Στην αρχαιότητα, η θεμελίωση και η νοηματοδότηση μιας μαθηματικής έννοιας επιτυγχάνοταν, συνήθως, μέσα από την απτή γεωμετρική της υπόσταση.
Η τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού σήμαινε, ουσιαστικά, την πλευρά ενός τετραγώνου με εμβαδό ίσο με τον αριθμό. Φυσικά, μπορούσε, εύκολα, να κατασκευαστεί, γεωμετρικά, στις περιπτώσεις των (τετράγωνων) αριθμών 
, 
, 
, 
, 
, κ.ο.κ..
Επειδή κάθε αριθμός είναι γινόμενο δύο άλλων αριθμών, η γενική περίπτωση αναγόταν στην εύρεση της πλευράς του ισοδύναμου τετραγώνου ενός ορθογωνίου.
Στο δεύτερο βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη, συγκεκριμένα, στην Πρόταση 14, δίνεται ο τρόπος κατασκευής αυτού του τετραγώνου. Αν συμβολίσουμε τις διαστάσεις του ορθογωνίου με 
, τότε πρόκειται, τροποντινά, για την κατασκευή του μέσου αναλόγου 
των ευθύγραμμων τμημάτων . Άλλωστε,
![\[$\dfrac{\alpha }{x}=\dfrac{x}{\beta }\Leftrightarrow x^{2}=\alpha \cdot \beta .$\]](https://blogs.sch.gr/dkonas/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2bd81ec590570cf19a0a43d671e31ee7_l3.png?x32006 "Rendered by QuickLaTeX.com")
Αλληλεπιδρώντας με το ακόλουθο γραφικό,
μπορείτε να δείτε τα βήματα της κατασκευής, η οποία παρουσιάζεται ελαφρώς τροποποιημένη σε σχέση με το βιβλίο των Στοιχείων. Αυτό έγινε, έτσι, ώστε να αναδειχθεί η βασική ιδέα της κατασκευής, αλλά και για να ενοποιηθούν οι επιμέρους προτάσεις των Στοιχείων που χρησιμοποιήθηκαν. Όπως θα διαπιστώσετε, μία από αυτές ήταν το Πυθαγόρειο Θεώρημα.
Ακόμη παλαιότερα, στο βιβλίο “Sulbasutram” γραμμένο στα Σανσκριτικά από τον Ινδό μαθηματικό Baudhayana, υπήρχε ένας διαφορετικός τρόπος κατασκευής αυτού του τετραγώνου. Ο τίτλος του βιβλίου, που χρονολογείται μεταξύ 800 και 600 π.Χ., μεταφράζεται ως “Κανόνες των σχοινιών”. Ήταν ένα εγχειρίδιο κατασκευών βωμών και ναών, όπου στο 1ο Κεφάλαιο είχαν συγκεντρωθεί αριθμημένες γεωμετρικές προτάσεις επονομαζόμενες “Sutra”.
Η κατασκευή στηρίζεται στον Kανόνα 50 (Sutra 50), που, κι εδώ, δεν είναι τίποτε άλλο, παρά αυτό που, αργότερα, ονομάστηκε Πυθαγόρειο Θεώρημα. Αλληλεπιδρώντας με το ακόλουθο γραφικό,
μπορείτε να δείτε, ενοποιημένα, τα ενδιάμεσα στάδια της κατασκευής.
Αναφορές
- Κέντρο έρευνας επιστήμης και εκπαίδευσης, Ευκλείδη Στοιχεία – Σύγχρονη απόδοση με εισαγωγή επεξηγήσεις και σχολιασμό – , Αθήνα 2001.
- Henderson D.W., Geometric Solutions of quadratic and Cubic Equations, Department of Mathematics, Cornell University.