Κατηγορία: 3.02 Διατήρηση της ορμής

Δυο μικρές σφαίρες Σ₁ και Σ₂ με μάζες m₁ = 1kg και m₂ = 2kg αντίστοιχα. Η Σ₂ ηρεμεί στο κατώτερο σημείο Β ενός λείου ημικυκλίου, ενώ η Σ₁ εκτοξεύεται όπως φαίνεται στο σχήμα, κατακόρυφα προς τα κάτω, με αρχική ταχύτητα μέτρου υ₀ = 2m/s, από το ανώτερο σημείο ακλόνητου λείου ημικυκλίου ακτίνας R = 1,6m. Η Σ₁ κατέρχεται και συγκρούεται με τη Σ₂, η οποία ανέρχεται στο ημικύκλιο και φτάνει σε μέγιστο ύψος h = 0,2m από το οριζόντιο έδαφος. Οι σφαίρες θεωρούνται υλικά σημεία και δίνεται g = 10m/s².

α) Υπολογίστε την ταχύτητα της σφαίρας Σ₁ και το μέτρο της αντίδρασης του ημικυκλίου, που ασκείται στη σφαίρα Σ₁ λίγο πριν την κρούση.

β) Ποιες είναι οι ταχύτητες των σφαιρών αμέσως μετά την κρούση;

γ) Ποιο ποσοστό της αρχικής μηχανικής ενέργειας του συστήματος μεταφέρθηκε στο περιβάλλον ως θερμική ενέργεια;

δ) Υπολογίστε το μέτρο, τη διεύθυνση και σχεδιάστε το διάνυσμα της μεταβολής της ορμής της σφαίρας Σ₁ κατά την κίνησή της μεταξύ της αρχικής θέσης και της θέσης λίγο πριν την κρούση.

Απάντηση 

Απάντηση 

«Κύριε Sulu πάρε μας από δω. Δώσε ¼ φωτεινής ταχύτητας». Με αυτή την εντολή στον πιλότο του, ο Κυβερνήτης Kirk του διαστημοπλοίου USS Enterprise, έθεσε το πλοίο του σε τελική ταχύτητα υ = c/4 , όπου c = 3∙10⁸m/s η ταχύτητα του φωτός. Η μετάβαση κράτησε 60s.

α) Ποιο είναι το μέτρο της μεταβολής της ορμής του σκάφους, αν η μάζα του θεωρηθεί m = 2∙10⁹kg;

β) Καταλαβαίνουμε γιατί θα πρέπει το σκάφος να διαθέτει «αδρανειακούς αποσβεστήρες»; (δεν έχουν εφευρεθεί ακόμα … αλλά σε μια σειρά SciFi με το Enterprise, είναι βασικό εξάρτημα). Δηλαδή να δημιουργείται ένα πεδίο δυνάμεων, για να εκμηδενίσει την επίδραση στα σώματα των επιβατών και του εξοπλισμού, της τεράστιας δύναμης που απαιτείται για την επιτάχυνσή του διαστημοπλοίου;

γ) Πειράματα του στρατού των Υπερδυνάμεων έχουν δείξει ότι ο άνθρωπος μπορεί να επιβιώσει οριακά σε 10g επιτάχυνση, για μικρό χρονικό διάστημα. Αν ο Kirk κλείσει τους αποσβεστήρες αδράνειας, πόσο χρόνο πρέπει το Enterprise να επιταχύνει με 10g, ακολουθώντας την εντολή του Κυβερνήτη; Δίνεται g = 10m/s²

Απάντηση 

Απάντηση 

Το διάστημα επίσημα ορίζεται ως η περιοχή, σε ύψος άνω των 100Km από την επιφάνεια της Γης, δηλαδή στα όρια της ατμόσφαιρας και προφανώς υπάρχει βαρύτητα. Ένα διαστημόπλοιο στιγμιαίας μάζας m = 1tn, μαζί με το πλήρωμα, απομακρύνεται από τη Γη με ταχύτητα μέτρου v_i = 4km/s, στη διεύθυνση της ακτίνας της Γης. Στην περιοχή αυτή του διαστήματος, η βαρυτική επιτάχυνση είναι g = 2m/s².  Ο υπολογιστής του σκάφους δίνει εντολή να γίνουν δύο διαδοχικές καύσεις του κινητήρα, ώστε να αποκτήσει τη μέγιστη δυνατή ταχύτητα. Το διάγραμμα δείχνει το μέτρο της δύναμης που δέχεται το διαστημόπλοιο σε συνάρτηση με το χρόνο.

α) Τι εκφράζει το εμβαδόν του διαγράμματος;

β) Ποιο είναι το μέτρο της μέσης δύναμης που δέχτηκε ο πύραυλος; Πόσα G μέση επιτάχυνση θα δεχτεί το σώμα ενός αστροναύτη κατά τη διάρκεια αυτής της μανούβρας;

Δίνεται G = 10m/s² η βαρυτική επιτάχυνση στην επιφάνεια της Γης.

γ) Ποιο θα είναι το μέτρο της ταχύτητας του διαστημοπλοίου τη χρονική στιγμή t = 9s;

Συνέχεια πτήσης 

Ένα ανοιχτό κιβώτιο μάζας m₁ = m, ηρεμεί σε λείο οριζόντιο δάπεδο. Μέσα στο κιβώτιο βρίσκεται ακίνητη μια μικρή σφαίρα μάζας m₂ = m, εφαπτόμενη στο αριστερό τοίχωμα του κιβωτίου, όπως φαίνεται στο σχήμα. Τη χρονική στιγμή t₀ = 0s η σφαίρα εκτοξεύεται οριζόντια με αρχική ταχύτητα υ₁ = 2m/s και κινείται ολισθαίνοντας στο λείο δάπεδο του κιβωτίου.

i) Το κιβώτιο θα κινηθεί; Δικαιολογείστε την απάντησή σας.

ii) Αν η σφαίρα συγκρουστεί με το δεξί τοίχωμα του κιβωτίου, χωρίς απώλειες μηχανικής ενέργειας για το σύστημα (ελαστική κρούση), υπολογίστε τις ταχύτητες της σφαίρας και του κιβωτίου αμέσως μετά την κρούση. Η χρονική διάρκεια της κρούσης θεωρείται αμελητέα.

iii) Μελετήστε το είδος της κίνησης των δυο σωμάτων.

iv) Αν το μήκος του δαπέδου του κιβωτίου είναι d =2m να κάνετε σε βαθμολογημένους άξονες τις γραφικές παραστάσεις, μέχρι τη χρονική στιγμή t = 2s:

α) υ = f(t) για τη σφαίρα και το κιβώτιο

β) x = f(t) για τη σφαίρα και το κιβώτιο θεωρώντας ότι x₀ = 0m ( αρχή του άξονα των x ) είναι η θέση της σφαίρας, που συμπίπτει με το αριστερό τοίχωμα του κιβωτίου.

γ) p_συστ = f(t) (ορμή συστήματος), αν m = 0,5kg.

Απάντηση

Στο σχήμα φαίνονται δύο σώματα Α και Β με ίσες μάζες m_A = m_B = 1kg, πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Το σώμα A είναι ηλεκτρικά ουδέτερο, ηρεμεί και είναι συνδεδεμένο στο δεξί άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k = 400N/m, που έχει το φυσικό του μήκος. Το αριστερό άκρο του ελατηρίου, είναι ακλόνητο. Το σώμα Β φέρει ηλεκτρικό φορτίο q = −1C και συγκρατείται ακίνητο σε απόσταση d = 1,2m από το Α. Στο χώρο υπάρχει ομογενές ηλεκτρικό πεδίο έντασης μέτρου E = 10N/C με οριζόντια διεύθυνση και φορά προς τα δεξιά, όπως φαίνεται στο σχήμα. Αφήνουμε ελεύθερο το σώμα Β.

i) Να δικαιολογήσετε το είδος της κίνησης του σώματος Β και να βρείτε το μέτρο της επιτάχυνσής του.

ii) Με ποια ταχύτητα θα συγκρουστεί με το σώμα Α;

iii) Αν η κρούση είναι πλαστική, δηλαδή δημιουργηθεί συσσωμάτωμα, ποια θα είναι η ταχύτητα του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση; Η χρονική διάρκεια της κρούσης θεωρείται αμελητέα.

iv) Πόση θα είναι η μέγιστη συμπίεση του ελατηρίου;

v) Υπολογίστε τη μεταβολή της ηλεκτρικής δυναμικής ενέργειας του συστήματος σε όλη τη διάρκεια του φαινομένου.

Απάντηση 

Δύο βάρκες Β₁ και Β₂ ίσης μάζας Μ ακουμπούν η μία με την άλλη όπως στο σχήμα ακίνητες στην ήρεμη λίμνη. Ένας άνθρωπος Α μάζας m, πηδά από την Β₁ στη Β₂ και μετά πηδά πίσω στη Β₁.  Αν η αντίσταση του νερού είναι αμελητέα, θετική φορά προς τα δεξιά,

i) Να διερευνήσετε το φαινόμενο που εξελίσσεται σε κάθε άλμα του ανθρώπου, μελετώντας την ταχύτητα που αποκτά κάθε βάρκα. O λόγος των ταχυτήτων που θα αποκτήσουν τελικά οι βάρκες B₁, B₂ θα είναι

α) υ₁ / υ₂ = – Μ / (Μ+m)            β) υ₁ / υ₂ = – (Μ+m) / m                         γ) υ₁ / υ₂ = -Μ /m

Επιλέξτε τη σωστή απάντηση και δικαιολογείστε την.

ii) Να γενικεύσετε το αποτέλεσμα στην περίπτωση που ο άνθρωπος Α πραγματοποιεί Ν το πλήθος άλματα προς τη βάρκα Β₂ και Ν το πλήθος άλματα προς τη βάρκα Β₁.

Απάντηση 

Ένας αστεροειδής κινείται στο διάστημα με σταθερή ταχύτητα υ_Α = 5km/s. Θέλουμε να προσγειώσουμε στην επιφάνειά του ένα εξερευνητικό, μη επανδρωμένο όχημα, μάζας m = 1200kg. Η ταχύτητα του οχήματος είναι ίδιας κατεύθυνσης με την  και μέτρου υ₀ = 5,1km/s. Για να επιβραδύνουμε το σκάφος, θέτουμε σε λειτουργία τους ανασχετικούς πυραύλους του για Δt = 4s, εκτοξεύοντας καυσαέρια προς την κατεύθυνση της κίνησης, όπως φαίνεται στο σχήμα 1, με αποτέλεσμα να ασκείται στο διαστημικό όχημα δύναμη, που το μέτρο της μεταβάλλεται χρονικά όπως στο διάγραμμα του σχήματος 2.
i) Γιατί η εκτόξευση καυσαερίων, προς την κατεύθυνση της κίνησης, επιβραδύνει το όχημα;
ii) Την απαιτούμενη δύναμη πέδησης στο όχημα δημιουργεί
α) ένα αλεξίπτωτο που ανοίγει την κατάλληλη στιγμή.
β) ένα ειδικό φρένο όπως στα αυτοκίνητα, που ενεργοποιεί ο υπολογιστής του σκάφους.
γ) τα καυσαέρια καθώς εξέρχονται από τα ακροφύσια των κινητήρων.
iii) Ποια μεταβολή ορμής προκαλούν στο σκάφος οι ανασχετικοί πύραυλοι; Να κάνετε κατάλληλο σχήμα με τα διανύσματα των ορμών.
iv) Υποθέτοντας αμελητέα την μεταβολή μάζας του οχήματος εξαιτίας της εκροής των καυσαερίων βρείτε ποια θα είναι η ταχύτητα του οχήματος στο τέλος αυτής της διαστημικής μανούβρας.
v) Αν η θερμαντική ικανότητα της υδραζίνης (Ν₂Η₄), δηλαδή του καυσίμου που κάηκε, είναι 20ΜJ/kg, υπολογίστε τη μάζα του.
Η βαρυτική αλληλεπίδραση μεταξύ του οχήματος και του αστεροειδούς είναι αμελητέα και οι ταχύτητες είναι υπολογισμένες ως προς ακίνητο παρατηρητή.

Απάντηση(Pdf)

Η εξέδρα Γ, που φαίνεται στο παραπάνω σχήμα, χρησιμοποιείται σε πειράματα Φυσικής, έχει ρόδες και ηρεμεί πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Το σώμα Α έχει μάζα m = 20kg και με τη βοήθεια ενός αβαρούς μη εκτατού νήματος, είναι δεμένο στο βαρούλκο ενός περιστροφικού κινητήρα Ρ. Ο κινητήρας είναι αρχικά σβηστός, με αποτέλεσμα το σώμα Α να ηρεμεί πάνω στην οριζόντια πλευρά της εξέδρας. Η μάζα της εξέδρας, μαζί με τον κινητήρα, είναι M = 40kg. Θέτουμε σε λειτουργία τον κινητήρα, οπότε «ακαριαία» το νήμα, ξεκινά να τυλίγεται, στον περιστρεφόμενο κύλινδρο, ασκώντας στο σώμα, μέσω του νήματος, σταθερή δύναμη μέτρου  60N. Οι συντελεστές στατικής και τριβής ολίσθησης μεταξύ του σώματος Α και της εξέδρας είναι ίσοι με μ = 0,2 και οποιεσδήποτε άλλες τριβές στο σύστημα, θεωρούνται αμελητέες. Δίνεται: g = 10m/s². Το πείραμα μελετά ο ακίνητος παρατηρητής Π.

i) Σχεδιάστε τις δυνάμεις στο σώμα Α, εξηγείστε γιατί θα κινηθεί και υπολογίστε την επιτάχυνση που αποκτά.

ii) Εξετάστε αν το σύστημα εξέδρα Γ- σώμα Α είναι μονωμένο.

iii) Τη χρονική στιγμή t = 2s, βρείτε τα μέτρα των ταχυτήτων υ₁ του σώματος Α και υ₂ της εξέδρας Γ. Επιβεβαιώστε ότι η ορμή του συστήματος διατηρείται σταθερή. Μπορούσατε να έχετε προβλέψει το αποτέλεσμα αυτό;

iv) Τη χρονική στιγμή t = 2s υπολογίστε τις μετατοπίσεις του σώματος Α και της εξέδρας Γ και στη συνέχεια βρείτε την ενέργεια που προσέφερε στο σύστημα ο κινητήρας.

v) Υπολογίστε τη θερμική ενέργεια που παράχθηκε λόγω τριβής του σώματος Α πάνω στην εξέδρα.

vi) Ποιες ενεργειακές μετατροπές συμβαίνουν στο σύστημα;

Απάντηση(Pdf)

Ο κατασκευαστής ενός παιδικού πυροβόλου, που φαίνεται στο σχήμα 1, θέλει να υπολογίσει το ελάχιστο μήκος που πρέπει να έχει η πλατφόρμα ΑΒ, ώστε αν τοποθετήσει το πυροβόλο ακριβώς στο άκρο Β, το βλήμα να μην πέφτει πάνω στην πλατφόρμα. Η μάζα του παιχνιδιού είναι M = 0,45kg και εκτοξεύει σφαιρίδια μάζας m = 0,05kg οριζόντια από ύψος h = 0,2m πάνω από την πλατφόρμα. Η ταχύτητα εκτόξευσης του σφαιριδίου ως προς τον ακίνητο παρατηρητή Π, έχει μέτρο |υ_σ| = 1,8m/s. Η εκτόξευση γίνεται με τηλεχειρισμό μικρού εκτοξευτήρα μήκους l = 0,15m, με τη βοήθεια ελατηρίου, που το φυσικό του μήκος φτάνει μέχρι το στόμιο εξόδου. Η σταθερά του ελατηρίου είναι k = 18N/m, η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10m/s² , δεν υπάρχουν τριβές και η εκτόξευση του σφαιριδίου διαρκεί αμελητέο χρόνο.
α) Αν αφήσει ελεύθερη την πλατφόρμα με ποια ταχύτητα θα κινηθεί αυτή αμέσως μετά την εκτόξευση του σφαιριδίου;
β) Πόσο πρέπει να είναι το ελάχιστο μήκος της πλατφόρμας για να μην πέσει πάνω της το βλήμα;
γ) Βρείτε την μέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου και την αρχική επιτάχυνση του σφαιριδίου.

Απάντηση(Pdf)