Σε ένα σχολικό εργαστήριο πειραματιζόμαστε προσπαθώντας να προσδιορίσουμε το μέταλλο από το οποίο έχουν φτιαχτεί τρεις μεταλλικοί κύλινδροι Α, Β και Γ με ίδιο εμβαδό βάσης και ύψη h_A<h_B=h_Γ (όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα)

Κάθε κύλινδρος μπορεί να είναι φτιαγμένος είτε από αλουμίνιο (Al), είτε από σίδηρο (Fe) είτε από μόλυβδο (Pb).

Για τα πειράματα χρησιμοποιούμε ένα δυναμόμετρο κρεμασμένο από ένα σταθερό σημείο, καθώς και 2 ποτήρια που περιέχουν νερό και οινόπνευμα αντίστοιχα.

1ο Πείραμα Κρεμάμε από το δυναμόμετρο πρώτα τον κύλινδρο Α και τον βυθίζουμε ολόκληρο στο νερό. Καταγράφουμε την ένδειξη του δυναμόμετρου. Κατόπιν επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία με τον κύλινδρο Β. Παρατηρούμε ότι και στις δύο περιπτώσεις η ένδειξη του δυναμόμετρου είναι η ίδια.

2ο Πείραμα Κρεμάμε τον κύλινδρο Β από το δυναμόμετρο και τον βυθίζουμε ολόκληρο στο νερό. Κρεμάμε τον κύλινδρο Γ από το δυναμόμετρο και τον βυθίζουμε ολόκληρο στο οινόπνευμα. Παρατηρούμε ότι και στις δύο περιπτώσεις η ένδειξη του δυναμόμετρου είναι η ίδια. Μπορείτε, λαμβάνοντας υπόψη τα αποτελέσματα των πειραμάτων, να πείτε από ποιο υλικό είναι κατασκευασμένος κάθε κύλινδρος;

Δίνονται: πυκνότητα νερού d_ν=1g/cm³ , πυκνότητα οινοπνεύματος d_οιν=0,78g/cm³ πυκνότητα αλουμινίου d_Al=2,7g/cm³  πυκνότητα σιδήρου d_Fe=7,8g/cm³ πυκνότητα μόλυβδου d_Pd=11,3g/cm³

Η άσκηση δόθηκε στον διαγωνισμό Φυσικής «Αριστοτέλης» 2026 για τη Β΄ Γυμνασίου.

Λύση

Για τους όγκους των κυλίνδρων ισχύει:V_Α<V_Β και V_B=V_Γ

1^ο Πείραμα: Βυθίζοντας τους κυλίνδρους Α και Β εξ ολοκλήρου στο νερό, δέχονται άνωση και ισχύει

Α_A=d_νερού^.g^.V_A  ενώ Α_Β=d_νερού^.g^.V_Β    και επειδή V_Α<V_Β   ισχύει Α_Α<Α_Β

Γνωρίζουμε ότι Α=w-w_φ άρα    w_φ=w-A

Εφαρμόζουμε τον παραπάνω τύπο στους κυλίνδρους Α και Β

w_Α,φ=w_Α-A_Α    και w_Β,_φ=w_Β-A_Β 

Από τα δεδομένα w_Α,φ= w_Β,_φ  άρα

w_Α-A_Α= w_Β-A_Β    ↔    w_Α– w_Β = A_Α-A_Β  ↔  w_Β– w_Α = A_Β-A_Α>0 γιατί Α_Β>Α_Α

άρα και w_Β> w_Α ↔  m_B.g>m_A^.g  ↔ m_B>m_A ↔ d_A. V_Α> d_Β. V_B

d_A/d_B>V_B/V_A  και καθώς V_B>V_A  προκύπτει d_A>d_B (1)

2^ο Πείραμα: : Βυθίζοντας τους κυλίνδρους Β και Γ εξ ολοκλήρου στο νερό και στο οινόπνευμα αντίστοιχα, δέχονται άνωση και ισχύει

Α_Β=d_νερού^.g^.V_Β  ενώ Α_Γ=d_οιν^.g^.V_Γ    και επειδή V_Β=V_Γ   και d_νερού> d_οιν

ισχύει Α_Γ<Α_Β

Όπως και στο 1^ο πείραμα οι ισχύει w_Β,φ= w_Γ,_φ  και

w_Β,φ=w_Β-A_Β    και w_Γ,_φ=w_Γ-A_Γ   άρα  w_Β-A_Β= w_Γ-A_Γ   ↔ w_Β– w_Γ= A_Β– A_Γ>0 καθώς

Α_Β> Α_Γ Επομένως και w_Β> w_Γ  ↔ m_B>m_Γ↔ d_Β. V_Β> d_Γ. V_Γ (μεV_Β= V_Γ) άρα

d_Β> d_Γ (2)

Από τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει ότι d_A>d_B> d_Γ

Άρα ο κύλινδρος Α έχει την μεγαλύτερη πυκνότητα d_A=11,3g/cm³  και είναι κατασκευασμένος από μόλυβδο.

Ο κύλινδρος Γ έχει την μικρότερη  πυκνότητα d_Γ=2,7g/cm³  και είναι κατασκευασμένος από αλουμίνιο.

Τέλος ο κύλινδρος Β έχεις πυκνότητα  dB=7,8g/cm³ και είναι κατασκευασμένος από σίδηρο