Άρρητοι αριθμοί: Προαγγελία της πρώτης κρίσης
Οι πρώτοι αριθμοί με τους οποίους ερχόμαστε σε επαφή στα πρώτα παιδικά μας χρόνια είναι οι λεγόμενοι φυσικοί ή θετικοί ακέραιοι αριθμοί 1, 2, 3,…. Αυτοί οι αριθμοί είναι αφαιρέσεις που προκύπτουν από τη διαδικασία αρίθμησης πεπερασμένων συνόλων αντικειμένων. Λίγο αργότερα συνειδητοποιούμε ότι οι ανάγκες της καθημερινής ζωής απαιτούν, εκτός από την αρίθμηση μεμονωμένων αντικειμένων, και τη μέτρηση διάφορων ποσοτήτων όπως το μήκος, το βάρος, ο χρόνος. Για να ικανοποιήσουμε τις απλές αυτές ανάγκες μέτρησης χρειαζόμαστε τα κλάσματα, γιατί είναι σπάνιο ένα μήκος, για παράδειγμα, να περιέχει ακριβώς ένα ακέραιο πλήθος προκαθορισμένων μονάδων μήκους. Για μερικές μετρήσεις όπως είναι η καταγραφή πολύ χαμηλών θερμοκρασιών, το μηδέν, οι αρνητικοί ακέραιοι και τα αρνητικά κλάσματα αποδεικνύονται χρήσιμα. Το αριθμητικό μας σύστημα έχει διευρυνθεί. Αν όμως ορίσουμε ένα ρητό αριθμό ως το πηλίκο δύο ακεραίων, p/q, q 0, τότε αυτό το σύστημα των ρητών αριθμών είναι αρκετό για όλους τους ακέραιους και όλα τα κλάσματα.
Οι ρητοί αριθμοί έχουν μια απλή γεωμετρική παράσταση. Σημειώστε δύο διαφορετικά σημεία Ο και Ι (βλ. σχήμα 1) σε μια οριζόντια ευθεία γραμμή, έτσι ώστε το Ι να βρίσκεται δεξιά από το Ο και πάρτε το τμήμα ΟΙ σαν μονάδα μήκους. Αν θεωρήσουμε ότι τα Ο και Ι παριστάνουν αντίστοιχα τους αριθμούς Ο και 1, τότε οι θετικοί και οι αρνητικοί ακέραιοι μπορούν να παρασταθούν από ένα σύνολο σημείων πάνω στην ευθεία που απέχουν μεταξύ τους κατά τη μονάδα μήκους. Οι θετικοί ακέραιοι βρίσκονται δεξιά από το Ο και οι αρνητικοί αριστερά από το Ο. Τα κλάσματα με παρονομαστή q παριστάνονται με τα σημεία που διαιρούν κάθε μοναδιαίο διάστημα σε q ίσα μέρη. Τότε για κάθε ρητό αριθμό υπάρχει ένα μοναδικό σημείο πάνω στην ευθεία. Οι πρώτοι μαθηματικοί θεωρούσαν προφανές, όπως εξάλλου θεωρούν και σήμερα όσοι δεν έχουν εμβαθύνει στα μυστήρια της ευθείας των αριθμών, ότι μ’ αυτό τον τρόπο εξαντλούνται όλα τα σημεία της ευθείας· η κοινή λογική αυτό ακριβώς μαρτυρά.
Πρέπει να αποτέλεσε πραγματικό πνευματικό σοκ για τον άνθρωπο η γνώση ότι υπάρχουν σημεία στην ευθεία των αριθμών που δεν αντιστοιχούν σε κανένα ρητό αριθμό. Αυτή η ανακάλυψη ήταν ασφαλώς μία από τις μεγαλύτερες επιτυχίες των αρχαίων Ελλήνων και πρέπει να έγινε κάπου στον έκτο ή τον πέμπτο π.Χ. αιώνα από την αδελφότητα των πυθαγορείων. Είχε ανατείλει μια πραγματικά μεγάλη στιγμή των μαθηματικών.
Οι πυθαγόρειοι, πιο συγκεκριμένα, ανακάλυψαν ότι δεν υπάρχει ρητός αριθμός που να αντιστοιχεί στο σημείο Ρ της ευθείας των αριθμών, η απόσταση ΟΡ είναι ίση με τη διαγώνιο τετραγώνου, πλευράς ίσης με τη μονάδα. Αργότερα βρέθηκαν κι άλλα σημεία της ευθείας των αριθμών που δεν αντιστοιχούσαν σε ρητούς αριθμούς. Έπρεπε λοιπόν να επινοηθούν νέοι αριθμοί που να αντιστοιχούν σ’ αυτά τα σημεία και αφού αυτοί οι αριθμοί δεν μπορούσαν να είναι ρητοί ονομάστηκαν άρρητοι αριθμοί.
Η ανακάλυψη της ύπαρξης άρρητων αριθμών ανέτρεψε μια άλλη πίστη των αρχαίων Ελλήνων. Δεδομένων δύο ευθύγραμμων τμημάτων η κοινή λογική οδηγούσε στο συμπέρασμα ότι πρέπει να υπάρχει ένα τρίτο ευθύγραμμο τμήμα, ίσως πολύ πολύ μικρό, που να χωράει ακέραιες φορές σε καθένα από τα δεδομένα ευθύγραμμα τμήματα. Το ίδιο πράγματι διαισθάνονται ακόμα και σήμερα όλοι που δεν γνωρίζουν το αντίθετο. Αλλά ας πάρουμε σαν ευθύγραμμα τμήματα την πλευρά α και μια διαγώνιο δ ενός τετραγώνου. Αν υπάρχει ένα τρίτο ευθύγραμμο τμήμα μ που να χωράει ακέραιες φορές στα α και δ τότε θα έχουμε: α = qμ και δ = pμ, όπου p και q θετικοί αριθμοί. Αλλά δ = α , οπότε pμ = qμ . Δηλαδή ρ = q , οπότε ο = ρ/q είναι ρητός αριθμός. Συνεπώς σε αντίθεση με τη διαίσθηση υπάρχουν ασύμμετρα ευθύγραμμα τμήματα, δηλαδή ευθύγραμμα τμήματα που δεν έχουν κοινή μονάδα μέτρησης.
Διαπιστώνουμε ότι όλοι οι παραπάνω συλλογισμοί που αποδείχνουν ότι ο ρίζα 2 είναι άρρητος αριθμός χρησιμοποιούν την έμμεση μέθοδο απόδειξης ή εις άτοπο απαγωγή. Ο διαπρεπής Άγγλος μαθηματικός Τζ. Χ. Χάρντυ (G.H. Hardy, 1877-1947) έχει κάνει μια θαυμάσια παρατήρηση γι’ αυτόν τον τύπο απόδειξης. Στο σκάκι, η κίνηση κατά την οποία προσφέρεται ένα πιόνι στον αντίπαλο είναι ένα κόλπο στο οποίο ένα πιόνι ή ένα άλλο κομμάτι θυσιάζεται για να επιτευχθεί μια πιο πλεονεκτική θέση. Ο Χάρντυ έδειξε ότι η εις άτοπο απαγωγή «είναι ένα πολύ καλύτερο τέχνασμα από αυτό του σκακιού: ο παίχτης στο σκάκι θυσιάζει ένα πιόνι ή ένα άλλο κομμάτι, ενώ ο μαθηματικός θυσιάζει το παιχνίδι). Η εις άτοπο απαγωγή εμφανίζεται ως το πιο θαυμαστό τέχνασμα που μπορεί να συλλάβει ο ανθρώπινος νους.
Μια ενδιαφέρουσα αντιμετώπιση των άρρητων αριθμών βρίσκουμε στους αρχαίους χρόνους όταν οι Έλληνες γεωμέτρες προσπάθησαν να κατασκευάσουν κανονικό πολύγωνο πέντε πλευρών. Εύκολα είχαν κατασκευάσει, κανονικά πολύγωνα τριών και τεσσάρων πλευρών, δηλαδή ισόπλευρο τρίγωνο και τετράγωνο και η κατασκευή κανονικού εξαγώνου δεν παρουσίαζε ασφαλώς καμιά δυσκολία. Αλλά η κατασκευή κανονικού πολυγώνου με πέντε πλευρές —δηλαδή κανονικού πενταγώνου— είναι μια εντελώς άλλη υπόθεση. Το ζήτημα είναι να κατασκευαστεί γωνία 36 , αφού το διπλάσιο της η γωνία 72 , είναι η κεντρική γωνία που βρίσκεται απέναντι από κάθε πλευρά του κανονικού και εγγεγραμμένου σε κύκλο πενταγώνου. Σ’ ένα ισοσκελές τρίγωνο όταν καθεμιά από τις δύο γωνίες της βάσης του είναι το διπλάσιο της γωνίας της κορυφής του, τότε οι γωνίες της βάσης είναι 72 και η γωνία της κορυφής είναι 36 . Συνεπώς το πρόβλημα ανάγεται στην κατασκευή ενός τέτοιου ισοσκελούς τριγώνου. Η κατασκευή του εγγεγραμμένου κανονικού πενταγώνου είναι τώρα εύκολη.
Όταν ένα ευθύγραμμο τμήμα ΟΒ διαιρείται από ένα σημείο Γ έτσι. ώστε το μεγαλύτερο τμήμα ΟΓ να είναι μέσο ανάλογο του μικρότερου τμήματος ΓΒ και του όλου τμήματος ΟΒ, λέμε ότι το ευθύγραμμο τμήμα ΟΒ διαιρείται σε χρυσή τομή. Είδαμε παραπάνω ότι αν το χ παριστάνει, έναν από τους λόγους ΓΒ/ΟΓ ή ΟΓ/ΟΒ, τότε αυτός ο αριθμός ή μερικές φορές ο αντίστροφος του, ονομάζεται χρυσός λόγος και αυτός ο λόγος φαίνεται, ότι βρίσκεται παντού μέσα στη φύση και αλλού.
Εδώ απλά σημειώνουμε ότι ψυχολογικά τεστ τείνουν να δείξουν πως το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, που είναι, πιο ευχάριστο στο μάτι για τους περισσότερους ανθρώπους, είναι αυτό που ο λόγος του πλάτους προς το μήκος του είναι ο χρυσός λόγος χ. Αυτό το ορθογώνιο που λέγεται, χρυσό ορθογώνιο είναι θεμελιακό σε μια καλλιτεχνική τεχνική γνωστή ως «δυναμική συμμετρία», που έχει μελετηθεί από τον Τζ. Χάμπιτζ (Jay Hambidge) και άλλους. Ο χρυσός λόγος και το χρυσό ορθογώνιο έχουν παρατηρηθεί στην ελληνική αρχιτεκτονική και κεραμική και έχουν εφαρμοστεί στη γλυπτική, τη ζωγραφική, το αρχιτεκτονικό σχέδιο, τη σχεδίαση επίπλων και την τυπογραφική εμφάνιση. Πλήθος καλλιτέχνες, όπως ο γνωστός Αμερικανός ζωγράφος Τζορτζ Μπέλλοους (George Bellows), έχουν χρησιμοποιήσει εκτενώς στη δουλειά τους τις αρχές της δυναμικής συμμετρίας.
Μια βασική διαφορά μεταξύ ρητών και άρρητων αριθμών συνειδητοποιήθηκε μετά την επινόηση των δεκαδικών κλασμάτων. Μπορούμε εύκολα να αποδείξουμε ότι κάθε ρητός αριθμός γράφεται σε δεκαδική μορφή είτε με ένα πεπερασμένο πλήθος ψηφίων είτε με περιοδική επανάληψη μιας ομάδας ψηφίων, και αντίστροφα, κάθε δεκαδική μορφή πεπερασμένη ή περιοδικά επαναλαμβανόμενη παριστάνει ένα ρητό αριθμό. Συνεπώς, η δεκαδική παράσταση ενός άρρητου αριθμού είναι μη πεπερασμένη και μη επαναλαμβανόμενη και, αντίστροφα, κάθε μη πεπερασμένη και μη επαναλαμβανόμενη δεκαδική μορφή παριστάνει κάποιον άρρητο αριθμό.
Η διάκριση ανάμεσα στις δεκαδικές παραστάσεις των ρητών και των άρρητων αριθμών είναι πολύ χρήσιμη στον προσδιορισμό ορισμένων ιδιοτήτων των αριθμών αυτών. Ας υποθέσουμε, για παράδειγμα, πως θέλουμε να αποδείξουμε ότι μεταξύ δύο θετικών άρρητων αριθμών υπάρχει πάντα ένας ρητός. Συμβολίζουμε τους δύο άρρητους με α και β, (0<α<b, και τις δεκαδικές τους παραστάσεις ως
α = αο, αι,α2… και β = βο, β1,β2… .
Έστω κ η πρώτη τιμή του ν για την οποία αν βν (ν = 0, 1, 2,…). Τότε ο αριθμός
γ = βο, β1,β2… βκ
είναι ένας ρητός αριθμός μεταξύ α και β.
Ένας πραγματικός αριθμός ονομάζεται απλά κανονικός αν όλα τα δέκα ψηφία (0, 1,… 9) εμφανίζονται στη δεκαδική του παράσταση με την ίδια συχνότητα. Ονομάζεται δε κανονικός αν όλες οι ομάδες ψηφίων ίδιου μήκους, εμφανίζονται με την ίδια συχνότητα. Αποτελεί πεποίθηση, αλλά δεν έχει αποδειχτεί ότι οι αριθμοί π, e και , για παράδειγμα, είναι κανονικοί αριθμοί. Για να αποκτήσουμε και στατιστική απόδειξη της υποτιθέμενης κανονικότητας αυτών των αριθμών, έχουμε υπολογίσει τις δεκαδικές τους παραστάσεις μέχρι ένα μεγάλο αριθμό δεκαδικών θέσεων.
Στα 1967, Βρετανοί μαθηματικοί εργαζόμενοι σε έναν υπολογιστή προσδιόρισαν 100.000 ψηφία από τη δεκαδική παράσταση του . Στα 1971 ο Ζακ Ντούτκα (Jacques Dutka) του Πανεπιστημίου της Κολούμπια υπολόγισε πάνω από ένα εκατομμύριο ψηφία για το — μετά από 47,5 ώρες λειτουργίας του υπολογιστή, η μηχανή κατέγραψε τη δεκαδική παράσταση του με τουλάχιστον 1.000.082 σωστά ψηφία, γεμίζοντας 200 πυκνογραμμένες σελίδες εκτυπωτή, με 5.000 ψηφία σε κάθε σελίδα. Αυτή είναι η μεγαλύτερη προσέγγιση άρρητου αριθμού που έγινε ποτέ.
Κάτω από Χωρίς κατηγορία | 0 ΣχόλιαHello world!
Καλωσήρθατε στο Blogs.sch.gr. Αυτή είναι η πρώτη σας δημοσίευση. Αλλάξτε την ή διαγράψτε την και αρχίστε το “Ιστολογείν”!
Συμβουλευτείτε τα αρχεία βοήθειας για την διαχείριση του ιστολογίου σας.
Κάτω από Χωρίς κατηγορία | 1 Σχόλιο