Κατηγορία: 3.01 Καμπυλόγραμμες κινήσεις

Δύο σφαιρικές χάντρες Χ1 και Χ2, με μάζες m₁ = 2m και m₂ = m αντίστοιχα, είναι περασμένες σε λεπτή ράβδο, πάνω στην οποία μπορούν να ολισθαίνουν χωρίς τριβές. Η ράβδος είναι τοποθετημένη σε κατάλληλη βάση, που μπορεί να περιστρέφεται περί κατακόρυφο άξονα ψ΄ψ, διερχόμενο από το μέσον της ράβδου, όπως στο σχήμα. Συνδέουμε τις χάντρες με λεπτό νήμα, που είναι εφαπτόμενο στη ράβδο, ώστε να μπορούμε να θεωρήσουμε ότι ταυτίζεται σχεδόν με αυτή και τις απομακρύνουμε μέχρι το νήμα να είναι έτοιμο να τεντωθεί. Δίνουμε στη ράβδο σταθερή γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω και παρατηρούμε ότι οι σφαίρες περιστρέφονται γύρω από τον άξονα ψ΄ψ, χωρίς αλλαγή στη θέση τους πάνω στη ράβδο.

i) Οι ακτίνες των κυκλικών τροχιών των χαντρών έχουν μεταξύ τους σχέση

α) R₁ = R₂                                 β) R₁ = 2R₂                               γ) R₂ = 2R₁

ii) Ποιο φυσικό μέγεθος καθορίζει τις ακτίνες που υπολογίσατε;

α) Η τάση του νήματος               β) Η μάζα της κάθε χάντρας       γ) Η γωνιακή ταχύτητα

iii) Αν τοποθετήσουμε τις χάντρες αντίστροφα και επαναλάβουμε το πείραμα, χωρίς να αλλάξουμε τον άξονα περιστροφής:

α) Το πείραμα θα επαναληφθεί με επιτυχία. Οι χάντρες θα περιστραφούν παραμένοντας στις ακτίνες που υπολογίσατε στο πρώτο πείραμα.

β) Η χάντρα Χ1 θα γλιστρήσει πάνω στη ράβδο και θα πέσει πάνω στη Χ2, δηλαδή η κατάσταση είναι ασταθής.

γ) Η χάντρα Χ2 θα γλιστρήσει πάνω στη ράβδο και θα πέσει πάνω στη Χ1, δηλαδή η κατάσταση είναι ασταθής.

Συνέχεια 

Συνέχεια 

Στο σχήμα φαίνεται η παραβολική τροχιά ενός σώματος μάζας m, που εκτοξεύεται με ταχύτητα  μέτρου υ₀ και εκτελεί οριζόντια βολή. Έχει σχεδιαστεί και το σύνηθες σύστημα αξόνων Ox, Oy όπου βλέπουμε τρία σημεία αυτής της τροχιάς: O(0, 0) (το σημείο που έγινε η βολή), A(5λ, y_A) και B(10λ, y_B). Αν λ > 0, να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές ή λανθασμένες, δικαιολογώντας την απάντησή σας.

α) Το χρονικό διάστημα, που χρειάζεται για να μετακινηθεί το σώμα από το σημείο Ο στο σημείο Α είναι μικρότερο από το χρονικό διάστημα για να μετακινηθεί από το σημείο Α στο σημείο Β.

β) Αν y_A = 3λ τότε y_B = 12λ.

γ) Η αρχική ταχύτητα της μπάλας έχει μέτρο .

δ) Ο ρυθμός μεταβολής της ορμής στο σημείο Α είναι ίσος με το ρυθμό μεταβολής της ορμής στο σημείο Β.

ε) Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας στο σημείο Α είναι ίσος με το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας στο σημείο Β.

Απάντηση 

Απάντηση 

Το κεκλιμένο επίπεδο AΟ του σχήματος έχει μήκος L = 6m, γωνία κλίσης θ = 30° και ύψος h. Από την κορυφή Ο του κεκλιμένου επιπέδου, εκτοξεύεται οριζόντια προς τα δεξιά μικρή σφαίρα Σ₁ με αρχική ταχύτητα μέτρου υ₀₁. Ταυτόχρονα, από σημείο Β της κατακορύφου, που διέρχεται από το Α και απέχει επίσης h από το έδαφος εκτοξεύεται  οριζόντια προς τα αριστερά δεύτερη μικρή σφαίρα Σ₂ με αρχική ταχύτητα μέτρου υ₀₂. Οι δύο σφαίρες φτάνουν ταυτόχρονα στο σημείο P του κεκλιμένου επιπέδου, με την Σ₂ να χτυπά κάθετα σε αυτό.

α) Γράψτε τις εξισώσεις κίνησης των σφαιρών ως προς το σύστημα αναφοράς xOy του σχήματος .

β) Υπολογίστε τη χρονική στιγμή της συνάντησης.

γ) Βρείτε τα μέτρα υ₀₁ και υ₀₂ των αρχικών ταχυτήτων των σφαιρών και τη θέση του σημείου Ρ ως προς το σύστημα xOy.

δ) Να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις x → t  σε κοινό σύστημα βαθμολογημένων αξόνων και για τις δύο σφαίρες.

Απάντηση 

Απάντηση 

Όπως φαίνεται στο σχήμα, το άκρο Β ενός κεκλιμένου επιπέδου, συνδέεται ομαλά με το κατώτερο σημείο μιας κατακόρυφης ημικυκλικής ράμπας ακτίνας R = 2m. Δυο αυτοκινητάκια c1 και c2 της ίδιας μάζας m=0,2kg (το μέγεθός τους είναι αμελητέο), συνδέονται μεταξύ τους με ιδανικό ελατήριο, αμελητέου μήκους, το οποίο κρατιέται συμπιεσμένο με ένα νήμα δεμένο και στα δυο αυτοκινητάκια. Κάποια στιγμή τα αφήνουμε ελεύθερα να κινηθούν, από το σημείο Α που έχει υψομετρική διαφορά h = 1,8m από το Β. Όταν τα δύο αυτοκινητάκια φτάσουν στο χαμηλότερο σημείο Β, το νήμα που συνδέει τα δύο αυτοκίνητα ξαφνικά κόβεται και το ελατήριο αποσυμπιέζεται, με αποτέλεσμα το πίσω αυτοκινητάκι c2 να σταματήσει, ενώ το μπροστινό c1 να συνεχίσει να κινείται ανερχόμενο στην κατακόρυφη ράμπα και να περάσει από το ανώτερο σημείο της Γ, εκτελώντας οριζόντια βολή.

Δίνεται g = 10m/s².

α) Υπολογίστε την ταχύτητα του προπορευόμενου αυτοκινήτου όταν εκτινάσσεται.

β) Βρείτε την ελαστική δυναμική ενέργεια U_ελ, που είχε αποθηκευτεί στο ελατήριο.

γ) Σχεδιάστε το διάνυσμα και βρείτε το μέτρο της μεταβολής της ορμής του αυτοκινήτου c1, μεταξύ των θέσεων Β και Γ.

δ) Να σχεδιάσετε και να υπολογίσετε τα μέτρα των δυνάμεων που δέχεται το αυτοκίνητο c1 από την ημικυκλική ράμπα στα σημεία Β και Γ.

ε) Το αυτοκινητάκι εκτελεί οριζόντια βολή. Αν η γωνία κλίσης του κεκλιμένου επιπέδου είναι φ = 45⁰ σε ποιο σημείο Δ συναντά πάλι το κεκλιμένο επίπεδο; Ποια είναι η ταχύτητα εκείνη τη στιγμή;

στ) Ποιος είναι ο ρυθμός μεταβολής της δυναμικής ενέργειας του c1 τη στιγμή που φτάνει στο σημείο Δ;

Απάντηση 

Απάντηση 

Η ράβδος περιστρέφεται, αναγκάζοντας τη μπάλα να κινείται με σταθερή ταχύτητα μέτρου υ, σε έναν οριζόντιο κύκλο ακτίνας R. Τα νήματα έχουν το καθένα μήκος L συνδέονται τη ράβδο με δακτυλίους που περιστρέφονται ελεύθερα χωρίς τριβές γύρω από τη ράβδο. Κάθε νήμα είναι τεντωμένο και σχηματίζει γωνία θ με την κατακόρυφο.

α) Σχεδιάστε στη σφαίρα τις δυνάμεις και το διάνυσμα της κεντρομόλου επιτάχυνσης.

β) Πάρτε πάνω στη σφαίρα ένα σύστημα ορθογωνίων αξόνων Χ΄X οριζόντιο και Ψ΄Ψ κατακόρυφο και γράψτε τις δύο εξισώσεις στο S.I., που προκύπτουν από την εφαρμογή του δεύτερου νόμου του Νεύτωνα στη σφαίρα, για κάθε άξονα. Δίνονται: m = 3kg, L = 1,60m, θ = 60° , g = 10m/s² και υ = 8 m/s.

γ) Βρείτε το μέτρο κάθε τάσης νήματος. Ήταν αναμενόμενο το αποτέλεσμα;

Απάντηση 

Απάντηση 

Υλικό σημείο Ρ κινείται ευθύγραμμα και ομαλά με σταθερή ταχύτητα υ. Την κίνηση παρακολουθεί παρατηρητής, που βρίσκεται στην αρχή Ο του συστήματος ΧΟΨ ορθογωνίων αξόνων, που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Η τροχιά του Ρ τέμνει τον άξονα ΟΨ στο σημείο (0, α) και η απόσταση του Ρ από το Ο καθορίζεται από το διάνυσμα θέσης r.

α) Γιατί το υλικό σημείο Ρ έχει γωνιακή ταχύτητα ;

β) Να αποδείξετε ότι το μέτρο της, είναι ω = υ α / r²

Συνέχεια 

Συνέχεια 

Μια σφαίρα εκτοξεύεται οριζόντια από σημείο Ο της ταράτσας ενός κτιρίου ύψους Η = 25m. Από τη βάση Β του κτιρίου ξεκινάει μια κεκλιμένη ράμπα, γωνίας κλίσης θ = 30⁰. Η σφαίρα προσκρούει κάθετα στη ράμπα στο σημείο Α, όπως φαίνεται στο σχήμα.

Δίνονται: εφθ=√3/3,  g = 10m/s²

α) Βρείτε τη χρονική στιγμή πρόσκρουσης, ως συνάρτηση του μέτρου υ₀ της αρχικής ταχύτητας εκτόξευσης.

β) Υπολογίστε το μέτρο υ₀, της αρχικής ταχύτητας.

γ) Βρείτε την απόσταση ΑΒ του σημείου πρόσκρουσης της σφαίρας, από τη βάση του κτιρίου.

δ) Βρείτε την εξίσωση τροχιάς της σφαίρας, την εξίσωση δηλαδή y = f(x) και κάνετε την αντίστοιχη γραφική παράσταση σε βαθμολογημένους άξονες.

ε) Ποιο είναι το μέτρο της ταχύτητας πρόσκρουσης;

Απάντηση 

Απάντηση 

Τέσσερα μικρά σώματα Σ_Α, Σ_Β, Σ_Γ, Σ_Δ εκτοξεύονται ταυτόχρονα από τα σημεία Α, Β, Γ, Δ ενός κύκλου ακτίνας d, με κατεύθυνση προς το κέντρο του K, με ταχύτητες ίσου μέτρου υ₀. Το επίπεδο του κύκλου είναι κατακόρυφο και τα σώματα κινούνται με την επίδραση μόνο του βάρους τους. Η διάμετρος ΑΓ είναι κατακόρυφη και η διάμετρος ΒΔ είναι οριζόντια.

α) Ποιο είναι το είδος της κίνησης κάθε σώματος;

β) Θεωρείστε το σύστημα των αξόνων Χ΄Χ και Ψ΄Ψ΄ του σχήματος και γράψτε τις εξισώσεις κίνησης x = f(t) και y = f(t) κάθε σώματος, ως προς αυτό το σύστημα αξόνων.

γ) Να αποδειχθεί ότι όλα τα σώματα θα συναντηθούν στο ίδιο σημείο, την ίδια χρονική στιγμή.

δ) Αν δίνονται d = 4m, υ₀ = 4m/s και g = 10m/s², να κάνετε στο ίδιο σύστημα βαθμολογημένων αξόνων τη γραφική παράσταση y → t για τα 4 σώματα.

Απάντηση 

Απάντηση 

Σε μια ταινία περιπέτειας, ο πρωταγωνιστής Hawkeye – δεινός τοξότης – φτάνει μπροστά από τον περιστρεφόμενο ακτινωτό τροχό ενός αεραγωγού και έχει στόχο να περάσει ένα λεπτό βέλος στην άλλη πλευρά. Ο τροχός έχει οκτώ ακτινωτά ευθύγραμμα πτερύγια και κάθε ένα έχει μήκος R = 30cm. Κάθε πτερύγιο έχει σχήμα ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου, αμελητέου πάχους και πλάτους l = 6cm, με το επίπεδό τους κάθετο στο επίπεδο του τροχού. Ο τροχός στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα κάθετο στο επίπεδό του, με σταθερή συχνότητα f = 2,5Hz. To βέλος μήκους d = 24cm θα πρέπει να κινηθεί παράλληλα με τον άξονα περιστροφής και να διαπεράσει κάθετα το επίπεδο του τροχού, χωρίς να χτυπήσει κάποιο από τα πτερύγια. Η κίνησή του θεωρείται ευθύγραμμη ομαλή.

(α) Υπολογίστε την περίοδο και τα μέτρα της γωνιακής ταχύτητας και κεντρομόλου επιτάχυνσης ενός οποιουδήποτε σημείου της περιφέρειας του τροχού και σχεδιάστε στο σχήμα τα αντίστοιχα διανύσματα.

(β) Ποιο είναι το ελάχιστο μέτρο υ της ταχύτητας εισόδου, που πρέπει να έχει το βέλος;

(γ) Αν η αρχική απόσταση του βέλους από τον τροχό είναι s = 1,2m και τη στιγμή που εκτοξεύεται έχει απέναντί του πτερύγιο, τι θα συναντήσει φτάνοντας στον τροχό;

(δ) Έχει σημασία, πού θα περάσει οριακά το βέλος, ανάμεσα στον άξονα και την περιφέρεια του τροχού; Αν ναι, πού είναι το καλύτερο σημείο;

Απάντηση 

Παίρνουμε ένα νόμισμα των 2€ και το τοποθετούμε πάνω στο κυκλικό πλατό ενός πικάπ. Πάνω στο νόμισμα αυτό τοποθετούμε ομόκεντρα, δεύτερο νόμισμα των 10cent. Τα νομίσματα έχουν διαμέτρους δ₁ = 26mm και δ₂ = 20mm και πάχος d₁ = 2,2mm και d₂ = 2mm αντίστοιχα. Τα κέντρα των νομισμάτων και του πλατό απέχουν R = 12cm. Η πυκνότητα του κράματος κατασκευής των νομισμάτων είναι ρ = 8,5 ∙ 10³kg/m³.

Ο συντελεστής στατικής τριβής ανάμεσα στα δυο νομίσματα είναι μ_σ1 = 0,4 ενώ ανάμεσα στο δίευρο και στο πλατό είναι μ_σ2 = 0,8.

i) Υπολογίστε τη μάζα κάθε νομίσματος

ii) Βρείτε τη δύναμη που ασκείται από το πλατό στο δίευρο όταν όλα τα σώματα ηρεμούν.

iii) Αν θέσουμε το πλατό σε περιστροφή

α) σχεδιάστε τις δυνάμεις που ασκούνται στα δυο νομίσματα

β) βρείτε τη μέγιστη επιτρεπόμενη τιμή του μέτρου της γωνιακής ταχύτητας περιστροφής, για να μη γλιστράνε είτε το ένα είτε το άλλο νόμισμα.

γ) To πικάπ έχει εργοστασιακή συχνότητα περιστροφής 33στροφές /min. Μπορούμε να πετύχουμε το παραπάνω πείραμα;

Δίνεται η βαρυτική επιτάχυνση g = 10m/s².

Απάντηση