο άνθρωπος έκανε αρκετά λάθη στην προσπάθειά του ναεξηγήσει το άπειρο , προφανώς λόγω του πεπερασµένου της ανθρώπινης φύσεώς του,µπορούµε να πούµε –και εδώ-ότι η διαφαινόµενη «αντίφαση» του συµπεράσµατος τουLeibniz , δεν αποτελεί αντίφαση µεταξύ συµπεράσµατος και πραγµατικότητας, αλλάαντίφαση µεταξύ συµπεράσµατος ιδεατής ,υποκειµενικής, δεοντολογικής καιπερατοκρατικής τρόπον τινά αντίληψης που συνήθως έχουν οι άνθρωποι για τονκόσµο. Η λογική λέει ότι η έννοια «καλό» δεν είναι ούτε αυθύπαρκτη , αποµονωµένη ,ούτε αυτοοριζόµενη, αλλά υπάρχει και κατανοείται µόνο ως δίπολο µε την έννοια«κακό». Και αυτό βεβαίως πέραν από την εξαιρετικώς αµφίβολη υποκειµενικήεκτίµηση του τι είναι «καλό» ή «κακό» Επίσης ιστορικά είχαµε πολλά προβλήµαταστην πορεία κατανοήσεως ιδιοτήτων του απείρου, πόσο µάλλον αυτού του ιδίου. Οίδιος ο Leibnitz είχε υποστεί µεγάλη κριτική από τον Επίσκοπο του Berkeley σχετικάµε τα απειροστά που είχε εισάγει τότε, στις απαρχές του απειροστικού λογισµού ,όπου άλλοτε θεωρούσε το dx ως µηδέν και το απάλειφε , ενώ παρακάτω διαιρούσε µετο dx υποθέτοντας το διάφορο του µηδενός!8 Συνεπώς ο λογισµός µε το άπειρο, δενπαράγει πάντοτε αποτελέσµατα αµέσως αποδεκτά από την ανθρώπινη νόηση. Οιδύσκολες έννοιες του απείρου και του απειροστού δεν γίνονται αµέσως κατανοητέςαπό την ανθρώπινη διαίσθηση. Το πιστοποιεί η λίαν ενδιαφέρουσα και πολύ µακράπορεία θεµελιώσεως του Απειροστικού Λογισµού , από τον Αρχιµήδη έως τον7 Βλέπε σελ. 162 «ΛΟΓΙΚΗ» Ευάγγελου Π. Παπανούτσου , εκδόσεις ∆ωδώνη , Αθήνα –Γιάννινα 1985.8 Βλέπε «Εισαγωγή στην Φιλοσοφία των Μαθηµατικών» ∆ιονυσίου Α. Αναπολιτάνου, εκδόσειςΝΕΦΕΛΗ , Αθήνα 1985. σελ. 116
  5. 5. Waierstrass . Τα παράδοξα του Ζήνωνος , αλλά και τα µεταγενέστερα διάσηµαπαράδοξα του Russell , του Cantor , των Bourali-Forti περιέχουν πάντα την «περίεργη»έννοια του απείρου9. `Ενα πείραµα που φανερώνει το µη προφανές της κατανόησης των ιδιοτήτωντου απείρου και το οποίο µπορεί να δοκιµάσει ο καθένας , είναι να θέσει σε φοιτητέςµαθηµατικών αλλά και µαθηµατικούς το εξής ερώτηµα: «Αν προσθέσω άπειρους στο πλήθος θετικούς αριθµούς , τι αποτέλεσµα θαπάρω; `Απειρο ή πεπερασµένο;» ή το γεωµετρικό ισοδύναµο ερώτηµα : «Αν θέσωάπειρα ευθύγραµµα τµήµατα επ’ ευθείας, τι θα προκύψει; Ευθ. τµήµα, ηµιευθεία ήευθεία;» Και βέβαια το ότι από άπειρους θετικούς µπορεί να προκύψει και πεπερασµένοάθροισµα ή αντιστοίχως ότι άπειρα ευθύγραµµα τµήµατα ενδεχοµένως να παράγουνευθύγραµµο τµήµα , αυτές θα είναι απαντήσεις µε την µικρότερη συχνότητα, παρ’ ότιαποτελεί κοινό τόπο και λίαν χρησιµοποιούµενο µαθηµατικό αποτέλεσµα σε ∞ 1εκατοντάδες εφαρµογές το γεγονός ότι ∑2 n =1 n = 1 . Μπορεί µάλιστα το προηγούµενοαποτέλεσµα να διδάσκεται από την Β’ Λυκείου , αλλά ο βαθµός αφοµοίωσής του , είναιελάχιστος. Κάθε µαθηµατικός ,στον περίγυρό του ,µπορεί να το επαληθεύσει. Ενδιαφέρον παρουσιάζει και η προσπάθεια «λογικής ερµηνείας» του«παράδοξου»(«Παράδοξο» διαισθητικά βεβαίως , για το πώς άραγε είναι δυνατόνάπειρες θετικές οντότητες να έχουν πεπερασµένο άθροισµα) «Χµ!…..» µου είπε ένας συνοµιλητής µου: «Νοµίζω ότι κατανοώ πλήρως τοαποτέλεσµα! Αυτό εξηγείται από το γεγονός, ότι ναι µεν διαρκώς προστίθεται κάποιαθετική ποσότητα, αλλά αυτή είναι διαρκώς µικρότερη, οπότε µετά από κάποιο αριθµόβηµάτων εκφυλίζεται σε απειροστό , που δεν µπορεί να αυξήσει σε άπειρο το άθροισµακαι το κρατάει σε πεπερασµένα επίπεδα!….» ∞ 1 Βεβαίως όταν του υπεδείχθη ότι ∑ n = ∞ , τότε ο ενθουσιασµός της n = 2.000.000.000«διαισθητικής κατανόησης» του προηγούµένου «παραδόξου» αντικαταστάθηκε απόαπορία και προβληµατισµό….. Ακόµη περισσότερο ενδιαφέρον επιστηµολογικά και διδακτικά έχει το γεγονόςότι ο χωρισµός ενός ευθυγράµµου τµήµατος σε άπειρα άλλα ευθύγραµµα τµήµατα ,είναι πολύ εύκολα αποδεκτός από την ανθρώπινη συνείδηση. Το αντίστροφο όµωςγίνεται εξαιρετικά δύσκολα αποδεκτό , αφού τα άπειρα ευθύγραµµα τµήµατα «πρέπει»να έχουν άθροισµα ή ηµιευθεία ή ευθεία , δηλ. άπειρη οντότητα, αλλά ποτέ ευθ. τµήµαδηλ. πεπερασµένη οντότητα. Κατά την γνώµη του γράφοντος , το προηγούµενο αποτελεί και τον πυρήνα τωνπερίφηµων παραδόξων του Ζήνωνα , αφού λ.χ. στο παράδοξο του βέλους που ποτέ δενφθάνει στον στόχο του, είναι εξαιρετικά δύσκολο να γίνει αποδεκτό από τηνανθρώπινη συνείδηση ότι άπειρες χρονικές περίοδοι ενδεχοµένως να έχουν άθροισµαπεπερασµένη χρονική περίοδο. Από τα προηγούµενα καθίσταται περισσότερο φανερή η δυσκολία κατανοήσεωςσε βάθος της έννοιας του απείρου, η οποία ακολούθησε µακρά ιστορική περίοδοξεκαθαρίσµατος . Συνεπώς , αφού είναι δύσκολη η κατανόησή της σε βάθος ακόµα κιαπό µαθηµατικούς, είναι προφανής και ο προβληµατισµός του κατά πόσον είναι9 Τα διάσηµα αυτά παράδοξα αλλά και άλλα περιέχονται στο βιβλίο της υποσηµειώσεως (5) σελ. .200
  6. 6. δυνατόν αυτή η έννοια να γίνει εργαλείο χειρισµού σε ένα χώρο που επικρατούνδόγµατα και εξ αποκαλύψεως αλήθειες. Αν µη τι άλλο όµως είναι προκλητική η χρήσητων µαθηµατικών συµπερασµάτων στο έλεγχο των δογµάτων από απόψεως φυσικήςκαι λογικής υποστάσεως. Ως καίριο παράδειγµα έχουµε το παρακάτω τελευταίοερώτηµα και τον ενδιαφέροντα προβληµατισµό του . ΕΡΩΤΗΜΑ 5. Ο Θεός υπόσχεται «αιώνια ζωή» αλλά και «αιώνια τιµωρία»σε όσους ανθρώπους δεν διάγουν ενάρετο και Χριστιανικό βίο στην παρούσαπεπερασµένη φάση της ζωής µας . Υπάρχει κάποιο παράδοξο σε αυτή τηνυπόσχεση του Θεού και ποίο; Απάντηση: Αν πάρουµε την πεπερασµένη ζωή µας σε σχέση µε την άπειρη «αιώνια ζωή», έχουµε το αποτέλεσµα του 0%. Είναι αυτό που πολύ καλά γνωρίζουµε από τον πεπερασµενοαπειροστικό λογισµό ότι = 0 . Το προηγούµενο αποτέλεσµα είναι ∞απόλυτο. `Οσο µεγάλη ζωή και να ζήσει ο άνθρωπος , ακόµα και δισεκατοµµύρια έτη(που προφανώς είναι ανέφικτο ακόµα και για το απώτατο µέλλον ) σε σχέση µε την«αιώνια ζωή» (=άπειρα χρόνια ) είναι ένα παγερό ολοστρόγγυλο µηδενικό! Ακόµα πιοπαραστατικό είναι το να αντιληφθούµε , ότι η παρούσα φάση της πεπερασµένης ζωήςµας , είναι ακριβώς µηδενικής διάρκειας, σε σχέση µε την µεγάλη υπόσχεση του Θεούγια αιώνια και µακάρια ζωή , µε δεδοµένη και την αθανασία της ψυχής. Με δεδοµένο το προηγούµενο, η παραβατικότητα («αµαρτίες») των ανθρώπωνκαθίσταται φαινόµενο «άπειρης βλακείας». Η προηγούµενη εντός εισαγωγικών φράση,δεν αποτελεί εδώ ένα σχήµα λόγου, αλλά µια κυριολεξία , αν µεταφραστούν οισυνέπειες της πραγµατικότητας που όλοι βλέπουµε καθηµερινά. ∆ηλαδή µε άλλα λόγια,το ίδιο το γεγονός της διακύβευσης απώλειας της αιώνιας ζωής µε την παραβατικότηταπου εµφανίζουν οι πιστοί, οδηγεί στο νοµοτελειακό συµπέρασµα της «άπειρηςβλακείας» . ∆εν πρέπει να µας εκπλήσσει ένα τέτοιο συµπέρασµα, αλλά αντιθέτως ναµας εµβάλλει σε σοβαρό στοχασµό για το πώς είναι δυνατόν να διακινδυνεύει κάποιοςπιστός την αιώνια ζωή κάνοντας αµαρτίες σε µια ζωή κατ’ ουσίαν µηδενικής διάρκειας.∆ιακινδυνεύεται – κατ’ επανάληψιν µάλιστα – η αιώνια ζωή (οι αµαρτίες είναικαθηµερινότητα για όλους τους πιστούς) για το µηδέν; ∆ιακινδυνεύεται η παραποµπήστο «πυρ το εξώτερον» αιωνίως και ανεπιστρεπτί (ως γνωστόν «∆εν υπάρχει µετάνοιαµετά θάνατον») για παραβάσεις του ηθικού Χριστιανικού κώδικα από πιστούς σχεδόνκαθηµερινά και αυτό το γεγονός δεν συνιστά µια άκρως ακατανόητη συµπεριφορά ;Εποµένως , αν από την µία µεριά τεθεί η ανθρώπινη συµπεριφορά κι από την άλλη ηυπόσχεση του Θεού, βλέπουµε κάτι που είναι άκρως ακατανόητο . Τότε γιατί οιάνθρωποι ρέπουν προς την αµαρτία µε τέτοια συχνότητα και µάλιστα οι πιστοί; Εδώ ηύπαρξη της διαβολικής οντότητας µπορεί να εξηγήσει την συµπεριφορά αυτή, από τηνάλλη όµως , καταρρακώνεται κάθε έννοια ελευθερίας αυτοβουλίας και αυτεξούσιου τουανθρωπίνου όντος . Μία «πονηρή» οντότητα παρεµβαίνει στην βούληση του ανθρώπουκαι τον ωθεί σε αµαρτίες; Περιποιεί τιµή στον άνθρωπο η φράση «δεν φταίω εγώ ο όφιςµε εξηπάτησε;» Ικανοποιείται η ανθρώπινη αξιοπρέπεια µε την συχνή και διαρκήπροσφυγή στην εξοµολόγηση για απάλειψη των ανοµιών; Από την άλλη η αληθινήπίστη προς τον Θεό δεν αποτελεί ικανή συνθήκη για την µη διάπραξη ανοµιών –τουλάχιστον µε µεγάλη συχνότητα- από µέρους των δηλούντων ανενδίαστως καιαπολύτως ότι είναι βέβαιοι για την ύπαρξη του ανωτάτου `Οντος; ∆εν υπάρχει τεράστιααντίφαση στην καθηµερινή συµπεριφορά των ανθρώπων;
  7. 7. Αλλά βέβαια ο προβληµατισµός δεν µπορεί να εξαντληθεί στα προηγούµενα ,µπορεί όµως να προαχθεί σε ανώτερο επίπεδο και µε την χρήση των εργαλείων τωνΜαθηµατικών και να προσεγγισθεί η αλήθεια υπό όποια έννοια υπάρχει κι αν βεβαίωςυπάρχει……… SUMMARY: In all the religions, the god is infinite. It’s comprehension, if it is feasible, passesthrough the comprehension of the infinite. The instinctive accession of the meaning ofthe infinite, historically has leaded into faults, misapprehensions, paradoxes and fertilecontradictions. Today Mathematiques have very much penetrated in the meaning of theinfinite, and because of this the philosophical and theological reflection can beenhanced. Also the Mathematician logic has attempted some of its paradoxes. Havingall these equipments we can access questions as the followings: Can the God createother infinite beings, being itself an infinite being? As long as it is omnipotent, can itconstruct a stone that it cannot lift? The meaning of “human God” that is given to theChrist, is it inconsistent? Could the God create a better world than the world of thewars, the fame and the injustice, that he it has created? (Not according to Leibniz). Doesthe faith of a man to the God and his simultaneous default through his signs make himthe acme of the human absurdity? These questions are examined in the present workthat tries to give answers or to enlarge the field of their reference.

Πηγή: https://www.slideshare.net/plataros/5-theologika-erwthmata

Κατηγορία Αρθρα μαθηματικων | Δε βρέθηκαν σχόλια »

Τα μυρμήγκια ξέρουν… μαθηματικά!

Συγγραφέας: damianosk2001 στις 21 Απριλίου 2017

Ακριβώς όπως και το φως, τα μυρμήγκια που κινούνται πάνω σε διαφορετικές επιφάνειες δεν επιλέγουν τη διαδρομή τους με βάση την απόσταση, αλλά με βάση την ταχύτητα με την οποία θα φτάσουν στον προορισμό τους. Αυτό προκύπτει από νέα έρευνα του πανεπιστημίου του Ρέγκενσμπουργκ στη Γερμανία, σε μυρμήγκια του είδους Wasmannia auropunctata. Στην επιστήμη της οπτικής μια ακτίνα φωτός επιλέγει τη διαδρομή που απαιτεί τον λιγότερο χρόνο, ακόμα και αν η απόσταση που πρέπει να διανύσει είναι μεγαλύτερη. Αυτή είναι η αρχή του ελαχίστου χρόνου, γνωστή και ως αρχή του Φερμά. Όπως προέκυψε από τη μελέτη, την ίδια ακριβώς αρχή ακολουθούν και τα μυρμήγκια.

Στο πλαίσιο της έρευνας οι επιστήμονες καλλιέργησαν σε ειδικά διαμορφωμένο, κλειστό χώρο, αποικίες μυρμηγκιών, οι οποίες αποτελούνταν από χιλιάδες εργάτες και μερικές βασίλισσες. Τα μυρμήγκια περιορίστηκαν στη μια γωνιά του χώρου, ενώ στην άλλη γωνιά, ακριβώς απέναντι, οι επιστήμονες έβαλαν ως δόλωμα νεκρές κατσαρίδες. Για να φτάσουν στην τροφή τα μυρμήγκια έπρεπε να διανύσουν περιοχές καλυμμένες με διαφορετικά υλικά, τα οποία δημιουργούσαν λείες, τραχείες και γυάλινες επιφάνειες. Μάλιστα οι επιστήμονες έφτιαξαν μονοπάτια συνδυάζοντας τα υλικά ανά δυο για να δημιουργήσουν διαφορετική αίσθηση και να εξετάσουν ποια διαδρομή θα επέλεγαν τα μυρμήγκια.
Οι συνδυασμοί ήταν οι εξής: γυάλινο υλικό και τραχεία επιφάνεια, γυάλινο υλικό και λεία επιφάνεια, λεία και τραχεία επιφάνεια. Όπως προέκυψε από τη μελέτη, τα μυρμήγκια κινούνταν ταχύτερα πάνω στο γυάλινο υλικό συγκριτικά με οποιαδήποτε άλλη επιφάνεια, ενώ κινούνταν γρηγορότερα πάνω στη λεία επιφάνεια συγκριτικά με την τραχεία.
Για να φτάσουν στις κατσαρίδες τα μυρμήγκια δεν επέλεξαν την κοντινότερη, ευθεία διαδρομή, αλλά κινήθηκαν διαγώνια επιλέγοντας λείες επιφάνειες για να κερδίσουν χρόνο. Η έρευνα δείχνει ότι, εκτός από το φως, η αρχή του Φερμά εφαρμόζεται και σε ζωντανούς οργανισμούς. Τα μυρμήγκια κινούνται με βάση τα μονοπάτια φερομόνης. Μπορεί στην αρχή τα χημικά μονοπάτια να είναι τυχαία, ωστόσο με την πάροδο του χρόνου ταυτίζονται με τη βέλτιστη και πιο σύντομη διαδρομή.

Πηγή: http://dimitris-ver.blogspot.gr/2013/04/blog-post_7016.html?spref=fb&m=1

Κατηγορία Αρθρα μαθηματικων | Δε βρέθηκαν σχόλια »

Παράδοξο του σοφιστή Πρωταγόρα

Συγγραφέας: damianosk2001 στις 29 Δεκεμβρίου 2016

Οι αρχαίοι πρόγονοί μας ανεγνώρισαν τον Πρωταγόρα, ως τον διασημότερο σοφιστή, από όλους τους σοφιστές.

protagoras

Ο ίδιος έλεγε ότι το επάγγελμά του ήταν να παρέχει μόρφωση στους συνανθρώπους του.

Ο Πλάτων (αρχαίος Αθηναίος φιλόσοφος), εις τον «Μένωνα» (πλατωνικός διάλογος περί αρετής), μας πληροφορεί, ότι ο Πρωταγόρας απέκτησε δεκαπλάσιο πλούτο του Φειδίου (αρχαίος Έλληνας γλύπτης) και δέκα άλλων αδριαντοποιών.

Η πατρίδα του Πρωταγόρα ήταν τα Άβδηρα (πόλις της Θράκης), ως και του φιλοσόφου Δημοκρίτου, του πρώτου ατομικού επιστήμονα και του ιστορικού Εκαταίου.

Ο Πρωταγόρας επισκέφθηκε πολλές πόλεις της Ελλάδος (Σικελία), ως και την Αθήνα, στην οποία έμεινε πολλά χρόνια και δίδαξε την σοφιστική, με συνέπεια να αποκτήσει όχι μόνο πολλούς μαθητάς, αλλά και φήμη.

Πολύ ενδιαφέρουσα είναι η δικαστική διένεξη που είχε με τον μαθητή του Εύαθλο, η οποία είχε ως εξής:

Ο Πρωταγόρας ανέλαβε να διδάξει, στον Εύαθλο, τη ρητορική. Συμφωνήσανε τα μισά της αμοιβής του να καταβληθούν με την έναρξη των μαθημάτων και τα άλλα μισά με την πρώτη δίκη που θα κέρδιζε ο Εύαθλος.

Ο Εύαθλος δεν άσκησε ποτέ το επάγγελμα του δικηγόρου, μοιραίως ποτέ δεν κέρδισε δίκη και γι αυτό αρνιόταν να πληρώσει το υπόλοιπο ποσό.

Ο Πρωταγόρας κατέθεσε αγωγή σε βάρος του Ευάθλου, υποστηρίζοντας, ότι εάν το δικαστήριο κάνει δεκτή την αγωγή του, νόμιμα θα εισπράξει την αμοιβή του. Εάν πάλι απορριφθεί η αγωγή του, αυτό σημαίνει ότι ο Εύαθλος κέρδισε την πρώτη δίκη και πρέπει να καταβάλει το υπόλοιπο ποσό στον Πρωταγόρα.

Ο Εύαθλος στις προτάσεις του, ως καλός και αντάξιος μαθητής του μεγάλου του δασκάλου, υποστήριξε:

Εάν το δικαστήριο αποφανθεί, ότι δεν έχω υποχρέωση να πληρώσω το υπόλοιπο, δεν θα το πληρώσω. Εάν το δικαστήριο με υποχρεώσει να πληρώσω, πάλι δεν θα δώσω το υπόλοιπο, διότι θα έχω χάσει την πρώτη δίκη.

Το δικαστήριο μπροστά σ’ αυτή την αντιφατική επιχειρηματολογία, κατά την παράδοση, ανέβαλε την έκδοση αποφάσεως.

Αθάνατο Ελληνικό σπινθηροβόλο πνεύμα, είσαι ανεπανάληπτο!

[Περισσότερα: Νεώτερο Εγκυκλοπαιδικό Λεξικό «Ηλίου» Αρχαίο Ελληνικό Πνεύμα, σελ.: 33034 και 249-251, Φιλόστρατος Φλάβιος, Έλληνας Ιστορικός, «Βίοι Σοφιστών». Διογένης Λαέρτιος, Έλλην Συγγραφεύς, «Βίοι φιλοσόφων» Ησύχιος Αλεξανδρινός Έλληνας «Ησύχιον Λεξικό», Πλούταρχος, Έλληνας Πεζογράφος από τη Χαιρώνεια Βοιωτίας, «Βίοι παράλληλοι», Περικλής].

Κατηγορία Αρθρα μαθηματικων | Δε βρέθηκαν σχόλια »

Ποδόσφαιρο & Μαθηματικά

Συγγραφέας: damianosk2001 στις 28 Ιανουαρίου 2016

Τα μαθηματικά της στρογγυλής θεάς

Είναι η μπάλα Jabulani πιο γρήγορη από τις άλλες; Τι έχουν να περιμένουν διαιτητές και τερματοφύλακες στη Ν. Αφρική; Οι απαντήσεις βρίσκονται στις… εξισώσεις. Γιατί τα σουτ, όπως και τα κουκιά, είναι μετρημένα…
Τα μαθηματικά της στρογγυλής θεάς
Εχουν δουλειά ο χάρακας και ο διαβήτης στο ποδόσφαιρο; Φαίνεται πως ναι, αφού γωνίες, παραμορφώσεις, ταχύτητες και επιταχύνσεις της μπάλας έχουν ενδελεχώς μελετηθεί με μαθηματικούς όρους.
Χωρούν τα Μαθηματικά στο ποδόσφαιρο; Και αν χωρούν, το κάνουν καλύτερο ή χειρότερο; Μην ξεχνάμε ότι είναι ένα άθλημα που έχει φτιαχτεί για να μην μπαίνουν πολλά γκολ και να μην κερδίζει πάντα ο καλύτερος… Η ανάλυση 300.000 παιχνιδιών από διάφορα ομαδικά αθλήματα- μπάσκετ, μπέιζμπολ, χόκεϊ στον πάγο- έδειξε ότι το ποδόσφαιρο είναι το πιο απρόβλεπτο απ΄ όλα σε ό,τι αφορά τα αποτελέσματα. Ως τις 11 Ιουλίου και επί έναν μήνα έχουμε την ευκαιρία να βλέπουμε, να απολαμβάνουμε αλλά και να σκεφτόμαστε μερικά από όσα έχουν ανακαλύψει οι επιστήμονες γύρω από την μπάλα.

Πώς κυλά η Jabulani
Η καινούρια μπάλα, η Jabulani (σημαίνει «να το γιορτάσουμε» στη γλώσσα των Ζουλού), με τα ένδεκα χρώματα για τις ένδεκα πιο πολυπληθείς φυλές που κατοικούν στο κράτος της διοργανώτριας χώρας Νότιας Αφρικής, άρχισε να κυλάει στα γήπεδα. Σχεδιάστηκε, δοκιμάστηκε, κρίθηκε και επικρίθηκε. Είναι πάντως ένα ακόμη προϊόν επιστημονικής έρευνας σε σχέση με τη συμπεριφορά διάφορων υλικών και δοκιμών σε αεροσήραγγες. Μία ακόμη προσπάθεια οι νόμοι της Φυσικής να παίξουν κάποιο ρόλο στη διαμόρφωση του δημοφιλέστερου αθλήματος στον κόσμο. Μόνο που η επιστήμη εξ ορισμού έχει σκοπό να κάνει τα πράγματα γύρω μας περισσότερο προβλέψιμα, ενώ η γοητεία του ποδοσφαίρου είναι το ότι σε διοργανώσεις όπως το Μουντιάλ διάφοροι παράγοντες το κάνουν απρόβλεπτο. Αρα, πιο ενδιαφέρον.

Και η καινούρια μπάλα, για να μη μιλούμε έτσι στον αέρα, δεν ξεφεύγει από τα παραπάνω. Οπως παραπονέθηκαν πιο πολύ οι τερματοφύλακες, τους έρχεται με ανυπόφορη ταχύτητα. Και αυτό έχει την επιστημονική του εξήγηση. Διότι μέσα στην αεροσήραγγα, όπου δοκιμάζεται πλέον η κάθε μπάλα, αποδείχθηκε ότι καθώς κινείται στον αέρα και τον μετατοπίζει στα πλάγια για να περάσει εκείνη, στο πίσω μέρος της δημιουργούνται στρόβιλοι, ακριβώς όπως βλέπουμε να συμβαίνει και στο νερό πίσω από την προπέλα ενός πλοίου. Η αντίσταση μάλιστα του αέρα μεγαλώνει καθώς αυξάνεται και η ταχύτητα της μπάλας (και μάλιστα με το τετράγωνο της ταχύτητας. Δηλαδή όταν διπλασιάζεται η ταχύτητα τετραπλασιάζεται η αντίσταση και έτσι κάπως η μπάλα φρενάρει).

Αυτό όμως δεν συμβαίνει πάντα. Πάνω από κάποια τιμή της αρχικής ταχύτητας αλλάζει η ροή γύρω από την μπάλα και η αντίσταση μειώνεται! Αρα σε ένα πολύ δυνατό χτύπημα, έχει που έχει ταχύτητα η μπάλα, φρενάρει και λιγότερο, είναι και πιο αερόμπαλα αυτή η καινούργια και καταλαβαίνουμε το δράμα του τερματοφύλακα. Προσθέστε σε αυτά και το ότι το ένα τέταρτο των οστών του ανθρώπινου σώματος είναι συγκεντρωμένο στα πόδια και με βάση την εξίσωση της ορμής που είναι μεγαλύτερη όσο πιο μεγάλη είναι η μάζα του κινούμενου σώματος (εδώ αναφερόμαστε στα πόδια του ποδοσφαιριστή) και την ελαστική κρούση με την καλά φουσκωμένη μπάλα, δεν είναι δύσκολο να ξεπεράσουμε μια ταχύτητα ακόμη και 120 χιλιομέτρων την ώρα. Και με την καινούρια μπάλα, την κάπως πιο ελαφριά, πιο λεία και πιο στρογγυλή, καταλαβαίνουμε γιατί φωνάζουν ήδη ο Κασίγιας και οι άλλοι τερματοφύλακες.

Το άγχος του διαιτητή
Ακόμη μεγαλύτερο δράμα θα ζήσουν και οι διαιτητές όταν τους τύχει ή «τους κάτσει η στραβή η φάση», όπως λένε στη διάλεκτο την ποδοσφαιρική. Οπως το 1966, που οι Αγγλοι πήραν τον τίτλο του παγκόσμιου πρωταθλητή από τους Γερμανούς επιτυγχάνοντας ένα γκολ στην παράταση (2-2 ο κανονικός αγώνας, 4-2 το τελικό αποτέλεσμα) με ένα σουτ του Τζεφ Χερστ που χτύπησε στην οριζόντια δοκό και μετά κάτω στο χορτάρι, αλλά εκεί πέρασε τη γραμμή του τέρματος ή όχι; Οι Γερμανοί ακόμη δεν έχουν ξεπεράσει το αποτέλεσμα αυτό και η αμφιβολία έδωσε λαβή για ατέλειωτες έρευνες σε ταχύτητες αναπήδησης και ανάλυση φαινομένων Μάγκνους (το υπεύθυνο φαινόμενο για τα φάλτσα στην μπάλα, όπου εμφανίζεται υποπίεση στη μια πλευρά και υπερπίεση στην αντίθετη καθώς περιστρέφεται μέσα στον αέρα). Από εκεί προέκυψε και ένα επιπλέον πολύ χρήσιμο στοιχείο. Οτι η μπάλα αναπήδησε στο χορτάρι μέσα σε χρόνο μόλις 0,006 δευτερολέπτων. Δηλαδή μικρότερο και από 1 εκατοστό του δευτερολέπτου. Αν όμως λάβουμε υπόψη μας ότι χρειάζονται κάπου 5 εκατοστά του δευτερολέπτου για να επεξεργαστεί ο εγκέφαλος μια πληροφορία που λαμβάνει από το μάτι, καταλαβαίνουμε για το συγκεκριμένο γεγονός πόσο δύσκολο ήταν να το κρίνει ορθά ο διαιτητής. Αρα θα πρέπει να περιμένουμε με αυτή την μπάλα- την πιο γρήγορη- αρκετές ακούσιες διαιτητικές αστοχίες και θα πρέπει να κρατήσουμε την ψυχραιμία μας. Μόνο που όταν πρόκειται να πάρει πέναλτι η ομάδα μας ή αντίθετα να τιμωρηθεί με πέναλτι, ποιος κρατάει την ψυχραιμία του;

Με ή χωρίς Μαθηματικά πάντως, μας περιμένουν συναρπαστικές ημέρες και νύχτες αφού, όπως είπε ο Μπιλ Σάνκλι, μάνατζερ της Λίβερπουλ: «Το ποδόσφαιρο δεν είναι ζήτημα ζωής και θανάτου. Είναι κάτι περισσότερο από αυτό».

Ο ΤΡΟΜΟΣ ΤΟΥ ΤΕΡΜΑΤΟΦΥΛΑΚΑ
Στο πέναλτι η ομάδα και ο τερματοφύλακας στήνονται μπροστά στο εκτελεστικό απόσπασμα,«στα 11 μέτρα»,όπως λέγεται.Γιατί όμως σε αυτή την απόσταση; Από το 1902 ισχύει ότι η μπάλα, στην πιο βαριά από τις ποινές του ποδοσφαίρου,πρέπει να στηθεί στις 12 γιάρδες, δηλαδή στα 10,97 μέτρα. Είναι μια απόσταση,όπως θα δούμε,σχετικά καλά διαλεγμένη. Γι΄ αυτό μπορούν να μας διαβεβαιώσουν και η στατιστική και κάποιοι εύκολοι υπολογισμοί.Η ποινή θα έπρεπε να είναι βαριά, δηλαδή να είναι σχεδόν γκολ, αλλά όχι και εκατό τοις εκατό, για να υπάρχει ενδιαφέρον.Εχουν λοιπόν επιλέξει μια πιθανότητα κοντά στο 75%. Αυτό έχει αποδειχτεί ότι διατηρείται από πολλές στατιστικές μετρήσεις σε πρωταθλήματα υψηλού επιπέδου και διοργανώσεις όπως το Παγκόσμιο και το Ευρωπαϊκό.Μετράς δηλαδή πόσα πέναλτι δόθηκαν και πόσα από αυτά μπήκαν γκολ.

Μπορείς όμως να φθάσεις στο ίδιο αποτέλεσμα και από αλλού. Οταν το τέρμα έχει άνοιγμα 7,32 μέτρα και ύψος 2,44,η επιφάνειά του βγαίνει κοντά στα 18 τετραγωνικά μέτρα. Ενας τερματοφύλακας σε μουντιαλικό επίπεδο είναι περίπου τα 2 μέτρα και το άνοιγμα των χεριών του φθάνει επίσης τα 2 μέτρα, άρα καλύπτει περίπου 4 τετραγωνικά,δηλαδή το 22% της επιφάνειας του τέρματος.Αρα μένει το 78% ακάλυπτο,που είναι κοντά στο 75%.Ισως θα έπρεπε η μπάλα να στηνόταν κάπου μισό μέτρο πιο πίσω για να είναι τα πράγματα πιο δίκαια.Διότι είναι και ο χρόνος αντίδρασης του τερματοφύλακα που πρέπει να λογαριαστεί.Στα πέναλτι η μέγιστη ταχύτητα της μπάλας φθάνει τα 120-130 χιλιόμετρα την ώρα.Αλλά ο μέσος όρος βγαίνει κάπου 100 χιλιόμετρα την ώρα. Για να διανύσει η μπάλα την απόσταση των 11 μέτρων,αυτό δίνει κατά προσέγγιση χρόνο 0,4 του δευτερολέπτου.Ενας άνθρωπος χρειάζεται 0,2 δευτερόλεπτα για να αντιληφθεί προς το πού κατευθύνεται η μπάλα, άρα του μένουν 0,2 ακόμη για να αντιδράσει.Αλλά η εκτίναξη ως τη γωνία του,που είναι σε απόσταση 3,66 μέτρων με 40 χιλιόμετρα την ώρα ταχύτητα,χρειάζεται χρόνο 0,33 δευτερολέπτων.Γι΄ αυτό βλέπουμε τους τερματοφύλακες να έχουν από πριν αποφασίσει προς τα πού θα πέσουν.

Οσο για τη διαδικασία των 5 πέναλτι, μετά τους αγώνες των ομίλων, όταν πρέπει πάντα να αναδειχτεί κάποιος νικητής,έχουν γίνει μελέτες και με τη θεωρία των πιθανοτήτων και με στατιστικές.Και βγαίνει ότι,αφού στις προπονήσεις έχουν χτυπηθεί άπειρα πέναλτι και έχουν γίνει στατιστικές μελέτες,η καλύτερη στρατηγική είναι το πρώτο πέναλτι να το χτυπάει ο χειρότερος των πέντε παικτών που έχουν επιλεγεί και να πηγαίνουμε προς τον καλύτερο,δηλαδή τον πιο εύστοχο αλλά και πιο ψύχραιμο, όταν πιθανόν η πίεση έχει ανέβει στα ύψη.

ΤΟΥ Α.ΓΑΛΔΑΔΑ  algaldadas@yahoo.gr

 Πηγή:    http://www.tovima.gr/science/article/?aid=337336

Κατηγορία Αρθρα μαθηματικων | Δε βρέθηκαν σχόλια »

Για να θυμόμαστε και να μαθαίνουμε …

Συγγραφέας: damianosk2001 στις 21 Ιανουαρίου 2016

1) Πατέρας της Γεωμετρίας είναι ο Θαλής ο Μιλήσιος (640 – 546 π.Χ.).
2) Πατέρας της Άλγεβρας είναι ο Διόφαντος ο Αλεξανδρεύς (3ος – 4ος μ.Χ. αιώνας).

3) Μεγαλύτερος μαθηματικός όλων των εποχών είναι ο Αρχιμήδης ο Συρακούσιος (287 – 212 π.Χ.).

4) Μητέρα της πρακτικής αριθμητικής θεωρείται η μυθική Αίθρα.
5) Ο Ευκλείδης (4ος – 3ος π.Χ. αιώνας) είναι ο μοναδικός μαθηματικός συγγραφέας που το έργο του «Στοιχεῖα» έχει κάνει παγκοσμίως τις περισσότερες εκδόσεις μετά την Αγία Γραφή (περίπου 3.000 εκδόσεις) και έχει μεταφραστεί σε όλες σχεδόν τις γλώσσες του Κόσμου, ακόμα και στην Κινεζική.
6) Ο μεγάλος αστρονόμος και μαθηματικός Αρίσταρχος ο Σάμιος (320 – 250 π.Χ.) θεωρείται ως ένας από τους μεγαλύτερους θεωρητικούς αστρονόμους όλων των αιώνων. Ο Αρίσταρχος θεωρείται και ο θεμελιωτής της τριγωνομετρίας.
7) Πατέρας της Αστρονομίας είναι ο Ίππαρχος ο Ρόδιος (2ος π.Χ. αιώνας).
8) Πατέρας της Μετεωρολογίας, είναι ο μεγάλος Φιλόσοφος Αριστοτέλης ο Σταγειρίτης (384 – 323 π.Χ.). Θεωρείται ακόμα και πατέρας της Φυσικής Ιστορίας.
9) Πατέρας της Ορυκτολογίας θεωρείται ο Θεόφραστος ο Λέσβιος (372 – 287 π.Χ.).
10) Πατέρας της Θεωρητικής Φυσικής θεωρείται ο Κλαύδιος Πτολεμαίος (108 – 168 μ.Χ.).
11) Πατέρας της Θεωρητικής Οπτικής θεωρείται ο Ευκλείδης (4ος – 3ος π.Χ. αιώνας).
12) Πατέρας της Πανεπιστημιακής Εκπαιδεύσεως θεωρείται ο Πυθαγόρας.
13) Ο πρώτος συγγραφέας Γεωμετρικής πραγματείας στον Κόσμο ήταν ο Αναξίμανδρος (6ος π.Χ. αιώνας). Ο Αναξίμανδρος επίσης ήταν ο πρώτος που χάραξε γεωγραφικό χάρτη.
14) Οι απαρχές της επιστημονικής Χημείας πρέπει να αναζητηθούν στον Ηράκλειτο (540 – 480 π.Χ.), τους Πυθαγορείους, τον Εμπεδοκλή (495 – 435 π.Χ.), τον Πλάτωνα (428 – 347 π.Χ.) και τον Αριστοτέλη (384 – 323 π.Χ.).
15) Πατέρας της Ιατρικής είναι ο Μέγας Ιπποκράτης ο Κώος.
16) Πατέρας της Επιστημονικής φαρμακολογίας και της φαρμακευτικής θεωρείται ο ένδοξος Γαληνός (128 – 200 μ.Χ.) από την Πέργαμο της Μ. Ασίας. Θεωρείται επίσης πατέρας της συγκριτικής ανατομίας, της πειραματικής φυσιολογίας και της ορθοπεδικής.
17) Πατέρας των Οικονομικών επιστημών είναι ο Ξενοφών ο Αθηναίος (430 – 355 π.Χ.).
Πηγή: http://eisatopon.blogspot.gr/2016/01/blog-post_19.html

Κατηγορία Αρθρα μαθηματικων | Δε βρέθηκαν σχόλια »

Πλάτων για τα μαθηματικά

Συγγραφέας: damianosk2001 στις 27 Οκτωβρίου 2015

1

Η επιρροή των Μαθηματικών

στη φιλοσοφική εξέλιξη του Πλάτωνα

για παιδεία και Σύμπαν

Μπερκέτης Μ. Νικόλαος

Δρ. Εφαρμοσμένων Μαθηματικών

Τμήματος Μαθηματικών, Ε.Κ.Π.Α

Οκτώβριος 2009

Περίληψη

Τα μαθηματικά και η φιλοσοφία γεννήθηκαν στην αρχαία Ελλάδα, ως

αποτέλεσμα της αγάπης των αρχαίων Ελλήνων για την ακρίβεια του λόγου

τους και την απόδειξη. Χρησιμοποιήθηκαν για να περιγράψουν τις

φιλοσοφικές δομές των Πλάτωνα και Αριστοτέλη για την θεμελίωση της

παιδείας και την οριοθέτηση του ορθού.

Ο Πλάτων, ο μεγάλος φιλόσοφος του 4ου π.Χ. αιώνα, είναι εκείνος που

πίστευε στην ύπαρξη του κόσμου των «Ιδεών» και θεωρούσε τον άνθρωπο

δέσμιο του αισθητού κόσμου.

Τα μαθηματικά κατά τον Πλάτωνα είναι ένα μέσο για να εξυψωθεί το

πνεύμα πέρα από τον υλικό κόσμο στον αιώνιο κόσμο του “Είναι”.

Η γεωμετρία αποτελεί κατά τον Πλάτωνα ένα παράδειγμα του κόσμου

των “Ιδεών” και της σχέσης του με τον φυσικό κόσμο. Τα γεωμετρικά

αντικείμενα ως αιώνια και αναλλοίωτα δεν υπάρχουν στον φυσικό κόσμο. Την

θεωρία των αριθμών στην αρχαία Ελλάδα την έλεγαν αριθμητική, ενώ την

πρακτική αριθμητική λογιστική. Η αριθμητική και η λογιστική κατά τον

Πλάτωνα ανήκουν στον κόσμο των “Ιδεών”.

Για την δημιουργία του κόσμου, στον Τίμαιο, εισάγει με τη βοήθεια των

μαθηματικών ένα μοντέλο στηριζόμενο στα τέσσερα κανονικά στερεά : Το

τετράεδρο, το οκτάεδρο, το εικοσάεδρο, και τον κύβο. Ως βασικές δομικές

μονάδες θεωρεί τα δύο ορθογώνια τρίγωνα. Το ιδεαλιστικό αυτό μοντέλο

διαφέρει από το υλιστικό μοντέλο του Δημόκριτου γιατί ο Πλάτων θεωρεί, ως

βασική προϋπόθεση για την ανακάλυψη του κόσμου των “Ιδεών”, τη μελέτη

και χρήση των Μαθηματικών.

Οι απόψεις του Πλάτωνα έρχονται στην επικαιρότητα με την εστίαση

των αστροφυσικών στις ιδιότητες του κανονικού δωδεκαέδρου, με το οποίο ο

φιλόσοφος συμβόλιζε το Σύμπαν.

Η διαχρονική της θεωρίας των “Ιδεών” και της

“Μάθησης” του Πλάτωνα

H αρχαία Ελλάδα ήταν το μέρος όπου γεννήθηκε η δυτική, μη

θρησκευτική κοσμική φιλοσοφία. Βλέπουμε τον Σωκράτη , τον Πλάτωνα και

τον Αριστοτέλη ( όπως επίσης και μερικούς από τους Προσωκρατικούς

φιλοσόφους) να παλεύουν με πολλά από τα ζητήματα που απασχολούν τους

2

σημερινούς φιλοσόφους. Βλέπουμε τον Πλάτωνα να επιθυμεί τη φυγή από

αυτόν τον κάτω κόσμο, για να ξανασυναντηθεί με τη θεϊκή τελειότητα, ενώ ο

Αριστοτέλης να καταγράφει μεθοδικά αυτό που έχουμε στα χεριά μας,

μπροστά στα μάτια μας και στο κεφάλι μας. Επίσης βλέπουμε τον Σωκράτη

να είναι μαιευτήρας ψυχών, ο δάσκαλος του Πλάτωνα να είναι ο δημιουργός

της μόρφωσης δια των σωστών ερωτήσεων, αντιτιθέμενος στις πρόχειρες

απαντήσεις και εμβαθύνοντας στην γενεαλογία των «Ιδεών».

Ο Πλάτωνας αρχίζει μια φιλοσοφική και επιστημονική επανάσταση

( ήταν ο κατ’ εξοχήν μαθηματικός φιλόσοφος) θεωρώντας ότι ο μιμητισμός και

η αντιγραφή είναι τα δεσμά που κρατάνε τις ψυχές φυλακισμένες στο

σπήλαιο. Για τον Αθηναίο φιλόσοφο η υπόθεση της Παιδείας είναι εξ’ ίσου

σημαντική όσο και η επιστημονική έρευνα, και τα δύο αυτά συνθετικά

αποτελούν μέρος του ίδιου του προβλήματος. Η παιδεία είναι απαραίτητη για

την αποκάλυψη της αλήθειας, και η αλήθεια δεν είναι μόνο χρήσιμη για την

ίδια την παιδεία, σαν αυτοσκοπός, αλλά αποτελεί και στόχο απελευθέρωσης

του ατόμου από την κατάσταση της δουλείας που το υποτάσσει η έλλειψή της.

Ο Πλάτωνας είναι επικεφαλής μιας μεγάλης παράδοσης της

φιλοσοφίας που λέγεται ρασιοναλισμός1 ή <<πλα-τωνισμός>>.

Το πλατωνικό φιλοσοφικό σύστημα αποτελεί κορυφαία στιγμή της

αρχαίας Ελληνικής σκέψης, όχι γιατί οι βασικές του αρχές και τα αξιώματα

παρέμειναν απρόσβλητα στην πάροδο των αιώνων, αλλά γιατί η διάσταση

ανάμεσα στο “όν” και στη γνώση του αναδεικνύεται για πρώτη φορά γυμνή σ’

όλη της την πραγματικότητα και στη συνέχεια έρχεται να γεφυρώσει το χάσμα

με τις “Ιδέες” ως μόνες απόλυτες πραγματικές οντότητες που μπορούν να

γνωσθούν άμεσα.

Ο Πλάτωνας θεωρεί τη μόνη πραγματικότητα, η οποία δεν αλλοιώνεται,

αυτή των “Ιδεών”, οι οποίες είναι αιώνιες και σταθερές οντότητες. Το σύμπαν

των “Ιδεών” γίνεται αντιληπτό από τη νόηση, παραμένει αμετάβλητο και δεν

προσδιορίζεται χωροχρονικά. Η πραγματική γνώση είναι αυτή του κόσμου

των “Ιδεών”. Δεν μπορούμε να γνωρίσουμε αυτόν τον κόσμο βασιζόμενοι στις

αισθήσεις μας και στον υλικό κόσμο. Σε αντίθεση με τους Επικούρειους ο

μεταβαλλόμενος υλικός κόσμος δεν είναι αντικείμενο της γνώσης. Ο αισθητός

κόσμος είναι πεπερασμένος και φθαρτός. Σύμφωνα με τον Πλάτωνα

στηριζόμενοι στις αισθήσεις δεν έχουμε γνώση αλλά γνώμη. Ο αισθητός

κόσμος δημιουργήθηκε σε ιδεατά πρότυπα. Γι αυτό λοιπόν στον Τίμαιο

παρουσιάζει μια κοσμογονία, η οποία βασίζεται σε καθαρά γεωμετρικά και όχι

σε υλικά στοιχεία.

Ο διάλογος που φέρει το όνομα Τίμαιος, είναι ένα από τα πλέον

σημαντικά έργα του Πλάτωνα, όπου αναπτύσσονται οι απόψεις του μεγάλου

αυτού φιλοσόφου σχετικά με τη φυσική. Για το λόγο αυτό φέρει και τον

υπότιτλο “Περί φύσεως”. Είναι ένα έργο που ανήκει στην τελευταία

συγγραφική περίοδο του Πλάτωνα και έχει περιεχόμενο κοσμολογικής φύσης

καθώς και ανθρωπολογική διάσταση. Τα πρόσωπα που διαλέγονται στο έργο

αυτό είναι ο Τίμαιος, ο Κριτίας, ο Ερμοκράτης και ο Σωκράτης. Ο διάλογος

1 Ο Ρασιοναλισμός ( από το λατινικό “ratio”που σημαίνει <<λογική>>) είναι φιλοσοφία που

επικεντρώνεται στην λογική διαδικασία για την απόκτηση γνώσης. Πατέρας του Ρασιοναλισμού

θεωρείται ο Γάλλος επιστήμονας και φιλόσοφος Ren Descartes του 17ου αιώνα, ο οποίος υποστήριξε

πως με την λογική και μαθηματική συνέχεια και σκέψη, μπορεί να ανακαλυφθεί η οποιαδήποτε αλήθεια,

είτε αυτή είναι επιστημονική, είτε είναι φιλοσοφική.

3

αυτός του Πλάτωνα φαίνεται να διαδραματίζεται στην εποχή της Νικίειας

ειρήνης (421 π.Χ.) ή λίγο νωρίτερα και έχει γραφεί περί το 360-347 π.Χ.

Δύο βασικά στοιχεία ξεχωρίζουν στο διάλογο αυτό.

Το πρώτο είναι ότι κάθε τι που βλέπουμε και ακούμε ή μάλλον γενικότερα

κάθε τι που μπορούμε να το αντιληφθούμε με τις αισθήσεις ανήκει στον

λεγόμενο κόσμο του αισθητού και για το λόγο αυτό στον κόσμο της

γενέσεως. Άρα κάθε αισθητό αντικείμενο είναι αποτέλεσμα της

δημιουργίας.

Το δεύτερο στοιχείο είναι η αιτιολόγηση αυτής της δημιουργίας του

αισθητού κόσμου είναι δηλαδή η απάντηση στο «γιατί». Η αιτία της

ύπαρξης των πραγμάτων που μας περιβάλλουν είναι ο δημιουργός. Είναι

ο μεγάλος τεχνίτης που κατασκεύασε τον κόσμο αυτό. Η δημιουργία του

αισθητού κόσμου έχει ως αρχικό υπόδειγμα κάτι το οποίο συγκεντρώνει

όλα εκείνα τα στοιχεία της τελειότητας, της αρμονίας και της ωραιότητας,

τον κόσμο των «Ιδεών», ο οποίος είναι αιώνιος και αμετάβλητος.

Υπάρχουν δύο βασικές κατηγορίες «Ιδεών»: οι ηθικές-αισθητικές

(όπως αυτές της δικαιοσύνης, του ωραίου, του αγαθού) και οι μαθηματικές-

γεωμετρικές (όπως του ίσου ή του τριγώνου). Στην εξέλιξη της οντολογικής

σκέψης του Πλάτωνα οι Ιδέες γίνονται όλο και πιο αφηρημένες. Στον Σοφιστή

τα πέντε μέγιστα γένη είναι το ον, η στάσις, η κίνησις, το ταυτόν και το έτερον.

Αλλά υπάρχουν Ιδέες πραγμάτων όπως η τρίχα και ο πηλός ; Ο Πλάτωνας

θέτει το ερώτημα, χωρίς να το απαντάει. Στους μετέπειτα διάλογους

χρησιμοποιεί τις Ιδέες για να αποκρυπτογραφήσει την ίδια τη δομή του

φυσικού κόσμου. Η αρμονία που διέπει τον τελευταίο γίνεται εμφανής στις

σταθερές τροχιές των ουράνιων σωμάτων και μπορεί να συλληφθεί μέσω των

μαθηματικών.

Οι “Ιδέες” αποτελούν οντότητες άφθαρτες και ανεξάρτητες από την

εμπειρία και από οποιοδήποτε γνωστικό υποκείμενο. Είναι επίσης οι

εξηγητικές αρχές της πραγματικότητας: ο λόγος που ένας άνθρωπος ή μια

πράξη είναι δίκαιη είναι ότι «μετέχει» της Ιδέας της δικαιοσύνης. Αλλά το

εμπειρικό τρίγωνο δεν έχει πλήρως τις ιδιότητες (της Ιδέας) του τριγώνου, γι’

αυτό και ταυτόχρονα είναι (στον βαθμό που μιμείται το ιδεατό) και δεν είναι

(εφόσον δεν ταυτίζεται απόλυτα με αυτό) τρίγωνο. Από εδώ ο Πλάτωνας

καταλήγει στο ότι μόνο οι “Ιδέες” μπορούν να αποτελέσουν αντικείμενο

«επιστήμης», δηλαδή βέβαιης γνώσης, ενώ για τα αισθητά μόνο «δόξαι»,

δηλαδή γνώμες, μπορούν να υπάρξουν.

Οι “Iδέες”, κατά τον Πλάτωνα, υπάρχουν στην ψυχή μας χωρίς την

άμεση γνώση μας, αφού μία ιδέα μπορεί να γίνει γνωστή μόνο κατά την

επαναφορά της στην μνήμη μας, την οποία δεχόμαστε από τον ανάλογο

ερεθισμό που διεγείρει τη συνείδηση μας. Η επαναφορά της ιδέας στη μνήμη

μας από το υποσυνείδητο σημαίνει την ίδια την ιδέα που γνωρίζουμε, την

ανάμνηση της ιδέας που υπάρχει στην ψυχή μας.

Η ανάμνηση των «Ιδεών» είναι γνωστή ως η θεωρία της “ανάμνησης”

του Πλάτωνα, η οποία σημαίνει ότι ο άνθρωπος ξετυλίγει τη συνείδησή του και

ανακαλύπτει την αλήθεια των πραγμάτων. Αποτέλεσμα της γνωστικής

διαδικασίας της ανάμνησης, κατά τον Πλάτωνα, είναι η μάθηση αφού η γνώση

λαμβάνει χώρα κατά την επαναφορά των «Ιδεών» στη μνήμη του ανθρώπου

από το υποσυνείδητό του.

4

Η μάθηση κατά τον Πλάτωνα είναι έμφυτη και συμβαίνει κατά την

ανάμνηση των «Ιδεών», τις οποίες η ψυχή μας συλλαμβάνει μέσω της

νοήσεως, αφού μπορεί να γίνουν κατανοητές μόνο από το νου.

Κλασικό παράδειγμα της θεωρίας “ανάμνησης” του Πλάτωνα, αποτελεί

ο απαίδευτος δούλος του Μένωνος, ο οποίος, χωρίς να έχει διδαχθεί

γεωμετρία από κανένα γεωμέτρη και χωρίς την βοήθεια κανενός δίνει σωστές

γεωμετρικές απαντήσεις. Στο διάλογο αυτόν ο Πλάτωνας βάζει τον Σωκράτη

να οδηγήσει έναν σκλάβο στο θεώρημα το οποίο λέει ότι το τετράγωνο της

διαγωνίου ενός δοσμένου τετραγώνου είναι το διπλάσιο του αρχικού

τετραγώνου. Ο Σωκράτης δίνει έμφαση στο ότι ούτε αυτός ούτε κάποιος

άλλος δίδαξε το θεώρημα στον σκλάβο. Ρωτώντας προσεκτικά επιλεγμένες

ερωτήσεις και με τη βοήθεια κάποιου σχήματος, ο Σωκράτης οδηγεί τον

σκλάβο στο να ανακαλύψει το θεώρημα από μόνος του.

Ο Πλάτωνας χρησιμοποιεί το πείραμα για να υποστηρίξει τη θεωρία

ότι, όταν πρόκειται για γεωμετρία -ή για τον κόσμο του Γίγνεσθαι γενικότερα-

αυτό που λέγεται “μάθηση” είναι στη πραγματικότητα “ανάμνηση” από μια

προηγούμενη ζωή, πιθανώς από μια περίοδο όπου η ψυχή είχε απευθείας

πρόσβαση στον κόσμο του Είναι.

Οι ειδικοί μελετητές διαφωνούν σχετικά με τη φύση και το ρόλο αυτής

της “ανάμνησης” στην επιστημολογία του Πλάτωνα, και πολλοί μετέπειτα

πλατωνιστές τον αμφισβητούν. Ασχέτως μ’ αυτό, ο Πλάτωνας υποστήριζε ότι

η ψυχή ανήκει σε μια τρίτη οντολογική κατηγορία, με την ικανότητα να

καταλαβαίνει και τον κόσμο του Είναι και το κόσμο του Γίγνεσθαι.

Με ή χωρίς τα “μυστικιστικά” στοιχεία της επιστημολογίας, έχει κανείς

την εντύπωση από τους διάλογους ότι ο φυσικός κόσμος είναι

κατασκευασμένος με αυτό τον τρόπο ακριβώς για να μας οδηγεί πέρα από τις

αισθήσεις για την εξερεύνηση του κόσμου του Είναι.

Για τον Πλάτωνα, τα μαθηματικά είναι ένα κρίσιμο μέσον για αυτήν τη

διαδικασία. Εξυψώνουν το πνεύμα, φτάνοντας πέρα από τον υλικό κόσμο

στον αιώνιο κόσμο του Είναι.

Το Πλατωνικό Σύμπαν, τα Μαθηματικά και ο Άνθρωπος

Οι νόμοι που αφορούν τις κινήσεις των ουρανίων σωμάτων και είναι η

απόδειξη της αιώνιας αρμονίας αποτέλεσαν την αφετηρία της φυσικής και

μεταφυσικής αναζήτησης του Πλάτωνα. Το γεγονός ότι ο Πλάτων στην

πραγματικότητα δημιούργησε μια εξ ολοκλήρου νέα ατομική θεωρία

στηριγμένη σ’ αυτή του Δημόκριτου ( ουσιαστικά του Λεύκιππου), είναι κάτι

που πρέπει να κατακτήθηκε μέσα από πολλά χρόνια αναζήτησης. Βέβαια, η

δημοκρίτεια μηχανική εξήγηση του σύμπαντος, η οποία δεν αναγνώριζε καμία

αρχική αιτία, βρισκόταν σε πλήρη αντίθεση με όσα πρέσβευε ο Πλάτων.

Η Πλάτων χωρίς αμφιβολία έκανε τις σκέψεις ότι η ατομική θεωρία

φαινόταν να δίνει τη δυνατότητα να κατανοήσει το “ον”, το “είναι”, το “μη ον”,

αυτό που “δεν είναι” και κατέβαλε προσπάθεια για να εξελίξει τις σκέψεις σε

γνώση. Στην προσπάθεια του να εξηγήσει τη φυσική του σύμπαντος,

χρησιμοποίησε τη μεταφυσική του πεποίθηση, την ύπαρξη ενός νοητού

κόσμου, ενός κόσμου αιώνιων μορφών, μέσα από τον οποίον παίρνουν

μορφή τα πράγματα του κόσμου που αντιλαμβανόμαστε με τις αισθήσεις.

Στον Αναξαγόρα βρήκε τον νου, σαν μορφοποιό, κοσμική δύναμη. Στον

5

Εμπεδοκλή, εντόπισε τα τέσσερα στοιχεία, στα οποία στηρίχθηκε αργότερα,

συνδυάζοντάς τα ακόμα και με τον Δημόκριτο, παρόλο που δύσκολα

ταίριαζαν.

Βασικά από όλους ήταν κατανοητό ότι μέσα στο φαινομενικά άνομο

γίγνεσθαι, όπου απέναντι του είναι το αιώνια-ταυτόν αποδεικνύεται ότι

υπάρχει μια “αναγκαιότητα”, αιτία για νομοτέλεια. Μόνο όταν εμφανίζεται κάτι

που έγινε, πρέπει αναγκαστικά να υπάρχει χώρος και χρόνος που να το

προσδιορίζει.

Ο Πλάτων θεωρούσε τη σπουδή των μαθηματικών απαραίτητη

προϋπόθεση για τη σπουδή της φιλοσοφίας. Η μελέτη των αριθμών και των

γεωμετρικών σχημάτων και στερεών ήταν ο καταλληλότερος τρόπος για την

τελική απελευθέρωση της ανθρώπινης σκέψης από τα δεσμά του εφήμερου

κόσμου. Κάνοντας χρήση των μαθηματικών του ο Πλάτωνας, των θεωριών

της στερεομετρίας που διατύπωσε στον Θεαίτητο, υποστήριξε ότι το τρίγωνο

είναι ένα υλικό που πάνω του είναι κατασκευασμένο το σύμπαν.

Παρουσίασε αυτή την ιδέα του για την κατασκευή του κόσμου, ως να

δημιουργήθηκε το σύμπαν για να μοιάζει σε μια γεωμετρική ακολουθία. Τα

τρίγωνα, λέει ο Πλάτωνας δημιουργούν 5 στερεά. Τα πλατωνικά στερε__________ά και

πως αυτά τα στερεά τα 4 στοιχεία και τον Παράδεισο. Τα Πλατωνικά στερεά

ανήκουν στο σύνολο των γεωμετρικών σχημάτων που ονομάζονται

πολύεδρα. Πολύεδρο είναι ένα στερεό που οριοθετείται από επίπεδα

πολύγωνα. Ένα κανονικό πολύεδρο είναι αυτό που όλες οι πλευρές του είναι

κανονικά πολύγωνα. Μόνο 5 κανονικά στερεά είναι πιθανά, ο κύβος, το

τετράεδρο, το οκτάεδρο, το δωδεκάεδρο και το εικοσάεδρο.

Σύμφωνα με τη φιλοσοφία του Πλάτωνα ο κόσμος στηρίζεται πάνω σε

πέντε βασικά στοιχεία. Αυτά είναι: η φωτιά, ο αέρας, το νερό, η Γή και το

σύμπαν. Σε κάθε ένα από αυτά τα στοιχεία αντιστοιχεί και ένα κανονικό

κυρτό πολύεδρο εγγράψιμο σε μια σφαίρα. Όλες οι έδρες των πολυέδρων

αυτών είναι κανονικά πολύγωνα, όλες οι ακμές είναι μεταξύ των ίσες και όλες

οι γωνίες του στερεές και επίπεδες είναι αντίστοιχα μεταξύ των ίσες. Τέτοια

πολύγωνα υπάρχουν μόνο πέντε! Είναι το τετράεδρο, το οκτάεδρο, το

εικοσάεδρο, ο κύβος και το δωδεκάεδρο. Σύμφωνα με τον Πλάτωνα η

τελειότητα του κόσμου μοιάζει με την απαράμιλλη ομορφιά των κανονικών

αυτών πολυέδρων.

 Το τετράεδρο συμβολίζει τη φωτιά.

 Το οκτάεδρο συμβολίζει τον αέρα.

Έχει 4 έδρες οι οποίες είναι

ισόπλευρα τρίγωνα, 4 κορυφές

και 6 ακμές.

6

 Το εικοσάεδρο συμβολίζει το νερό

 Ο κύβος συμβολίζει τη Γη

 Το δωδεκάεδρο συμβολίζει το Σύμπαν

.

Έχει 8 έδρες οι οποίες είναι ισόπλευρα

τρίγωνα , 6 κορυφές και 12 ακμές

Αποτελείται από 20 έδρες οι

οποίες είναι ισόπλευρα τρίγωνα, 12

κορυφές και 30 ακμές

Αποτελείται από 6 έδρες οι

οποίες είναι τετράγωνα, 8

κορυφές και 12 ακμές

Αποτελείται από 12 έδρες οι

οποίες είναι κανονικά

πεντάγωνα, 20 κορυφές και

30 ακμές

7

Δηλαδή το τετράεδρο, το οκτάεδρο και το εικοσάεδρο κατασκευάζονται

από ίσα μεταξύ των ισόπλευρα τρίγωνα, το εξάεδρο δηλαδή ο κύβος

κατασκευάζεται από ίσα τετράγωνα και το δωδεκάεδρο κατασκευάζεται από

ίσα κανονικά πεντάγωνα.

Τα πέντε αυτά αποκαλούνται σήμερα πλατωνικά στερεά, επειδή ο

Πλάτωνας τα χρησιμοποίησε για την συγκρότηση του υλικού σύμπαντος.

Ένας σπουδαίος μαθηματικός και συνεργάτης του Πλάτωνα στην Ακαδημία

του, ο Θεαίτητος προχώρησε στην κατασκευή αυτών των στερεών και μάλλον

είναι αυτός που απέδειξε ότι υπάρχουν ακριβώς πέντε. Την ίδια πρόταση περί

μοναδικότητας βρίσκουμε και στον

Ευκλείδη. Η απόδειξη του Πλάτωνα, για

τη μοναδικότητα αυτών των στερεών, δεν

θεωρείται αξιόλογη γιατί δεν στηρίζεται

στα μαθηματικά αλλά στην φιλοσοφία.

Πολύ αργότερα κατά την περίοδο

της Αναγέννησης Ο Ιωάννης

Κέπλερ(1571-1630) δημοσιεύει στα 1596

το έργο του «Κοσμολογικό Μυστήριο»

όπου προτείνει ένα μοντέλο του

σύμπαντος στηριζόμενος στα στερεά του

Πλάτωνα. Αυτή την εποχή, έξη μόνο

πλανήτες ήταν γνωστοί. Ο Κέπλερ

σημειώνει ότι οι σφαίρες στις οποίες

ανήκουν οι τροχιές των πλανητών

μπορούν να περιέχουν τα στερεά του

Πλάτωνα. Στον Κρόνο αντιστοιχεί τον

κύβο, στον Δία το τετράεδρο, στον Άρη το δωδεκάεδρο, στην Αφροδίτη το

εικοσάεδρο και στο Ερμή το οκτάεδρο. Η Γη, η οποία παρουσιάζεται ως η

εικόνα του Θεού, χρησιμεύει ως διαχωριστικό μεταξύ των δύο ομάδων των

στερεών αυτών.

Τέλος ο Leonard Euler αποδείχνει το έτος 1752 ότι για τα στερεά αυτά

και όχι μόνο, ισχύει ο τύπος:

Κ+Ε=Α+2

όπου: Κ= το πλήθος των κορυφών

Ε= το πλήθος των εδρών

Α= το πλήθος των ακμών

Η Επίδραση των Μαθηματικών στον Πλάτωνα

Τα μαθηματικά και η φιλοσοφία γεννήθηκαν στην αρχαία Ελλάδα, ως

αποτέλεσμα της αγάπης των αρχαίων ελλήνων στην ακριβολόγηση και την

απόδειξη, υπάρχει στενή σχέση μεταξύ φιλοσοφίας και μαθηματικών.

“Ο Πλάτων θεώρησε τα Μαθηματικά όχι σαν μια εξιδανίκευση

ορισμένων πλευρών του εμπειρικού κόσμου από τους Μαθηματικούς,

αλλά σαν την περιγραφή ενός μέρους της πραγματικότητας.”2

Μπορούμε να ισχυριστούμε ότι: α) Ο Πλάτωνας, που τόνισε την σχέση

μεταξύ Μαθηματικών και Φιλοσοφίας, θεωρούσε τα Μαθηματικά σαν

2 “S. Korner The Philosophy of Mathematics. Hutchinson Un. Library, London, 1971, σ.18.

8

προπαρασκευαστικό μάθημα για την Φιλοσοφία. β) Υπάρχουν πολλές

ομοιότητες μεταξύ Φιλοσοφίας και Μαθηματικών. Για παράδειγμα, είναι οι δύο

πιο αφηρημένες επιστήμες, καθώς επίσης και στις δύο αυτές επιστήμες, η

ορθολογικότητα παίζει κυρίαρχο ρόλο. γ) Η αναζήτηση της αλήθειας δια

μέσου της επιστημονικής έρευνας αναπόφευκτα γεννά όλο και πιο βαθιά και

πολυσύνθετα ερωτήματα, που με την σειρά τους οδηγούν στην τάση για μια

ενοποιημένη αντιμετώπισή τους και κατά συνέπεια στην φιλοσοφία.

Ο θαυμασμός του Πλάτωνα για τα συναρπαστικά επιτεύγματα των

μαθηματικών είναι προφανής, ακόμα και στον περιστασιακό αναγνώστη των

διαλόγων. O Πλάτωνας «μπορούσε να συναναστρέφεται με άνεση στην

Ακαδημία τους καλύτερους μαθηματικούς της εποχής του συμμεριζόμενος και

ενθαρρύνοντας τον ενθουσιασμό τους για τη δουλειά τους». Σήμερα είναι

παραδεκτό πως τα Στοιχεία του Ευκλείδη είναι το αποτέλεσμα μιας

διαδικασίας που ξεκίνησε κατά τη διάρκεια της ζωής του Πλάτωνα. Μερικοί

πρόσφατοι μελετητές έχουν εστιάσει τη προσοχή τους στην επιρροή της

εξέλιξης των μαθηματικών στη φιλοσοφία του Πλάτωνα.

Ο Πλάτωνας πιστεύει ότι τα μαθηματικά «είναι καθολικά χρήσιμα σε

όλες τις τέχνες και σε κάθε μορφή γνώσης και διανοητικής λειτουργίας – το

πρώτο πράγμα που πρέπει κανείς να μάθει». Σημειώνει ο Πλάτωνας, ότι για

να μάθει κανείς μαθηματικά χρειάζονται εντατικές και παρατεταμένες

σπουδές, μια πρόχειρη εξοικείωση με αυτά δεν είναι καθόλου αρκετή. Κατά

συνέπεια, ο Πλάτωνας συνειδητοποίησε ότι τα Μαθηματικά όντα είναι το κατ’

εξοχήν πραγματικό ερέθισμα της διανόησης μας για πνευματικές

δραστηριότητες, ενώ η αλήθεια της ύπαρξης τους είναι αποτέλεσμα του

διαχρονικού και σταθερού χαρακτήρα τους, συνεπώς για τον Πλάτωνα

χρειαζόταν κανείς εντατικές και μακροχρόνιες σπουδές για οποιαδήποτε

«μορφή γνώσης και διανοητικής λειτουργίας>>.

Τα μαθηματικά «αποσπούν την ψυχή από τον κόσμο της αλλαγής στη

πραγματικότητα». «Ξυπνά με φυσικό τρόπο τη δύναμη της σκέψης… να μας

αποσπάσει από την πραγματικότητα» -τουλάχιστον για τις λίγες ψυχές που

είναι ικανές για μια τέτοια άνοδο.

Η διαφοροποίηση του Πλάτωνα από τον δάσκαλο του είναι κατανοητή,

εάν όχι αξιοθαύμαστη. Ο Σωκράτης δεν έδινε αξία στα μαθηματικά, ενώ ο

Πλάτωνας έβλεπε τα μαθηματικά ως μια πύλη στον κόσμο του Είναι, μια πύλη

την οποία πρέπει κανείς να περάσει εάν θέλει να έχει κάποια ελπίδα να

καταλάβει οτιδήποτε πραγματικό. Τα μαθηματικά, η προϋπόθεση της

φιλοσοφικής μελέτης, απαιτούν μια μεγάλη περίοδο εντατικών σπουδών.

Η γοητεία που ασκούσαν τα μαθηματικά στον Πλάτωνα ίσως να ήταν

υπεύθυνη για την αντιπάθεια του για την υποθετική και υποκείμενη σε λάθη

σωκρατική μεθοδολογία.

Το μέρος του Πλατωνικού κόσμου των “Ιδεών” που περιέχει τις

αριθμητικές και τις γεωμετρικές Ιδέες αποτελεί το αντικείμενο των

Μαθηματικών. Ο Πλάτων δεν αναφέρεται σε μαθηματικούς τύπους και δεν

είναι στα ενδιαφέροντα του να κάνει προβλέψεις με χρήση των μαθηματικών.

Αντιθέτως, προσπαθεί να αναγάγει τις αισθητές ποιότητες των τεσσάρων

στοιχείων στις γεωμετρικές κατασκευές μέσα στη μικροφυσική του Τιμαίου,

όπως και να ενσωματώσει τις μαθηματικές δομές του σύμπαντος.

Η αναγκαιότητα της αλήθειας των σωστών μαθηματικών προτάσεων

οφείλεται στο ότι περιγράφουν αναλλοίωτες δομικές σχέσεις ενός σύμπαντος

αναλλοίωτων αντικειμένων. Ο μαθηματικός, για τον Πλάτωνα , δεν εφευρίσκει

9

νέες μαθηματικές αλήθειες, οι αλήθειες αυτές δεν εξαρτώνται από τη

δυνατότητα ή μη του μαθηματικού να τις συλλάβει, αυτές υπάρχουν

ανεξάρτητα απ’ αυτόν και αναμένουν υπομονετικά τον εξερευνητή τους,

αποδέχεται την ύπαρξη των μαθηματικών ανεξάρτητα από την ανθρώπινη

διανόηση ,η σχέση μαθηματικών και αισθητού κόσμου δεν είναι αυτονόητη.

Υπάρχουν ανεξάρτητα από αυτόν και ο μαθηματικός τις ανακαλύπτει, όπως ο

αστρονόμος ανακαλύπτει για πρώτη φορά ένα άγνωστο άστρο.

Η σχέση ανάμεσα στα εφαρμοσμένα και στα καθαρά Μαθηματικά είναι

κατά τον Πλάτωνα τέτοια ώστε η ύπαρξη των εφαρμοσμένων να δικαιώνεται

από την ύπαρξη των καθαρών και όχι να τη δικαιώνει, όπως θα συνέβαινε, για

παράδειγμα, στα πλαίσια μια φιλοσοφικής θεωρίας με εμπειρικό χαρακτήρα.

Αυτή η πλατωνική αντίληψη για τα Μαθηματικά επιτρέπει την κατανόηση των

θεμελίων της σύγχρονης Φυσικής, πιο συγκεκριμένα τη μηχανική αντίληψη

της φύσης στους κλασικούς ( Γαλιλαίο, Ντεκάρτ, Χάιζενμπεργκ).

Δεν υπάρχει αμφιβολία ότι οι πιο πολλοί από τους μεγάλους μαθηματικούς

είναι Πλατωνιστές. Όπως είναι ευρύτατα γνωστό, ο Πλάτωνας μίλαγε για ένα

κόσμο ιδεών ο οποίος υπάρχει ανεξάρτητα από εμάς σε μια άλλη

πραγματικότητα. Οι Πλατωνιστές Μαθηματικοί πιστεύουν ότι σε αυτόν

ακριβώς τον κόσμο κατοικούν και θεμελιώδεις μαθηματικές σχέσεις τις οποίες

εμείς απλώς προσπαθούμε να ανακαλύψουμε. Δηλαδή, δεν δημιουργούμε

αλλά ανακαλύπτουμε Μαθηματικά. Θα ήθελα να παρουσιάσω δύο

επιχειρήματα υπέρ αυτής της απόψεως. α) Υπάρχει πειραματική επιβεβαίωση

ότι οι βασικοί νόμοι της φύσεως εκφράζονται με μαθηματικές εξισώσεις. Για

παράδειγμα οι νόμοι της Κβαντομηχανικής εκφράζονται με την περίφημη

εξίσωση του Schrödinger και οι νόμοι της Θεωρίας της Γενικής Σχετικότητος

με τις εξισώσεις του Einstein. Είναι επίσης γνωστό ότι επειδή οι δύο

παραπάνω βασικές θεωρίες είναι ασυμβίβαστες, η μεγάλη πρόκληση σήμερα

των θεωρητικών φυσικών είναι να ανακαλύψουν μια καινούρια θεωρία, την

λεγόμενη «Θεωρία των Πάντων». Κατά συνέπεια ο Steven Hawking στο

Cambridge και άλλοι μεγάλοι θεωρητικοί φυσικοί προσπαθούν να

ανακαλύψουν ένα καινούριο μαθηματικό φορμαλισμό που θα ενοποιεί όλες τις

φυσικές αλληλοεπιδράσεις. Προφανώς αυτός ο μαθηματικός φορμαλισμός

ήδη κατοικεί στο κόσμο του Πλάτωνα. Εδώ πρέπει να τονίσω ότι όσο πιο

πολύ βαθαίνει η σχέση Μαθηματικών και Θεωρητικής Φυσικής τόσο και

φαίνεται πιο καθαρά ότι σε μεγάλο βαθμό αποτελούν ένα ενιαίο σύνολο. Κατά

συνέπεια τόσο πιο πολύ αποκτούν Πλατωνική υπόσταση, μεγάλες κατηγορίες

αφηρημένων Μαθηματικών όπως η μη Riemanian Γεωμετρία, η Τοπολογία, η

Αλγεβρική Γεωμετρία και η Θεωρία Αριθμών. β) Γνωρίζουμε ήδη από το 1931,

βάσει του περίφημου θεωρήματος του Gödel πως καμία μαθηματική λογική

δεν είναι πλήρης. Δηλαδή, δεν υπάρχει κανένα σύστημα, στο οποίο

αρχίζοντας από ένα πεπερασμένο αριθμό αξιωμάτων τα οποία έχουμε

επινοήσει (τους κανόνες λογικής αυτού του συστήματος) να μπορούμε να

απαντήσουμε αν οποιαδήποτε πρόταση σε αυτό το σύστημα είναι αληθινή ή

όχι. Αυτό συνήθως χρησιμοποιείται ως τεκμηρίωση της αδυναμίας των

Μαθηματικών. Η άποψη μου όμως είναι ότι το θεώρημα του Gödel εκφράζει

ακριβώς το αντίθετο, ότι δηλαδή μέσα στα Μαθηματικά συστήματα υπάρχει

περισσότερη πληροφορία, περισσότερη «αλήθεια» αν θέλετε, από αυτή που

εμείς μπορούμε να αντιληφθούμε.

10

Βιβλιογραφία – Εργασίες

[1] Δ.Α ΑΝΑΠΟΛΙΤΑΝΟΣ: “ Φιλοσοφία των Μαθηματικών”, Εκδόσεις

Νεφέλη, Αθήνα 1986.

[2] Γ. ΒΛΑΣΤΟΣ : “Πλατωνικές μελέτες”, Μετάφραση, Ι. Αρζόγλου, Εκδόσεις

ΜΙΕΤ, Αθήνα 1994.

[3] Β. ΚΑΛΦΑΣ : Πλάτων, “Τίμαιος”, Εισαγωγικά, μετάφραση, σχόλια,

Εκδόσεις Πόλις.

[4] Ι.Ν. ΞΥΡΟΤΥΗΣ : “ Η Κοινωνιολογική σκέψη και ο Πλάτων”, Ομότιμος

καθηγητής της Κοινωνιολογίας στην Ανωτάτη Βιομηχανική Σχολή

Θεσσαλονίκης.

[5] Α.Π.ΦΩΤΕΙΝΗΣ: “ Η διαχρονικότητα της θεωρίας της γνώσεως του

Πλάτωνος”, Εκδόσεις “Ερωδιός”.

[6] ULRICH VON WILAMOWITZ-MOELLENDORFF: Πλάτων, Εκδόσεις

Κάκτος 2005.

[7] STEWART SHAPIRO: “Ο Ρασιοναλισμός του Πλάτωνα και ο

Αριστοτέλης”, Σκέψεις για τα Μαθηματικά.

[8] Κ. ΔΟΡΤΣΙΟΣ : “Τα Μαθηματικά των Αρχαίων Ελλήνων – Τα στερεά του

Πλάτωνα”. Η στήλη των Μαθηματικών.

[9] Κ. ΔΟΡΤΣΙΟΣ , Σ. ΑΜΑΡΑΝΤΙΔΗΣ : “Η Κοσμολογία του Πλάτωνα μέσα

από τον Τίμαιο”. Η Στήλη των Μαθηματικών.

[10] Π. ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ : “Τα Μαθηματικά ως γλώσσα της φύσης – Η

Πλατωνική θέση και οι νεώτερες εκδοχές της”. Ινστιτούτο Πολιτιστικής και

Εκπαιδευτικής Τεχνολογίας.__

Κατηγορία Αρθρα μαθηματικων | Δε βρέθηκαν σχόλια »

Αγία Λογική: Οι επιστήμονες πληροφορικής «αποδεικνύουν» ότι υπάρχει Θεός

Συγγραφέας: damianosk2001 στις 28 Οκτωβρίου 2013

Ο Αυστριακός μαθηματικός Kurt Gödel κράτησε το μυστικό του για την ύπαρξη του Θεού για δεκαετίες. Τώρα δύο επιστήμονες αναφέρουν ότι έχουν αποδείξει την ύπαρξη του Θεού με μαθηματικό τρόπο χρησιμοποιώντας υπολογιστές. Οι δύο επιστήμονες τυποποίησαν το θεώρημα του μαθηματικού Kurt Gödel περί υπάρξεως του Θεού ωστόσο αυτή η οπτική γωνία τίθεται κάπως υπό αμφισβήτηση. Το πραγματικό επίτευγμα είναι το παράδειγμα που δίνουν για το πώς οι υπολογιστές και η προηγμένη τεχνολογία μπορεί να απλοποιήσουν και να προωθήσουν την επιστημονική ανακάλυψη.
Όταν ο Gödel πέθανε το 1978, άφησε ως κληρονομιά μια ελκυστική θεωρία βασισμένη σε αρχές της λογικής με την οποία αποδείκνυε την ύπαρξη ενός ανωτέρου όντος.
Οι λεπτομέρειες της μαθηματικής απόδειξης του Gödel είναι πολύπλοκες ωστόσο η ουσία της θεωρίας του ήταν ότι εξ ορισμού ο Θεός είναι κάποιο Όν του Οποίου δεν μπορεί να υπάρξει κάτι ανώτερο.
Αυτή η ιδέα δεν είναι καινούργια. Για πολλούς αιώνες οι διάφοροι φιλόσοφοι προσπάθησαν να χρησιμοποιήσουν την αφηρημένη λογική για να αποδείξουν την αναγκαιότητα της ύπαρξης του Θεού. Ωστόσο το μαθηματικό μοντέλο που επινόησε ο Gödel, εισηγήθηκε μια απόδειξη αυτής της ιδέας. Τα αξιώματα και τα θεωρήματα που την σχηματίζουν μπορεί να εκφραστούν με μαθηματικές εξισώσεις και επομένως να αποδειχτούν με μαθηματικό τρόπο.
Έτσι ο Christoph Benzmüller του Free University του Βερολίνου και ο Bruno Woltzenlogel Paleo του Τεχνικού Πανεπιστημίου της Βιέννης χρησιμοποίησαν ένα συνηθισμένο ηλεκτρονικό υπολογιστή για να αποδείξουν ότι τουλάχιστον στο μαθηματικό επίπεδο η απόδειξη του Gödel ήταν ορθή, χρησιμοποιώντας ανώτερη λογική συνδυασμών.
Το γεγονός ότι η τυποποίηση τέτοιων πολύπλοκων θεωρημάτων μπορεί να αφεθεί στους ηλεκτρονικούς υπολογιστές και να γίνει αυτόματα σε λίγα δευτερόλεπτα ανοίγει διάπλατα τους ορίζοντες της επιστήμης.
Οι δύο επιστήμονες πιστεύουν ότι η μέθοδος τους μπορεί να έχει ευρύτερες εφαρμογές σε τομείς όπως η τεχνητή νοημοσύνη και η επαλήθευση λογισμικών και ηλεκτρονικών προγραμμάτων.
Τελικά η τυποποίηση του υπαρξιακής απόδειξης του Gödel μπορεί να μην κερδίσει τους άθεους ούτε και να επηρεάσει τους πιστούς, οι οποίοι μπορεί να αντιτάξουν ότι ο Θεός εξ ορισμού υπερβαίνει τη λογική, ωστόσο για τους μαθηματικούς που ψάχνουν τρόπους για να ανοίξουν νέους δρόμους αυτή η είδηση μπορεί και να θεωρηθεί ως η απάντηση στις προσευχές τους!
Του Ντεϊβιντ Νάϊτ
Μετάφραση διασκευή: Φιλοθέη
Πηγή: spiegel.de

Κατηγορία Αρθρα μαθηματικων | 2 Σχόλια »