Κάθε φορά που ξεκινάω να διδάξω τις ταυτότητες, βλέπω τους μαθητές να τις αντιμετωπίζουν με φόβο, ίσως και τρόμο, πριν καλά καλά τις δουν. Ακούω επιφωνήματα του στυλ “Αχ”, “ΩΩΩχχ”, “γιατί μας βασανίζετε κύριε” κτλ. Κι αναρωτιέμαι γιατί αυτή η αντιμετώπιση σε ένα αντικείμενο που είναι τόσο εύκολο μα και τόσο χρήσιμο. Οι ταυτότητες μας “λύνουν τα χέρια” σε πάρα πολλές περιπτώσεις που θέλουμε να κάνουμε πράξεις που με τον κλασσικό τρόπο ( την επιμεριστική ιδιότητα δηλαδή) θα θέλαμε περισσότερο χρόνο, περισσότερες πράξεις και φυσικά με μεγαλύτερη πιθανότητα να κάνουμε λάθος. Έχοντας αυτό το εργαλείο στα χέρια μας αποφεύγουμε τις πράξεις και περνάμε κατ’ ευθείαν στο αποτέλεσμα. Μάλιστα πολλές φορές έχω ακούσει την έκφραση “αφού μπορώ να κάνω επιμεριστική και να βρω το αποτέλεσμα γιατί θα πρέπει να μάθω κάτι καινούργιο;” και αμέσως θυμάμαι τις παλίες νοικοκυρές που αγόρασαν για πρώτη φορά πλυντήριο ( γιατί το απαιτούσαν οι καιροί ) αλλά το χρησιμοποιούσαν για να βάζουν επάνω τη σκάφη και να πλένουν με τον παραδοσιακό τρόπο με τη δικαιολογία ότι αυτά είναι λευκά ή ευαίσθητα και το πλυντήριο θα μου τα χαλάσει.
Φυσικό είναι να δείχνουμε κάποια διστακτικότητα ή να είμαστε επιφυλακτικοί σε κάθε τι καινούργιο, αλλά αν αυτό μας “έπαιρνε από κάτω” ακόμη θα ζούσαμε στις σπηλιές. Αν κι εδώ που τα λέμε τέτοια αντιμετώπιση από νέους ανθρώπους δεν επιτρέπεται, αφού τα νέα παιδιά είναι αυτά που πρώτα αγκαλίαζουν κάθε τι νέο που θεωρούν ότι θα κάνει τη ζωή τους πιο εύκολη. Kι αυτό φαίνεται στο ντύσιμό τους, στα κινητά τους ακόμη και στο τρόπο που μιλάνε και γράφουν όπου τα έχουν “απλοποιήσει” όλα. Αυτά λοιπόν σαν εισαγωγή δεν θα επεκταθώ άλλο (αν κι είχα πολλά να πω) γιατί πρέπει να απαντήσω στις ερωτήσεις κάποιων μαθητών που αφορούν στις παρεξηγημένες ταυτότητες.
Τι είναι η Ταυτότητα;
Ταυτότητα ονομάζουμε κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές με την προϋπόθεση αυτή να επαληθεύεται γιά κάθε τιμή των μεταβλητών.
Έτσι η σχέση 1+3=4 δεν είναι ταυτότητα γιατί παρότι είναι ισότητα, δεν περιέχει μεταβλητές
η σχέση $\alpha+2=5$ δεν είναι ταυτότητα παρότι περιέχει μεταβλητές, είναι ισότητα αλλά επαληθεύεται για μία μόνο τιμή (για α=3),
ενώ η σχέση $\alpha+\alpha=2\alpha$ έχει όλες τιs προϋποθέσεις που έχουμε αναφέρει είναι ισότητα, έχει μεταβλητές και επαληθεύεται για οποιαδήποτε τιμή αφού όποιον αριθμό κι αν αντικαταστήσουμε στη θέση του α η ισότητα που θα προκύψει θα είναι μια σωστή πρόταση (π.χ. $3+3=2\cdot3$).
Γιατί θα πρέπει να χρησιμοποιήσω τις ταυτότητες;
Οι ταυτότητες δεν είναι υποχρεωτικές, τις χρησιμοποιούν όσοι θέλουν να κάνουν κάποιες πράξεις εύκολα και γρήγορα. Επειδή όμως όλοι προτιμούν τον εύκολο και γρήγορο τρόπο οι ταυτότητες είναι ο μόνος δρόμος.
Ποιες είναι οι βασικές ταυτότητες που πρέπει να ξέρω;
Όσες περισσότερες ταυτότητες ξέρουμε τόσο καλύτερα κάνουμε τη δουλειά μας. Οι ταυτότητες που μαθαίνουμε στο Γυμνάσιο είναι οι πλέον απαραίτητες και είναι οι:
ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ
| Όνομα | Ταυτότητα |
|---|---|
| Άθροισμα στο Τετράγωνο | $$(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$$ |
| Διαφορά στο Τετράγωνο | $$(A-B)^2=A^2-2AB+B^2$$ |
| Άθροισμα στο Κύβο | $$(A+B)^3=A^3+3A^2B+3AB^2+B^3$$ |
| Διαφορά στον Κύβο | $$(A-B)^3=A^3-3A^2B+3AB^2-B^3$$ |
| Διαφορά (δύο) Τετραγώνων | $$(A-B)(A+B)=A^2-B^2$$ |
Πότε πρέπει να χρησιμοποιήσω τις ταυτότητες;
- Προσοχή!!!
Οι ταυτότητες χρησιμοποιούνται όταν θέλουμε να διώξουμε από μια αλγεβρική παράσταση τις παρενθέσεις και ειδικότερα (με εξαίρεση την τελευταία) όταν έχουμε άθροισμα (+) ή διαφορά (-) υψωμένη σε κάποια δύναμη (τετράγωνο ή κύβο).
Παραδείγματα:
Να γίνουν οι πράξεις:
$(x-2y)^2=$
$(2x+a)^3=$
$(x^2+1)^2=$
$(2x-3z)(2x+3z)=$
$2(x+1)^2-3(x-2)(x+2)=$
Λύση:
$(x-2y)^2=x^2-2x2y+2^2y^2=x^2-4xy+4y^2$
$(2x+a)^3=2^3x^3+3\cdot2^2x^2a+3\cdot2xa^2+a^3=$ $8x^3+3\cdot4x^2a+6xa^2+a^3=8x^3+12x^2a+6xa^2+a^3$
$(x^2+1)^2=x^{2\cdot2}+2x^2\cdot1+1^2=x^4+2x^2+1$
$(2x-3z)(2x+3z)=2^2x^2-3^2z^2=4x^2-9z^2$
$2(x+1)^2-3(x-2)(x+2)=2(x^2+2×1+1^2)-3(x^2-2^2)=2(x^2+2x+1)-3(x^2-4)=2x^2+4x+2-3x^2+12=-x^2+4x+14$
