1.3 Μονοτονία συνάρτησης με χρήση του ορισμού (Μεθοδολογία)


Για να βρούμε τη μονοτονία μιας συνάρτησης f σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της ακολουθούμε τα εξής βήματα :

  • Θεωρούμε δύο οποιαδήποτε σημεία x_1, x_2 \in \grD  με x_1 < x_2.
  • Με κατάλληλες πράξεις κατασκευάζουμε την ανισότητα μεταξύ των f(x_1) και f(x_2).
    Αν καταλήξουμε:

    •  στην ανισότητα f(x_1)< f(x_2), τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ.
    • στην ανισότητα  f(x_1)> f(x_2), , τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ.

Παράδειγμα 1
Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία την συνάρτηση:

    \[f(x)=5-\sqrt{6-2x}.\]

2.2 Άρρητοι αριθμοί-Πραγματικοί αριθμοί

Τι πίστευαν οι Πυθαγόρειοι για τους αριθμούς; Πως προέκυψε η πρώτη κρίση στα Μαθηματικά;

Οι Πυθαγόρειοι πίστευαν ότι ο λόγος δύο οποιωνδήποτε μεγεθών μπορεί να εκφραστεί ως λόγος(κλάσμα) δύο φυσικών αριθμών.

Όμως, όταν προσπάθησαν να υπολογίσουν τη διαγώνιο ενός τετραγώνου με πλευρά 1, κατέληξαν σε έναν αριθμό o οποίος δεν μπορεί να γραφεί σαν το λόγο δύο αριθμών.

Ο Ιππασος, ένας από τους σημαντικότερους μαθητές του Πυθαγόρα απέδειξε ότι o αριθμός \sqrt{2} δεν μπορεί γραφεί σε μορφή κλάσματος δύο φυσικών αριθμών άλλα είναι ένας αριθμός όπου τα δεκαδικά του ψηφία δεν έχουν τέλος (Βλέπε εικόνα). Μάλιστα, λέγεται ότι έχασε τη ζωή του για την ανακάλυψη αυτή.

2.1 Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού

Τι ονομάζουμε τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α; 

Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του α συμβολίζεται με \sqrt{\gra}.

Ο αριθμός α ονομάζεται υπόρριζη ποσότητα ενώ το σύμβολο της ρίζας ονομάζεται και ριζικό.

Top
 
Μετάβαση σε γραμμή εργαλείων