Κατηγορία: 3.021 Διατήρηση της ορμής- Αναρτήσεις

Σε οριζόντιο δάπεδο είναι στερεωμένη μια λεία τροχιά σχήματος τεταρτοκυκλίου, κέντρου Ο. Το οριζόντιο τμήμα στο κάτω άκρο της τροχιάς συνδέεται ομαλά με την πάνω επιφάνεια ενός μικρού καροτσιού Κ (βλ. σχήμα). Πάνω στην τροχιά βρίσκεται ένα μικρό σώμα A, μάζας m₁ = 4kg, το οποίο αφήνεται από την ηρεμία να ολισθήσει από ύψος h = R = 1,8 m πάνω από το οριζόντιο τμήμα της τροχιάς. Στο αριστερό άκρο του καροτσιού υπάρχει ένα σώμα B, μάζας m₂ = 2kg. Τα σώματα A και B μπορούν να θεωρηθούν υλικά σημεία. Μετά την κρούση τους, τα A και B κολλάνε μεταξύ τους. Είναι γνωστό ότι ο συντελεστής τριβής ολίσθησης ανάμεσα στα A, B και το καρότσι Κ είναι μ = 0,5, ενώ η τριβή στα αξονάκια των τροχών του καροτσιού θεωρείται αμελητέα.
Πάρτε g = 10 m/s².
α) α₁) Να βρεθεί η κάθετη αντίδραση του τεταρτοκυκλίου, στο σώμα Α, στο ξεκίνημα της κίνησής του.
α₂) Ποιο είναι το μέτρο της ταχύτηταςτου σώματος Α όταν φτάνει στην κατώτερη θέση του τεταρτοκυκλίου;
α₃) Να βρεθεί η κάθετη αντίδραση του τεταρτοκυκλίου, στο σώμα Α, όταν φτάνει στην κατώτερη θέση του τεταρτοκυκλίου, οριακά πριν το διάνυσμα της ταχύτητάς του γίνει οριζόντιο.
β) Το μέτρο της κοινής ταχύτητας αμέσως μετά την κρούση των A και B, αν η χρονική διάρκεια της κρούσης είναι αμελητέα.
γ) Τι κίνηση θα εκτελέσουν στη συνέχεια το συσσωμάτωμα Α+Β και το καρότσι Κ;
δ) Αν το καρότσι έχει μήκος L = 0,64m και τo συσσωμάτωμα Α+Β μόλις που δεν εγκαταλείπει το καρότσι, να βρεθεί η μάζα M του καροτσιού.

Συνέχεια 

Συνέχεια 

Ο γνωστός Βρετανός πράκτορας 007, μάζας Μ = 80kg, κρατώντας βαλίτσα μάζας m = 5kg με απόρρητα έγγραφα, καταδιώκεται μέσα σε έναν ουρανοξύστη, από ομάδα μισθοφόρων του εχθρού και για να ξεφύγει ανεβαίνει στην ταράτσα του κτιρίου, που βρίσκεται σε ύψος Η = 180m από το έδαφος. Φτάνει στην άκρη της ταράτσας και καταστρώνει ένα παράτολμο σχέδιο. Πηδάει κατακόρυφα χωρίς αρχική ταχύτητα, γιατί έχει παρατηρήσει ότι υπάρχει μια πισίνα με νερό σε οριζόντια απόσταση d = 6m από την κατακόρυφη διεύθυνση της πτώσης. Ενώ βρίσκεται σε ύψος h = 100m από το έδαφος, εκτοξεύει οριζόντια ως προς το έδαφος τη βαλίτσα, με κατεύθυνση αντίθετη από αυτήν που βρίσκεται η πισίνα. Η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα, όλα τα σώματα θεωρούνται υλικά σημεία, η εκτόξευση διαρκεί αμελητέο χρονικό διάστημα και η βαρυτική επιτάχυνση g = 10m/s². Οι ταχύτητες αναφέρονται σε ακίνητο παρατηρητή.

α) Πόσο χρονικό διάστημα Δt₁ θα πέφτει μέχρι να εκτοξεύσει τη βαλίτσα και ποιο θα είναι τότε το μέτρο της ταχύτητας πτώσης;

β) Γιατί ο πράκτορας θα πετάξει τη βαλίτσα;

γ) Βρείτε την ελάχιστη οριζόντια ταχύτητα , που πρέπει να αποκτήσει ο πράκτορας ώστε να πέσει οριακά στο νερό της πισίνας. Με ποιο μέτρο ταχύτητας v_f  θα χτυπήσει ο πράκτορας στην επιφάνεια του νερού;

δ) Βρείτε την ελάχιστη οριζόντια ταχύτητα , που πρέπει να έχει η βαλίτσα και υπολογίστε τη θέση του εδάφους που θα προσγειωθεί.

ε) Ποια είναι η μεταβολή της ορμής της βαλίτσας εξαιτίας της εκτόξευσης;

Συνέχεια 

Συνέχεια 

Ένα ελαφρύ ελικοφόρο αεροπλάνο Cessna έχει μάζα M = 1200kg. Η έλικα έχει διάμετρο d = 2m, η πυκνότητα του αέρα θεωρείται ρ=1,25kg/m³ και το μέτρο της συνολικής δύναμης που μπορεί να ασκηθεί στο αεροπλάνο για την απογείωση είναι F = 3200N, θεωρουμένης σταθερής. Η ταχύτητα που απαιτείται για απογείωση έχει μέτρο περίπου υ = 32m/s (115,2km/h). Αγνοούμε αντίσταση αέρα, τριβές και αλλαγή μάζας αεροπλάνου λόγω μείωσης καυσίμου. Δίνεται 1,25π ≈ 4.

α) Από πού προέρχεται η προωστική δύναμη, που ασκείται στο αεροπλάνο; Δώστε δύο εξηγήσεις. Η μία να στηρίζεται στον 3ο Νόμο Newton και η άλλη στην Αρχή Διατήρησης της Ορμής.

β) Βρείτε τον μέσο ρυθμό μεταβολής της ορμής του αεροπλάνου και το χρονικό διάστημα που απαιτείται για την απογείωση.

γ) Ποιο είναι ελάχιστο μήκος του διαδρόμου απογείωσης που πρέπει να έχει το αεροδρόμιο;

δ) Υπολογίστε το μέτρο υ_α της ταχύτητας του ρεύματος αέρα, ως προς την έλικα και το ρυθμό εξώθησης της αντίστοιχης μάζας αέρα από την έλικα.

ε) Υπολογίστε το ρυθμό μεταβολής κινητικής ενέργειας του αέρα (ωφέλιμη ισχύς έλικα).

στ) Βρείτε τους λόγους

στ1) ωφέλιμης ισχύος προς την προωστική δύναμη.

στ2) ρυθμού εξώθησης μάζας αέρα προς την προωστική δύναμη.

Συνέχεια 

Συνέχεια 

Σε οριζόντιο δάπεδο είναι στερεωμένη μια λεία τροχιά σχήματος τεταρτοκυκλίου, κέντρου Ο. Το οριζόντιο τμήμα στο κάτω άκρο της τροχιάς συνδέεται ομαλά με την πάνω επιφάνεια ενός μικρού καροτσιού Κ (βλ. σχήμα). Πάνω στην τροχιά βρίσκεται ένα μικρό σώμα A, μάζας m₁ = 4kg, το οποίο αφήνεται από την ηρεμία να ολισθήσει από ύψος h = R = 1,8 m πάνω από το οριζόντιο τμήμα της τροχιάς. Στο αριστερό άκρο του καροτσιού υπάρχει ένα σώμα B, μάζας m₂ = 2kg. Τα σώματα A και B μπορούν να θεωρηθούν υλικά σημεία. Μετά την κρούση τους, τα A και B κολλάνε μεταξύ τους. Είναι γνωστό ότι ο συντελεστής τριβής ολίσθησης ανάμεσα στα A, B και το καρότσι Κ είναι μ = 0,5, ενώ η τριβή στα αξονάκια των τροχών του καροτσιού θεωρείται αμελητέα.
Πάρτε g = 10 m/s².
α) α₁) Να βρεθεί η κάθετη αντίδραση του τεταρτοκυκλίου, στο σώμα Α, στο ξεκίνημα της κίνησής του.
α₂) Ποιο είναι το μέτρο της ταχύτηταςτου σώματος Α όταν φτάνει στην κατώτερη θέση του τεταρτοκυκλίου;
α₃) Να βρεθεί η κάθετη αντίδραση του τεταρτοκυκλίου, στο σώμα Α, όταν φτάνει στην κατώτερη θέση του τεταρτοκυκλίου, οριακά πριν το διάνυσμα της ταχύτητάς του γίνει οριζόντιο.
β) Το μέτρο της κοινής ταχύτητας αμέσως μετά την κρούση των A και B, αν η χρονική διάρκεια της κρούσης είναι αμελητέα.
γ) Τι κίνηση θα εκτελέσουν στη συνέχεια το συσσωμάτωμα Α+Β και το καρότσι Κ;
δ) Αν το καρότσι έχει μήκος L = 0,64m και τo συσσωμάτωμα Α+Β μόλις που δεν εγκαταλείπει το καρότσι, να βρεθεί η μάζα M του καροτσιού.

Συνέχεια 

Συνέχεια 

Ο μπαρμπα-Γιάννης ο σιδεράς κόλλησε σε ένα κυκλικό στεφάνι, ακτίνας R, δύο λεία ευθύγραμμα σύρματα AB και ΑΓ, αφού πρώτα πέρασε μέσα σε αυτά δυο μικρούς όμοιους κρίκους Κ₁ και Κ₂, μάζας m ο καθένας. Αν τοποθετήσουμε τη διάταξη με τη διάμετρο ΑΔ κατακόρυφη, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα και αφήσουμε ταυτόχρονα ελεύθερους τους κρίκους από το σημείο Α, να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές ή λανθασμένες, δικαιολογώντας την απάντησή σας. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g.

α) Οι δύο κρίκοι αποκτούν το ίδιο μέτρο επιτάχυνσης.

β) Οι κρίκοι φτάνουν ταυτόχρονα στα κατώτερα σημεία Β και Γ της τροχιάς τους.

γ) Ο ρυθμός μεταβολής της ορμής έχει το ίδιο μέτρο και για τους δύο κρίκους.

δ) Για τα μέτρα των μεταβολών των ορμών ισχύει |Δp₁| < |Δp₂|

Συνέχεια 

Συνέχεια 

Όπως φαίνεται στο σχήμα, το άκρο Β ενός κεκλιμένου επιπέδου, συνδέεται ομαλά με το κατώτερο σημείο μιας κατακόρυφης ημικυκλικής ράμπας ακτίνας R = 2m. Δυο αυτοκινητάκια c1 και c2 της ίδιας μάζας m=0,2kg (το μέγεθός τους είναι αμελητέο), συνδέονται μεταξύ τους με ιδανικό ελατήριο, αμελητέου μήκους, το οποίο κρατιέται συμπιεσμένο με ένα νήμα δεμένο και στα δυο αυτοκινητάκια. Κάποια στιγμή τα αφήνουμε ελεύθερα να κινηθούν, από το σημείο Α που έχει υψομετρική διαφορά h = 1,8m από το Β. Όταν τα δύο αυτοκινητάκια φτάσουν στο χαμηλότερο σημείο Β, το νήμα που συνδέει τα δύο αυτοκίνητα ξαφνικά κόβεται και το ελατήριο αποσυμπιέζεται, με αποτέλεσμα το πίσω αυτοκινητάκι c2 να σταματήσει, ενώ το μπροστινό c1 να συνεχίσει να κινείται ανερχόμενο στην κατακόρυφη ράμπα και να περάσει από το ανώτερο σημείο της Γ, εκτελώντας οριζόντια βολή.

Δίνεται g = 10m/s².

α) Υπολογίστε την ταχύτητα του προπορευόμενου αυτοκινήτου όταν εκτινάσσεται.

β) Βρείτε την ελαστική δυναμική ενέργεια U_ελ, που είχε αποθηκευτεί στο ελατήριο.

γ) Σχεδιάστε το διάνυσμα και βρείτε το μέτρο της μεταβολής της ορμής του αυτοκινήτου c1, μεταξύ των θέσεων Β και Γ.

δ) Να σχεδιάσετε και να υπολογίσετε τα μέτρα των δυνάμεων που δέχεται το αυτοκίνητο c1 από την ημικυκλική ράμπα στα σημεία Β και Γ.

ε) Το αυτοκινητάκι εκτελεί οριζόντια βολή. Αν η γωνία κλίσης του κεκλιμένου επιπέδου είναι φ = 45⁰ σε ποιο σημείο Δ συναντά πάλι το κεκλιμένο επίπεδο; Ποια είναι η ταχύτητα εκείνη τη στιγμή;

στ) Ποιος είναι ο ρυθμός μεταβολής της δυναμικής ενέργειας του c1 τη στιγμή που φτάνει στο σημείο Δ;

Απάντηση 

Απάντηση 

Δυο μικρές σφαίρες Σ₁ και Σ₂ με μάζες m₁ = 1kg και m₂ = 2kg αντίστοιχα. Η Σ₂ ηρεμεί στο κατώτερο σημείο Β ενός λείου ημικυκλίου, ενώ η Σ₁ εκτοξεύεται όπως φαίνεται στο σχήμα, κατακόρυφα προς τα κάτω, με αρχική ταχύτητα μέτρου υ₀ = 2m/s, από το ανώτερο σημείο ακλόνητου λείου ημικυκλίου ακτίνας R = 1,6m. Η Σ₁ κατέρχεται και συγκρούεται με τη Σ₂, η οποία ανέρχεται στο ημικύκλιο και φτάνει σε μέγιστο ύψος h = 0,2m από το οριζόντιο έδαφος. Οι σφαίρες θεωρούνται υλικά σημεία και δίνεται g = 10m/s².

α) Υπολογίστε την ταχύτητα της σφαίρας Σ₁ και το μέτρο της αντίδρασης του ημικυκλίου, που ασκείται στη σφαίρα Σ₁ λίγο πριν την κρούση.

β) Ποιες είναι οι ταχύτητες των σφαιρών αμέσως μετά την κρούση;

γ) Ποιο ποσοστό της αρχικής μηχανικής ενέργειας του συστήματος μεταφέρθηκε στο περιβάλλον ως θερμική ενέργεια;

δ) Υπολογίστε το μέτρο, τη διεύθυνση και σχεδιάστε το διάνυσμα της μεταβολής της ορμής της σφαίρας Σ₁ κατά την κίνησή της μεταξύ της αρχικής θέσης και της θέσης λίγο πριν την κρούση.

Απάντηση 

Απάντηση 

«Κύριε Sulu πάρε μας από δω. Δώσε ¼ φωτεινής ταχύτητας». Με αυτή την εντολή στον πιλότο του, ο Κυβερνήτης Kirk του διαστημοπλοίου USS Enterprise, έθεσε το πλοίο του σε τελική ταχύτητα υ = c/4 , όπου c = 3∙10⁸m/s η ταχύτητα του φωτός. Η μετάβαση κράτησε 60s.

α) Ποιο είναι το μέτρο της μεταβολής της ορμής του σκάφους, αν η μάζα του θεωρηθεί m = 2∙10⁹kg;

β) Καταλαβαίνουμε γιατί θα πρέπει το σκάφος να διαθέτει «αδρανειακούς αποσβεστήρες»; (δεν έχουν εφευρεθεί ακόμα … αλλά σε μια σειρά SciFi με το Enterprise, είναι βασικό εξάρτημα). Δηλαδή να δημιουργείται ένα πεδίο δυνάμεων, για να εκμηδενίσει την επίδραση στα σώματα των επιβατών και του εξοπλισμού, της τεράστιας δύναμης που απαιτείται για την επιτάχυνσή του διαστημοπλοίου;

γ) Πειράματα του στρατού των Υπερδυνάμεων έχουν δείξει ότι ο άνθρωπος μπορεί να επιβιώσει οριακά σε 10g επιτάχυνση, για μικρό χρονικό διάστημα. Αν ο Kirk κλείσει τους αποσβεστήρες αδράνειας, πόσο χρόνο πρέπει το Enterprise να επιταχύνει με 10g, ακολουθώντας την εντολή του Κυβερνήτη; Δίνεται g = 10m/s²

Απάντηση 

Απάντηση 

Το διάστημα επίσημα ορίζεται ως η περιοχή, σε ύψος άνω των 100Km από την επιφάνεια της Γης, δηλαδή στα όρια της ατμόσφαιρας και προφανώς υπάρχει βαρύτητα. Ένα διαστημόπλοιο στιγμιαίας μάζας m = 1tn, μαζί με το πλήρωμα, απομακρύνεται από τη Γη με ταχύτητα μέτρου v_i = 4km/s, στη διεύθυνση της ακτίνας της Γης. Στην περιοχή αυτή του διαστήματος, η βαρυτική επιτάχυνση είναι g = 2m/s².  Ο υπολογιστής του σκάφους δίνει εντολή να γίνουν δύο διαδοχικές καύσεις του κινητήρα, ώστε να αποκτήσει τη μέγιστη δυνατή ταχύτητα. Το διάγραμμα δείχνει το μέτρο της δύναμης που δέχεται το διαστημόπλοιο σε συνάρτηση με το χρόνο.

α) Τι εκφράζει το εμβαδόν του διαγράμματος;

β) Ποιο είναι το μέτρο της μέσης δύναμης που δέχτηκε ο πύραυλος; Πόσα G μέση επιτάχυνση θα δεχτεί το σώμα ενός αστροναύτη κατά τη διάρκεια αυτής της μανούβρας;

Δίνεται G = 10m/s² η βαρυτική επιτάχυνση στην επιφάνεια της Γης.

γ) Ποιο θα είναι το μέτρο της ταχύτητας του διαστημοπλοίου τη χρονική στιγμή t = 9s;

Συνέχεια πτήσης