I like maths

Γρίφος Νο 41 – Οι Πάσσαλοι

Στο διπλανό σχήμα , έχουμε δυο πασσάλους με ύψη 10 και 6 μέτρων αντίστοιχα, οι οποίοι συνδέονται με δυο σχοινιά τα ΒΓ και ΔΑ.

α ) Αν η μεταξύ τους απόσταση , ΑΓ είναι ίση με 10 μέτρα σε ποιο ύψος απ το έδαφος ΑΓ βρίσκεται η τομή των σχοινιών ; Αλλιώς υπολογίστε το υ.

β ) Αν η μεταξύ τους απόσταση  ΑΓ είναι ίση με 16 μέτρα σε ποιο ύψος απ το έδαφος βρίσκεται τώρα  η τομή των δυο σχοινιών ;

γ ) Εξηγήστε γιατί η απόσταση των πασσάλων είναι ανεξάρτητη απ το ύψος των σχοινιών.

ΠΗΓΗ : Οδός Μαθηματικής Σκέψης , Γ.Θωμαϊδης – Γ. Ρίζος , Εκδόσεις Μαυρίδη , Θεσσαλόνικη 2017.

 

3 Σχόλια στο “Γρίφος Νο 41 – Οι Πάσσαλοι”

  1. (A)Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης έχουμε:
    ΕΚ = υ, ΑΓ = 10, ΑΚ = α, και ΓΚ = (10-α)
    (i)Από την ομοιότητα των ορθογωνίων τριγώνων (ΑΓΔ) και (ΑΕΚ) έχουμε::
    ΑΚ/ΑΓ=ΕΚ/ΓΔ —-> α/10=υ/6 —-> 6α=10υ —-> υ=6α/10 —-> υ=0,6α (1)
    (ii)Από την ομοιότητα των ορθογωνίων τριγώνων (ΑΒΓ) και (ΕΚΓ) έχουμε:
    ΚΓ/ΑΓ=ΕΚ/ΑΒ —-> (10-α)/10=υ/10 —-> 10*(10-α)=10υ —-> υ=10*(10-α)/10 —->
    υ=(10-α) (2)
    Επειδή τα τρίγωνα είναι όμοια τα ύψη είναι ίσα, άρα έχουμε:
    0,6α= 10-α —-> 0,6α+α=10 —-> α*(0,6+1)=10 —-> 1,6α=10 —> α=10/1,6 —> α=6,25μ.(3)
    Αντικαθιστούμε τη (3) στη (2) κι’ έχουμε:
    υ=(10-α) —-> υ=10-6,25 —-> υ=3,75μ.(4)
    (B)Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης έχουμε:
    ΕΚ = υ, ΑΓ = 16, ΑΚ = α, και ΓΚ = (16-α)
    (i)Από την ομοιότητα των ορθογωνίων τριγώνων (ΑΓΔ) και (ΑΕΚ) έχουμε::
    ΑΚ/ΑΓ=ΕΚ/ΓΔ —-> α/16=υ/6 —-> 6α=16υ —-> υ=6α/16
    Διαιρούμε το κλάσμα δια του δύο κι’ έχουμε:
    υ=6α/16 —-> υ=3α/8 (1)
    (ii)Από την ομοιότητα των ορθογωνίων τριγώνων (ΑΒΓ) και (ΕΚΓ) έχουμε:
    ΚΓ/ΑΓ=ΕΚ/ΑΒ —-> (16-α)/16=υ/10 —-> 10*(16-α)=16υ —-> υ=10*(16-α)/16
    Διαιρούμε το κλάσμα δια του δύο κι’ έχουμε:
    υ=10*(16-α)/16 —-> υ=5*(16-α)/8 —-> υ=(80-5α)/8 (2)
    Επειδή τα τρίγωνα είναι όμοια τα ύψη είναι ίσα, άρα έχουμε:
    3α/8=(80-5α)/8 –> 3α=80-5α –>3α+5α=80 –> 8α=80 —–> α=80/8 —-> α=10 (3)
    Αντικαθιστούμε τη (3) στη (2) κι’ έχουμε:
    υ=(80-5α)/8 —–> υ=[80-(5*10)]/8 —–> υ=(80-50)/8 —–> υ=30/8 —–> υ=3,75μ (4)
    Συμπέρασμα:
    Το ύψος, όπου διασταυρώνονται τα σχοινιά, παραμένει πάντα σταθερό, ανεξάρτητα από την απόσταση των πασσάλων.
    Πράγματι βάσει του κατωτέρω σκεπτικού συνάγουμε ότι το ύψος όπου διασταυρώνονται τα σχοινιά παραμένει σταθερό.
    Έστω ΕΚ = υ, ΑΚ = α, και ΚΓ = β
    (i)Από την ομοιότητα των ορθογωνίων τριγώνων (ΑΓΔ) και (ΑΕΚ) έχουμε::
    ΑΚ/ΑΓ=ΕΚ/ΓΔ —-> α/(α+β)=υ/6 —-> 6α=υ*(α+β) —-> υ=6α/(α+β) (1)
    (ii)Από την ομοιότητα των ορθογωνίων τριγώνων (ΑΒΓ) και (ΕΚΓ) έχουμε:
    ΚΓ/ΑΓ=ΕΚ/ΑΒ —-> β/(α+β)=υ/10 —-> 10β=υ*(α+β) —-> υ=10β/(α+β) (2)
    Επειδή τα τρίγωνα είναι όμοια τα ύψη είναι ίσα, άρα έχουμε:
    6α/(α+β)= 10β/(α+β) —-> 6α=10β —-> α=10β/6
    Διαιρούμε το κλάσμα δια του δύο κι’ έχουμε:
    α=10β/6 —-> α=5β/3 (3)
    Αντικαθιστούμε τη (3) στη (2) κι’ έχουμε:
    υ=10β/(α+β) —-> υ=10β/[(5β/3)+β] —–> υ=10β/[(5β+3β)/3] —-> υ=10β/8β/3 —–>
    υ=(3*10β)/8β —> υ=30β/8β –> υ=30/8 —> υ=3,75μ. (4)
    (Γ)Γενίκευση για τυχαία μήκη πασσάλων.
    Έστω ΑΒ=x, ΓΔ=ψ, ΕΚ=υ, ΑΚ=α, και ΚΓ=β
    (i)Από την ομοιότητα των ορθογωνίων τριγώνων (ΑΓΔ) και (ΑΕΚ) έχουμε:
    ΑΚ/ΑΓ=ΕΚ/ΓΔ —-> α/(α+β)=υ/ψ —-> αψ=υ*(α+β) —-> υ=αψ/(α+β) (1)
    (ii)Από την ομοιότητα των ορθογωνίων τριγώνων (ΑΒΓ) και (ΕΚΓ) έχουμε:
    ΚΓ/ΑΓ=ΕΚ/ΑΒ —-> β/(α+β)=υ/x —-> βx=υ*(α+β) —-> υ=βx/(α+β) (2)
    Επειδή τα τρίγωνα είναι όμοια τα ύψη είναι ίσα, άρα έχουμε:
    αψ/(α+β)=βx/(α+β) —> αψ=βx —> α=βx/ψ (3)
    Αντικαθιστούμε τη (3) στη (2) κι’ έχουμε:
    υ=βx/(α+β) —-> υ=βx/[(βx/ψ)+β] —–> υ=βx/[(βx+βψ)/ψ] —-> υ=βx/[β*(χ+ψ)]/ψ —->
    υ=βxψ/β*(x+ψ) —-> υ=xψ(x+ψ) (4)
    Άρα το ύψος, όπου διασταυρώνονται τα σχοινιά, παραμένει πάντα σταθερό, ανεξάρτητα από την απόσταση των πασσάλων(ΑΓ).

  2. Ενδιαφέρον παρουσιάζει επίσης μια παραλλαγή
    στην οποία τα μήκη είναι δεδομένα, στα σχοινιά, στο ύψος του σημείου της διασταύρωσης των σχοινιών από το έδαφος και ζητείται η απόσταση μεταξύ των δύο πασσάλων.
    Στο βιβλίο του Martin Gardner «Το Τσίρκο των Μαθηματικών»,1990 εκδ. Τροχαλία, §3, σελίδα 53, ο Martin Gardner αναφέρει ότι η απλούστερη ακέραια λύση του προβλήματος είναι η εξής:
    Μήκη σχοινιών:119μ. και 70μ.
    Ύψος σημείου διασταύρωσης των σχοινιών από το έδαφος:30μ.
    Απόσταση μεταξύ των πασσάλων:56μ.
    Μήκη πασσάλων:105μ. και 42μ.

  3. Επίσης ο Brian Bolt στο βιβλίο του «Mathematical Cavalcade», 1992 έκδοση Cambridge University Press, αναφέρει δύο παραλλαγές του προβλήματος Νο.92, σελίδα 77 και Νο.110, σελίδα 88.

Αφήστε μια απάντηση

Σαν σήμερα

  1. 18/06/1815: Η Μάχη του Βατερλό
    Οι ενωμένες δυνάμεις Βρετανών και Πρώσων, υπό τους στρατηγούς Ουέλλινγκτον και Μπλίχερ αντίστοιχα, συντρίβουν τις γαλλικές δυνάμεις, των οποίων ηγείται ο αυτοκράτωρ Ναπολέων Βοναπάρτης.

Χρήσιμοι Σύνδεσμοι