Εξισώσεις τρίτου βαθμού: Μέρος Β’

1

Συγγραφέας: dkonas | Κατηγορία Μαθηματικά Θετικών Σπουδών | , στις 26-08-2012

«Ποιητικές» … Τομές

Οι αρχαίοι Έλληνες,  στην προσπάθειά τους να επιλύσουν το Δήλιο πρόβλημα, ανακάλυψαν μεθόδους, έτσι, ώστε να κατασκευάζουν δύο μέσους αναλόγους μεταξύ δύο τμημάτων.

Οι δύο μέσοι ανάλογοι παρίσταναν τις ακμές δύο κύβων, όπου ο πρώτος έχει όγκο ίσο με το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, που έχει βάση τετράγωνο πλευράς όσο το πρώτο τμήμα και ύψος όσο το δεύτερο τμήμα, ενώ ο δεύτερος έχει όγκο ίσο με το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, που έχει βάση τετράγωνο πλευράς όσο το δεύτερο τμήμα και ύψος όσο το πρώτο τμήμα.

Με σύγχρονη ορολογία, αυτό σημαίνει ότι, αν \alpha και \beta είναι δεδομένα τμήματα, τότε, μπορούσαν να κατασκευαστούν, όχι, όμως, με χρήση, αποκλειστικά, κανόνα και διαβήτη, \kappa, \lambda, τέτοια, ώστε,

    \[\dfrac{\alpha }{\kappa}=\dfrac{\kappa}{\lambda}=\dfrac{\lambda}{\beta },\]

απ’ όπου έπεται ότι,

    \[\kappa^{3}=\alpha ^{2}\beta\,\,\,\,\kappa\alpha\iota\,\,\,\,\lambda^{3}=\alpha \beta ^{2}.\]

Όπως απέδειξε ο Μέναιχμος, θα μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν, για τον σκοπό αυτό, μια παραβολή και μια υπερβολή ή, εναλλακτικά, δύο παραβολές. Αλληλεπιδράστε με το ακόλουθο γραφικό,

για να δείτε τον τρόπο του Μέναιχμου για την κατασκευή των \kappa, \lambda, με χρήση της τομής δύο παραβολών. Όπως θα διαπιστώσετε, αρκεί η γεωμετρική κατασκευή του μέσου αναλόγου δύο τμημάτων για τον σχεδιασμό των παραβολών.

Ο Πέρσης φιλόσοφος, μαθηματικός, αστρονόμος και ποιητής Ομάρ Καγιάμ (1048–1131), αναγνώρισε, στις μεθόδους του Μέναιχμου, τη στρατηγική με την οποία θα μπορούσαν να αξιοποιηθούν, γενικότερα, οι κωνικές τομές στην επίλυση εξισώσεων τρίτου βαθμού. Στο βιβλίο του «Πραγματεία στην Απόδειξη Προβλημάτων Άλγεβρας», επιλύονται 19 τύποι εξισώσεων τρίτου βαθμού, με τρόπους που προϊκονομούν τη γέννηση της Αναλυτικής Γεωμετρίας.

Ακολουθεί μια αντιπροσωπευτική επιλογή ορισμένων από τους τύπους των εξισώσεων, που επιλύονται στο βιβλίο του, καθώς και των αντίστοιχων μεθόδων επίλυσής τους. Παράλληλα, θα αναδειχθεί η διαδικασία με την οποία θα μπορούσε να αντιμετωπιστεί μια οποιαδήποτε τριτοβάθμια εξίσωση. Προς τούτο, επιστρατεύονται, από τη σύγχρονη Άλγεβρα, ο τωρινός συμβολισμός, η χρήση του 0 και των αρνητικών αριθμών, όπως, επίσης, ορισμένες στοιχειώδης, πλέον, ιδιότητες των πράξεων.

Αρχικά, ας θεωρηθεί η απλούστερη δυνατή μορφή εξίσωσης τρίτου βαθμού, δηλαδή, μια εξίσωση της μορφής,

    \[x^{3}=\beta,\,\,\,\,\beta>0.\]

«Αναζήτηση ενός κύβου ίσου μ’ έναν αριθμό», όπως θα έγραφε ο Πέρσης μαθηματικός.

«Ανάγκη συσχέτισης του αριθμού μ’ ένα (τρισδιάστατο) σχήμα», όπως θα μηχανευόταν ο Πέρσης φιλόσοφος.

Η παραπάνω εξίσωση γράφεται,

    \[x^{3}=1^{2}\beta }.\]

Έτσι, από γεωμετρική σκοπιά, αυτό που αναζητείται ισούται με την ακμή ενός κύβου με όγκο όσο ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο με βάση τετράγωνο πλευράς 1 και ύψος \beta. Με άλλα λόγια, το x δεν είναι τίποτε άλλο, παρά ο πρώτος από τους δύο μέσους αναλόγους που μπορούν να κατασκευαστούν μεταξύ των τμημάτων 1 και \beta. Εφαρμογή των μεθόδων των Ελλήνων, λοιπόν. Ιδιαίτερα, αυτών του Μέναιχμου.

Συνέχεια με την εξίσωση,

    \[x^{3}+\alpha x=\beta, \,\,\,\,\alpha,\beta >0.\]

Όπως θα έγραφε ο Ομάρ Καγιάμ, «ένας κύβος και πλευρές ίσες με έναν αριθμό».

Η εξίσωση γίνεται,

    \[x^{3}=-\alpha x+\beta .\]

Συνεπακόλουθα, θα ήταν χρήσιμο το β΄ μέλος της εξίσωσης να μετατραπεί, έτσι, ώστε, κατά απόλυτη τιμή, τουλάχιστον, να παριστάνει τον όγκο ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου τετραγωνικής βάσης.

Πράγματι, ο Ομάρ Καγιάμ θεώρησε ένα τετράγωνο εμβαδού \alpha και ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο με βάση το προηγούμενο τετράγωνο και όγκο \beta. Οπότε, συμβολίζοντας με AB την πλευρά του τετραγώνου και με B\Gamma το ύψος του παραλληλεπιπέδου, η εξίσωση μετασχηματίζεται ως εξής,

    \[x^{3}=-AB^{2} x+AB^{2}B\Gamma ,\]

δηλαδή,

    \[x^{3}=AB^{2}(B\Gamma -x).\]

Μ’ αυτόν τον τρόπο, η επίλυσή της ανάγεται στην αναζήτηση x,y, τέτοιων, ώστε,

    \[\dfrac{AB }{x}=\dfrac{x}{y}=\dfrac{y}{B\Gamma -x}.\]

Τελικά, το x μπορεί να προσδιορίστεί ως τετμημένη του σημείου τομής της παραβολής,

    \[\dfrac{AB }{x}=\dfrac{x}{y},\]

με τον κύκλο,

    \[\dfrac{x}{y}=\dfrac{y}{B\Gamma -x}.\]

Βασικές γνώσεις Αναλυτικής Γεωμετρίας επαρκούν, έτσι, ώστε να επαληθευτεί ότι οι προηγούμενες εξισώσεις παριστάνουν τις συγκεκριμένες κωνικές τομές. Βέβαια, οι γνώσεις αυτές δεν υπήρχαν την εποχή του Ομάρ Καγιάμ, ωστόσο, τα x, y, που εμφανίζονται σε καθεμία από τις παραπάνω αναλογίες, μπορούσαν, επεκτείνοντας τις μεθόδους του Μέναιχμου, να απεικονιστούν χάρη στη γνωστή κατασκευή του μέσου αναλόγου δύο τμημάτων. Από την ισότητα,

    \[\dfrac{AB }{x}=\dfrac{x}{y},\]

προκύπτει ότι το x είναι το μέσο ανάλογο των AB,\,y και από την ισότητα,

    \[\dfrac{x}{y}=\dfrac{y}{B\Gamma -x},\]

ότι το y είναι το μέσο ανάλογο των x,\,B\Gamma -x.

Ο Πέρσης μαθηματικός θεώρησε, για την πρώτη ισότητα, μεταβλητό το y και κατασκεύαζε, με τη βοήθειά του, κάθε φορά, το x, ενώ, ενέργησε αντίστροφα για τη δεύτερη ισότητα. Με τη βοήθεια του ακόλουθου γραφικού, με το οποίο μπορείτε να αλληλεπιδράσετε, μπορεί να γίνει αντιληπτό πως ακριβώς σχηματίζονται οι παραπάνω κωνικές τομές.

Αντίστοιχα, η εξίσωση,

    \[x^{3}+\beta=\alpha x, \,\,\,\,\alpha,\beta >0,\]

γράφεται,

    \[x^{3}=\alpha x -\beta,\]

ή, αν AB, B{\it}\Gamma, όπως παραπάνω,

    \[x^{3}=AB^{2}(x -B\Gamma),\]

οπότε, αναζητούνται x,y, τέτοια, ώστε,

    \[\dfrac{AB }{x}=\dfrac{x}{y}=\dfrac{y}{x-B\Gamma }.\]

Άρα, το x είναι η τετμημένη του σημείου τομής της παραβολής,

    \[\dfrac{AB }{x}=\dfrac{x}{y},\]

με την υπερβολή,

    \[\dfrac{x}{y}=\dfrac{y}{x-B\Gamma}.\]

Κι εδώ, η επαλήθευση μπορεί να γίνει με χρήση μεθόδων της Αναλυτικής Γεωμετρίας ή με τη βοήθεια του ακόλουθου γραφικού,

το οποίο, όπως προηγουμένως, αξιοποιεί, με δυναμικό τρόπο, τη γεωμετρική κατασκευή του μέσου αναλόγου δύο τμημάτων, καθώς αυτά μεταβάλλονται. Προφανώς, ο δεύτερος τρόπος προσιδιάζει, καλύτερα, στην προσέγγιση του Ομάρ Καγιάμ.

Είναι δυνατό, συνθέτοντας τις διάφορες, κατά περίπτωση, μεθόδους του Ομάρ Καγιάμ, να επιλυθεί, γενικότερα, μια οποιαδήποτε εξίσωση τρίτου βαθμού της μορφής,

    \[ x^{3}=\alpha x+\beta,\,\,\,\,\alpha,\beta \in \mathbb{R}.\]

Για να κατανοήσετε, καλύτερα, τον τρόπο, μπορείτε να αλληλεπιδράσετε με το ακόλουθο γραφικό.


Τέλος, η γενική μορφή εξίσωσης τρίτου βαθμού,

    \[\alpha x^{3}+\beta x^{2}+\gamma x+\delta =0,\,\,\,\,\alpha\neq0, \]

μπορεί να μετασχηματιστεί στην προηγούμενη μορφή, συμπληρώνοντας το α΄ μέλος της σε τέλειο κύβο. Πραγματικά, διαδοχικά, ισχύει,

    \[\alpha x^{3}+\beta x^{2}+\gamma x+\delta =0 \]

    \[x^{3}+\dfrac{\beta }{\alpha }x^{2}+\dfrac{\gamma }{\alpha }x+\dfrac{\delta }{\alpha }=0\]

    \[x^{3}+3\dfrac{\beta }{3\alpha }x^{2}+3\left( \dfrac{\beta }{3\alpha }\right) ^{2}x+\left( \dfrac{\gamma }{\alpha }-3\left( \dfrac{\beta }{3\alpha }\right) ^{2}\right) x+\dfrac{\delta }{\alpha }=0\]

    \[x^{3}+3\dfrac{\beta }{3\alpha }x^{2}+3\left( \dfrac{\beta }{3\alpha }\right) ^{2}x+\left( \dfrac{\beta }{3\alpha }\right) ^{3}+\left( \dfrac{\gamma }{\alpha }-3\left( \dfrac{\beta }{3\alpha }\right) ^{2}\right) x+\dfrac{\delta }{\alpha }-\left( \dfrac{\beta }{3\alpha }\right) ^{3}=0\]

    \[\left( x+\dfrac{\beta }{3\alpha }\right) ^{3}=\left( 3\left( \dfrac{\beta }{3\alpha }\right) ^{2}-\dfrac{\gamma }{\alpha }\right) x+\left( \dfrac{\beta }{3\alpha }\right) ^{3}-\dfrac{\delta }{\alpha }\]

    \[\left( x+\dfrac{\beta }{3\alpha }\right) ^{3}=\dfrac{\beta ^{2}-3\alpha \gamma }{3\alpha ^{2}} x+\dfrac{\beta ^{3}-27\delta \alpha ^{2}}{27\alpha ^{3}}\]

    \[\left( x+\dfrac{\beta }{3\alpha }\right) ^{3}=\dfrac{\beta ^{2}-3\alpha \gamma }{3\alpha ^{2}} \left( x+\dfrac{\beta }{3\alpha }\right) +\dfrac{\beta ^{3}-27\delta \alpha ^{2}}{27\alpha ^{3}}-\dfrac{\beta }{3\alpha }\dfrac{\beta ^{2}-3\alpha \gamma }{3\alpha ^{2}}\]

    \[\left( x+\dfrac{\beta }{3\alpha }\right) ^{3}=\dfrac{\beta ^{2}-3\alpha \gamma }{3\alpha ^{2}}\left( x+\dfrac{\beta }{3\alpha }\right) +\dfrac{-2\beta ^{3}-27\delta \alpha ^{2}+9\alpha \beta \gamma }{27\alpha ^{3}}.\]

Η τελευταία εξίσωση είναι της μορφής,

    \[y^{3}=\alpha ^{\prime }y+\beta ^{\prime },\]

όπου,

    \[y=x+\dfrac{\beta }{3\alpha },\,\,\,\,\alpha ^{\prime }=\dfrac{\beta ^{2}-3\alpha \gamma }{3\alpha ^{2}},\,\,\,\,\beta ^{\prime }=\dfrac{-2\beta ^{3}-27\delta \alpha ^{2}+9\alpha \beta \gamma }{27\alpha ^{3}}.\]

Όμως, η Άλγεβρα δε θα περιοριζόταν σε βοηθητικό ρόλο για πάρα πολύ ακόμη. Μέσα στο εννοιολογικό της πλαίσιο, θα τεθεί το πρόβλημα της εύρεσης τύπων που να επιλύουν μια οποιαδήποτε τριτοβάθμια εξίσωση και οι μέθοδοί της θα οδηγήσουν τις εξελίξεις.

Έτσι, το 1500, περίπου, στην Ιταλία, εγκαινιάζεται μία νέα φάση στο πρόβλημα με συναρπαστικές και αναπάντεχες προεκτάσεις για την Άλγεβρα και τα Μαθηματικά γενικότερα.

Αναφορές

  1. Henderson D.W., Geometric Solutions of quadratic and Cubic Equations, Department of Mathematics, Cornell University.
  2. O’Connor J. J. and Robertson E. F., Doubling the cube, School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland , 1999.