Αφιερωμένη στον Ανδρέα Ριζόπουλο που έχει εντρυφήσει στη διαστημική. Άσκηση στους δορυφόρους σχετικά δύσκολη αλλά πολύ αναλυτικά δοσμένη και όχι όπως θα τη δίναμε σε ένα μάθημα αστρονομίας όπου οι βασικές έννοιες θα ήταν στην αντίστοιχη θεωρία. Η τοποθέτηση δορυφόρων σε τροχιά είναι απόφαση που συνδυάζει ένα μεγάλο πλήθος παραγόντων συμπεριλαμβανομένου και του κόστους. Ο διεθνής διαστημικός σταθμός κινείται σε ένα μέσο ύψος 400 km ώστε να μετριάζεται λίγο η κοσμική ακτινοβολία και να είναι ευκολότερα προσβάσιμος σε γήινες αποστολές. Το αρνητικό είναι ότι κινείται σε μία ζώνη με τα περισσότερα διαστημικά σκουπίδια και με σημαντική απώλεια ενέργειας λόγω αντίστασης του αέρα. Τα διαστημικά τηλεσκόπια κινούνται σε ακόμα χαμηλότερη τροχιά για να είναι εύκολη η επισκευή τους. Οι δορυφόροι internet κινούνται σε χαμηλές τροχιές ώστε να μην υπάρχει παραμόρφωση του σήματος λόγω χρονικής υστέρησης. Επίσης σχηματίζουν τους λεγόμενους αστερισμούς όπου 6 τουλάχιστον δορυφόροι τοποθετούνται σε αρκετές τροχιές παράλληλες μεταξύ τους και με κλίση ως προς τον ισημερινό. Ο λόγος είναι γρήγορο internet και παγκόσμια κάλυψη. Υπάρχει ένα μεγάλο πλήθος δορυφόρων με διάφορες αποστολές και διαφορετικά κάθε φορά κριτήρια επιλογής τροχιών. Ας δούμε μία απλή μορφή ενός αστερισμού.

H AΣΚΗΣΗ ΕΔΩ ή εδώ.

Μια άσκηση του Πυροβολικού, εξελίσσεται σε περιοχή με μορφολογία που φαίνεται στο σχήμα 1. Το πυροβόλο βρίσκεται στην κορυφή του λόφου ύψους h₁ = 20m πάνω από την επιφάνεια λίμνης και εκτοξεύει οριζόντια βλήματα μάζας m = 10kg. Τα βλήματα πρέπει να περάσουν τη λίμνη, που βρίσκεται στο οροπέδιο και να πέσουν στην πεδιάδα, που βρίσκεται σε απόσταση  h₂ = 25m κάτω από την επιφάνεια της λίμνης.
Το εύρος της λίμνης είναι L = 120m και η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10m/s².
α) Ποιο είναι το μέτρο υ₀ της ελάχιστης ταχύτητας εκτόξευσης των βλημάτων, ώστε να μπορούν να φτάσουν στην πεδιάδα;
Για την τιμή που βρήκατε στο (α) ερώτημα:
β) Γράψτε την εξίσωση τροχιάς κάθε βλήματος και κάνετε τη γραφική παράσταση σε βαθμολογημένους άξονες.
γ) Σε πόση απόσταση από το άκρο Β του οροπεδίου πέφτουν τα βλήματα;
δ) Με ποια γωνία ως προς την κατακόρυφη χτυπά ένα βλήμα το έδαφος της πεδιάδας;
ε) Ποια η χρονική εξίσωση του ρυθμού μεταβολής της δυναμικής ενέργειας κάθε βλήματος μέχρι να χτυπήσει στο έδαφος της πεδιάδας; Να κάνετε την αντίστοιχη γραφική παράσταση.

Απάντηση 

Απάντηση 

Συνέχεια (Word)

Συνέχεια (Pdf)

Ένα σώμα μάζας m, (πέτρα) δένεται σε ιδανικό σχοινί μήκους  L. Κάποια στιγμή ένας μαθητής θέτει το σώμα σε κατακόρυφη τροχιά ξεκινώντας από την κάτω κατακόρυφη θέση Α, όπως φαίνεται στο σχήμα 1. Αρχικά υπάρχει ένα μεταβατικό στάδιο όπου το χέρι του παιδιού δεν είναι σταθερό σε ένα σημείο ούτε η τροχιά απόλυτα κυκλική. Μετά από λίγο αποκαθίσταται κατακόρυφη κυκλική τροχιά σταθερής ακτίνας με το νήμα να είναι συνεχώς τεντωμένο και το κέντρο της τροχιάς να μπορεί να θεωρηθεί σταθερό. Αν οι δυνάμεις από τον αέρα δεν ληφθούν υπόψη ούτε υπάρχουν ελαστικές παραμορφώσεις στο σχοινί, να απαντήσετε στις ακόλουθες προτάσεις.

i)Μόλις η τροχιά του σώματος σταθεροποιηθεί το νήμα είναι:

α) Συνεχώς κάθετο με την γραμμική ταχύτητα.

Συνέχεια

ή σε pdf

ή σε word

Η ανάρτηση απευθύνεται στους μαθητές που αύριο θα γίνουν μηχανικοί. Είμαι σίγουρος πως αν την ξαναδούν κάποτε, θα τους φανεί το λιγότερο …απλοϊκή. Όσο πολύπλοκη όμως μηχανή και να έχουμε, πάντα θα υπακούει στους Νόμους της Μηχανικής του Newton.

Η διάταξη του σχήματος έχει σκοπό να κινεί κατακόρυφα το δακτύλιο Δ, ο οποίος συνδέεται με βαλβίδα ρύθμισης της παροχής του ατμού στον κύλινδρο μιας ατμομηχανής. (Η βαλβίδα δεν έχει σχεδιαστεί για λόγους απλούστευσης του σχήματος, αλλά δείτε τα σχόλια στο τέλος…). Αποτελείται από την κεντρική κατακόρυφη ράβδο-άξονα ψ΄ψ, τις αβαρείς ράβδους Ρ₁ Ρ₂, Ρ₃, Ρ₄, τις αρθρώσεις Α₁, Α₂, Α₃, Α₄, Α₅, την τροχαλία Σ, προσαρμοσμένη στον άξονα ψ΄ψ και τα δύο όμοια σφαιρίδια μάζας m = 0,8kg το καθένα. Ο δακτύλιος Δ μπορεί να γλιστράει χωρίς τριβές πάνω στον άξονα ψ΄ψ.

Αν θέσουμε την τροχαλία σε περιστροφή, το σύστημα άξονας-ράβδοι-δακτύλιος, μπορεί να περιστρέφεται μαζί της, εξαιτίας της άρθρωσης Α₄, αλλά οι ράβδοι και ο δακτύλιος μπορούν να κινούνται και κατακόρυφα, με τον δακτύλιο Δ να γλιστράει πάνω στον κεντρικό άξονα ψ΄ψ.

i) Όταν αυξάνουμε τη γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της τροχαλίας, ο δακτύλιος Δ

α) ανέρχεται.      β) κατέρχεται.    γ) δεν αλλάζει θέση κατακόρυφα.

Δικαιολογείστε την απάντησή σας.

ii) Σχεδιάστε ένα σχήμα που να φαίνεται συγκριτικά η διάταξη πριν και μετά την αύξηση της γωνιακής ταχύτητας.

iii) Αν η τροχαλία έχει ακτίνα r = 10cm, η γραμμική ταχύτητα των σημείων της περιφέρειάς της έχει μέτρο υ = 0,5m/s και η ακτίνα περιστροφής κάθε σφαιριδίου είναι R = 0,4m, ποια είναι η γωνία θ;

Απάντηση(Word)

Απάντηση(Pdf)

O τεχνικός ενός εργοστασίου που κατασκευάζει πλυντήρια, συμμετέχοντας σε σύσκεψη, για τις προδιαγραφές των συσκευών αυτών, παρουσίασε κάποιες μετρήσεις. Ο κυλινδρικός κάδος Κ ενός μοντέλου, ακτίνας R = 0,4m περιστρέφεται με τη βοήθεια ιμάντα, που διέρχεται από το αυλάκι μιας ομοαξονικής τροχαλίας Τ₁ ακτίνας R₁ = 0,2m, προσαρμοσμένης στο πίσω μέρος του κάδου. Ο ιμάντας τίθεται σε κίνηση αφού διέρχεται και από το αυλάκι δεύτερης τροχαλίας Τ₂ ακτίνας R₂ = 0,05m, η οποία κινείται με τη βοήθεια ηλεκτρικού κινητήρα.

α) Αν το πλυντήριο στύβει τα ρούχα στις 600στροφές /min, ο τεχνικός παρουσίασε ποια είναι η γωνιακή ταχύτητα και η αντίστοιχη συχνότητα περιστροφής, για την τροχαλία Τ₂ του κινητήρα. Τι αποτελέσματα τους έδειξε;

β) Ένα στέλεχος του συμβουλίου τον ρώτησε «Γιατί τα ρούχα κολλάνε στην εσωτερική επιφάνεια του κάδου, καθώς αυτός περιστρέφεται; Πως αυτή η περιστροφή βοηθά το στέγνωμα;» Ο τεχνικός απάντησε τις ερωτήσεις και επιπλέον του είπε πόσα «G» δέχεται ένα ρούχο, εξαιτίας της γρήγορης περιστροφής και πόση δύναμη ασκεί ο κάδος σε ένα μικρό ρούχο μάζας m = 0,1kg, όταν βρίσκεται στην ανώτερη θέση κατά την περιστροφή του. Ποιες ήταν οι απαντήσεις;

γ) Ο τεχνικός παρουσίασε επίσης ότι, καθώς το στέγνωμα φτάνει στο τέλος του και η συχνότητα περιστροφής του κυλίνδρου μειώνεται, μια πλαστική σφαίρα αμελητέας ακτίνας, τοποθετημένη στον κάδο, χάνει την επαφή της, στη θέση που η επιβατική της ακτίνα σχηματίζει επίκεντρη γωνία θ = 60⁰ με την κατακόρυφη. Έτσι μπόρεσε να υπολογίσει τη συχνότητα περιστροφής εκείνη ακριβώς τη στιγμή. Πόσο λέτε ότι βρήκε;

δ) Τέλος, για ένα μικρό ρούχο μάζας m = 0,1kg, παρουσίασε τη γραφική παράσταση της αλγεβρικής τιμής της κάθετης δύναμης στήριξης από τον κάδο, σε συνάρτηση με τη γωνία θ, που σχηματίζει η επιβατική ακτίνα με την κατακόρυφο, για την γωνιακή ταχύτητα του ερωτήματος (γ). Ποια ήταν η γραφική παράσταση περιστροφή του κάδου κατά π/3 rad;

Απάντηση(Word)

Απάντηση(Pdf)

Ένα αυτοκίνητο κινείται με σταθερό μέτρο ταχύτητας, όταν εισέρχεται σε βαθούλωμα κυκλικού σχήματος ακτίνας R₁ = 100m. Η επιτάχυνση που αισθάνεται ο οδηγός στο κατώτερο σημείο έχει μέτρο 0,4g. Στη συνέχεια εξέρχεται από το βαθούλωμα και ανέρχεται σε «σαμάρι» επίσης κυκλικού σχήματος ακτίνας R₂, στο οποίο η επιτάχυνση αποκτά μέτρο 0,25g. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10m/s² και δεχόμαστε ότι ο οδηγός πετυχαίνει με κατάλληλη χρήση των χειριστηρίων να κρατάει το μέτρο της ταχύτητας συνεχώς σταθερό.

α) Ποιο είναι το μέτρο της ταχύτητας του αυτοκινήτου και η ακτίνα R₂; Σχεδιάστε τα διανύσματα των επιταχύνσεων του αυτοκινήτου, καθώς διέρχεται από το κατώτερο σημείο του βαθουλώματος και το ανώτερο σημείο του υψώματος.

β) Αν οι επίκεντρες γωνίες των δυο διαδρομών είναι Δθ = =120⁰ ποια είναι η χρονική διάρκεια που θα χρειαστεί το αυτοκίνητο να περάσει από τις δυο περιοχές;

γ) Αν η μάζα του αυτοκινήτου είναι m = 800kg, πόση  είναι η κάθετη αντίδραση που δέχεται το αυτοκίνητο από το δρόμο στο κατώτερο σημείο του βαθουλώματος και στο ανώτερο σημείο του υψώματος;

δ) Παρατηρώντας τα αποτελέσματα της ερώτησης (γ) μπορείτε να προβλέψετε σε ποια από τις δύο θέσεις είναι δυνατόν να χαθεί η επαφή με το δρόμο; Με ποια ταχύτητα του αυτοκινήτου θα συνέβαινε αυτό;

Απάντηση(Word)

Απάντηση(Pdf)

Ένα αυτοκίνητο, που θεωρείται υλικό σημείο, ταξιδεύει με σταθερό μέτρο ταχύτητας, στον «κυματιστό» δρόμο του σχήματος, κατευθυνόμενο από το σημείο Α της κυκλικής κοιλάδας, στο σημείο Β του επίσης κυκλικού όρους. Στο σημείο Α η ακτίνα καμπυλότητας είναι R_A = 120m και η επιτάχυνση έχει μέτρο α_Α = 0,4g. Το μέτρο της επιτάχυνσης στο Β δεν πρέπει να ξεπερνάει την τιμή α_Β = 0,25g.

α) Ποιο είναι το μέτρο υ της ταχύτητας;

β) Ποια είναι η ελάχιστη τιμή της ακτίνας καμπυλότητας του δρόμου στο σημείο Β;

γ) Σχεδιάστε και υπολογίστε τα μέτρα των γωνιακών ταχυτήτων του αυτοκινήτου, καθώς αυτό διέρχεται από τα σημεία Α και Β, με βάση τα προηγούμενα αποτελέσματα. Στο ίδιο σχήμα σχεδιάστε και τα διανύσματα των ταχυτήτων και των επιταχύνσεων.

δ) Αν η διεύθυνση της επιβατικής ακτίνας στο σημείο Α είναι κατακόρυφη και στο σημείο Β σχηματίζει γωνία θ με την κατακόρυφη, όπου συνθ = 0,25, υπολογίστε μεταξύ των δύο θέσεων:
i) Τη μεταβολή του μέτρου της ταχύτητας

ii) Το μέτρο της μεταβολής της ταχύτητας

ε) Σε ποια από τις 2 θέσεις πιστεύετε ότι ο οργανισμός του οδηγού, υφίσταται μεγαλύτερη επιβάρυνση;

Θεωρούμε ότι το αυτοκίνητο ως υλικό σημείο, που βρίσκεται πάνω στο δρόμο και g = 10m/s².

Απάντηση(Word)

Απάντηση(Pdf)

Ένας μηχανικός αυτοκινήτων της Formula 1, θέλοντας να εξετάσει την αντοχή του σπειρώματος μιας βίδας, τη βίδωσε στο άκρο Α μιας μεταλλικής ράβδου AO και την έθεσε σε περιστροφή σε οριζόντιο επίπεδο, γύρω από κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το άκρο της Ο, με σταθερή γωνιακή ταχύτητα. Για να μετρήσει τη συχνότητα περιστροφής φώτισε τη βίδα με μια ειδική λάμπα που αναβοσβήνει με μεταβλητή συχνότητα (στροβοσκόπιο). Παρατήρησε ότι αν η συχνότητα αναλαμπών είναι 2000 αναλαμπές/s η βίδα φαινόταν σε 8 ίδιες κάθε φορά θέσεις, κατά τη διάρκεια της περιστροφής της και με την παραμικρή αύξηση στη συχνότητα περιστροφής το σπείρωμα έσπαζε και η βίδα πεταγόταν μακριά από τη ράβδο. Η μάζα της βίδας ήταν 40g και το μήκος της ράβδου L = 80cm.
α) Ποια είναι η οριακή περίοδος σε ms και η οριακή συχνότητα περιστροφής σε στροφές /min;
β) Nα βρείτε το μέτρο της οριακής γωνιακής ταχύτητας και της οριακής κεντρομόλου επιτάχυνσης της βίδας και να σχεδιάσετε τα αντίστοιχα διανύσματα.
γ) Ποια είναι τελικά η αντοχή του σπειρώματος;
δ) Τι κίνηση θα έκανε η βίδα αν έσπαγε το σπείρωμα; Πόσο μακριά μπορούσε να φτάσει, αν ο πάγκος εργασίας, απ΄όπου έφυγε, είχε ύψος 1,25m από το έδαφος;
Δίνεται g = 10m/s² και η βίδα θεωρείται υλικό σημείο.

Απάντηση (Pdf)