Ένα βιβλίο μάζας m τοποθετείται όπως στο σχήμα σε κατακόρυφο τοίχο, με τον οπoίο παρουσιάζει συντελεστή στατικής τριβής μ_s. Θέλουμε το βιβλίο να ισορροπεί ακίνητο με την εξάσκηση δύναμης μέτρου F η οποία ανήκει σε επίπεδο κάθετο στη σελίδα σας, αλλά σχηματίζει γωνία θ με τον ορίζοντα (-π/2rad < θ < π/2rad).

α) Με δεδομένη τη γωνία θ, ποια είναι η ελάχιστη τιμή F_min του μέτρου της δύναμης που απαιτείται;

Αριθμητική εφαρμογή για m = 1kg, θ =π/6 rad,  μ_s = 0,75

β) Για καθηγητές

β1) Για ποια γωνία θ το ελάχιστο μέτρο της δύναμης, που βρήκατε στο (α) ερώτημα, είναι το μικρότερο δυνατό; Ποιο είναι τότε το αντίστοιχο ελάχιστο μέτρο της δύναμης;

β2) Ποια είναι η οριακή τιμή της γωνίας θ κάτω από την οποία δεν είναι δυνατόν να ισορροπήσουμε το βιβλίο;

Απάντηση 

Απάντηση 

Το σώμα Σ έχει μάζα m = 5kg και ισορροπεί ακίνητο με τη βοήθεια δύο όμοιων, αβαρών, μη εκτατών νημάτων, ίδιου μήκους L, που μπορούν να τυλίγονται γύρω από δύο τροχαλίες όπως στο σχήμα. Οι τροχαλίες βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο και διαθέτουν μηχανισμό που τις περιστρέφει.i) Αν θέσουμε σε περιστροφή τις τροχαλίες, ώστε το σώμα να ανέρχεται με σταθερή ταχύτητα μέτρου v = 1m/s, αποκλειστικά σε κατακόρυφη διεύθυνση, το μέτρο της τάσης κάθε νήματος
α) παραμένει σταθερό
β) αυξάνεται συνεχώς
γ) μειώνεται συνεχώς
ii) Να κάνετε τη γραφική παράσταση Τ → ημθ με πεδίο ορισμού 0,25 ≤ ημθ < 1
iii) Τα νήματα τυλίγονται στις τροχαλίες με σταθερή ταχύτητα; Δικαιολογείστε την απάντησή σας.
Δίνεται g = 10m/s².

Απάντηση 

Απάντηση 

Ένα κλειστό γυάλινο κυλινδρικό δοχείο, μάζας Μ = 200g, ισορροπεί ακίνητο πάνω στον οριζόντιο δίσκο ευαίσθητης ζυγαριάς, βαθμολογημένης σε Ν. Η ένδειξη της ζυγαριάς είναι 1,96 Ν.

i) Ποια δύναμη μετράει η ζυγαριά;
ii) Ποια είναι η επιτάχυνση της βαρύτητας στον τόπο που γίνεται το πείραμα;
iii) Αν μέσα στο δοχείο βρίσκεται κλεισμένη μια (μάλλον μεταλλαγμένη) μύγα μάζας m = 1g, κάποια στιγμή που η μύγα αιωρείται και ισορροπεί,
iiia) ποιο είναι το μέτρο της δύναμης που ασκείται στον αέρα του δοχείου, από τα φτερά της μύγας;
iiib) η ένδειξη της ζυγαριάς είναι
α) ίση με 1,96Ν             β) μικρότερη από 1,96Ν             γ) μεγαλύτερη από 1,96Ν
iv) Αν μέσα στο δοχείο βρίσκονται 100 μύγες, που πετάνε προς τυχαίες διευθύνσεις, η ένδειξη της ζυγαριάς είναι
α) ίση με 1,96Ν             β) μικρότερη από 1,96Ν             γ) μεγαλύτερη από 1,96Ν

Απάντηση 

Απάντηση 

Δυο σώματα Σ1 και Σ2 ίδιας μάζας, δένονται στα άκρα ενός αβαρούς μη εκτατού νήματος, που περνά από μια αβαρή τροχαλία. Αρχικά, το σύστημα βρίσκεται σε ηρεμία και τα σώματα  βρίσκονται στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο. Εκτοξεύουμε το σώμα Σ2 με οριζόντια ταχύτητα στο επίπεδο του σχήματος. Το σώμα Σ2 λίγο μετά:

α. βρίσκεται σε υψηλότερο οριζόντιο επίπεδο από το Σ1.

β. βρίσκεται σε χαμηλότερο οριζόντιο επίπεδο από το Σ1.

γ. βρίσκεται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο με το Σ1.

Απάντηση 

Απάντηση 

 

Το διάγραμμα θέσης – χρόνου αναφέρεται σε δύο μικρές σφαίρες Σ₁ και Σ₂, με μάζες m₁ και m₂ > m₁,  που βρίσκονται στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο και αφήνονται να εκτελέσουν ελεύθερη πτώση, απουσία αέρα, παράλληλα σε έναν κατακόρυφο άξονα Ψ΄Ψ, με θετική φορά προς τα κάτω. Η επιτάχυνση της βαρύτητας έχει μέτρο g = 10m/s².

α) Ποιες είναι οι αρχικές συνθήκες (t₀₁, ψ₀₁, t₀₂, ψ₀₂) εκτέλεσης του πειράματος; Σχεδιάστε έναν βαθμολογημένο άξονα Ψ΄Ψ, και τοποθετήστε σχετικά με αυτόν τις σφαίρες τη χρονική στιγμή t = 0, σχεδιάζοντας και τις δυνάμεις, που ασκούνται.
β) Γράψτε τις εξισώσεις θέσης – χρόνου των σφαιρών στο S.I.
γ) Τι εκφράζουν οι συντεταγμένες του σημείου τομής Α των δύο γραφικών παραστάσεων; Υπολογίστε τις τιμές t_m και ψ_m.
δ) Να γράψετε τη χρονική εξίσωση που δίνει κάθε στιγμή την απόσταση των δύο σφαιρών και να κάνετε την αντίστοιχη γραφική παράσταση σε βαθμολογημένους άξονες.
στ) Πότε η απόσταση των σφαιρών θα γίνει d = 20m;

Απάντηση 

Απάντηση 

Πολύ συχνά γινόμαστε μάρτυρες τροχαίων ατυχημάτων, που οφείλονται σε διάφορους λόγους. Ένα πολύ μεγάλο ποσοστό όμως οφείλεται στο ότι ο οδηγός δεν καταφέρνει να σταματήσει το αυτοκίνητό του, σε περίπτωση που συναντήσει κάποιο κίνδυνο. Φρενάρει μεν, αλλά δεν προλαβαίνει να σταματήσει είτε επειδή η απόσταση που τον χωρίζει από ένα εμπόδιο είναι πολύ μικρή είτε γιατί η ταχύτητά του είναι αρκετά μεγάλη. Ας μελετήσουμε λοιπόν αναλυτικότερα την απόσταση που θα διανύσει ένα αυτοκίνητο από τη στιγμή που αρχίζει να φρενάρει, μέχρι να σταματήσει.

Έστω λοιπόν ένα αυτοκίνητο που κινείται σε οριζόντιο δρόμο με ταχύτητα U_ο και σε μια στιγμή φρενάρει ώστε να μπλοκάρει του τροχούς και να μην στρέφονται.

Παίρνουμε τις δυνάμεις που ασκούνται στο αυτοκίνητο. Αυτές είναι το βάρος του, η κάθετη αντίδραση του επιπέδου και η τριβή ολίσθησης.

Διαβάστε τη συνέχεια

ή

Μήκος φρεναρίσματος και απόσταση ασφαλείας

Πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί το σύστημα των σωμάτων Σ1(σανίδα) και Σ2(κύβος) του σχήματος, με μάζες m₁ = 3kg και m₂ = 2kg αντίστοιχα, όπως φαίνεται στο σχήμα 1. Ασκούμε στο Σ1 οριζόντια δύναμη και μελετάμε τη συμπεριφορά του συστήματος.Α) Αν μεταξύ των σωμάτων δεν εμφανίζεται τριβή, τι κίνηση θα εκτελέσει κάθε σώμα;
Β) Αν μεταξύ των σωμάτων υπάρχει τριβή, με συντελεστές τριβής μ = μ_σ = 0,3 ποια είναι η μέγιστη τιμή της κοινής επιτάχυνσης των δύο σωμάτων ώστε να μην υπάρξει ολίσθηση του σώματος Σ2, πάνω στο Σ1; Ποια είναι η αντίστοιχη μέγιστη τιμή στο μέτρο F της ασκούμενης δύναμης;
Γ) Επαναλαμβάνουμε το πείραμα, με μέτρο δύναμης F = 18N.
α) Τι κίνηση θα εκτελέσει κάθε σώμα;
β) Ποια θα είναι τα μέτρα των επιταχύνσεων των σωμάτων;
γ) Να κάνετε στους ίδιους βαθμολογημένους άξονες, τις γραφικές παραστάσεις μετατόπισης – χρόνου για τα δύο σώματα από t₀ = 0, μέχρι t = 2s.
δ) Πόσο είναι το ελάχιστο μήκος της σανίδας Σ1, ώστε το σώμα Σ2 να παραμείνει πάνω της, μέχρι τη χρονική στιγμή t = 2s, αν η αρχική θέση του Σ2 είναι αυτή του σχήματος 1; Δίνεται η πλευρά του κύβου d = 0,5m.
Δίνεται g = 10m/s².

Απάντηση(Word)-Κατεβάστε το για σωστή εμφάνιση

Απάντηση (Pdf)

Η τροχαλία είναι μια απλή μηχανή, που μπορεί να βοηθήσει μια εργασία, με την αλλαγή διεύθυνσης ή της μείωσης του μέτρου της απαιτούμενης δύναμης. Χρησιμοποιώντας τη σταθερή (πάγια) τροχαλία Ρ1, την κινητή τροχαλία Ρ2 και δυο νήματα, πετυχαίνουμε αντίστοιχα τα παραπάνω. Το νήμα ν1 δένεται στο σώμα Α, περνάει από το αυλάκι της σταθερής τροχαλίας Ρ1, τυλίγεται γύρω από το αυλάκι της κινητής τροχαλίας Ρ2 και καταλήγει στον άξονα της σταθερής τροχαλίας Ρ1, σε ακλόνητο σημείο,  όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.
Το νήμα ν2 δένεται στο σώμα Σ και καταλήγει στον άξονα της κινητής τροχαλίας Ρ2.
Με αυτή τη διάταξη θέλουμε να σύρουμε το σώμα Σ, μάζας m_Σ = 400kg,  πάνω στο κεκλιμένο επίπεδο, γωνίας κλίσης  θ με ημθ = 0,6 και συνθ = 0,8. Το αντίβαρο Α που θα χρησιμοποιήσουμε έχει μάζα m_Α = 300kg, οι τροχαλίες είναι αμελητέας μάζας, δεν εμφανίζονται τριβές στους άξονές τους, τα νήματα αβαρή, μη εκτατά και δε γλιστράνε στα αυλάκια των τροχαλιών. Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ του σώματος Σ και του κεκλιμένου επιπέδου είναι μ = 0,5 και η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10m/s².
i) Αν το αντίβαρο Α κατέλθει κατά Δx, το σώμα Σ μετατοπίζεται κατά
α) Δx                β) Δx/2             γ) 2Δx
Βρείτε και δικαιολογείστε τη σωστή απάντηση.
ii) Αν η επιτάχυνση με την οποία κατέρχεται το Α έχει μέτρο α, το σώμα Σ αποκτά επιτάχυνση μέτρου
α) α                  β) 2α                γ) α/2
Βρείτε και δικαιολογείστε τη σωστή απάντηση.
iii) Υπολογίστε το μέτρο της επιτάχυνσης κάθε σώματος.
iv) Ποιο είναι το μέτρο της τάσης κάθε νήματος;
v) Αν το σώμα Α απέχει αρχικά από το οριζόντιο έδαφος απόσταση h = 5m, ποιο θα είναι το μέτρο της ταχύτητας με την οποία θα χτυπήσει στο έδαφος;

Απάντηση(Word) (Κατεβάστε το για σωστή προβολή)

Απάντηση(Pdf)

Θέλουμε να μετρήσουμε την επιτάχυνση του συστήματος των σωμάτων Σ1 και Σ2, που ηρεμούν πάνω σε οριζόντιο πάγκο, μεγάλου μήκους. Το Σ1 συνδέεται με το Σ2 μέσω νήματος μη εκτατού αμελητέας μάζας, που διέρχεται από το αυλάκι αβαρούς τροχαλίας. Το Σ2 περιλαμβάνει και εκκρεμές, με ελαφριά μπαλίτσα Μ και το στήριγμα Σ του εκκρεμούς αμελητέας μάζας. Αφήνουμε το σύστημα ελεύθερο και πριν το Σ2 φτάσει στην άκρη του πάγκου, φωτογραφίζουμε τη διάταξη και παίρνουμε το στιγμιότυπο του σχήματος. Τριβές δεν υπάρχουν και g = 10m/s².
α) Ποια σχέση έχει το μέτρο α της επιτάχυνσης με τη γωνία θ, που σχηματίζει το νήμα με την κατακόρυφο;
β) Αν οι μάζες των σωμάτων Σ1 και Σ2 είναι αντίστοιχα m₁ = 2kg, m₂ = 8kg, ποια είναι η γωνία θ;
γ) Υπολογίστε το μέτρο της τάσης του νήματος, που συνδέει τα σώματα Σ1 και Σ2 και τη μετατόπιση του Σ2 κατά τη διάρκεια του 6ου δευτερολέπτου.
δ) Αν μπορούμε να μεταβάλλουμε τις μάζες m₁ και m₂ ποια είναι η μέγιστη γωνία θ που μπορούμε να επιτύχουμε; Εξηγείστε πως πρέπει να επιλέξουμε τότε τις μάζες.

Απάντηση(Word) (Κατεβάστε το για να φαίνεται σωστά)

Απάντηση (Pdf)