Middle School Math traps YouTube Channel

 

 

math fun games   7th Grade Math    Μαθηματικά Α Γυμνασίου Πολλαπλό βιβλίο

http://sites.google.com/site/mathfungames

MIDDLE SCHOOL MATH TRAPS

Middle School Math traps YouTube channel

Μαθηματικά Α’ Γυμνασίου 2021-2022 (Πολλαπλό βιβλίο)

Μαθηματικά Α’ Γυμνασίου 2021-2022 (Πολλαπλό βιβλίο)

ΜΕΡΟΣ Α’ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ – ΑΛΓΕΒΡΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο – Οι φυσικοί αριθμοί

Α.1.1. Φυσικοί αριθμοί – Διάταξη Φυσικών – Στρογγυλοποίηση

Α.1.2. Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Α.1.3. Δυνάμεις φυσικών αριθμών

Α.1.4. Ευκλείδεια διαίρεση – Διαιρετότητα

Α.1.5. Χαρακτήρες διαιρετότητας – ΜΚΔ – ΕΚΠ – Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο – Τα κλάσματα

Α.2.1. Η έννοια του κλάσματος

Α.2.2. Ισοδύναμα κλάσματα

Α.2.3. Σύγκριση κλασμάτων

Α.2.4. Πρόσθεση και Αφαίρεση κλασμάτων

Α.2.5. Πολλαπλασιασμός κλασμάτων

Α.2.6. Διαίρεση κλασμάτων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο – Δεκαδικοί αριθμοί

A.3.1. Δεκαδικά κλάσματα, Δεκαδικοί αριθμοί, Διάταξη δεκαδικών αριθμών, Στρογγυλοποίηση

Α.3.2. Πράξεις με δεκαδικούς αριθμούς – Δυνάμεις με βάση δεκαδικό αριθμό

Α.3.3. Υπολογισμοί με τη βοήθεια υπολογιστή τσέπης

Α.3.4. Τυποποιημένη μορφή μεγάλων αριθμών

A.3.5. Μονάδες μέτρησης

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο – Εξισώσεις και Προβλήματα

Α.4.1. Η έννοια της εξίσωσης – Οι εξισώσεις: α + x = β, x – α = β, α – x = β, α x = β,α : x = β, x : α = β

Α.4.2. Επίλυση προβλημάτων

Α.4.3. Παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο – Ποσοστά

Α.5.1. Ποσοστά

Α.5.2. Προβλήματα με ποσοστά

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6ο – Ανάλογα ποσά – Αντιστρόφως ανάλογα ποσά

Α.6.1. Παράσταση σημείων στο επίπεδο

Α.6.2. Λόγος δύο αριθμών – Αναλογία

Α.6.3. Ανάλογα ποσά – Ιδιότητες ανάλογων ποσών

Α.6.4. Γραφική παράσταση σχέσης αναλογίας

Α.6.5. Προβλήματα αναλογιών

Α.6.6. Αντιστρόφως ανάλογα ποσά

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7ο – Θετικοί και αρνητικοί αριθμοί

Α.7.1. Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί (Ρητοί αριθμοί) – H ευθεία των ρητών – Τετμημένη σημείου

Α.7.2. Απόλυτη τιμή ρητού – Αντίθετοι ρητοί – Σύγκριση ρητών

Α.7.3. Πρόσθεση ρητών αριθμών

Α.7.4. Αφαίρεση ρητών αριθμών

Α.7.5. Πολλαπλασιασμός ρητών αριθμών

Α.7.6. Διαίρεση ρητών αριθμών

Α.7.7. Δεκαδική μορφή ρητών αριθμών

Α.7.8. Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό

Α.7. επανάληψη

Σημειώσεις στις εξισώσεις

ΜΕΡΟΣ B’ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο – Βασικές γεωμετικές έννοιες

Β.1.1. Σημείο – Ευθύγραμμο τμήμα – Ευθεία – Ημιευθεία – Επίπεδο – Ημιεπίπεδο

Β.1.2. Γωνία – Γραμμή – Επίπεδα σχήματα – Ευθύγραμμα σχήματα – Ίσα σχήματα

Β.1.3. Μέτρηση, σύγκριση και ισότητα ευθυγράμμων τμημάτων – Απόσταση σημείων – Μέσο ευθύγραμμου τμήματος

Β.1.4. Πρόσθεση και αφαίρεση ευθυγράμμων τμημάτων

Β.1.5. Μέτρηση, σύγκριση και ισότητα γωνιών – Διχοτόμος γωνίας

Β.1.6. Είδη γωνιών – Κάθετες ευθείες

Β.1.7. Εφεξής και διαδοχικές γωνίες – Άθροισμα γωνιών

Β.1.8. Παραπληρωματικές και συμπληρωματικές γωνίες – Κατακορυφήν γωνίες

Β.1.9. Θέσεις ευθειών στο επίπεδο

Β.1.10. Απόσταση σημείου από ευθεία – Απόσταση παραλλήλων

Β.1.11. Κύκλος και στοιχεία του κύκλου

Β.1.12. Επίκεντρη γωνία – Σχέση επίκεντρης γωνίας και του αντίστοιχου τόξου – Μέτρηση τόξου

Β.1.13. Θέσεις ευθείας και κύκλου

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο – Συμμετρία

Β.2.1. Συμμετρία ως προς άξονα

Β.2.2. Άξονας συμμετρίας

Β.2.3. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος

Β.2.4. Συμμετρία ως προς σημείο

Β.2.5. Κέντρο συμμετρίας

Β.2.6. Παράλληλες ευθείες που τέμνονται από μια άλλη ευθεία

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο – Τρίγωνα – Παραλληλόγραμμα – Τραπέζια

Β.3.1. Στοιχεία τριγώνου – Είδη τριγώνων

Β.3.2. Άθροισμα γωνιών τριγώνου – Ιδιότητες ισοσκελούς τριγώνου

Β.3.3. Παραλληλόγραμμο – Ορθογώνιο – Ρόμβος – Τετράγωνο – Τραπέζιο – Ισοσκελές τραπέζιο

Β.3.4. Ιδιότητες Παραλληλογράμμου – Ορθογωνίου – Ρόμβου – Τετραγώνου – Τραπεζίου – Ισοσκελούς τραπεζίου

 

 

Αριθμητική παράσταση.

 

Αριθμητική παράσταση είναι μια σειρά πράξεων με αριθμούς. Μια αριθμητική παράσταση μπορεί να περιλαμβάνει παρενθέσεις, αγκύλες κλπ.

 

Απλές αριθμητικές παραστάσεις:

25 + 15

10 – 5 – 8

 

Σημείωση:

 

Δε γίνεται να γράψω συνεχόμενα

συν ( ή πλην ) και να κλείσω παρένθεση σε μία παράσταση.

Για παράδειγμα, δεν είναι παραστάσεις οι παρακάτω:

( 2 + ) 5

(3 – ) 5

 

 

Δε γίνεται να τελειώνει με συν ( ή πλην ) μία παράσταση.

Για παράδειγμα, δεν είναι παραστάσεις οι παρακάτω:

2 + 5 +

– 3 – 2 –

 

 

 

 

Δε γίνεται να γράψω συνεχόμενα

συν συν ή

πλην συν  ή

συν πλην ή

πλην πλην

σε μία παράσταση.

Για παράδειγμα, δεν είναι παραστάσεις οι παρακάτω:

2 + + 5

3 + – 5

3 – + 5

3 – – 5

Αν μεσολαβεί παρένθεση ανάμεσα τους τότε δεν υπάρχει πρόβλημα.

Για παράδειγμα, είναι παραστάσεις οι παρακάτω:

2 + ( – 9 )

– 2 + ( – ( – 9 ) )

 

 

 

Όροι αριθμητικής παράστασης.

 

Ποιοι είναι οι όροι της αριθμητικής παράστασης: 25 +15;

+25 , +15

 

Ποιοι είναι οι όροι της αριθμητικής παράστασης: 10 – 5 – 8;

+10 , –5 , –8

 

 

Όροι μέσα σε παρένθεση.

 

Όροι που περιέχονται σε παρένθεση στην παράσταση: ( 5 – 2 )

+5 , –2

 

Όροι που περιέχονται σε παρένθεση στην παράσταση: ( + 4 – 3 )

+4 , –3

 

Όροι που περιέχονται σε παρένθεση στην παράσταση: ( 7 + 3 )

+7 , +3

 

Όροι που περιέχονται σε παρένθεση στην παράσταση: + ( 5 + 2 )

+5 , +2

 

Όροι που περιέχονται σε παρένθεση στην παράσταση: ( – 4 – 9 )

–4 , –9

 

Όροι που περιέχονται σε παρένθεση στην παράσταση: ( – 9 + 1 )

–9 , +1

 

Όροι που περιέχονται σε παρένθεση στην παράσταση:  + ( + 41 – 32 )

+41 , –32

 

Όροι που περιέχονται σε παρένθεση στην παράσταση:  + ( + 1 + 3 )

+1 , +3

 

Όροι που περιέχονται σε παρένθεση στην παράσταση:  + ( 4 – 2 )

+4 , –2

 

Όροι που περιέχονται σε παρένθεση στην παράσταση:  – ( 2  –  4 )

+2 , –4

 

Όροι που περιέχονται σε παρένθεση στην παράσταση:  – ( + 1 – 3 )

+1 , –3

 

Όροι που περιέχονται σε παρένθεση στην παράσταση:  – ( + 1 + 3 )

+1 , +3

 

Όροι που περιέχονται σε παρένθεση στην παράσταση:  – ( 451 + 3 )

+451 , +3

 

Όροι που περιέχονται σε παρένθεση στην παράσταση:  7 – ( 5 + 3 )

+5 , +3

 

Όροι που περιέχονται σε παρένθεση στην παράσταση:  2 – 8 – ( + 4 + 9 )

+4 , +9

 

Όροι που περιέχονται σε παρένθεση στην παράσταση:  7 + ( – 5 + 3 )

–5 , +3

 

Όροι που περιέχονται σε παρένθεση στην παράσταση:  2 – 8 + ( – 4 + 9 )

–4 , +9

 

Όροι που περιέχονται σε παρένθεση στην παράσταση:  2 – 8 + ( – 4 )

–4

 

Όροι που περιέχονται σε παρένθεση στην παράσταση:  2 + (– 8 + 1 – 4 + 7 )

–8 , +1 , –4 , +7

 

 

Απαλοιφή παρενθέσεων. Πώς φεύγουν οι παρενθέσεις;

How to remove parentheses in an arithmetic expression? Parentheses brackets and braces. Grouping symbols.

Όταν μια παρένθεση έχει μπροστά της το + ,

μπορούμε να την απαλείψουμε μαζί με το + που είναι μπροστά της

και να γράψουμε τους όρους που περιέχει με τα πρόσημά τους.

 

+ ( 4 – 9 ) =

+4 –9 =

4 –9

 

+ ( 2 + 5 ) =

+2 +5 =

2 +5

 

+ ( + 6 – 5 ) =

+6 –5 =

6 –5

 

+ ( +23 + 52 ) =

+23 +52 =

23 +52

 

+ ( – 4 – 9 ) =

–4 –9

 

+ ( – 2 + 5 ) =

–2 +5

 

7 + ( 5 + 3 ) =

+7 + ( +5 +3 ) =

+7 +5 +3

 

2 – 8 + ( + 4 + 9 ) =

+2 –8 +4 +9

 

– 8 + ( + 4 – 9 ) =

–8 +4 –9

 

– 8 + ( – 3 + 1 ) =

–8 –3 +1

 

– 8 + ( – 4 – 9 ) =

–8 –4 –9

 

Όταν μια παρένθεση έχει μπροστά της το –,

μπορούμε να την απαλείψουμε μαζί με το – που είναι μπροστά της

και να γράψουμε τους όρους που περιέχει με αντίθετα πρόσημα.

 

– ( 3 – 5 ) =

–3 +5

 

– ( + 6 – 4 ) =

–6 +4

 

– ( 7 + 8 ) =

–7 –8

 

– ( + 527 + 7 ) =

–527 –7

 

– ( – 4 – 9 ) =

+4 +9 =

4 +9

 

– ( – 2 + 5 ) =

+2 –5 =

2 –5

 

7 – ( 5 + 3 ) =

+7 – ( +5 +3 ) =

+7 –5 –3

 

2 – 8 – ( + 4 + 9 ) =

+2 –8 –4 –9

 

– 8 – ( + 4 – 9 ) =

–8 –4 +9

 

– 8 – ( – 3 + 1 ) =

–8 +3 –1

 

– 8 – ( – 4 – 9 ) =

–8 +4 +9

 

 

Όταν μια παράσταση ξεκινάει με παρένθεση

εννοείται ότι έχει μπροστά της το +

και μπορούμε να την απαλείψουμε

και να γράψουμε τους όρους που περιέχει με τα πρόσημά τους.

 

( – 8 + 3 ) – 1 =

–8 +3 –1

 

 

 

Σημείωση:

Όταν σε μια παράσταση μετά από έναν αριθμό ανοίγει παρένθεση

εννοείται μετά τον αριθμό και πριν την παρένθεση το επί

και κάνουμε επιμεριστική ιδιότητα.

The distributive property of multiplication over addition and over subtraction.

 

1ο παράδειγμα

7 ( 5 + 3 ) + 1 =

7· 5 + 7 · 3 + 1 =

35 + 21 + 1

 

2ο παράδειγμα

+ 7 ( 5 – 3 ) + 1 =

7· 5 – 7 · 3 + 1 =

35 – 21 + 1

 

 

Ομόσημοι αριθμοί.

Ομόσημοι λέγονται οι αριθμοί που έχουν το ίδιο πρόσημο.

 

Δύο ομόσημοι θετικοί αριθμοί: +5, +3

 

Τρεις ομόσημοι θετικοί αριθμοί: +4, +7, +9

 

Δύο ομόσημοι αρνητικοί αριθμοί: –6, –1

 

Πέντε ομόσημοι αρνητικοί αριθμοί: –2, –8, –6, –7, –9

 

 

 

 

Ετερόσημοι αριθμοί.

Ετερόσημοι λέγονται δύο αριθμοί που έχουν διαφορετικό πρόσημο.

 

Δύο ετερόσημοι αριθμοί: +5, –3

 

Δύο ετερόσημοι αριθμοί: –6, +1

 

Δε γίνεται να έχουμε τρεις ετερόσημους αριθμούς αφού δύο πρόσημα υπάρχουν:

Το συν και το μείον.

 

 

 

 

 

Ερμηνεία πρόσθεσης και αφαίρεσης αριθμών στην οριζόντια αριθμογραμμή.

Ερμηνεία πρόσθεσης και αφαίρεσης αριθμών στην οριζόντια αριθμογραμμή.

 

 

3 + 5

Ξεκινώ από το 3.

Πάω 5 μονάδες δεξιά ως το 8.

Άρα:

3 + 5 =

8

 

 

 

7 – 4

Ξεκινώ από το 7.

Πάω 4 μονάδες αριστερά ως το 3.

Άρα:

7 – 4 =

3

 

 

 

–3 + 2

Ξεκινώ από το –3.

Πάω 2 μονάδες δεξιά ως το –1.

Άρα:

–3 + 2 =

–1

 

 

–7 – 4

Ξεκινώ από το –7.

Πάω 4 μονάδες αριστερά ως το –11.

Άρα:

–7 – 4 =

–11

 

 

–3 + 5

Ξεκινώ από το –3.

Πάω 5 μονάδες δεξιά ως το 2.

Άρα:

–3 + 5 =

2

 

 

 

2 – 3

Ξεκινώ από το 2.

Πάω 3 μονάδες αριστερά ως το –1 .

Άρα:

2 – 3 =

–1

 

 

 

 

 

 

 

Πρόσθεση δύο ομόσημων αριθμών.

 

Αντί να βρούμε κατευθείαν το άθροισμα της πρόσθεσης δύο ομόσημων αριθμών,

προτείνω να βρούμε την απάντηση σε δύο φάσεις.

 

 

Αρχικά σε πρώτη φάση

θα γράψουμε μόνο το πρόσημο του αθροίσματος

δηλαδή αν είναι συν ή αν είναι μείον.

 

Αν και οι δύο ομόσημοι που προσθέτουμε είναι θετικοί

το πρόσημο του αθροίσματος θα είναι συν.

 

Αν και οι δύο ομόσημοι που προσθέτουμε είναι αρνητικοί

το πρόσημο του αθροίσματος θα είναι μείον.

 

Άρα στο άθροισμα γράφουμε αρχικά σε πρώτη φάση το πρόσημο:

+  , αν και οι δύο αριθμοί που προσθέτουμε είναι θετικοί

–   , αν και οι δύο αριθμοί που προσθέτουμε είναι αρνητικοί

 

 

Μετά σε δεύτερη φάση

και αφού πλέον έχουμε ήδη γράψει στο αποτέλεσμα συν ή μείον

και δεν μας απασχολούν άλλο τα πρόσημα που βλέπουμε στους δύο ομόσημους

θα βρούμε τι (σκέτο, χωρίς πρόσημο) αριθμό

θα γράψουμε μετά το πρόσημο που ήδη βρήκαμε και γράψαμε στην πρώτη φάση,

αφού κάνουμε ΠΡΟΣΘΕΣΗ τους δύο αριθμούς

χωρίς να κοιτάμε άλλο τα πρόσημα τους,

δηλαδή πλέον προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές τους και

ότι βρούμε το γράφουμε στο άθροισμα μετά το πρόσημο που βρήκαμε στην πρώτη φάση.

 

Ορισμός στο βιβλίο:

Για να προσθέσουμε δύο ομόσημους ρητούς αριθμούς, προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο άθροισμα βάζουμε το πρόσημό τους.

 

(+5) + (+2) =

+7

Αφού και οι δύο είναι ομόσημοι θετικοί

άρα σε πρώτη φάση γράφω το πρόσημο + στο άθροισμα.

Σε δεύτερη φάση ΠΡΟΣΘΕΤΩ τους αριθμούς (σκέτους, χωρίς πρόσημα) 5+2

που κάνει 7 και το γράφω μετά το συν που ήδη βρήκα και έγραψα σε πρώτη φάση.

 

 

(–3) + (–1) =

–4

Αφού και οι δύο είναι ομόσημοι αρνητικοί

άρα σε πρώτη φάση γράφω το πρόσημο – στο άθροισμα.

Σε δεύτερη φάση ΠΡΟΣΘΕΤΩ τους αριθμούς (σκέτους, χωρίς πρόσημα) 3+1

που κάνει 4 και το γράφω μετά το μείον που ήδη βρήκα και έγραψα σε πρώτη φάση.

 

 

 

 

Πρόσθεση παραπάνω από δύο ομόσημων αριθμών.

 

 

Πρόσθεση πέντε ομόσημων θετικών αριθμών.

 

(+8) + (+2) + (+3) + (+2) + (+1) =

+16

Αφού και οι πέντε προσθετέοι είναι ομόσημοι θετικοί

άρα σε πρώτη φάση γράφω το πρόσημο + στο αποτέλεσμα.

Σε δεύτερη φάση ΠΡΟΣΘΕΤΩ τους αριθμούς (σκέτους, χωρίς πρόσημα)

8+2+3+2+1

που κάνει 16 και το γράφω μετά το συν που ήδη βρήκα και έγραψα σε πρώτη φάση.

 

 

Πρόσθεση έξι ομόσημων αρνητικών αριθμών.

 

(–8) + (–2) + (–3) + (–2) + (–1) + (–7)=

–23

Αφού και οι έξι προσθετέοι είναι ομόσημοι αρνητικοί

άρα σε πρώτη φάση γράφω το πρόσημο – στο αποτέλεσμα.

Σε δεύτερη φάση ΠΡΟΣΘΕΤΩ τους αριθμούς (σκέτους, χωρίς πρόσημα)

8+2+3+2+1+7

που κάνει 23 και το γράφω μετά το μείον που ήδη βρήκα και έγραψα σε πρώτη φάση.

 

 

 

 

Πρόσθεση δύο ετερόσημων αριθμών.

 

Αντί να βρούμε κατευθείαν το άθροισμα της πρόσθεσης δύο ετερόσημων αριθμών,

προτείνω να βρούμε την απάντηση σε δύο φάσεις.

 

 

Αρχικά σε πρώτη φάση

θα γράψουμε μόνο το πρόσημο του αθροίσματος

δηλαδή αν είναι συν ή αν είναι μείον.

 

Βλέπω ποιος από τους δύο αριθμούς σκέτος, χωρίς πρόσημο είναι μεγαλύτερος.

Δηλαδή βλέπω ποιος από τους δύο αριθμούς έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή.

 

Αν μεγαλύτερος αριθμός σκέτος, χωρίς πρόσημο είναι ο θετικός

τότε το πρόσημο του αθροίσματος θα είναι συν.

Αν δηλαδή ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τον αρνητικό

τότε γράφω στο άθροισμα συν.

 

Αν μεγαλύτερος αριθμός σκέτος, χωρίς πρόσημο είναι ο αρνητικός

τότε το πρόσημο του αθροίσματος θα είναι μείον.

Αν δηλαδή ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τον θετικό

τότε γράφω στο άθροισμα μείον.

 

Άρα στο άθροισμα γράφουμε αρχικά σε πρώτη φάση το πρόσημο:

+  , αν ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή

–   , αν ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή

 

 

Μετά σε δεύτερη φάση

και αφού πλέον έχουμε ήδη γράψει στο αποτέλεσμα συν ή μείον

και δεν μας απασχολούν άλλο τα πρόσημα που βλέπουμε στους δύο ετερόσημους

θα βρούμε τι (σκέτο, χωρίς πρόσημο) αριθμό

θα γράψουμε μετά το πρόσημο που ήδη βρήκαμε και γράψαμε στην πρώτη φάση,

αφού κάνουμε ΑΦΑΙΡΕΣΗ τους δύο αριθμούς

χωρίς να κοιτάμε άλλο τα πρόσημα τους,

δηλαδή κάνουμε την αφαίρεση:

Μεγαλύτερος (σκέτος, χωρίς πρόσημο) πλην μικρότερος (σκέτος, χωρίς πρόσημο)

ή με πιο μαθηματικούς όρους κάνουμε την αφαίρεση:

Μεγαλύτερη απόλυτη τιμή πλην μικρότερη απόλυτη τιμή.

 

Ότι βρούμε το γράφουμε στο άθροισμα μετά το πρόσημο που βρήκαμε στην πρώτη φάση.

 

Ορισμός στο βιβλίο:

Για να προσθέσουμε δύο ετερόσημους ρητούς αριθμούς,

αφαιρούμε από τη μεγαλύτερη τη μικρότερη απόλυτη τιμή

και στη διαφορά βάζουμε το πρόσημο του ρητού με τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμή.

 

(+5) + (–2) =

+3

Οι αριθμοί +5 και –2 είναι ετερόσημοι.

Αν τους δω σκέτους χωρίς πρόσημα, δηλαδή 5, 2

μεγαλύτερος είναι το 5 που το πρόσημο του στην παράσταση είναι +

άρα σε πρώτη φάση γράφω το πρόσημο συν στο άθροισμα.

Σε δεύτερη φάση ΑΦΑΙΡΩ τους αριθμούς (σκέτους, χωρίς πρόσημα)

μεγαλύτερος (σκέτος, χωρίς πρόσημο) πλην μικρότερος (σκέτος, χωρίς πρόσημο)

5–2

που κάνει 3 και το γράφω μετά το συν που ήδη βρήκα και έγραψα σε πρώτη φάση.

 

 

(–3) + (+1) =

–2

Οι αριθμοί –3 και +1 είναι ετερόσημοι.

Αν τους δω σκέτους χωρίς πρόσημα, δηλαδή 3, 1

μεγαλύτερος είναι το 3 που το πρόσημο του στην παράσταση είναι –

άρα σε πρώτη φάση γράφω το πρόσημο μείον στο άθροισμα.

Σε δεύτερη φάση ΑΦΑΙΡΩ τους αριθμούς (σκέτους, χωρίς πρόσημα)

μεγαλύτερος (σκέτος, χωρίς πρόσημο) πλην μικρότερος (σκέτος, χωρίς πρόσημο)

3–1

που κάνει 2 και το γράφω μετά το μείον που ήδη βρήκα και έγραψα σε πρώτη φάση.

 

 

(+3) + (–7) =

–4

Οι αριθμοί +3 και –7 είναι ετερόσημοι.

Αν τους δω σκέτους χωρίς πρόσημα, δηλαδή 3, 7

μεγαλύτερος είναι το 7 που το πρόσημο του στην παράσταση είναι –

άρα σε πρώτη φάση γράφω το πρόσημο μείον στο άθροισμα.

Σε δεύτερη φάση ΑΦΑΙΡΩ τους αριθμούς (σκέτους, χωρίς πρόσημα)

μεγαλύτερος (σκέτος, χωρίς πρόσημο) πλην μικρότερος (σκέτος, χωρίς πρόσημο)

7–3

που κάνει 4 και το γράφω μετά το μείον που ήδη βρήκα και έγραψα σε πρώτη φάση.

 

 

(–3) + (+5) =

+2

Οι αριθμοί –3 και +5 είναι ετερόσημοι.

Αν τους δω σκέτους χωρίς πρόσημα, δηλαδή 3, 5

μεγαλύτερος είναι το 5 που το πρόσημο του στην παράσταση είναι +

άρα σε πρώτη φάση γράφω το πρόσημο συν στο άθροισμα.

Σε δεύτερη φάση ΑΦΑΙΡΩ τους αριθμούς (σκέτους, χωρίς πρόσημα)

μεγαλύτερος (σκέτος, χωρίς πρόσημο) πλην μικρότερος (σκέτος, χωρίς πρόσημο)

5–3

που κάνει 2 και το γράφω μετά το συν που ήδη βρήκα και έγραψα σε πρώτη φάση.

 

 

 

Επίλυση ασκήσεων που βλέπω αφαίρεση αλλά τις λύνω σαν να είναι πρόσθεση.

Στο βιβλίο γράφει: Η αφαίρεση μετατρέπεται σε πρόσθεση.

 

–3 –4

Θα σκέφτομαι ότι πρέπει να κάνω πρόσθεση των ομόσημων αρνητικών –3, –4.

Αφού και οι δύο είναι ομόσημοι αρνητικοί

άρα σε πρώτη φάση γράφω το πρόσημο – στο άθροισμα.

Σε δεύτερη φάση ΠΡΟΣΘΕΤΩ τους αριθμούς (σκέτους, χωρίς πρόσημα) 3+4

που κάνει 7 και το γράφω μετά το μείον που ήδη βρήκα και έγραψα σε πρώτη φάση.

–3 –4 =

–7

 

 

 

+5 –8

Θα σκέφτομαι ότι πρέπει να κάνω πρόσθεση των ετερόσημων   +5, –8

Οι αριθμοί +5 και –8 είναι ετερόσημοι.

Αν τους δω σκέτους χωρίς πρόσημα, δηλαδή 5, 8

μεγαλύτερος είναι το 8 που το πρόσημο του στην παράσταση είναι –

άρα σε πρώτη φάση γράφω το πρόσημο μείον στο άθροισμα.

Σε δεύτερη φάση ΑΦΑΙΡΩ τους αριθμούς (σκέτους, χωρίς πρόσημα)

μεγαλύτερος (σκέτος, χωρίς πρόσημο) πλην μικρότερος (σκέτος, χωρίς πρόσημο)

8–5

που κάνει 3 και το γράφω μετά το μείον που ήδη βρήκα και έγραψα σε πρώτη φάση.

5 –8 =

–3

 

 

 

+5 –3

Θα σκέφτομαι ότι πρέπει να κάνω πρόσθεση των ετερόσημων   +5, –3

Οι αριθμοί +5 και –3 είναι ετερόσημοι.

Αν τους δω σκέτους χωρίς πρόσημα, δηλαδή 5, 3

μεγαλύτερος είναι το 5 που το πρόσημο του στην παράσταση είναι +

άρα σε πρώτη φάση γράφω το πρόσημο συν στο άθροισμα.

Σε δεύτερη φάση ΑΦΑΙΡΩ τους αριθμούς (σκέτους, χωρίς πρόσημα)

μεγαλύτερος (σκέτος, χωρίς πρόσημο) πλην μικρότερος (σκέτος, χωρίς πρόσημο)

5–3

που κάνει 2 και το γράφω μετά το συν που ήδη βρήκα και έγραψα σε πρώτη φάση.

5 –3 =

+2

 

 

 

 

5 –6

Θα σκέφτομαι ότι πρέπει να κάνω πρόσθεση των ετερόσημων   +5, –6

Οι αριθμοί +5 και –6 είναι ετερόσημοι.

Αν τους δω σκέτους χωρίς πρόσημα, δηλαδή 5, 6

μεγαλύτερος είναι το 6 που το πρόσημο του στην παράσταση είναι –

άρα σε πρώτη φάση γράφω το πρόσημο μείον στο άθροισμα.

Σε δεύτερη φάση ΑΦΑΙΡΩ τους αριθμούς (σκέτους, χωρίς πρόσημα)

μεγαλύτερος (σκέτος, χωρίς πρόσημο) πλην μικρότερος (σκέτος, χωρίς πρόσημο)

6–5

που κάνει 1 και το γράφω μετά το μείον που ήδη βρήκα και έγραψα σε πρώτη φάση.

5 –6 =

–1

 

 

 

5 –1

Θα σκέφτομαι ότι πρέπει να κάνω πρόσθεση των ετερόσημων   +5, –1

Οι αριθμοί +5 και –1 είναι ετερόσημοι.

Αν τους δω σκέτους χωρίς πρόσημα, δηλαδή 5, 1

μεγαλύτερος είναι το 5 που το πρόσημο του στην παράσταση είναι +

άρα σε πρώτη φάση γράφω το πρόσημο συν στο άθροισμα.

Σε δεύτερη φάση ΑΦΑΙΡΩ τους αριθμούς (σκέτους, χωρίς πρόσημα)

μεγαλύτερος (σκέτος, χωρίς πρόσημο) πλην μικρότερος (σκέτος, χωρίς πρόσημο)

5–1

που κάνει 4 και το γράφω μετά το συν που ήδη βρήκα και έγραψα σε πρώτη φάση.

5 –1 =

+4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Επίλυση ασκήσεων που έχουν πολλούς όρους.

 Adding and subtracting integers. Adding and subtracting negative numbers. Integer addition and subtraction.

 

1ο παράδειγμα

 

–3 –4 –2 –1 –7

Θα σκέφτομαι ότι πρέπει να κάνω πρόσθεση των ομόσημων αρνητικών –3, –4, –2, –1, –7.

Αφού και οι πέντε είναι ομόσημοι αρνητικοί

άρα σε πρώτη φάση γράφω το πρόσημο – στο άθροισμα.

Σε δεύτερη φάση ΠΡΟΣΘΕΤΩ τους αριθμούς (σκέτους, χωρίς πρόσημα) 3+4+2+1+7

που κάνει 17 και το γράφω μετά το μείον που ήδη βρήκα και έγραψα σε πρώτη φάση.

–3 –4 –2 –1 –7  =

–17

 

 

 

2ο παράδειγμα

 

–3 +4 –2 –1 +7 =

 

Στην παράσταση βλέπω δύο θετικούς όρους: +4, +7

Στην παράσταση βλέπω τρεις αρνητικούς όρους: –3, –2, –1

Ξαναγράφω την παράσταση ξεκινώντας με τους δύο θετικούς όρους και

στη συνέχεια γράφω τους τρεις αρνητικούς όρους.

 

+4 +7 –3 –2 –1 =

Προσθέτω τους δύο ομόσημους θετικούς μεταξύ τους και γράφω το άθροισμα τους

προσθέτω τους τρεις ομόσημους αρνητικούς μεταξύ τους και γράφω το άθροισμα τους μετά το άθροισμα των θετικών που έγραψα προηγουμένως.

 

+11 –6 =

 

Βλέπω αφαίρεση αλλά σκέφτομαι ότι έχω πρόσθεση δύο ετερόσημων: +11, –6

 

+5

 

 

Δηλαδή:

 

–3 +4 –2 –1 +7 =

 

+4 +7 –3 –2 –1 =

 

+11 –6 =

 

+5

 

 

 

Αρκετοί μαθητές δυσκολεύονται να βάζουν όλους τους θετικούς όρους πρώτα

και όλους τους αρνητικούς ύστερα

και προτιμούν να μην τους αλλάζουν θέση

και να υπολογίζουν πόσο κάνει ο πρώτος όρος με τον δεύτερο

και να ξαναγράφουν μετά όλους τους υπόλοιπους.

Κατόπιν υπολογίζουν πόσο κάνει

αυτό που βρήκαν από τους πρώτους δύο όρους με τον επόμενο

και να ξαναγράφουν μετά όλους τους υπόλοιπους

και συνεχίζουν έτσι

μέχρι να βρουν την τιμή της παράστασης.

 

–3 +4 –2 –1 +7 =

 

+1 –2 –1 +7 =

 

–1 –1 +7 =

 

–2 +7 =

 

+5

 

 

 

 

 

 

 

Τα βήματα που ακολουθώ για να υπολογίσω την τιμή μιας παράστασης.  

 

 

6 – (+8) + (+5) + (–3) + (2) + (–9) =

 

πρώτα κάνουμε απαλοιφή παρενθέσεων

 

6 –8 +5 –3 +2 –9 =

 

Κατόπιν γράφουμε πρώτα τους θετικούς όρους και ύστερα τους αρνητικούς όρους

 

6 +5 +2 –8 –3 –9 =

 

Προσθέτω τους ομόσημους θετικούς μεταξύ τους και γράφω το άθροισμα τους

προσθέτω τους ομόσημους αρνητικούς μεταξύ τους και γράφω το άθροισμα τους μετά το άθροισμα των θετικών που έγραψα προηγουμένως.

 

13 –20 =

 

Βλέπω αφαίρεση αλλά σκέφτομαι ότι έχω πρόσθεση δύο ετερόσημων: +13, –20

 

–7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6 – ( + 8 + ( + 5 + ( – 3 ) + 2 ) – 9 ) =

 

πρώτα κάνουμε απαλοιφή παρενθέσεων (από μέσα προς τα έξω καλύτερα)

 

6 – ( + 8 + ( + 5 – 3 + 2 ) – 9 ) =

 

6 – ( + 8 + 5 – 3 + 2 – 9 ) =

 

6 – 8 – 5 + 3 – 2 + 9 =

 

 

Κατόπιν γράφουμε πρώτα τους θετικούς όρους και ύστερα τους αρνητικούς όρους

 

6 +3 +9 –8 –5 –2 =

 

Προσθέτω τους ομόσημους θετικούς μεταξύ τους και γράφω το άθροισμα τους

προσθέτω τους ομόσημους αρνητικούς μεταξύ τους και γράφω το άθροισμα τους μετά το άθροισμα των θετικών που έγραψα προηγουμένως.

 

18 –15 =

 

Βλέπω αφαίρεση αλλά σκέφτομαι ότι έχω πρόσθεση δύο ετερόσημων: +18, –15

 

+3

 

 

 

 

 

5 – ( –7 ) =         (απαλοιφή παρένθεσης)

5 + 7 =                (πρόσθεση ομόσημων θετικών)

12

 

 

 

 

–8 – (+8) =          (απαλοιφή παρένθεσης)

–8 –8 =                (πρόσθεση ομόσημων αρνητικών)

–16

 

 

 

 

–2 – ( –1 ) =         (απαλοιφή παρένθεσης)

–2 + 1 =                (πρόσθεση ετερόσημων)

–1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Σημείωση:

Όταν σε μια παράσταση ανοίγει παρένθεση (ή αγκύλη ή άγκιστρο)

και αμέσως μετά ανοίγει άλλη παρένθεση (ή αγκύλη ή άγκιστρο)

εννοείται το + μετά το πρώτο άνοιγμα παρένθεσης και πριν το δεύτερο.

2 – 8 – ( (– 4 + 9 ) ) =

2 – 8 – ( + ( – 4 + 9 ) ) =

2 – 8 – ( – 4 + 9 ) =

2 – 8 + 4 – 9

Σημείωση εντός της σημείωσης:

Οι  παραπάνω πράξεις θα μπορούσαν να γραφτούν και ως εξής:

2 – 8 – [ (– 4 + 9 ) ] =

2 – 8 – [ + ( – 4 + 9 ) ] =

2 – 8 – [ – 4 + 9 ] =

2 – 8 + 4 – 9

Δυστυχώς μπορεί να βρεθεί δάσκαλος που δεν ξέρει τον παραπάνω τρόπο

ότι δηλαδή όταν φεύγει η παρένθεση που είναι μέσα σε αγκύλη

είναι εξίσου σωστό μετά στην επόμενη σειρά να συνεχίζω να έχω αγκύλη

και να νομίζει ότι ο μοναδικός σωστός τρόπος είναι

στην επόμενη σειρά αντί για αγκύλη να γράφω παρένθεση.

2 – 8 – [ (– 4 + 9 ) ] =

2 – 8 – [ + ( – 4 + 9 ) ] =

2 – 8 – ( – 4 + 9 ) =

2 – 8 + 4 – 9

 

Συνηθίζεται όταν έχουμε παρένθεση που είναι μέσα σε παρένθεση που είναι και αυτή

μέσα σε παρένθεση   7 – ( 1 – ( (– 3 + 2 ) ) )

 

η εξωτερική παρένθεση να γράφεται ως άγκιστρο

η επόμενη να γράφεται ως αγκύλη

και μετά η τελευταία εσωτερικά να παραμένει παρένθεση

όπως φαίνεται παρακάτω:

7 – { 1 – [ (– 3 + 2 ) ] }

Και οι τρεις παρακάτω τρόποι είναι σωστοί,

αλλά νομίζω ότι τον τρίτο τρόπο ακόμα και δάσκαλοι δεν τον ξέρουνε.

1ος τρόπος (όλοι οι δάσκαλοι στην Ελλάδα έτσι το λύνουν, δηλαδή θέλουν πρώτα να βλέπουν παρένθεση από μέσα προς τα έξω, ύστερα έξω από την παρένθεση να βλέπουν αγκύλη και ύστερα έξω από την αγκύλη να βλέπουν άγκιστρο

και ύστερα τι;;; δηλαδή αν υπήρχε και τέταρτη παρένθεση εξωτερικά πώς θα τη γράφανε;;;)

7 – { 1 – [ – (– 3 + 2 ) ] } =

7 – [ 1 – ( + 3 – 2 ) ] =

7 – ( 1 – 3 + 2 ) =

7 – 1 + 3 – 2

2ος τρόπος (κανείς δεν τον προτιμάει αφού είναι πολύ πιο εύκολο να γίνει λάθος)

(απαλοιφή παρενθέσεων από έξω προς τα μέσα)

7 – { 1 – [ – (– 3 + 2 ) ] } =

7 – 1 + [ – ( – 3 + 2 ) ] =

7 – 1 – ( – 3 + 2 ) =

7 – 1 + 3 – 2

3ος τρόπος (σχεδόν κανείς στην Ελλάδα δεν το λύνει έτσι διατηρώντας δηλαδή τα άγκιστρα και τις αγκύλες στην θέση τους και επειδή ίσως δεν θα το ξέρει ούτε ο δάσκαλος σας ότι είναι σωστό διακινδυνεύεται να θεωρηθεί λάθος ο τρόπος που γράφεται τα άγκιστρα και τις αγκύλες ενώ είναι ολόσωστος)

7 – { 1 – [ – (– 3 + 2 ) ] } =

7 – { 1 – [ + 3 – 2 ] } =

7 – { 1 – 3 + 2 } =

7 – 1 + 3 – 2

Middle School Math traps YOUTUBE CHANNEL PLAYLISTS

 

 

Middle School Math traps YOUTUBE CHANNEL

 

 

http://sites.google.com/site/mathfungames