Επηρεασμένος από το διάσημο μαθηματικό μυθιστόρημα του Ντένι Γκέτζ « Το θεώρημα του παπαγάλου » σκέφτηκα να αναφερθώ στα τρία άλυτα προβλήματα της αρχαιότητας.
Τα προβλήματα αυτά ήταν:
1. Ο Διπλασιασμός του κύβου
2. Η Τριχοτόμηση γωνίας
3.Ο Τετραγωνισμός του κύκλου
Τριχοτόμηση Γωνίας Οι αρχαίοι είχαν από πολύ νωρίς κατορθώσει να διχοτομήσουν μια τυχαία γωνία με χρήση του κανόνα και του διαβήτη, συνεχίζοντας μπορούσαν να διαιρέσουν μια γωνία σε 4, 8, 16 και γενικά σε 2ν ίσα μέρη. Μπορούσαν επίσης να κατασκευάζουν με κανόνα και διαβήτη: το ισοσκελές τρίγωνο, το τετράγωνο, το κανονικό πεντάγωνο, το κανονικό εξάγωνο, το κανονικό δεκάγωνο και το κανονικό δεκαπεντάγωνο. Από τον τρόπο κατασκευής των κανονικών πολυγώνων που αναπτύσσεται στα στοιχεία του Ευκλείδη, προκύπτει ότι μπορούσαν να κατασκευάζουν κανονικά πολύγωνα με πλήθος πλευρών
2v, v>=2, 2v.3, 2v.5, 2v.3.5, όπου v=1,2,3…
Στην προσπάθεια τους να κατασκευάσουν το κανονικό 9-γωνο ίσως να προσπάθησαν να τριχοτομήσουν την κεντρική γωνία ΑΟΒ ενός ισοπλεύρου τριγώνου και να προέκυψε έτσι το πρόβλημα της τριχοτόμησης μιας γωνίας . Ακριβώς κάτω από ποιες συνθήκες τέθηκε το πρόβλημα δεν γνωρίζουμε
Διπλασιασμός του κύβου Στο πρόβλημα του διπλασιασμού του κύβου, δίνεται ένας κύβος ακμής α και ζητείται να βρεθεί η ακμή x ενός άλλου κύβου με διπλάσιο όγκο. Για την προέλευση του προβλήματος υπάρχουν δύο σημαντικές μαρτυρίες. Η πρώτη προέρχεται από τον Ευτόκιο, τον σχολιαστή του Αρχιμήδη, ο οποίος, δίχως να αναφέρει τις πηγές του, παραθέτει μια επιστολή του Ερατοσθένη προς τον βασιλιά Πτολεμαίο. Η έρευνα έχει αποδείξει ότι η επιστολή δεν είναι γνήσια, αλλά δεν υπάρχει λόγος να αμφιβάλλουμε ότι οι πληροφορίες που περιέχει είναι αξιόπιστες. Η επιστολή αυτή αρχίζει ως εξής: Λέγεται ότι κάποιος αρχαίος τραγωδοποιός εισήγαγε στη σκηνή τον Μίνωα, ο οποίος είχε διατάξει να κατασκευασθεί τάφος για τον [γιο του] Γλαύκο και όταν αυτός πληροφορήθηκε ότι ο τάφος ήταν σε όλες του τις διαστάσεις εκατό πόδια, είπε: «Μικρή παράγγειλες τη χωρητικότητα του βασιλικού τάφου. Να διπλασιαστεί αυτή γρήγορα, αφού διπλασιαστεί κάθε πλευρά χωρίς, όμως, ο τάφος να χάσει το κομψό σχήμα του». Φαινόταν δε ότι έκανε λάθος. Διότι, όταν διπλασιάζονται οι πλευρές, η μεν επιφάνεια τετραπλασιάζεται, ο δε όγκος οκταπλασιάζεται. Ζητήθηκε δε και από τους γεωμέτρες να βρουν, με ποιον τρόπο, ένα δεδομένο στερεό θα διπλασιαζόταν, χωρίς να χάνει το σχήμα του, και ονομαζόταν αυτό το πρόβλημα διπλασιασμός του κύβου. Διότι, υποθέτοντας ότι [το δεδομένο στερεό] ήταν κύβος, ζητούσαν να τον διπλασιάσουν. Ενώ δε όλοι επί πολύν χρόνο ήταν σε αμηχανία, πρώτος ο Ιπποκράτης ο Χίος επινόησε ότι αν βρεθούν δύο μέσες ανάλογοι σε συνεχή αναλογία, μεταξύ δύο ευθειών, εκ των οποίων η μία είναι διπλάσια της άλλης , τότε ο κύβος θα διπλασιαστεί. Αλλά [με την επινόηση αυτή ] η αρχική αμηχανία περιέπεσε σε άλλη, όχι μικρότερη αμηχανία. Λέγεται δε ακόμη ότι μετά πάροδο χρόνου μερικοί Δήλιοι, στους οποίους κάποιος χρησμός επέβαλε να διπλασιάσουν έναν από τους βωμούς τους, αφού περιέπεσαν στην ίδια αμηχανία, απέστειλαν εκπροσώπους και ζήτησαν από τους γεωμέτρες της Ακαδημίας του Πλάτωνα να λύσουν το πρόβλημα. Και αφού αυτοί επιδόθηκαν με ζήλο ζητώντας να κατασκευάσουν δύο μέσες αναλόγους μεταξύ δύο δεδομένων [ευθειών], λέγεται ότι ο Αρχύτας ο Ταραντίνος έλυσε [το πρόβλημα] διά των ημικυλίνδρων και ο Εύδοξος διά των λεγομένων καμπύλων γραμμών. Η δεύτερη μαρτυρία, προέρχεται από το Θέωνα το Σμυρναίο και βασίζεται σε ένα χαμένο διάλογο με τίτλο Πλατωνικός. Ένα απόσπασμα είναι το: Διότι στο βιβλίο του που επιγράφεται Πλατωνικός, ο Ερατοσθένης αφηγείται ότι , όταν ο θεός ανήγγειλε διά χρησμού στους Δηλίους ότι για να απαλλαγούν από τον λοιμό έπρεπε να κατασκευάσουν βωμό διπλάσιο του ήδη υπάρχοντος, οι αρχιτέκτονες περιέπεσαν σε μεγάλη αμηχανία ζητώντας με ποιον τρόπο μπορεί να διπλασιαστεί ένα στερεό και πήγαν να ρωτήσουν τον Πλάτωνα σχετικά με αυτό. Αυτός τους απάντησε ότι ο θεός έδωσε αυτόν τον χρησμό στους Δηλίους, όχι επειδή είχε ανάγκη ενός διπλάσιου βωμού, αλλά για να κατακρίνει και να επιπλήξει τους Έλληνες; επειδή αμελούν τα μαθηματικά και περιφρονούν τη γεωμετρία Λόγω της παραπάνω μαρτυρίας, το πρόβλημα του διπλασιασμού του κύβου, είναι γνωστό και ως Δήλιο πρόβλημα.
Ο τετραγωνισμός του κύκλου Η μέτρηση του εμβαδού που περικλείεται από κάποιο σχήμα ήταν από τις κυριότερες επιδιώξεις των γεωμετρών. Ως μονάδα μέτρησης του εμβαδού διάλεξαν το τετράγωνο με πλευρά τη μονάδα μήκους, έτσι τέθηκε το πρόβλημα του τετραγωνισμού των διαφόρων σχημάτων, δηλ της κατασκευής ενός τετραγώνου που να έχει το ίδιο εμβαδόν με το δοσμένο σχήμα. Μετά τον τετραγωνισμό του ορθογωνίου, του τριγώνου, του παραλληλογράμμου και γενικά των πολυγώνων, στράφηκαν στον τετραγωνισμό σχημάτων που ορίζονται από καμπύλες γραμμές. Έτσι αρχικά, τέθηκε το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου:η κατασκευή με κανόνα και διαβήτη ενός τετραγώνου με εμβαδόν ίσο με το εμβαδό δοσμένου κύκλου. Στα τέλη του 5ου π.Χ αιώνα το παραπάνω πρόβλημα ήταν πολύ δημοφιλές. Ακόμα και ο κωμικός ποιητής Αριστοφάνης έκανε ένα αστείο σχετικά με αυτό. Στις Όρνιθες, φέρνει στη σκηνή τον αστρονόμο Μέτωνα, ο οποίος λέει: «με το ορθό ραβδί αρχίζω να μετρώ ώστε να γίνει ο κύκλος τετράγωνος για χάρη σου˙ και στο κέντρο του θα είναι η αγορά στην οποία θα οδηγούν όλοι οι δρόμοι συγκλίνοντας στο κέντρο, όπως σ’ ένα αστέρι, που ενώ είναι κυκλοτερές στέλνει παντού ευθείες ακτίνες λαμπρές». «Αλήθεια, ο άνθρωπος είναι Θαλής!», χλευάζει ο Πεισθέταιρος, ο αρχηγός των Ορνίθων και οδηγεί μακριά τον Μέτωνα κακήν κακώς. (Β.L. van der Waerden, Η αφύπνιση της επιστήμης, σελ 147).
Τα τρία αυτά προβλήματα αποτελούν τα σημαντικότερα της αρχαίας εποχής και αυτό γιατί παρά την τεράστια δυσκολία τους είναι απλούστατα κατανοητά. Παρόλο που μεγάλοι μαθηματικοί αγωνίστηκαν για πολλά χρόνια για την εύρεση της λύσης τους αποδείχτηκε, τελικά, με την βοήθεια υπολογιστή πως τα προβλήματα αυτά δεν μπορούν να λυθούν μόνο με τη χρήση κανόνα και διαβήτη.
Στιβακτάκης Γιάννης Α6
