Πριν από λίγο καιρό αγαπητός συνάδελφος μας ζήτησε να κατασκευάσουμε ένα αρχείο Geogebra στο οποίο να δίνουμε τιμές στην ανεξάρτητη μεταβλητή και να υπολογίζει την αντίστοιχη τιμή της συνάρτησης και παράλληλα να εμφανίζει το αντίστοιχο σημείο της γραφικής παράστασης σε σύστημα συντεταγμένων.

Ανταποκρινόμενοι στο αίτημα του κατασκευάσαμε δύο αρχεία το καθένα με τη δική του φιλοσοφία, τα οποία σκεφτήκαμε και να δημοσιεύσουμε…

Για να κατεβάσετε τα αρχεία πατήστε επάνω στην εικόνα.

Δημήτρης-Ντικράν

Το παράδοξο των γενεθλίων στη θεωρία πιθανοτήτων αναφέρεται σε ένα πρόβλημα το οποίο, κατά την κοινή λογική, έχει μια απίθανη απάντηση. Μία από τις μορφές του προβλήματος είναι: “σε μία ομάδα 23 ατόμων τι πιθανότητα υπάρχει δύο από αυτά τα άτομα να έχουν την ίδια ημέρα γενέθλια”; Η “πιθανά προφανής” απάντηση είναι 23/365=0,063 δηλαδή έξι τοις εκατό. Η μαθηματική λύση όμως μας δίνει 50%! Ακόμα πιο εντυπωσιακά, το ποσοστό γίνεται 99% με μόνο 57 άτομα! Στην εφαρμογή που αναρτούμε υπολογίζεται η πιθανότητα αυτή για διαφορετικά πλήθη ατόμων. Επίσης, υπολογίζεται και η πιθανότητα ύπαρξης της ίδιας μέρας γενεθλίων με συγκεκριμένο άτομο της ομάδας, ανεξάρτητα ή και σε αντιδιαστολή με την προηγούμενη πιθανότητα.

Θα μπορούσε να διδαχθεί στο μάθημα των πιθανοτήτων τόσο στην Α’ Λυκείου, όσο και στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας στη Γ’ Λυκείου.

Για να μεταφορτώσετε την εφαρμογή πιέστε επάνω στην εικόνα.

Στη θεωρία Πιθανοτήτων ο νόμος των μεγάλων αριθμών περιγράφει το αποτέλεσμα της επανάληψης ενός πειράματος τύχης. Σύμφωνα με το νόμο αυτό, ο μέσος όρος των αποτελεσμάτων που έχουν πραγματοποιηθεί σε διαδοχικές επαναλήψεις του πειράματος προσεγγίζει την αναμενόμενη τιμή (θεωρητική μέση τιμή) του πειράματος, όσο ο αριθμός των επαναλήψεων αυξάνει, Από αυτό προκύπτει ότι όταν το πλήθος των δοκιμών ενός πειράματος τύχης αυξάνει απεριόριστα, η σχετική συχνότητα ενός εκάστου ενδεχομένου προσεγγίζει τη θεωρητική του πιθανότητα. Η εφαρμογή που αναρτάται αναπαριστά το συγκεκριμένο νόμο στις περιπτώσεις του νομίσματος και του ζαριού. Ο χρήστης μπορεί να επιλέξει το συνολικό αριθμό ρίψεων καθώς επίσης και το ενδεχόμενο που σας ενδιαφέρει (στην περίπτωση του νομίσματος Κεφάλι ή Γράμματα, ενώ στην περίπτωση του ζαριού οποιοδήποτε απλό ή σύνθετο ενδεχόμενο).

Η εφαρμογή βασίζεται στην ακόλουθη ιδέα: δημιουργεί μια λίστα, μήκους ν₀ (που καθορίζεται από το χρήστη και παριστάνει το συνολικό αριθμό ρίψεων), τυχαίων αριθμών (στη περίπτωση του νομίσματος είναι {Κεφάλι ή Γράμματα} ενώ στην περίπτωση του ζαριού {1, 2, 3, 4, 5 ή 6}. Δημιουργείται, στη συνέχεια , ένας δρομέας ν που ανατρέχει τη λίστα που έχει δημιουργηθεί, ανά δέκα στοιχεία, και μετρά τον αριθμό των απλών ή σύνθετων (στην περίπτωση του ζαριού)  ενδεχομένων του πειράματος που έχουν προκύψει μέχρι την τρέχουσα τιμή του ν.

Θα μπορούσε να διδαχθεί στο μάθημα των πιθανοτήτων τόσο στην Α’, όσο και στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας στη Γ’ Λυκείου.

Για να μεταφορτώσετε την εφαρμογή πατήστε πάνω στην εικόνα.

Το αρχείο που δημοσιεύουμε παρουσιάζει την λύση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης σε διαδοχικά βήματα.
Ο χρήστης μπορεί να επιλέξει μεταξύ του να εισάγει συγκεκριμένη εξίσωση για μελέτη, ή να αφήσει τον υπολογιστεί να επιλέξει μία (τυχαία).

Με αφορμή το πρόβλημα της επίλυσης της δευτεροβάθμιας εξίσωσης, αναδεικνύουμε την δυνατότητα που έχουν οι νεότερες εκδόσεις Geogebra, με κατάλληλες εντολές κειμένου, να εκτελούν αντικαταστάσεις σε δεδομένο τύπο (αναλυτικά) και στη συνέχεια να τον απλοποιούν.
Το αρχείο μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την διδασκαλία στην Γ΄ Γυμνασίου αλλά και την Α΄ Λυκείου.

Για να κατεβάσετε το αρχείο πατήστε επάνω στην εικόνα.

Ας υποθέσουμε ότι θα επιθυμούσαμε να υπολογίσουμε το εμβαδόν μιας επίπεδης μορφής για την οποία δεν υπάρχει κανένας τύπος που να την υπολογίζει επακριβώς. Υπάρχουν αρκετές μέθοδοι για να μπορέσουμε να το εκτιμήσουμε, όμως μια από τις πιο διασκεδαστικές είναι η ονομαζόμενη μέθοδος Monte Carlo που βασίζεται στις εαναλαμβανόμενες τυχαίες δειγματοληψίες. Η ιδέα είναι απλή: αρκεί να περιγράψουμε τη συγκεκριμένη μορφή με ένα ορθογώνιο του οποίου το εμβαδόν υπολογίζεται εύκολα, και στη συνέχεια να δημιουργήσουμε έναν αριθμό τυχαίων σημείων μέσα στο ορθογώνιο (π.χ. κρεμώντας το όλο σχήμα στον τοίχο και ρίχνοντας πάνω του βελάκια χωρίς να σημαδεύουμε)… Τότε αν δημιουργήσαμε 100 τέτοια σημεία μέσα στο ορθογώνιο, και από αυτά τα 60 κατέληξαν να είναι μέσα στην «περίεργη» μορφή, τότε το εκτιμώμενο εμβαδόν θα αντιστοιχεί στο 60% του εμβαδού του ορθογωνίου. Η συγκεκριμένη εφαρμογή αναπαριστά αυτή τη μέθοδο εκτίμησης εμβαδού, αλλά επιπλέον δείχνει και μια εφαρμογή της συγκεκριμένης μεθόδου στον υπολογισμό του π.

Θα μπορούσε να διδαχθεί στο μάθημα των πιθανοτήτων τόσο στην Α’, όσο και στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας στη Γ’ Λυκείου.

Για να μεταφορτώσετε το αρχείο κάνετε κλικ επάνω στην εικόνα.