Κατηγορία: 3.03 Βαρυτικό πεδίο

Στις 23 Ιουνίου 2020, η Κίνα εκτόξευσε με επιτυχία τον 55ο δορυφόρο πλοήγησης του συστήματος  Beidou από το Κέντρο Εκτόξευσης Δορυφόρων Xichang και ολοκληρώθηκε πλήρως η ανάπτυξη του αστερισμού του παγκόσμιου δορυφορικού συστήματος πλοήγησης Beidou. Ο 41ος δορυφόρος του συστήματος πλοήγησης Beidou είναι δορυφόρος σε γεωστατική τροχιά, ο 49ος δορυφόρος είναι δορυφόρος σε λοξή γεωσύγχρονη τροχιά, όπως φαίνεται στο σχήμα.  H τροχιακή ακτίνα τους είναι περίπου r = 4,2×10⁷ m. Δίνεται η σταθερά βαρύτητας G = 6,67×10^-11 Nm²/kg².

Α. Ποιες ομοιότητες και διαφορές έχει ένας γεωστατικός με έναν γεωσύγχρονο δορυφόρο;

Β. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες είναι λανθασμένες;

α. Η μάζα της γης μπορεί να εκτιμηθεί με βάση τα δεδομένα της ερώτησης.

β. Οι δορυφόροι γεωστατικής τροχιάς μπορούν να περάσουν πάνω από την Αθήνα.

γ. Οι δορυφόροι σε κεκλιμένη γεωσύγχρονη τροχιά περνούν την ίδια θέση ακριβώς πάνω από τον ισημερινό δύο φορές την ημέρα.

δ. Οι δορυφόροι σε κεκλιμένη γεωσύγχρονη τροχιά κινούνται με ταχύτητες μεγαλύτερες από την πρώτη κοσμική ταχύτητα, δηλαδή την ταχύτητα δορυφόρου κυκλικής τροχιάς πολύ κοντά στην επιφάνεια της Γης.

Συνέχεια 

Συνέχεια 

Θέλουμε να στείλουμε στο Διάστημα ένα σώμα μάζας m = 200kg. Για το σκοπό αυτό χρησιμοποιούμε πύραυλο  που εκτοξεύεται  από την επιφάνεια της Γης, κατακόρυφα προς τα πάνω. Ο πύραυλος ξεκινάει με ταχύτητα μηδέν. Θεωρούμε ότι το σώμα δέχεται από τον πύραυλο σταθερή προωστική δύναμη F = 4000N και ότι τα καύσιμα του πυραύλου διαρκούν μέχρι να φτάσει σε ύψος H = 0,6R_Γ από την επιφάνεια της Γης.
Να υπολογίσετε το ύψος στο οποίο  το σώμα θα έχει αποκτήσει την απαραίτητη ταχύτητα για να διαφύγει στο Διάστημα και την ταχύτητα που θα έχει το σώμα όταν βγει από το πεδίο βαρύτητας της Γης.

Δίνονται η ακτίνα της Γης R_Γ = 6400km και η ένταση του πεδίου βαρύτητας στην επιφάνεια της Γης g_ο = 10m/s².

i) Τι καταλαβαίνετε από τη λέξη εκτοξεύεται; Μπορεί να χρησιμοποιηθεί στον παρόν σενάριο;

ii) Όταν διαβάζετε ότι χρησιμοποιείται πύραυλος ποιο από τα παρακάτω νομίζετε ότι είναι σωστό;

α) Είναι ένας μηχανισμός αμελητέας μάζας, που έχει φτερά και σπρώχνει το σώμα.

β) Είναι ένας μηχανισμός μεγάλης μάζας που κινείται με έλικες, όπως τα αεροπλάνα και σπρώχνει το σώμα.

γ) Είναι ένας μηχανισμός μεγάλης μάζας, που κουβαλάει μαζί του καύσιμα, τα οποία καίει για να σπρώξει το σώμα, αλλά μπορεί να λειτουργήσει μόνο μέσα στην ατμόσφαιρα.

δ) Είναι ένας μηχανισμός μεγάλης μάζας, που κουβαλάει μαζί του καύσιμα, τα οποία καίει για να σπρώξει το σώμα και μπορεί να λειτουργήσει και έξω από την ατμόσφαιρα, στο διάστημα.

iii) Πιστεύετε ότι το σώμα έχει μεγαλύτερη μάζα ή ο πύραυλος που θα το επιταχύνει;

iv) Θα μπορούσε να απογειωθεί το σώμα αν ο πύραυλος είχε – χαριστικά – αρχική μάζα Μ₀ = m = 200kg, όση δηλαδή και το σώμα με προωστική δύναμη F = 4000N;

v) Μπορείτε να επαναδιατυπώσετε την άσκηση ώστε να είναι σωστή, όχι μόνο από άποψη Μαθηματικών, αλλά και από άποψη Φυσικής; Στη συνέχεια δώστε κάποια λύση.

Συνέχεια 

Συνέχεια 

Ένα διαστημόπλοιο εκτοξεύεται από τη Γη με σκοπό να φτάσει στη Σελήνη. Υποθέτουμε ότι η Σελήνη περιφέρεται σε κυκλική τροχιά γύρω από τη Γη και βρίσκεται βαθιά μέσα στη σφαίρα βαρυτικής επιρροής της Γης, οπότε αγνοούμε την επίδραση του Ήλιου.

Α΄μέρος: Η τροχιά parking και το παράθυρο εκτόξευσης

Μετά την εκτόξευση από την επιφάνεια της Γης, πρέπει να τοποθετήσουμε το διαστημόπλοιο σε μια κυκλική τροχιά (τροχιά parking) σε ύψος h = 200m γύρω από τη Γη, όπου θα περιφέρεται για να γίνουν τεχνικοί έλεγχοι. Κάποια κατάλληλη στιγμή θα πρέπει να πυροδοτηθούν οι κινητήρες. Η καύση αυτή ονομάζεται TLI (Trans‑Lunar Injection). Το διαστημόπλοιο θα  ακολουθήσει μια ελλειπτική τροχιά (τροχιά μεταφοράς Hohmann) γύρω από τη Γη, με το περίγειό της στην τροχιά parking και το απόγειο στην τροχιά της Σελήνης. Παρατηρείστε και το σχήμα 1.
Δίνονται:
η βαρυτική παράμετρος Γης: μ_Γ = GM_Γ ≈ 64² ⸱10¹¹ m³/s², η ακτίνα της Γης R_Γ = 64⸱ 10⁵m η περίοδος περιφοράς της Σελήνης γύρω από τη Γη T_Σ = 28ημέρες και η περίοδος τροχιάς μεταφοράς Hohmann Τ_μ = 6ημέρες.
α) Ποια είναι η ταχύτητα υ_p του διαστημοπλοίου στην αρχική κυκλική τροχιά γύρω από τη Γη;
β) Υπολογίστε την γωνία Δθ_Σ που προσδιορίζει τη θέση της Σελήνης τη στιγμή της εκτόξευσης, για να γίνει η συνάντηση μετά από χρόνο πτήσης μισής περιόδου, στην τροχιά μεταφοράς.

 Β΄μέρος: Το ταξίδι

Για να φτάσει το διαστημόπλοιο στη Σελήνη, πρέπει να μπει στην ελλειπτική τροχιά Hohmann, που είδαμε στο Α΄μέρος. Θέτει σε λειτουργία τους κινητήρες και κάνει μια μεγάλη καύση, μέχρι να αποκτήσει ταχύτητα √126km/s ≈ 11,22km/s. Η τροχιά του τότε αλλάζει, μετατρέπεται σε τροχιά μεταφοράς Hohmann και το σημείο εκκίνησης είναι πλέον το περίγειο της ελλειπτικής αυτής τροχιάς (σχήμα 1). Δίνονται:
η βαρυτική παράμετρος της Γης μ_Γ = GM_Γ ≈ 64² ⸱10¹¹ m³/s², η ακτίνα της Γης R_Γ = 64⸱ 10⁵m και η απόσταση από το σημείο εκκίνησης μέχρι την τροχιά της Σελήνης r = 60R_Γ
α) Αν η μέση μάζα του διαστημοπλοίου είναι m = 10³kg, βρείτε την αύξηση Δv της ταχύτητας και την ενέργεια που δαπανήθηκε καίγοντας το καύσιμο.
β) Με ποια ταχύτητα φτάνει το διαστημόπλοιο στην τροχιά της Σελήνης;
γ) Όταν το διαστημόπλοιο φτάσει στην τροχιά της Σελήνης ποιo από τα παρακάτω πρέπει να κάνει για να συλληφθεί από το βαρυτικό πεδίο της Σελήνης και να γίνει δορυφόρος της σε ύψος h = 200m από την επιφάνειά της;
i) Τίποτα. Η ταχύτητα που έχει είναι πολύ μικρή και θα γίνει ούτως ή άλλως δορυφόρος.
ii) Με αυτή την ταχύτητα θα προσπεράσει τη Σελήνη.
iii) Θα πρέπει να κάνει μια καύση, ώστε να αυξήσει την ταχύτητά του.
iv) Θα πρέπει να κάνει μια καύση, ώστε να μειώσει την ταχύτητά του.
Δικαιολογείστε την απάντησή σας.
Δίνονται: η ακτίνα της Σελήνης R_Σ = 17⸱10⁵km, η βαρυτική παράμετρος της Σελήνης μ_Σ ≈ 4,9⸱10⁹m³/s² και η ταχύτητα περιφοράς της Σελήνης γύρω από τη Γη υ_Σ = 1km/s.

Συνέχεια 

Συνέχεια 

Ένας αστέρας νετρονίων είναι το υπέρπυκνο υπόλειμμα μετά από έκρηξη υπερκαινοφανούς (supernova), όταν ένα άστρο, με αρχική μάζα περίπου 8–20 φορές μεγαλύτερη από του Ήλιου, εξαντλήσει τα καύσιμά του. Αποτελείται κυρίως από νετρόνια, τα οποία συγκρατούνται από την ισχυρή πυρηνική δύναμη. Έχουν ανακαλυφθεί συστήματα από δυο αστέρες νετρονίων, που κινούνται γύρω από ένα κοινό κέντρο – το οποίο θα μάθετε στη Γ΄τάξη ότι λέγεται κέντρο μάζας – και έλκονται με τεράστιες βαρυτικές δυνάμεις.

Α) Στο σχήμα φαίνεται ένα δυαδικό σύστημα σφαιρικών αστέρων νετρονίων Α₁ και A₂, μαζών Μ₁ και Μ₂ αντίστοιχα, οι οποίοι εκτελούν ομαλή κυκλική κίνηση γύρω από το σημείο Ο, σαν να ήταν συνδεδεμένοι με μια αβαρή ράβδο Α₁A₂. Αν η τροχιακή ακτίνα R₁ του αστέρα Α₁ είναι μεγαλύτερη από την τροχιακή ακτίνα R₂ του αστέρα A₂, , η διάκεντρος είναι μήκους L, να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές ή λανθασμένες, δικαιολογώντας την απάντησή σας.

α) Οι αστέρες έχουν κάθε στιγμή ίσες γωνιακές ταχύτητες και περιόδους.

β) Η γραμμική ταχύτητα του Α₁ πρέπει να είναι μικρότερη από τη γραμμική ταχύτητα του Α₂.

γ) Η μάζα του Α₁ πρέπει να είναι μικρότερη από τη μάζα του Α₂.

δ) Έχει αποδειχτεί ότι με την πάροδο του χρόνου το σύστημα χάνει ενέργεια εκπέμποντας βαρυτικά κύματα και οι αστέρες πλησιάζουν αργά μεταξύ τους. Υποθέτοντας ότι η τροχιά είναι κυκλική, η περίοδος μειώνεται.

Β) Ας κάνουμε και κάποιους υπολογισμούς. Αν Μ₂ = 4Μ₁ , η διάκεντρος των αστέρων είναι L = 0,2∙10¹⁸m και GM₂ = 10²⁶Nm²/kg, υπολογίστε το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας κάθε αστέρα.

Συνέχεια 

Συνέχεια 

Διαστημικό όχημα Ο, με μάζα M = 4000kg, που μεταφέρει άκατο διαφυγής  μάζας m = 1000kg, περιφέρεται ως δορυφόρος κυκλικής τροχιάς γύρω από τη Γη σε ύψος h = 3R_Γ από την επιφάνειά της (R_Γ  = 6400km η ακτίνα της Γης). Κάποια στιγμή το διαστημικό όχημα ελευθερώνει την άκατο Α με τέτοιο τρόπο ώστε η ταχύτητά της ως προς τη Γη, να είναι μηδέν. Η άκατος αρχίζει τότε να κατεβαίνει προς τη Γη εκτελώντας ευθύγραμμη κίνηση και φτάνει στην επιφάνειά της με την κατάλληλη χρήση ανασχετικών πυραύλων, έχοντας ταχύτητα μηδέν.

α. Υπολογίστε την ταχύτητα του οχήματος Ο, πριν την διάσπαση.

β. Να εξηγήσετε γιατί η απελευθέρωση της ακάτου πρέπει να γίνει με εκτόξευση της ακάτου αντίθετα από την κατεύθυνση της ταχύτητας του σταθμού

γ. Να υπολογιστεί η ταχύτητα του διαστημικού οχήματος αμέσως μετά την αποβολή της ακάτου και να εξετάσετε αν είναι δυνατόν το όχημα να διαφύγει από την έλξη της Γης.

δ. Να υπολογιστεί το έργο της δύναμης των ανασχετικών πυραύλων.

ε. Με πόση ταχύτητα θα χτυπούσε στην επιφάνεια της Γης, αν δεν λειτουργούσαν οι ανασχετικοί πύραυλοι;

Η Γη θεωρείται ακίνητη, χωρίς ατμόσφαιρα, η επιτάχυνση της βαρύτητας στην επιφάνεια της Γης είναι g_ο= 10m/s² και αγνοούμε την επίδραση άλλων σωμάτων, πλην της Γης.

Απάντηση 

Απάντηση 

Το 1959 ο Ρώσος μηχανικός Yuri N. Artsutanov, τροποποιώντας μια ιδέα του επίσης Ρώσου μηχανικού ρουκετών Konstantin Tsiolkovsky, σκέφτηκε να κατασκευάσουμε έναν διαστημικό ανελκυστήρα, όπως στο σχήμα 1. (Το σχήμα αυτό δείχνει την κάτοψη της Γης καθώς τη βλέπουμε ακριβώς πάνω από το Βόρειο Πόλο). Δηλαδή να συνδέσουμε με νήμα ένα σημείο Σ στον Ισημερινό της Γης με έναν γεωστατικό δορυφόρο Δ. Πάνω σε αυτό το νήμα θα κινείται η καμπίνα του ανελκυστήρα. Για να διερευνήσουμε κάποιες από τις προϋποθέσεις της ιδέας:
α) Ας υπολογίσουμε το ύψος από την επιφάνεια της Γης που πρέπει να τοποθετηθεί ένας γεωστατικός δορυφόρος.
β) Αν δεχτούμε το νήμα αβαρές(!), ποια θα είναι η τάση του νήματος; Τι συμπεραίνουμε;
γ) Η απάντηση στο ερώτημα (β) δείχνει ότι απαιτείται η τοποθέτηση ενός αντίβαρου Α. Αν τοποθετηθεί σε απόσταση d = 100000km από το κέντρο της Γης,
i) ποιο θα είναι το μέτρο της βαρυτικής έλξης της Γης στο δορυφόρο και στο αντίβαρο αν έχουν την ίδια μάζα m = 10000kg;
ii) ποια θα είναι τα μέτρα των τάσεων των δύο νημάτων που θα χρησιμοποιηθούν αν θεωρηθούν αβαρή(!);
δ) Η Ιαπωνική εταιρεία Obayashi υποσχέθηκε ότι μέχρι το 2050 θα έχει κατασκευάσει το διαστημικό ανελκυστήρα. Η καμπίνα θα κινείται κατά μήκος του νήματος με σταθερή ταχύτητα μέτρου 200km/h. Πόσο χρόνο θα χρειάζεται για να φτάσει στη γεωστατική τροχιά και στο αντίβαρο;
ε) Ένας επιβάτης του ανελκυστήρα καταγράφει με τη βοήθεια μιας ζυγαριάς το βάρος του. Να κάνετε τη γραφική παράσταση των μετρήσεων που θα πάρει μέχρι να φτάσει στο αντίβαρο.
στ) Το αβαρές νήμα φυσικά δεν υπάρχει. Ακριβείς υπολογισμοί δίνουν την τάση του νήματος στο γεωστατικό δορυφόρο …

Συνέχεια (Pdf)

Ένας τεχνητός δορυφόρος της Γης, σε κυκλική τροχιά κοντά στην επιφάνειά της, χρειάζεται περίπου 84 λεπτά ανά περιστροφή. Ένας τεχνητός δορυφόρος της Σελήνης, σε κυκλική τροχιά κοντά στην επιφάνειά της, θέλει περίπου 108 λεπτά ανά περιστροφή.

Τι μπορείτε να συμπεράνετε για την πυκνότητα της Σελήνης και της Γης;

α) ρ_Σ = ρ_Γ         β) ρ_Σ > ρ_Γ         γ) ρ_Σ < ρ_Γ

Δικαιολογείστε την απάντησή σας.

Απάντηση 

Απάντηση