Ένα εξωγήινο εξερευνητικό σκάφος μπαίνει στην ατμόσφαιρα της Αφροδίτης. Στο σκάφος λειτουργεί μια μηχανή Carnot μεταξύ δύο δεξαμενών θερμότητας σε θερμοκρασίες Τ_h = 1200 K και T_c = 300 K. Κάποια στιγμή, που μπορούμε να θεωρήσουμε t₀ = 0s, λόγω βλάβης, η θερμοκρασία T_c αρχίζει να αυξάνεται με ρυθμό  dT_c/dt = 0,5K/s.

α) Ποια σχέση δίνει τo συντελεστή απόδοσης της θερμικής μηχανής σε συνάρτηση με το χρόνο;

β) Να κάνετε τη γραφική παράσταση του συντελεστή απόδοσης σε συνάρτηση με το χρόνο, από t₀ = 0s, ως t = 350s.

γ) Από το εξωγήινο κέντρο ελέγχου διαπιστώνουν ότι θα μπορούσαν να κρατήσουν σταθερό το συντελεστή απόδοσης, αν αυξάνεται η θερμοκρασία της θερμής δεξαμενής.

Μπορούν να επιτύχουν το εγχείρημα με γραμμική αύξηση της θερμοκρασίας της θερμής δεξαμενής; Αν ναι ποιος θα είναι ο ρυθμός μεταβολής αυτής της θερμοκρασίας;

Απάντηση 

Απάντηση 

Από το Kοσμοδρόμιο του Μπαϊκονούρ, η Ρωσική Διαστημική υπηρεσία προγραμμάτισε εκτόξευση πυραύλου μάζας m = 2∙10³kg, με σκοπό κάποια στιγμή να διαφύγει από το πεδίο βαρύτητας της Γης. Οι κινητήρες θα εκκινήσουν τον πύραυλο από την ηρεμία και θα λειτουργήσουν μέχρι ύψος h = R_Γ, όπου R_Γ = 6400km η ακτίνα της Γης, προσφέροντας σε αυτόν ενέργεια W_F = 89∙10⁶J, όπου F η προωστική δύναμη. Η τροχιά θα είναι κατακόρυφη. Οι υπολογισμοί από το κέντρο ελέγχου στη Γη, έδειξαν ότι σε αυτή τη θέση απαιτείται να γίνει διάσπαση του πυραύλου σε δύο τμήματα, Σ₁ και Σ₂. Το Σ₁, μάζας m₁ = 1,5∙10³kg, πρέπει να εκτοξευτεί σε διεύθυνση διερχόμενη από το κέντρο της Γης, ώστε το υπόλοιπο τμήμα Σ₂ του πυραύλου, μάζας  m₂, να συνεχίσει την κατακόρυφη πορεία του και να επιτύχει το στόχο της αποστολής. Δίνεται g₀ = 10N/kg και θεωρούμε μόνο το πεδίο βαρύτητας της Γης να επηρεάζει την κίνηση. Η Γη είναι σφαιρική και …ακίνητη.

α) Yπολογίστε την ταχύτητα του πυραύλου λίγο πριν τη διάσπαση.

β) Ποια είναι η ταχύτητα διαφυγής από το βαρυτικό πεδίο της Γης στο ύψος h;

γ) Ποια είναι η ταχύτητα με την οποία πρέπει να εκτοξευτεί το τμήμα Σ₁;

δ) Το τμήμα Σ₂ θα επιστρέψει στη Γη με μηδενική ταχύτητα κατά την προσγείωση. Για να γίνει αυτό θα χρησιμοποιηθούν ανασχετικοί πύραυλοι, για τα τελευταία 10√10 m της διαδρομής. Το μέτρο της δύναμης , που πρέπει να ασκηθεί για την επιτυχία του εγχειρήματος, είναι της μορφής F = a∙y, 0m ≤ y ≤ 10√10 m ,  όπου a θετική σταθερά. Προσδιορίστε την τιμή της σταθεράς a.

ε) (Ερώτημα για ανήσυχους μαθητές). Μια κάμερα πάνω στο τμήμα Σ₂ θα δείξει το Σ₁ να απομακρύνεται με φορά προς το κέντρο της Γης, δηλαδή κατά την αρνητική φορά. Γιατί;

Απάντηση 

Απάντηση 

Αφιερωμένη στον Ανδρέα Ριζόπουλο που έχει εντρυφήσει στη διαστημική. Άσκηση στους δορυφόρους σχετικά δύσκολη αλλά πολύ αναλυτικά δοσμένη και όχι όπως θα τη δίναμε σε ένα μάθημα αστρονομίας όπου οι βασικές έννοιες θα ήταν στην αντίστοιχη θεωρία. Η τοποθέτηση δορυφόρων σε τροχιά είναι απόφαση που συνδυάζει ένα μεγάλο πλήθος παραγόντων συμπεριλαμβανομένου και του κόστους. Ο διεθνής διαστημικός σταθμός κινείται σε ένα μέσο ύψος 400 km ώστε να μετριάζεται λίγο η κοσμική ακτινοβολία και να είναι ευκολότερα προσβάσιμος σε γήινες αποστολές. Το αρνητικό είναι ότι κινείται σε μία ζώνη με τα περισσότερα διαστημικά σκουπίδια και με σημαντική απώλεια ενέργειας λόγω αντίστασης του αέρα. Τα διαστημικά τηλεσκόπια κινούνται σε ακόμα χαμηλότερη τροχιά για να είναι εύκολη η επισκευή τους. Οι δορυφόροι internet κινούνται σε χαμηλές τροχιές ώστε να μην υπάρχει παραμόρφωση του σήματος λόγω χρονικής υστέρησης. Επίσης σχηματίζουν τους λεγόμενους αστερισμούς όπου 6 τουλάχιστον δορυφόροι τοποθετούνται σε αρκετές τροχιές παράλληλες μεταξύ τους και με κλίση ως προς τον ισημερινό. Ο λόγος είναι γρήγορο internet και παγκόσμια κάλυψη. Υπάρχει ένα μεγάλο πλήθος δορυφόρων με διάφορες αποστολές και διαφορετικά κάθε φορά κριτήρια επιλογής τροχιών. Ας δούμε μία απλή μορφή ενός αστερισμού.

H AΣΚΗΣΗ ΕΔΩ ή εδώ.

Μια άσκηση του Πυροβολικού, εξελίσσεται σε περιοχή με μορφολογία που φαίνεται στο σχήμα 1. Το πυροβόλο βρίσκεται στην κορυφή του λόφου ύψους h₁ = 20m πάνω από την επιφάνεια λίμνης και εκτοξεύει οριζόντια βλήματα μάζας m = 10kg. Τα βλήματα πρέπει να περάσουν τη λίμνη, που βρίσκεται στο οροπέδιο και να πέσουν στην πεδιάδα, που βρίσκεται σε απόσταση  h₂ = 25m κάτω από την επιφάνεια της λίμνης.
Το εύρος της λίμνης είναι L = 120m και η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10m/s².
α) Ποιο είναι το μέτρο υ₀ της ελάχιστης ταχύτητας εκτόξευσης των βλημάτων, ώστε να μπορούν να φτάσουν στην πεδιάδα;
Για την τιμή που βρήκατε στο (α) ερώτημα:
β) Γράψτε την εξίσωση τροχιάς κάθε βλήματος και κάνετε τη γραφική παράσταση σε βαθμολογημένους άξονες.
γ) Σε πόση απόσταση από το άκρο Β του οροπεδίου πέφτουν τα βλήματα;
δ) Με ποια γωνία ως προς την κατακόρυφη χτυπά ένα βλήμα το έδαφος της πεδιάδας;
ε) Ποια η χρονική εξίσωση του ρυθμού μεταβολής της δυναμικής ενέργειας κάθε βλήματος μέχρι να χτυπήσει στο έδαφος της πεδιάδας; Να κάνετε την αντίστοιχη γραφική παράσταση.

Απάντηση 

Απάντηση 

Ο Ερμής είναι ο πλησιέστερος πλανήτης στον Ήλιο. Αυτό δημιουργεί ένα μεγάλο πρόβλημα αν θέλουμε να δημιουργήσουμε αποικία, αφού την ημέρα η θερμοκρασία είναι 430⁰C και το βράδυ πέφτει στους -180⁰C. Οι άποικοι φυσικά θα πρέπει να ζουν σε θόλους με κλιματισμό. Ας θεωρήσουμε ότι ένα κλιματιστικό μηχάνημα, λειτουργεί σαν ιδανική μηχανή Carnot και στο χώρο διαβίωσης δημιουργεί θερμοκρασία 20⁰C. Ο ρυθμός απώλειας ενέργειας από ή προς το περιβάλλον από τη μόνωση του θόλου είναι 0,5KJ/s για διαφορά θερμοκρασίας 1⁰C .

α) Ποιος είναι ο ρυθμός  απώλειας ενέργειας τη νύχτα και ποια η ισχύς της μηχανής Carnot, όταν λειτουργεί κατά τη διάρκεια της νύχτας;

β) Ποιος είναι ο ρυθμός  εισροής ενέργειας την ημέρα και ποια η ισχύς της μηχανής Carnot, όταν λειτουργεί κατά τη διάρκεια της ημέρας;

Απάντηση(Word)

Απάντηση(Pdf)

Στον πυθμένα των λιμνών συχνά παρατηρείται σχηματισμός φυσαλίδων αερίου CΗ₄. Έχοντας πυκνότητα μικρότερη από την πυκνότητα του νερού, ανέρχονται προς την επιφάνεια της λίμνης.

1. Ο όγκος αυτών των φυσαλίδων αυξάνεται κατά την άνοδο. Μπορείτε να εξηγήσετε το φαινόμενο;
2. Ένας δύτης – ερευνητής πήρε κάποιες μετρήσεις. Θερμοκρασία στον πυθμένα θ₁ = 17⁰C, θερμοκρασία στην επιφάνεια θ₂ = 27⁰C και ατμοσφαιρική πίεση p₂ = p₀ = 1∙10⁵N/m². Υπολόγισε επίσης ότι ο όγκος μιας φυσαλίδας τετραπλασιάζεται μέχρι την επιφάνεια της λίμνης. Βρήκε έτσι την πίεση κοντά στον πυθμένα. Πόσο;
3. Θεωρώντας την πυκνότητα του νερού ρ = 10³kg/m³, πόσο λέτε ότι κατάφερε να βρει το βάθος της θάλασσας;
4. Αν είχε θεωρήσει τη μεταβολή ισόθερμη πόσο % θα ήταν το σφάλμα του;

Θεωρείστε ότι η φυσαλίδα ανεβαίνει αργά, ώστε η πίεση και η θερμοκρασία στο εσωτερικό της προλαβαίνει να εξισώνεται με την πίεση του νερού εξωτερικά. Επίσης g = 10m/s².

Απάντηση(Word)

Απάντηση(Pdf)

Θα παραθέσω μία άσκηση για την κίνηση του ήλιου μας στον γαλαξία, απλά για να δούμε τάξεις μεγέθους. Η πραγματικότητα είναι εξαιρετικά πολύπλοκη λόγω δύο δεδομένων.

Α) Ο γαλαξίας μας όπως ο ήλιος και οι αέριοι γίγαντες του ηλιακού μας συστήματος Δίας και Κρόνος που δεν είναι συμπαγή στερεά περιστρέφονται διαφορικά, δηλαδή περιστρέφονται ταχύτερα στον ισημερινό και πιο αργά όσο απομακρυνόμαστε απο αυτόν.

Β) Ένα σοβαρό πρόβλημα όμως είναι το γεγονός ότι οι ταχύτητες καθώς πλησιάζουμε στα όρια του γαλαξία μας είναι σημαντικά μεγαλύτερες απο τις αναμενόμενες όπως βλέπουμε στο παρακάτω διάγραμμα. Η κόκκινη γραμμή είναι οι μετρούμενες ταχύτητες και οι μπλέ διακεκομένες οι αναμενόμενες αν ο γαλαξίας μας αποτελούνταν μόνο απο συνηθισμένη βαρυονική ύλη.

Πάντως αν ο γαλαξίας μας αποτελούνταν μόνο απο βαρυονική ύλη θα είχε αυτοδιαλυθεί δεδομένου ότι τα αστέρια στις παρυφές του θα ήταν χαλαρά συνδεδεμένα βαρυτικά με τον πυρήνα. Η μόνη εξήγηση που προκρίνεται σήμερα για τα παραπάνω είναι η παρουσία σκοτεινής ύλης σε μία άλω γύρω απο τον πυρήνα και σε ποσοστό που αγγίζει το 90% της συνολικής μάζας. Η παρουσία σκοτεινής ύλης λύνει και άλλα ζητήματα όπως η συνοχή σμηνών και υπερσμηνών γαλαξιών καθώς και η  παρατηρούμενη εικόνα απο βαρυτικούς φακούς.Η σκοτεινή ύλη δεν εκπέμπει καμία ακτινοβολία σε κανένα μήκος κύματος εξ ου και αόρατη. Αλληλεπιδρά όμως βαρυτικά με τη βαρυονική ύλη. Ζητούμενο επομένως είναι να προσδιοριστεί η φύση της ή να βρεθεί κάτι άλλο στη θέση της. Μια μειοψηφία αστροφυσικών προτείνει μια τροποποιημένη Νευτώνεια βαρύτητα που θα απαντά στα παραπάνω ζητήματα. Όπως και να έχει η πιο οικεία μας δύναμη η βαρύτητα, μας δημιουργεί τα πιο σοβαρά προβλήματα(ας μην ξεχνάμε και την επιταχυνόμενη διαστολή του σύμπαντος), παρά το γεγονός ότι έχουμε δύο θεωρίες για τη βαρύτητα που και οι δύο είναι …σωστές. Ακολουθεί η άσκηση.

milky-way