ΘΕΜΑ Α
Α1. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο [α, β] με . Να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και f(β) υπάρχει ένας, τουλάχιστον χ0 (α,β) τέτοιος, ώστε f(χ0)=η. Μον. 15
Α2. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις, με Σ (Σωστό) ή Λ (Λάθος)
α) Μον. 2
β) Αν μια συνάρτηση f(x) είναι 1-1 τότε είναι γνησίως μονότονη. Μον. 2
γ) Η εικόνα f(Δ) ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης f είναι διάστημα. Μον. 2
δ) Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f(x) και f-1(x) είναι συμμετρικές ως προς το Ο(0,0). Μον. 2
ε) Αν , με και κοντά στο χο τότε κατ’ ανάγκη θα είναι : Μον. 2
ΘΕΜΑ Β
Δίνεται η συνάρτηση f(x) =
Να βρεθούν οι τιμές των α και β, έτσι ώστε η f να είναι συνεχής στο χ0 = 0. Μον. 25
ΘΕΜΑ Γ
Έστω η συνάρτηση
Γ1. Να δείξετε ότι η αντιστρέφεται. Μον. 5
Γ2. Να βρείτε τα κοινά σημεία των C f και C αν θεωρήσουμε ότι η έχει σύνολο τιμών το R. Μον. 10
Γ3. Να λυθεί η ανίσωση : Μον. 10
ΘΕΜΑ Δ
Δ1.Να δείξετε ότι η συνάρτηση =ex+ln(x+1)-2 έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο διάστημα (0,1). Μον. 5
Δ2.Έστω η συνάρτηση
- i) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f(x) Μον. 10
ii)Να δείξετε ότι η έχει μοναδική ρίζα. (δηλαδή η εξίσωση =0 έχει μοναδική λύση). Μον. 10
Καλή Επιτυχία!