Λόγοι – Αναλογίες

Αναλογία είναι η ισότητα δυο λόγων.

΄Οταν οι αντίστοιχες τιμές που παίρνουν δύο ποσά έχουν τον ίδιο λόγο,

τότε τα ποσά είναι ανάλογα.

Πάτησε στην εικόνα

Παίξε με τους λόγους! (κλικ)

Διαβάζω από το διαδραστικό βιβλίο του μαθητή

πηγή:http://dimodidaskalos1.blogspot.gr/2013/01/33_30.html

Ελέγχω τι έμαθα…

 

34. Ανάλογα ποσά

Ασκήσεις

2. Συμπληρώνω τους παρακάτω πίνακες.

 

ΠΟΣΑ	ΤΙΜΕΣ
Ύφασμα σε μέτρα	1	2	4
Αξία σε €	50			300	500

Τα ποσά ____________________ και ________________________είναι _____________________________

 

ΠΟΣΑ	ΤΙΜΕΣ
Αριθμός δοχείων	1	2	4
Λάδι σε λίτρα	50			30	80

Τα ποσά ____________________ και ________________________είναι _____________________________

 

ΠΟΣΑ	ΤΙΜΕΣ
Πορτοκάλια σε κιλά	2	4	6	10	20
Αξία σε €		16

Τα ποσά ____________________ και ________________________είναι _____________________________

Προβλήματα

           Οι μαθητές της Στ τάξης ενός δημοτικού σχολείου επισκέφτηκαν ένα ελαιοτριβείο της περιοχής τους. Εκεί είδαν κι έμαθαν πως από 6 κιλά ελιές περίπου παράγεται 1 κιλό λάδι. Συμπληρώνω τον πίνακα και βρίσκω από πόσα κιλά ελιές παράγονται 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 κιλά λάδι.

     Ύστερα κάνω το γράφημα.

 

ΠΟΣΑ	ΤΙΜΕΣ
κιλά λάδι	1
κιλά ελιές	6

 

Σε μια κατασκήνωση, 50 κατασκηνωτές χρειάζονται 75 κιλά ψωμί την ημέρα. Συμπληρώνω στον πίνακα τα ποσά και βρίσκω πόσα κιλά ψωμί χρειάζονται οι κατασκηνωτές για μια εβδομάδα.

 

ΠΟΣΑ	ΤΙΜΕΣ

 

 

Ένα συνεργείο, από 12 εργάτες, στρώνει με άσφαλτο 60 τ.μ. δρόμου την ημέρα. Με τη βοήθεια του πίνακα, βρίσκω πόσα τ. μ. δρόμου θα κατασκευάσουν οι εργάτες σε 8 ημέρες.

 

ΠΟΣΑ	ΤΙΜΕΣ

35. Λύνω προβλήματα με ανάλογα ποσά

Δείτε την παρουσίαση

απο τον Γ. Φερεντίνο

1. Τα 120 κιλά θαλασσινό νερό περιέχουν 10,5 κιλά αλάτι. Πόσο αλάτι περιέχουν 8 τόνοι θαλασσινό νερό;
2. Ένα φωτοτυπικό μηχάνημα φωτοτυπεί 96 σελίδες σε 3 λεπτά της ώρας. Σε πόσο χρόνο θα φωτοτυπίσει 352 σελίδες;
3. Μια οικογένεια καταναλώνει σε 20 μέρες 4 κιλά 800 γραμμάρια λάδι. Πόσα κιλά λάδι καταναλώνει το μήνα(30 μέρες);
4. Ένας πεζός περπάτησε 3,5 ώρες και ένας άλλος 1,5 ώρες. Ο πρώτος διένυσε απόσταση 10,5 χιλιομέτρων. Πόση απόσταση διένυσε ο δεύτερος, αν βάδιζαν με τον ίδιο ρυθμό;
5. Ένας καμηλιέρης πρόκειται να διασχίσει την έρημο. Ξέρει πως για 3 ημέρες χρειάζεται 5,25 λίτρα νερό. Πόσο νερό θα χρειαστεί αν το ταξίδι του διαρκέσει7 ημέρες;
6. Με 100 κιλά αλεύρι φτιάχνουμε 125 κιλά ψωμί. Πόσο αλεύρι χρειάζεται για το ψωμί 7 ημερών ενός εστιατορίου που καταναλώνει 600 μερίδες την ημέρα; (Η κάθε μερίδα είναι 130 γραμ.)
7. Ένα δέντρο ρίχνει σκιά μήκους 12 μέτρων. Την ίδια ώρα ένας πάσσαλος δίπλα στο δέντρο, με ύψος 1,2 μ., ρίχνει σκιά 3 μέτρα. Πόσο είναι το ύψος του δέντρου;

Και λίγη ιστορία…

 

Προβλήματα

 

 

Πάτησε εδώ για περισσότερα προβλήματα online

 

 

Κεφ. 38. Η απλή μέθοδος των τριών στα ανάλογα ποσά

Μέχρι τώρα μάθαμε πως για να λύσουμε ένα πρόβλημα με ανάλογα ποσά, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την μέθοδο της αναγωγής στη μονάδα ή με πίνακα ποσών και τιμών. Υπάρχει όμως και ένας τρίτος τρόπος,

“Η απλή μέθοδος των τριων”.

Σ’ αυτή τη μέθοδο, από τις τρεις γνωστές τιμές βρίσκουμε την τέταρτη.

Για να το λύσουμε

• κατατάσουμε τα ποσά σε στήλες
• Ελέγχουμε τα ποσά και βλέπουμε ότι είναι ανάλογα
• και βρίσκουμε τον άγνωστο χ πολλαπλασιάζοντας τον αριθμό που είναι πάνω από το χ με το αντίστροφο κλάσμα που σχηματίζουν οι δύο άλλες τιμές

Προβλήματα

1. Ένα συνεργείο από 18 εργάτες χρειάζεται 6 ημέρες για να  τελειώσει ένα έργο. Αν φύγουν 6 εργάτες, σε πόσες ημέρες θα τελειώσει το ίδιο έργο;

2.  Σε ένα ξενοδοχείου της Μήλου το δίκλινο δωμάτιο κοστίζει 55 ευρώ τη βραδιά. Αν ένα ζευγάρι θέλει να μείνει 24 ημέρες, πόσο θα πληρώσει;

3.  Για μια διαδρομή 100 χιλιομέτρων, ένα αυτοκίνητο νέας τεχνολογίας καταναλώνει 12 λίτρα βενζίνης. Πόσα λίτρα θα καταναλώσει το ίδιο αυτοκίνητο για μια διαδρομή 240 χιλιομέτρων;

… Λίγο πιο δύσκολα!

4. Ένα αυτοκίνητο με ταχύτητα 90 χλμ. την ώρα, διέρχεται από τη γέφυρα του Ρίου – Αντρρίου σε 115,2 δευτερόλεπτα. Ποιο είναι το μήκος της γέφυρας.

5.  Μια αμαξοστοιχία με ταχύτητα 120 χλμ./ώρα διέρχεται ένα στύλο της ΔΕΗ σε 6 δευτερόλεπτα. Ποιο είναι το μήκος της αξαξοστοιχίας;

Κεφ. 39 Η απλή μέθοδος των τριών στα αντίστροφα ποσά

• γράφουμε την κατάταξη των ποσών.
• συγκρίνουμε τα ποσά,κάνοντας μια λογική υπόθεση για να διαπιστώσουμε αν είναι αντιστρόφως ανάλογα.
• πολλαπλασιάζουμε τον αριθμό που είναι πάνω από το Χ με το κλάσμα των άλλων αριθμών όπως  είναι.
  

Προβλήματα

1. Οι 4 εργάτες χρειάζονται 18 ώρες για να ολοκληρώσουν το βάψιμο ενός σπιτιού. Πόσες ώρες θα χρειαστούν οι 12 εργάτες;

2. Για την κατασκευή ενός ξύλινου πατώματος χρειάζινται 160 σανίδες πλάτους 0,12 μέτρα. Πόσες σανίδες θα χρειαστούν αν το πλάτος της σανίδας είναι 0,08 μέτρα;

3. Όταν η σελίδα ενός βιβλίου έχει 36 σειρές, το βιβλίο αποτελείται από 224 σελίδες. Αν είχε 32 σειρές η κάθε σελίδα, πόσες σελίδες θα είχε το όλο το βιβλίο;

4. Ένας αριθμός, αν διαιρεθεί με τον αριθμό 8, μας δίνει πηλίκο 4. Αν όμως διαιρεθεί με τον αριθμό 2, τι πηλίκο θα μας δώσει;

5. Το πλήρωμα ενός υποβρυχίου που αποτελείται από 12 ναύτες, έχει τρόφιμα για 2 μήνες και 10 ημέρες. Πριν αποπλεύσει απολύθηκαν 2 άνδρες του πληρώματος. Πόσες μέρες επιπλέον θα περάσουν οι υπόλοιποι με τα τρόφιμα που έχουν;

6. Μια μηχανή με ταχύτητα 42 χλμ. την ώρα διανύει μια απόσταση σε 9 ώρες. Αν αυξήσει την ταχύτητά της κατά 2/7, σε πόσες ώρες θα διανύσει την ίδια απόσταση;

… και ένα, λίγο πιο δύσκολο

7. Από μια βρύση τρέχουν σε 1 λεπτό της ώρας 20 λίτρα νερό και γεμίζει μια δεξαμενή σε 7 ώρες και 20 λεπτά. Αν τρέχουν 25 λίτρα νερού σε κάθε λεπτό της ώρας, σε πόσο χρόνο θα γεμίσει η ίδια δεξαμενή;

Κεφ. 40: Εκτιμώ το ποσοστό

 

Μπορούμε με τρεις τρόπους να βρούμε και να εκφράσουμε ένα ποσοστό (ένα μέρος ενός όλου)   

• με κλάσμα (1/2)
• με δεκαδικό (0,5)
• με το σύμβολο του ποσοστού (50%)

Πώς μετατρέπω ένα κλάσμα σε ποσοστό στα %:  

•  Βρίσκω έναν αριθμό που μπορώ να πολλαπλασιάσω τον παρονομαστή για να φτάσει στο 100.  
•  Πολλαπλασιάζω τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον ίδιο αριθμό.
•  Στη συνέχεια γράφω τον αριθμητή με το σύμβολο %.

παίζω με τα ποσοστά [κλικ]

Ασκήσεις

1.  Η Στ΄ τάξη έχει 25 μαθητές. Από αυτούς, 10 είναι αγόρια και 15 κορίτσια. Γράφω το ποσοστό των αγοριών, των κοριτσιών και των παιδιών στον παρακάτω πίνακα.

 

 

 

2.  Από τους 50 μαθητές μιας τάξης, οι 15 μαθητές προτιμούν το ποδόσφαιρο, οι 25 μαθητές το μπάσκετ και οι 10 μαθητές το βόλεϋ. Γράφω με ποσοστό στα εκατό(%) τις προτιμήσεις των μαθητών.

3.

 

 

 

Κεφ. 41. Βρίσκω το ποσοστό

[slideboom id=710247&w=425&h=370]

Πώς βρίσκω το ποσοστό ενός αριθμού

Α’ Τρόπος

• Πολλαπλασιάζω τον αριθμό με το ποσοστό, αφού προηγουμένως έχω μετατρέψει το ποσοστό σε κλάσμα με παρονομαστή το 100.

Παράδειγμα:

Πόσο είναι το 25% του αριθμού 90;

1ο Βήμα: γράφω το ποσοστό σαν κλάσμα με παρονομαστή το 100   – 25% = 25/100

2ο Βήμα: πολλαπλασιάζω τον αριθμό με το κλάσμα

25/100 * 90 = 25*90 /100 = 2.250/100 = 22,5

 

Β’ Τρόπος

Μετατρέπω το ποσοστό σε δεκαδικό αριθμό και το πολλαπλασιάζω με τον αριθμό

Παράδειγμα

Πόσο είναι το 25% του αριθμού 90;

25% = 0,25 και

0,25 * 90 = 22,5

 

Ας τα δούμε συγκεντρωτικά…

Δείτε ακόμα…

Μετατρέψτε τα κλάσματα σε ποσοστά

Παίξε με τα ποσοστά και εκτόξευσε τον πύραυλο! [κλικ]

Δραστηριότητες

1.  Να υπολογίσεις τα παρακάτω ποσοστά:

• Το 31% του 40

• Το 10% του 3.000

• Το 2,5% του 3.500

• Το 25% του 90
• Το 100% του 457,23
• Το 250% του 500

 

2.  Να μετατρέψεις σε ποσοστά τα κλάσματα

2/5,        19/20,         9/25,         35/83,         13/73,        14/13,      19/11

3. Να γράψεις τον κάθε αριθμό με τους δυο άλλους τρόπους

4. Οι μαθητές του σχολείου μας αυξήθηκαν φέτος κατά 20%. Αν οι μαθητές πέρυσι ήταν 140, πόσοι μαθητές ήρθαν τη φετινή χρονιά;

5. Ένα κατάστημα με ρούχα έβαλε τις ανοιξιάτικες μπλούζες 20% φθηνότερα. Πόσο πουλιέται μια μπλούζα που είχε πριν την έκπτωση 40 ευρώ;

6. Έχουμε δυο μπουκάλια με λοσιόν οινοπνεύματος. Στο πρώτο τα 7/8 είναι καθαρό οινόπνευμα και στο δεύτερο τα 4/5. Ποιο είναι το ποσοστό καθαρού οινοπνεύματος σε κάθε μπουκάλι;

 

 

 

 Κεφ. 42: Λύνω προβλήματα με ποσοστά: Βρίσκω την τελική τιμή

Στα ποσοστά έχουμε αρχική τιμή, τελική τιμή, ποσοστό.

•    Ποσοστό αύξησης % είναι η αύξηση που έχουμε στα 100.
•    Ποσοστό μείωσης % είναι η μείωση που έχουμε στα 100.

   Συνολικό ποσοστό αύξησης ή ελάττωσης είναι η αύξηση ή η ελάττωση σε όλο το ποσό.

   Η τελική τιμή ενός ποσού προκύπτει αν προσθέσουμε την αύξηση ή αφαιρέσουμε τη μείωση στην αρχική τιμή.
   Σε όλα τα προβλήματα ποσοστών τα ποσά είναι ανάλογα.

Προσοχή

• Αρχική τιμή – Έκπτωση = Τελική τιμή
• Αρχική τιμή – Τελική τιμή = Έκπτωση
• Τελική τιμή + Έκπτωση = Αρχική τιμή

ενώ

• Αρχική τιμή + Κέρδος = Τελική τιμή
• Τελική τιμή – Κέρδος = Αρχική τιμή
• Τελική τιμή – Αρχική τιμή = Κέρδος

 

 

Παράδειγμα

Ο κύριος Νίκος πληρώνει ενοίκιο 450 €. Ο ιδιοκτήτης όμως του ζητάει για τον επόμενο χρόνο αύξηση 5%. Πόσο ενοίκιο θα πληρώσει τον επόμενο χρόνο ο κύριος Νίκος;

Από το πρόβλημα γνωρίζουμε δύο πράγματα.

1. Το ενοίκιο που πληρώνει ο κύριος Νίκος ως τώρα (Αρχική Τιμή) και
2. το ποσοστό αύξησης που ζητάει ο ιδιοκτήτης(5%)

και βέβαια ζητάμε το ποσό του ενοικίου για τον επόμενο χρόνο μαζί με την αύξηση (Τελική Τιμή)

Οπότε το πρώτο που πρέπει να βρούμε είναι η αύξηση που ζητάει ο ιδιοκτήτης.

Ας το βρούμε:  450 . 0,05 = 22,5 €

Τώρα λοιπόν έχουμε δυο γνωστές τιμές:

Αρχική Τιμή (450 €) και αύξηση (22,5). Οπότε μπορώ να υπολογίσω την Τελική Τιμή ενοικίου για τον επόμενο χρόνο αν:

Αρχική Τιμή + Αύξηση = Τελική Τιμή δηλαδή 450 + 22,5 = 472,5 € 

Άρα για να υπολογίσω την Τελική Τιμή αρκεί να κάνω δυο πράξεις. Έναν πολλαπλασιασμό (450 . 0,05) και μια πρόσθεση ( 450 + 22,5)

Μπορείς να υποθέσεις τι πράξεις θα κάνω αν αντί για αύξηση ο ιδιοκτήτης έκανε μείωση του ενοικίου;

Τα προβλήματα ποσοστών μπορούμε να τα λύνουμε και με τις μεθόδους που λύναμε για τα ανάλογα ποσά αφού στα ποσοστά τα ποσά είναι  ΠΑΝΤΑ ανάλογα. 

Στο παραπάνω πρόβλημα δηλαδή, αφού θα θεωρούσαμε ότι το 100% είναι το Αρχικό ενοίκιο, θα σχηματίζαμε τον παρακάτω πίνακα,

και θα το λύναμε : 

• χ = 450 . 5 / 100
• χ = 2250 / 100
• χ = 22,5 € ( η αύξηση) και

450 + 22,5 = 472,5 € η Τελική Τιμή ενοικίου για τον επόμενο χρόνο

ΠΡΟΣΕΞΕ
Γνωρίζοντας ότι ψάχνουμε για την Τελική Τιμή και όχι για την αύξηση μπορούμε κατευθείαν να βρούμε την Τελική Τιμή.

Σε αυτή την περίπτωση κάνουμε τον πίνακα ως εξής

και θα το λύναμε:

• χ = 450 . 105 /100
• χ = 47250 / 100
• χ = 472,5 €

 

Προβλήματα

1. Μία μπάλα ποδοσφαίρου πουλιόταν 90 € πριν τις εκπτώσεις. Κατά τη διάρκεια των  εκπτώσεων είχε έκπτωση 20 %. Πόση ήταν η έκπτωση και πόσο ήταν η τιμή μετά την έκπτωση;

2. Να συμπληρώσειςτον παρακάτω πίνακα

3. Ένα παντελόνι κόστιζε αρχικά 20 ευρώ. Αρχικά έγινε μια αύξηση 35% και στη συνέχεια, την περίοδο των εκπτώσεων, μείωση 35%. Πόσο πουλιόταν το παντελόνι μετά την αύξηση και πόσο μετά την έκπτωση;

4. Ένας έμπορος έχει καθαρό ετήσιο εισόδημα 27.000 ευρώ. Αν πρέπει να πληρώσει 35% φόρο, πόσα χρήματα θα του μείνουν;

5. Ο Πέτρος κέρδισε στο λαχείο 7.520 ευρώ. Ο φόρος επί των κερδών είναι 15%. Πόσα χρήματα θα εισπράξει τελικά;

6. Η Νεφέλη πήγε να αγοράσει ένα ποδήλατο. Η τιμή του ήταν 480 ευρώ., αλλά κοιτώντας καλύτερα λίγο πιο κάτω το ταμπελάκι έγραφε: +23% Φ.Π.Α. Πόσο θα πληρώσει τελικά για το ποδήλατο αυτό;

 7.  Ένα σχολείο αγόρασε δύο μπασκέτες αξίας 232 ευρώ η καθεμιά. Αν έγινε έκπτωση 15%, πόσα ευρώ πλήρωσε το σχολείο για τις μπασκέτες;

 

Κεφ. 43: Λύνω προβλήματα με ποσοστά: Βρίσκω την αρχική τιμή

[slideboom id=715929&w=425&h=370]

Προβλήματα

1.  Σ’ ένα σχολείο τον προηγούμενο μήνα ήρθαν 12 μαθητές και έτσι ο αριθμός των μαθητών του σχολείου αυξήθηκε κατά 8%. Πόσους μαθητές είχε αρχικά το σχολείο;

 

 

 

 

2.  Η Άννα άνοιξε τον κουμπαρά της και διέθεσε το 45% των χρημάτων της για μια κούκλα, το 15% για ένα λογοτεχνικό βιβλίο και της έμειναν και 35 €. Πόσα χρήματα είχε μέσα αρχικά ο κουμπαράς της;

 

Κεφ. 43: Λύνω προβλήματα με ποσοστά: Βρίσκω το ποσοστό στα εκατό

• Για να βρούμε το ποσοστό (%), πρέπει να γνωρίζουμε την αρχική τιμή (Α.Τ.) και την αύξηση ή μείωσή της.
• Μπορούμε επίσης να βρούμε το ποσοστό αν γνωρίζουμε την Αρχική τιμή (Α.Τ.) και την Τελική Τιμή (Τ.Τ.), αφού θα υπολογίσουμε πρώτα το ποσοστό αύξησης ή μείωσης της Αρχικής τιμής και μετά το ποσοστό %

[slideboom id=729054&w=425&h=370]

Προβλήματα

1.  Ένας υπάλληλος πριν να γίνει αύξηση στο μισθό του, έπαιρνε 1.240 €. Τώρα πήρε αύξηση 29,76 €. Πόσο στα εκατό (%) είναι η αύξησή

2.  Ένα κοστούμι άξιζε 316 €. Μετά την έκπτωση πουλήθηκε 189,60 €. Πόσο στα εκατό (%) ήταν η έκπτωση;

3.  Οι κάτοικοι ενός χωριού στην απογραφή του 1991 ήταν 560 και στην απογραφή του 2001 ήταν 490. Πόσο % μειώθηκε ο πληθυσμός του χωριού;

4.  Ένας έμπορος έτοιμων ενδυμάτων αγόρασε ένα παλτό 364 € και το πούλησε 509,6 €. Πόσο % στην τιμή αγοράς ήταν το κέρδος του;

5.  Η μητέρα της Αλεξάνδρας αγόρασε στις εκπτώσεις 5,6 μ. ύφασμα που άξιζε 15 € το μέτρο. Της έγινε όμως έκπτωση και πλήρωσε τελικά 67,2 €. Πόσο % ήταν η έκπτωση που της έγινε;

6. Ένα σχολείο έχει 168 αγόρια και 182 κορίτσια. Πόσο % των μαθητών του σχολείου είναι τα αγόρια και πόσο % τα κορίτσια;

8.  Ο παππούς έπαιρνε σύνταξη 800 ευρώ τον προηγούμενο μήνα και τώρα  πήρε  48  ευρώ λιγότερα.Πόσο στα εκατό (%) μειώθηκε η σύνταξή του αυτόν το μήνα;

9. Έρευνα έδειξε ότι στις διαφημίσεις της τηλεόρασης οι 160 από τις 800 είναι διαφημίσεις απορρυπαντικών. Ποιο είναι το ποσοστό αυτών των διαφημίσεων;

10. Ο παραγωγός λεμονιών πουλάει προς 20 λεπτά το κιλό στον χονδρέμπορο. Αυτός με τη σειρά του πουλάει προς 80 λεπτά στον μανάβη, ο οποίος πουλάει στο μαγαζί του προς 1,40 ευρώ το κιλό. Βρείτε πόσο τοις εκατό κερδίζει ο χονδρέμπορος και πόσο ο μανάβης.