Οι μορφές του χώρου
Μέρος 1ο

Πηγή: Scientific American, Απρίλιος 2005

1o, 2ο, 3ο

Όλα τα αντικείμενα γύρω μας είναι σύνολα από σωματίδια που κινούνται μέσα σε μια 3-διάστατη πολλαπλότητα, την οποία ονομάζουμε 3-διάστατο χώρο, και η οποία εκτείνεται προς όλες τις κατευθύνσεις για πολλά δισεκατομμύρια έτη φωτός. Οι πολλαπλότητες είναι μαθηματικές κατασκευές και τα μαθηματικά των πολλαπλοτήτων μας δίνουν την δυνατότητα να περιγράψουμε καθετί που συμβαίνει μέσα στο χώρο που αντιλαμβανόμαστε.

Υπάρχει βέβαια και η νεώτερη θεωρία των χορδών, η οποία εικάζει την ύπαρξη και άλλων διαστάσεων πέρα των 3 που όμως δεν γίνονται άμεσα αντιληπτές.

Τρεις διαστάσεις σημαίνει ότι χρειάζονται 3 μόνον αριθμοί για να περιγράψουμε τη θέση ενός σωματιδίου.

Σύμφωνα με τη Νευτώνεια φυσική και την παραδοσιακή κβαντομηχανική, ο 3-διάστατος χώρος είναι σταθερός και αμετάβλητος. Η γενική σχετικότητα όμως του Einstein, αποδίδει στο χώρο μια μεταβλητότητα. Η απόσταση μεταξύ δύο σημείων εξαρτάται από το πόση ύλη και ενέργεια βρίσκονται κοντά, και από το αν περνάνε από εκεί βαρυτικά κύματα. Άχετα όμως από αυτό, εξακολουθεί ο χώρος να περιγράφεται ως μια 3-διάστατη πολλαπλότητα. Γι αυτό η κατανόηση των 3-διάστατων πολλαπλοτήτων είναι σημαντική. Σημαντικές είναι επίσης και οι 4-πολλαπλότητες, μιας και ο χώρος μαζί με το χρόνο αποτελούν μια 4-πολλαπλότητα. Ο κλάδος των μαθηματικών που μελετάει τις πολλαπλότητες λέγεται τοπολογία. τρεις από τις θεμελιώδεις ερωτήσεις που θέτουν οι τοπολόγοι είναι και οι εξής: Ποια είναι η απλούστερη 3-πολλαπλότητα, δηλαδή εκείνη με λιγότερο περίπλοκη δομή; Υπάρχουν και άλλα ξαδέλφια αυτής της πολλαπλότητας που είναι εξίσου απλά, ή είναι μοναδική; Ποια είδη 3-πολλαπλοτήτων υπάρχουν;

Η απάντηση στην πρώτη ερώτηση είναι γνωστή από παλιά. Ένας χώρος που ονομάζεται 3-σφαίρα είναι η απλούστερη συμπαγής 3-πολλαπλότητα που υπάρχει. (Τις μη συμπαγείς πολλαπλότητες μπορούμε να τις φανταστούμε είτε ως άπειρες, είτε ότι έχουν άκρα.) Στο υπόλοιπο του άρθρου εξετάζουμε μόνο τις συμπαγείς πολλαπλότητες. Οι άλλες δύο ερωτήσεις έμειναν αναπάντητες περισσότερο από έναν αιώνα, και απαντήθηκαν μόλις το 2002 από ένα Ρώσο μαθηματικό, τον Grigori Perelman, ο οποίος μάλλον απέδειξε ένα θεώρημα που είναι γνωστό ως “εικασία του Poincaré.

Η εικασία αυτή διατυπωμένη πριν από 100 χρόνια ακριβώς από τον Γάλλο μαθηματικό Henri Poincaré, λέει ότι η 3-σφαίρα είναι μοναδική μεταξύ των 3-πολλαπλοτήτων. Καμιά άλλη 3-πολλαπλότητα δεν έχει τις ιδιότητές της που την κάνουν τόσο απλή. Οι 3-πολλαπλότητες οι οποίες είναι πιο περίπλοκες από την 3-σφαίρα έχουν όρια τα οποία μπορούμε να διαβούμε όπως όταν περνάμε σκαρφαλώνοντας τη ράχη ενός τοίχου, ή έχουν πολλαπλές συνδέσεις από τη μια περιοχή τους προς μια άλλη, όπως ένα μονοπάτι στο δάσος το οποίο διαχωρίζεται προσωρινά στα δύο και μετά ξανασυνδέεται. Η εικασία του Poincaré λέει ότι η 3-σφαίρα είναι η μόνη συμπαγής 3-πολλαπλότητα η οποία δεν εμφανίζει αυτές τις πολυπλοκότητες.
Κάθε 3-διάστατο αντικείμενο που έχει τις ίδιες ιδιότητες με την 3-σφαίρα μπορεί να πάρει τη μορφή μιας σφαίρας. Λέμε ότι ένα τέτοιο αντικείμενο είναι τοπολογικά ισοδύναμο με την 3-σφαίρα και αποτελεί ένα αντίγραφό της. Η εργασία του Perelman απαντά επίσης και στην τρίτη ερώτηση, ταξινομεί όλους τους τύπους των 3-πολλαπλοτήτων που υπάρχουν.

Όταν λέμε 3-σφαίρα, δεν εννοούμε τη συνηθισμένη σφαίρα όπως την ξέρουμε στην καθημερινή μας εμπειρία. Η επιφάνεια της συνηθισμένης σφαίρας όπως είναι η επιφάνεια ενός μπαλονιού, είναι μια 2-σφαίρα αφού χρειάζονται μόνο 2 συντεταγμένες (π.χ. το γεωγραφικό μήκος και γεωγραφικό πλάτος), για να προσδιοριστεί η θέση ενός σημείου πάνω στην επιφάνεια του μπαλονιού. Επίσης, αν πάρουμε ένα μικρό δίσκο από το μπαλόνι και τον εξετάσουμε με ένα μεγεθυντικό φακό, θα δούμε ότι ο δίσκος μοιάζει πολύ με μια περιοχή ενός 2-διάστατου επιπέδου από ελαστικό. Απλώς έχει επιπλέον μια ελαφρά καμπυλότητα. Σε ένα μικροσκοπικό έντομο που σέρνεται πάνω στο μπαλόνι, η επιφάνεια του μπαλονιού θα μοιάζει τοπικά σαν επίπεδο χωρίς καμπυλότητα. Αν το έντομο αυτό ταξίδευε αρκετά μακριά πάνω σε μια γραμμή που θα του έμοιαζε ευθεία, τελικά θα επέστρεφε στο σημείο από το οποίο ξεκίνησε.

Παρόμοια, ένα ον σε μια 3-σφαίρα, ή ένας άνθρωπος σε ένα σύμπαν τόσο μεγάλο όσο το δικό μας, σχηματίζει την άποψη ότι βρίσκεται μέσα σε ένα 3-διάστατο επίπεδο χώρο. Αν όμως πετάξει αρκετά μακριά προς οποιαδήποτε κατεύθυνση σε μια ευθεία γραμμή, προοδευτικά θα διατρέξει περιφερειακά την 3-σφαίρα και θα ξαναγυρίσει εκεί απ’ όπου ξεκίνησε, όπως το έντομο στο μπαλόνι. Σφαίρες υπάρχουν και για άλλες διαστάσεις. Η 1-σφαίρα μας είναι επίσης γνώριμη. Είναι ακριβώς η περιφέρεια ενός κύκλου όπως τον γνωρίζουμε π.χ. από την περιφέρεια ενός δίσκου (όχι το εσωτερικό του δίσκου.) Γενικά υπάρχει η n-διάστατη σφαίρα ή απλώς n-σφαίρα.

Η 3-σφαίρα, η οποία βρίσκεται στο επίκεντρο της εικασίας του Poincaré, χρειάζεται κάποια προσπάθεια για να γίνει αντιληπτή. Οι μαθηματικοί που ασχολούνται με θεωρήματα σε χώρους ανώτερων διαστάσεων, δεν χρειάζεται να τα κάνουν προσιτά στην όραση. Δουλεύουν με αφηρημένες ιδιότητες, καθοδηγούμενοι από εμπνεύσεις βασισμένες σε αναλογίες προς λιγότερες διαστάσεις (προσέχουν όμως να μην χρησιμοποιούν τις αναλογίες αυτές απερίσκεπτα.) Άλλοι επίσης, σχηματίζουν μια ιδέα για το πως μοιάζουν τα αντικείμενα των πολλών διαστάσεων, ξεκινώντας από παραδείγματα στις λιγότερες διαστάσεις, που μας είναι οικεία. Η 3-σφαίρα είναι ακριβώς μια τέτοια περίπτωση.
1. Ξεκινείστε θεωρώντας ένα δίσκο, με ένα κύκλο να αποτελεί το όριό του. Για τους μαθηματικούς, ο κύκλος είναι μια 2-διάστατη μπάλα, και ο κύκλος είναι μια 1-διάστατη σφαίρα. Σημειώστε ότι μια μπάλα, σε όποιες διαστάσεις και να την θεωρούμε, είναι το ανάλογο μιας μπάλας ποδοσφαίρου, ενώ μια σφαίρα είναι πάντα η επιφάνεια μιας μπάλας, ανάλογη προς την επιφάνεια ενός μπαλονιού. Τον συνηθισμένο κύκλο τον θεωρούμε 1-διάστατο, γιατί χρειαζόμαστε μόνο έναν αριθμό για να καθορίσουμε μια θέση επ’ αυτού.
2. Τώρα μπορούμε να κατασκευάσουμε την 2-διάστατη σφαίρα, από δύο αντίγραφα του δίσκου. Παρ;αμορφώνουμε τον ένα δίσκο σε ημισφαίριο σαν το Βόρειο ημισφαίριο της Γης και παραμορφώνουμε τον άλλο δίσκο να είναι όπως το Νότιο ημισφαίριο. Τότε κολλάμε τα μαζί τα δύο ημισφαίρια στο όριό τους, το οποίο αποτελεί τον ισημερινό. Ιδού η 2-σφαίρα.
3. Φαντασθείτε ένα μυρμήγκι που ξεκινάει από τον Βόρειο πόλο και βαδίζει κατά μήκος ενός μεγίστου κύκλου, όπως π.χ. ο μεσημβρινός που περνάει από το Greenwich της Αγγλίας (αριστερά.) Αν απεικονίσουμε την πορεία του πάνω στους δύο δίσκους (δεξιά), βλέπουμε ότι το μυρμήγκι ταξιδεύει σε ευθεία γραμμή, προς το άκρο του Βόρειου δίσκου (1). Στη συνέχεια διασχίζει το όριο αυτό (α) και βρίσκεται στο αντίστοιχο σημείο του Νότιου δίσκου όπου συνεχίζει πάλι σε ευθεία γραμμή (2 και 3.) Όταν φτάσει ξανά στο άκρο (b), το διασχίζει προς τον βόρειο δίσκο και συνεχίζει σε ευθεία προς το σημείο εκκίνησής του (4). Ακολουθήσαμε την πορεία του πάνω στους δύο δίσκους καθώς αυτό στην πραγματικότητα κινείται πάνω στην 2-σφαίρα. Το μόνο λεπτό σημείο είναι ότι μας φαίνεται πως η πορεία του αλλάζει φορά και αντιστρέφεται, κάθε φορά που περνάει από τον ένα δίσκο στον άλλο.
4. Στη συνέχεια θεωρείστε την 2-σφαίρα μας και τον 3-διάστατο όγκο που περιέχει (περιέχει μια 3-διάστατη μπάλα), και κάνετε με τη μπάλα και τη σφαίρα, ότι κάνατε με τον κύκλο και τον δίσκο.

Πάρτε δύο αντίγραφα και κολλήστε τα όριά τους. Δεν μπορούμε να απεικονίσουμε πως να παραμορφώσουμε τις μπάλες στις 4 διαστάσεις για να σχηματιστούν κάποια ανάλογα των ημισφαιρίων, αλλά δεν το χρειαζόμαστε πραγματικά. Αρκεί να ξέρουμε ότι αντίστοιχα σημεία στις επιφάνειες των 2-σφαιρών, συνδέονται μαζί με τον ίδιο τρόπο που συνδέονταν τα αντίστοιχα σημεία επί των κύκλων. Το αποτέλεσμα της συνένωσης των δύο μπαλών είναι η 3-σφαίρα, η οποία είναι η επιφάνεια μιας 4-διάστατης μπάλας. (στις 4 διαστάσεις όπου ζουν η 3-σφαίρα και η 4-μπάλα, η επιφάνεια ενός αντικειμένου είναι 3-διάστατη. )  Μπορούμε να αποκαλέσουμε τη μια μπάλα, βόρειο ημισφαίριο και την άλλη νότιο ημισφαίριο. Ο βόρειος πόλος είναι στο κέντρο της βόρειας μπάλας (όπως ο βόρειος πόλος είναι στο κέντρο του βόρειου δίσκου).
5. Φαντασθείτε τώρα ότι αυτές οι μπάλες είναι τεράστιες, άδειες περιοχές του χώρου, και κάποιος μπαίνει σ’ ένα διαστημόπλοιο και ξεκινάει από τον Βόρειο Πόλο. Προοδευτικά, φτάνει στον ισημερινό[1], ο οποίος είναι ολόκληρη η σφαίρα που περιβάλλει τη βόρεια μπάλα. Στον ισημερινό το διαστημόπλοιο μεταβαίνει στο νότιο ημισφαίριο και ταξιδεύει σε ευθεία γραμμή δια μέσω του κέντρου του [που είναι ο νότιος πόλος] προς την αντίθετη πλευρά του ισημερινού [2 και 3]. Εκεί ξαναβγαίνει στο Βόρειο ημισφαίριο και ταξιδεύει πίσω προς το βόρειο πόλο, απ’ όπου ξεκίνησε. Έχουμε ήδη φανταστεί τον ταξιδιώτη μας να ταξιδεύει πάνω στην επιφάνεια μιας 4-διάστατης μπάλας. Η επιφάνεια αυτή είναι μια 3-διάστατη σφαίρα που αποτελείται από δύο μπάλες με ενωμένες τις δικές τους σφαιρικές επιφάνειες, είναι ο χώροςστον οποίο εφαρμόζεται η εικασία του Poincarè.  Το σύμπαν μας θα μπορούσε να έχει τη μορφή μιας 3-διάστατης σφαίρας.
Η διαδικασία αυτή μπορεί να συνεχιστεί στις 5 διαστάσεις για να κατασκευαστεί μια 4-σφαίρα, αλλά γίνεται ακόμη πιο δύσκολο να απεικονίσουμε τι ακριβώς σςυμβαίνει. Ομοίως κάθε δεδομένη n-σφαίρα μπορεί να κατασκευαστεί από δύο n-μπάλες. Αρκεί να κολλήσουμε τα όρια των δύο μπαλών. Κάθε όριο είναι μια [n-1]-σφαίρα, ακριβώς όπως το όριο ενός δίσκου (μια 2-μπάλα), είναι ένας κύκλος (μια 1-σφαίρα). Το αποτέλεσμα είναι μια n-σφαίρα που περικλείει μια [n+1]-μπάλα.

1o, 2ο, 3ο

Οι μορφές του χώρου
Μέρος 2ο

Πηγή: Scientific American, Απρίλιος 2005

1o, 2ο, 3ο

Αποδεικνύοντας εικασίες

Πέρασε μισός αιώνας αφότου ο Poincaré πρότεινε την εικασία του, μέχρι να γίνει κάποια ουσιαστική πρόοδος για την απόδειξή της. Στη δεκαετία του 1960, οι μαθηματικοί απέδειξαν το ανάλογο της εικασίας για σφαίρες 5 διαστάσεων και άνω. Σε κάθε περίπτωση, η n-σφαίρα είναι η μοναδική πιο απλή πολλαπλότητα στη συγκεκριμένη διάσταση. Παραδόξως, το αποτέλεσμα αυτό ήταν ευκολώτερο να αποδειχθεί στις περισσότερες διαστάσεις παρά στις 4 και στις 3 διαστάσεις. Η απόδειξη για την πιο δύσκολη περίπτωση των 4 διαστάσεων ήρθε μόλις το 1982. Έτσι απέμεινε ανοιχτό μόνο το ζήτημα που συσχετιζόταν με την 3-σφαίρα.

Ένα σημαντικό βήμα για τη λύση του 3-διάστατου προβλήματος έγινε το 1982, όταν ο Perelman , ένας μαθηματικός στο ινστιτούτο Streklov για τα μαθηματικά, στην Αγία πετρούπολη, έστειλε μια εργασία στον δικτυακό τόπο www.arxiv.org που χρησιμοποιείται από τους φυσικούς και τους μαθηματικούς, ως τόπος ανταλλαγής ιδεών στην καινούργια έρευνα. Η δημοσίευση δεν ανέφερε πουθενά την εικασία του Poincaré, αλλά οι ειδικοί στην τοπολογία αναγνώρισαν αμέσως το συσχετισμό του θέματος με την εικασία του Poincaré. Ο Perelman συνέχισε με μια δεύτερη εργασία τον Μάρτιο του 2003 και μετά επισκέφτηκε τις ΗΠΑ όπυ έδωσε διαλέξεις στο ΜΙΤ και το πανεπιστήμιο του Stony Brook. Την ίδια εποχή, ομάδες μαθηματικών στα μεγαλύτερα ινστιτούτα άρχισαν να μελετούν εξονυχιστικά τις εργασίες του Perelman ψάχνοντας για πιθανά λάθη. Στο Stony Brook ο Perelman έδινε διαλέξεις μιλώντας από 3 έως 6 ώρες κάθε μέρα. Απαντούσε σε κάθε ερώτηση που του έθεταν και ήταν πολύ ξεκάθαρος. Κανείς πια σήμερα δεν έχει σοβαρές αμφιβολίες, λέει ο μαθηματικός Michael Anderson του Stony Brook. Η εικασία του Poincaré συνοδεύεται από βραβείο 1 εκατ. δολαρίων και αποτελεί ένα από τα επτά προβλήματα της χιλιετίας που ξεχώρισε το 2000 το ινστιτούτο μαθηματικών Clay του Cambridge της Mασσαχουσέτης. Η απόδειξη του Perelman πρέπει να δημοσιευτεί και ν’ αντέξει στην κριτική για δύο χρόνια πριν πάρει το βραβείο. Αν η απόδειξη του Perelman είναι σωστή όπως όλοι πιστεύουν, τότε συμπληρώνει μια πολύ μεγαλύτερη δουλειά από την εικασία του Poincaré. Η εικασία της γεωμετροποίησης του Thurston, είναι μια δουλειά που ξεκίνησε ο William Thurston – τώρα στο Cornell – και περιλαμβάνει την ταξινόμηση όλων των 3-πολλαπλοτήτων. Η 3-σφαίρα η οποία είναι μοναδική στην απλότητά της αποτελεί το θεμέλιο αυτής της θαυμαστής ταξινόμησης. Αν η εικασία του Poincaré δεν ήταν σωστή, δηλαδή αν υπήρχαν πολλοί χώροι τόσο απλοί όσο η σφαίρα, η ταξινόμηση των  3-πολλαπλοτήτων θα ήταν άπειρα πιο πολύπλοκη από αυτήν που πρότεινε ο Thurston. Με την απόδειξη όμως του Perelman και τα αποτελέσματα του Thurston, έχουμε τώρα ένα πλήρη κατάλογο όλων των δυνατών μορφών που μπορεί να έχει ο 3-διάστατος χώρος. Όλες τις μορφές που τα μαθηματικά επιτρέπουν για το Σύμπαν. Θεωρούμε βέβαια μόνο τον χώρο και όχι τον χρόνο.

Ελαστικοί λουκουμάδες

Για να καταλάβουμε καλύτερα την εικασία του Poincaré και την απόδειξη του Perelman, χρειάζεται να ξέρουμε κάποια πράγματα γύρω από την τοπολογία. Σ’ αυτόν τον κλάδο των μαθηματικών, το ακριβές σχήμα των αντικειμένων δεν έχει μεγάλη σημασία. Φανταζόμαστε τα αντικείμενα σα να αποτελούνται από εύπλαστη ζύμη ή πλαστελίνη, η οποία μπορεί να εκταθεί, να συμπιεστεί και να λυγίσει σε όποιο βαθμό θέλουμε. Γιατί όμως πρέπει να θεωρούμε αντικείμενα ή χώρους φτιαγμένους από φανταστική εύπλαστη ζύμη;  Ο λόγος έχει να κάνει με το γεγονός ότι το ακριβές σχήμα ενός αντικειμένου – η απόσταση μεταξύ δύο σημείων – είναι ένα ουσιαστικό ζήτημα της γεωμετρίας του αντικειμένου. Θεωρώντας αντικείμενα από πλαστελίνη, οι τοπολόγοι ανακαλύπτουν ποιες ιδιότητες του αντικειμένου είναι τόσο θεμελιώδεις ώστε να υπάρχουν ανεξάρτητα της γεωμετρικής δομής του. Μελετώντας τοπολογία είναι σα να ανακαλύπτουμε ποιες ανθρώπινες ιδιότητες είναι τόσο γενικές, με τη χρησιμοποίηση ανθρώπινων μορφών από πλαστελίνη οι οποίες μπορούν να πάρουν τη μορφή κάθε ανθρώπου. Οι τοπολόγοι λένε χαρακτηριστικά ότι γι αυτούς ένας λουκουμάς με σχήμα δαχτυλιδιού και ένα φλιτζάνι δεν ξεχωρίζουν. Αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να μορφοποιήσουμε ένα φλιτζάνι από πλαστελίνη σε σχήμα λουκουμά, πιέζοντας την πλαστελίνη γύρω-γύρω, χωρίς ν’ ανοίξουμε τρύπες ή να κολλήσουμε ανεξάρτητες περιοχές του.(Βλέπε παρακάτω σχήμα).

Μια μπάλα από την άλλη μεριά, μπορεί να μετατραπεί σε λουκουμά, μόνο αν ανοίξουμε μια τρύπα στο μέσον της ή αν την τεντώσουμε στο ανάπτυγμα ενός κυλίνδρου και κολλήσουμε μαζί τα άκρα του αναπτύγματος αυτού.Επειδή όμως χρειάζονται τέτοια κοψίματα και κολλήματα, μια μπάλα δεν είναι ίδια τοπολογικά με ένα λουκουμά.
Αυτό που ενδιαφέρει περισσότερο τους τοπολόγους είναι η επιφάνεια της μπάλας και του λουκουμά. Έτσι αντί να φανταζόμαστε ένα στερεό σώμα, θα φανταζόμαστε και στις δύο περιπτώσεις την ελαστική επιφάνεια ενός μπαλονιού στο σχήμα που μας ενδιαφέρει. Οι τοπολογίες εξακολουθούν να διαφέρουν: ένα σφαιρικό μπαλόνι δεν μπορεί να μορφοποιηθεί σε ένα δακτυλιοειδές μπαλόνι, το οποίο λέγεται τόρος. Τοπολογικά, μια σφαίρα και ένας τόρος είναι διαφορετικά πράγματα. Οι πρώτοι τοπολόγοι καταπιάστηκαν με το ζήτημα, πόσα διαφορετικά τοπολογικά αντικείμενα υπάρχουν και πως θα μπορούσαν αυτά να χαρακτηριστούν. Για τα 2-διάστατα αντικείμενα, τα οποία λέγονται επίσης και επιφάνειες, η απάντηση είναι καθαρή: Ο αριθμός τους εξαρτάται από το πόσα “χερούλια” δηλαδή λαβές έχουν.

Πρώτη σειρά: Στην τοπολογία, το ακριβές σχήμα δηλαδή η γεωμετρία δεν είναι κάτι σημαντικό. Είναι σαν να είναι όλα κατασκευασμένα από πλαστελίνη ή λάστιχο και να μπορούμε να τα διαμορφώνουμε με έκταση, συμπίεση ή συστροφή. Απαγορεύεται ωστόσο να τα κόψουμε ή να τα κολλήσουμε. Έτσι στην τοπολογία, κάθε αντικείμενο με μια μόνο τρύπα, όπως στο φλιτζάνι του καφέ (άνω εικόνα, αριστερά), είναι ισοδύναμο με τον λουκουμά, στα δεξιά.

Δεύτερη σειρά: Κάθε πιθανή 2-διάστατη πολλαπλότητα, ή επιφάνεια, – αν περιοριστούμε στις συμπαγείς και προσανατολισμένες – μπορεί να κατασκευαστεί αν πάρουμε μια σφαίρα (ένα μπαλόνι), και του προσθέσουμε λαβές. Η πρόσθεση μιας λαβής μας δίνει μια επιφάνεια τύπου-1, δηλαδή ένα τόρο, που είναι η επιφάνεια του λουκουμά (επάνω δεξιά). Προσθέτοντας δύο λαβές παίρνουμε την επιφάνεια τύπου-2 [b] κοκ.
Τρίτη σειρά: Η 2-σφαίρα είναι μοναδική μεταξύ των επιφανειών, κατά το ότι οποιοσδήποτε κλειστός βρόχος, εμφυτευμένος πάνω σε μια 2-σφαίρα μπορεί να συρρικνωθεί σε ένα σημείο [α].Αντίθετα, ένας βρόχος πάνω σε ένα τόρο, μπορεί να παγιδευτεί γύρω από την τρύπα στο μέσον [b]. κάθε επιφάνεια εκτός από την 2-σφαίρα, έχει λαβές πάνω στις οποίες μπορεί να παγιδευτεί ο βρόχος. Η εικασία του Poincaré προτείνει ότι η 3-σφαίρα είναι μοναδική μεταξύ των 3-διάστατων πολλαπλοτήτων. Κάθε βρόχος πάνω σ’ αυτήν μπορεί να συρρικνωθεί σε ένα σημείο, αλλά ο βρόχος πάνω σε οποιαδήποτε άλλη πολλαπλότητα μπορεί να παγιδευτεί.

Κατά το τέλος του 19ου αιώνα, οι μαθηματικοί κατάλαβαν πως να ταξινομήσουν τις επιφάνειες. Από όλες τις επιφάνειες, η γνωστή μας σφαίρα είχε μια μοναδική απλότητα. Φυσικά στη συνέχεια στράφηκαν στις 3-διάστατες πολλαπλότητες.Το πρώτο ερώτημα που έθεσαν ήταν αν η 3-σφαίρα ήταν μοναδική σε απλότητα, ανάλογη με την 2-σφαίρα. Η πορεία ενός αιώνα που ακολούθησε, ήταν γεμάτη λανθασμένα βήματα και λανθασμένες αποδείξεις.

Ο Henri  Poincaré αντιμετώπισε άμεσα αυτό το πρόβλημα. Ήταν ένας εκ των δύο επιφανέστερων μαθηματικών στο κατώφλι του 20ου αιώνα. Ο άλλος ήταν ο David Hilbert. Ο Poincaré ήταν ίσως ο τελευταίος “ολιστής” μαθηματικός. Καταπιανόταν με όλους τους κλάδους των μαθηματικών. Τόσο με τα καθαρά μαθηματικά όσο και με τα εφαρμοσμένα. Είχε συνεισφορά επίσης στις θεωρίες της ουράνιας μηχανικής, στον ηλεκτρομαγνητισμό και στη φιλοσοφία της επιστήμης όπου έγραψε μερικά αρκετά δημοφιλή εκλαϊκευμένα βιβλία.

Ο Poincaré δημιούργησε τον κλάδο των μαθηματικών που ονομάστηκε αλγεβρική τοπολογία. Γύρω στα 1900, χρησιμοποιώντας τεχνικές από το πεδίο αυτό, δημιούργησε ένα μέτρο της τοπολογίας των αντικειμένων που αποκλήθηκε ομοτοπία. Για να καθορίσουμε την ομοτοπία μιας πολλαπλότητας, ας φανταστούμε ότι εμφυτεύουμε ένα κλειστό βρόχο μέσα στην πολλαπλότητα (βλέπε τελευταία σειρά της επάνω εικόνας). Ο βρόχος μπορεί να τυλιχτεί γύρω από την πολλαπλότητα με κάθε δυνατό τρόπο. Θέτουμε λοιπόν την ερώτηση: μπορεί ο βρόχος να συρρικνωθεί σε ένα σημείο πάντοτε, μετακινώντας τον απλώς πάνω στην πολλαπλότητα, χωρίς να έχουμε το δικαίωμα να σηκώσουμε κάποιο τμήμα του από την πολλαπλότητα; Σε ένα τόρο η απάντηση είναι όχι. Αν ο βρόχος διατρέχει την περιφέρεια του τόρου, δεν μπορεί να συρρικνωθεί σε ένα σημείο και παγιδεύεται στον εσωτερικό δακτύλιο του λουκουμά. Η ομοτοπία λοιπόν είναι ένα μέτρο, όλων των διαφορετικών τρόπων που μπορεί να παγιδευτεί ο βρόχος.
Σε μια n-σφαίρα, αδιάφορο πόσο μπλεγμένος μπορεί να είναι αρχικά ο βρόχος, πάντα μπορεί να ξεμπερδευτεί και να συρρικνωθεί σ’ ένα σημείο. Σημειωτέον ότι επιτρέπεται να περάσει ο βρόχος μέσα από τον εαυτό του, κατά τη διάρκεια αυτών των χειρισμών. Ο Poincaré έκανε την εικασία ότι η μόνη 3-πολλαπλότητα επί της οποίας κάθε δυνατός βρόχος μπορεί να συρρικνωθεί σε ένα σημείο, ήταν η 3-σφαίρα, δεν μπόρεσε όμως να το αποδείξει.

Κατά τις δεκαετίες που ακολούθησαν, πολλοί άνθρωποι ανήγγειλαν ότι απέδειξαν την εικασία, αλλά στην πορεία αποδείχτηκε ότι είχαν κάνει λάθη.

Σε όλο αυτό το άρθρο, αγνοούμε  επιφάνειες μη προσανατολισμένες και επιφάνειες με άκρα. Για παράδειγμα. η ταινία του Möbius, μια ταινία που συστρέφεται και ενώνονται τα άκρα της, δεν είναι προσανατολισμένη. Μια σφαίρα από την οποία έχουμε κόψει και αφαιρέσει ένα δίσκο, έχει άκρα. Η ταινία του Möbius, έχει επίσης άκρα.

Οι μορφές του χώρου
Μέρος 3ο

Πηγή: Scientific American, Απρίλιος 2005

1o, 2ο, 3ο

Γεωμετροποίηση

Η απόδειξη του Perelman και η ανάλυση των 3-διάστατων πολλαπλοτήτων που ακολούθησε σχετίζεται με μια διαδικασία που λέγεται γεωμετροποίηση. Η γεωμετρία συνδέεται με το πραγματικό σχήμα ενός αντικειμένου ή μιας πολλαπλότητας. Για τη γεωμετρία, ένα αντικείμενο δεν είναι φτιαγμένο από πλαστελίνη αλλά από κεραμικό. Ένα φλιτζάνι έχει διαφορετική γεωμετρία από ένα λουκουμά. Η επιφάνειά του καμπυλώνεται με διαφορετικούς τρόπους. Λέμε ότι το φλιτζάνι με λαβή και ο λουκουμάς είναι δύο παραδείγματα ενός τοπολογικού τόρου, αλλά περιγράφονται από διαφορετικές γεωμετρίες.
Για να αποκτήσουμε κάποια αίσθηση πως η γεωμετροποίηση βοήθησε τον Perelman, ας εξετάσουμε πως μπορεί να χρησιμοποιηθεί η γεωμετρία για να ταξινομήσουμε τις 2-πολλαπλότητες ή αλλιώς επιφάνειες.
Σε κάθε τοπολογική επιφάνεια αποδίδουμε μια συγκεκριμένη, μοναδική γεωμετρία: εκείνη για την οποία η καμπυλότητα της επιφάνειας απλώνεται τελείως ομαλά σε όλη την πολλαπλότητα. Για τη σφαίρα, αυτή η μοναδική γεωμετρία είναι η τέλεια σφαιρική σφαίρα. Ένα αυγοειδές σχήμα είναι μια άλλη πιθανή γεωμετρία για μια τοπολογική σφαίρα, αλλά δεν έχει καμπυλότητα ομοιόμορφα κατανεμημένη σε όλη την επιφάνεια. Το πιο οξύ μέρος του αυγού έχει μεγαλύτερη καμπυλότητα από το πλατύ του μέρος.
Οι 2-πολλαπλότητες σχηματίζουν τρεις γεωμετρικούς τύπους. (Βλέπε παρακάτω εικόνα). Η σφαίρα έχει μια θετική καμπυλότητα όπως λέμε. Σαν την καμπυλότητα ενός λόφου. Ο γεωμετροποιημένος τόρος είναι επίπεδος, δηλαδή έχει μηδέν καμπυλότητα σαν ένα επίπεδο. Όλες οι άλλες καμπυλότητες με δύο ή περισσότερες λαβές έχουν αρνητική καμπυλότητα. Η αρνητική καμπυλότητα είναι σαν αυτή του σχήματος ενός σαμαριού ή ενός διάσελου μεταξύ δύο βουνών. Πηγαίνοντας από εμπρός προς τα πίσω, μια σέλα καμπυλώνεται προς τα επάνω. Πηγαίνοντας από αριστερά προς τα δεξιά καμπυλώνεται προς τα κάτω. Ο  Poincaré μαζί με τον Paul Koebe και τον Felix Klein συνεισέφερε σ’ αυτή τη γεωμετρική ταξινόμηση ή αλλιώς γεωμετροποίηση των 2-διάστατων πολλαπλοτήτων.

Είναι φυσικό να προσπαθήσουμε να εφαρμόσουμε παρόμοιες μεθόδους και για τις 3-διάστατες πολλαπλότητες. Είναι δυνατόν να βρούμε μοναδικές γεωμετρίες για κάθε τοπολογική 3-πολλαπλότητα, για την οποία η καμπυλότητα να είναι όμοια σε όλη την έκταση της πολλαπλότητας;
Αποδεικνύεται ότι οι 3-πολλαπλότητες είναι πολύ περισσότερο περίπλοκες από τις 2-πολλαπλότητες. Στις πιο πολλές από τις 3-πολλαπλότητες δεν μπορεί να αποδοθεί μια μοναδική γεωμετρία. Αντίθετα, πρέπει να κοπούν σε τμήματα και κάθε τμήμα θα έχει διαφορετική κανονική γεωμετρία. Ακόμη παραπέρα, αντί για τρεις βασικές γεωμετρίες, όπως συμβαίνει με τις 2-πολλαπλότητες, τα τμήματα των 3-πολλαπλοτήτων μπορούν να έχουν οποιαδήποτε από οκτώ κανονικές γεωμετρίες. Ο κατακερματισμός καθεμιάς από τις 3-πολλαπλότητες είναι κάπως ανάλογος με την παραγοντοποίηση ενός αριθμού σε γινόμενο πρώτων αριθμών.

Το σχήμα αυτό ταξινόμησης το πρότεινε πρώτος ο Thurston στη δεκαετία του 1970. Ο ίδιος και οι συνάδελφοί του απόδειξαν μεγάλα κομμάτια από την εικασία, αλλά τα κρίσιμα μέρη στα οποία περιλαμβανόταν και η εικασία του Poincaré, διέφευγε της απόδειξης. Ήταν η 3-σφαίρα μοναδική; Μια απάντηση στην ερώτηση αυτή και η συμπλήρωση του προγράμματος του Thurston, ήρθε μόνο από την εργασία του Ρerelman.

Οι 2-πολλαπλότητες μπορούν να ταξινομηθούν με την γεωμετροποίησή τους. Αυτό σημαίνει να τους αποδώσουμε μια ειδική γεωμετρία δηλαδή να τις αντιστοιχίσουμε σ’ ένα στερεό σχήμα. Πιο συγκεκριμένα, καθεμιά μπορεί να μορφοποιηθεί σε ένα σχήμα που έχει παντού την ίδια καμπυλότητα επάνω του. Η σφαίρα [α] είναι το μοναδικό σχήμα που έχει σταθερή, θετική καμπυλότητα, δηλαδή σε κάθε της σημείο είναι καμπυλωμένη όπως η κορυφή ενός λόφου. Ο τόρος [b] μπορεί να γίνει επίπεδος, δηλαδή με μηδενική καμπυλότητα σε όλη του την έκταση. Για να το καταλάβουμε αυτό, φαντασθείτε ότι μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα τόρο αν ξεκινήσουμε από ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο και σχηματίσουμε συγχρόνως δύο κυλίνδρους τυλίγοντάς τον ώστε να  κολλήσουμε συγχρόνως ανά δύο τις απέναντι πλευρές του. Ο τόρος έχει έτσι απεικονιστεί σε ένα επίπεδο σχήμα.

Επιφάνειες τύπου-2 και ανώτερες , μπορούν να έχουν σταθερή αρνητική καμπυλότητα, ενώ οι άλλες λεπτομέρειές τους εξαρτώνται από το πόσες λαβές έχουν. Εδώ η επίφάνεια με σταθερή αρνητική καμπυλότητα παριστάνεται με το σχήμα σέλας.

Η ταξινόμηση των 3-πολλαπλοτήτων, η οποία είναι όμοια με αυτή των 2-πολλαπλοτήτων, αλλά πολύ περισσότερο περίπλοκη, συμπληρώθηκε με την εργασία του Perelman. Γενικά, μια 3-πολλαπλότητα πρέπει να διαιρεθεί σε τμήματα, καθένα από τα οποία μπορεί να μορφοποιηθεί σε μια από οκτώ διαφορετικές κανονικές 3-διάστατες γεωμετρίες. Το παρακάτω παράδειγμα με μπλε χρώμα (το οποίο για σχεδιαστικούς λόγους έχει αποδοθεί σαν 2-πολλαπλότητα, ) αποτελείται από ισοδύναμες με πέντε εξ αυτών των γεωμετριών: σταθερή θετική [α], μηδενική [b], και σταθερή αρνητική καμπυλότητα , καθώς και από το “γινόμενο” της 2-σφαίρας και ενός κύκλου [d], και από το γινόμενο της επιφάνειας αρνητικής καμπυλότητας και ενός κύκλου [e].

Πως όμως θα μπορούσαμε να γεωμετροποιήσουμε μια πολλαπλότητα – να της δώσουμε δηλαδή μια ομοιόμορφη καμπυλότητα σε όλη της την έκταση; Ένας τρόπος είναι να ξεκινήσουμε με μια αυθαίρετη γεωμετρία, κάτι σαν ένα αυγοειδές σχήμα με διάφορα εξογκώματα και βυθίσεις, και στη συνέχεια να εξομαλύνουμε όλες τις ανωμαλίες. Ο Hamilton άρχισε ένα τέτοιο πρόγραμμα ανάλυσης για τις 3-πολλαπλότητες, στο τέλος της δεκαετίας του 1990, χρησιμοποιώντας μια εξίσωση που λέγεται εξίσωση ροής του Ricci, (από τον μαθηματικό Gregorio Ricci-Curbastro), η οποία έχει κάποιες ομοιότητες με την εξίσωση που περιγράφει τη ροή θερμότητας. Σε ένα σώμα με θερμά και ψυχρά σημεία, η θερμότητα φυσικά ρέει από τα θερμότερα προς τα ψυχρότερα σημεία, ώσπου να αποκατασταθεί μια ομοιόμορφη θερμοκρασία παντού. Η εξίσωση ροής του Ricci έχει ένα όμοιο αποτέλεσμα στην καμπυλότητα, μορφοποιώντας μια πολλαπλότητα, ώσπου να εξαφανίσει όλα τα εξογκώματα και τις κοιλότητες. Αν ξεκινήσουμε με ένα αυγό, θα καταλήξει στο τέλος να είναι τέλεια σφαίρα.

Η ανάλυση του Ηamilton προσέκρουσε όμως σε ένα εμπόδιο: Σε μερικές περιπτώσεις, η ροή του Ricci θα έκανε μια πολλαπλότητα να καταλήξει σε ένα σημείο. Αυτή είναι μια περίπτωση όπου η ροή του Ricci διαφέρει από τη ροή θερμότητας. Τα μέρη όπου συμβαίνει αυτή η κατάληξη σε σημεία, είναι σαν να φτάνουμε με τηροή θερμότητας σε σημεία όπου έχουμε άπειρη θερμοκρασία.
Ένα τέτοιο παράδειγμα ήταν όταν η πολλαπλότητα είχε σχήμα αλτήρα (σαν δύο σφαίρες συνδεδεμένες με ένα λεπτό σύνδεσμο). Οι σφαίρες θα μεγάλωναν, αντλώντας προοδευτικά ύλη από τον σύνδεσμο, ο οποίος θα κατέληγε σε ένα σημείο στο μέσον. (βλέπε παρακάτω σχήμα).
Ένα άλλο παράδειγμα προέκυπτε όταν μια λεπτή ράβδος προεξείχε από την πολλαπλότητα. Η ροή του Ricci μπορούσε να προκαλέσει τότε ένα πρόβλημα που λέγεται ανωμαλία πούρου.
Όταν μια πολλαπλότητα οδηγείται σε τέτοιες καταρρεύσεις, λέγεται ανωμαλία. Δεν είναι πια μια πραγματική 3-διάστατη πολλαπλότητα. Σε μια πραγματική 3-διάστατη πολλαπλότητα, μια μικρή περιοχή γύρω από οποιοδήποτε σημείο, μοιάζει με μια μικρή περιοχή συνηθισμένου 3-διάστατου χώρου, αλλά η ιδιότητα αυτή δεν ισχύει στα στενώματα. Ένας τρόπος ξεπεράσματος αυτού του εμποδίου υποδείχτηκε από τον Perelman.

Οι προσπάθειες να εφαρμόσουμε μια εξίσωση που λέγεται ροή του Ricci για να αποδείξουμε την εικασία του Poincaré και να γεωμετροποιήσουμε τις 3-πολλαπλότητες, προσέκρουσε σε ένα εμπόδιο πριν από την εμφάνιση του Perelman. Η ροή του Ricci, η οποία βαθμιαία αλλάζει το σχήμα μιας 3-πολλαπλότητας, μερικές φορές δεν δουλεύει γιατί φτάνει σε ανωμαλίες. Μια τέτοια περίπτωση είναι όταν μέρος της πολλαπλότητας έχει σχήμα αλτήρα – δύο σφαίρες συνδεδεμένες με ένα λεπτό σωλήνα [α]. Ο σωλήνας μπορεί να στενέψει και να καταλήξει σε σημείο, καταστρέφοντας τις ιδιότητες της πολλαπλότητας [b]. Μια άλλη ανωμαλία, που πιστεύαμε ότι θα μπορούσε να συμβεί, ήταν η λεγόμενη ανωμαλία πούρου.
Μια “χειρουργική μέθοδος” θα μπορούσε να διαχειριστεί τις ανωμαλίες που προκύπτουν κατά τη ροή του Ricci, όπως έδειξαν οι εργασίες του Perelman. Όταν μια περιοχή της πολλαπλότητας αρχίζει να στενεύει, μια μικρή περιοχή από κάθε πλευρά της στένωσης μπορεί να αποκοπεί . Τα κοψίματα καλύπτονται τότε από μικρές σφαίρες, και η ροή του Ricci συνεχίζεται [d]. Η διαδικασία αυτή μπορεί να χρειαστεί να επαναληφθεί αρκετές φορές σε άλλες περιοχές που παρουσιάζεται στένωμα, αλλά ο Perelman έδειξε ότι τελικά η διαδικασία τερματίζεται κάποτε. Έδειξε επίσης ότι οι ανωμαλίες τύπου πούρου δεν εμφανίζονται ποτέ.

Όταν ο Perelman πρωτοπήγε στις ΗΠΑ σαν μεταπτυχιακός σπουδαστής το 1992, δημιούργησε  γρήγορα μια φήμη ταλαντούχου μαθηματικού, καθώς απέδειξε πολλά σημαντικά και βαθιά αποτελέσματα στη γεωμετρία. Το 1995 του προσφέρθηκαν θέσεις σε αρκετά σημαντικά τμήματα μαθηματικών, αλλά τα απέρριψε και προτίμησε να επιστρέψει στην Αγία Πετρούπολη. Πίσω στη χώρα του, ουσιαστικά εξαφανίστηκε από τη διεθνή κοινότητα των μαθηματικών. Τα μόνα σημάδια της ύπαρξής του ήταν όταν έστελνε κάποια μηνύματα μέσω του internet για να τους υποδείξει λάθη που υπήρχαν στις δημοσιεύσεις τους που έκαναν στο διαδίκτυο.
Τέλος το 2002, αρκετοί συνάδελφοί του πήραν ένα e-mail με το οποίο τους καλούσε να δουν την εργασία που μόλις είχε δημοσιεύσει στο διαδίκτυο. Η δημοσίευση αυτή ήταν το πρώτο στάδιο της επίθεσής του στο πρόβλημα του Poincaré.
Στην εργασία του αυτή ο Perelman πρόσθετε έναν ακόμη όρο στην εξίσωση ροής του Ricci. Η τροποποιημένη εξίσωση δεν εξαλείφει τα προβλήματα με τις ανωμαλίες, αλλά αλλά μ’ αυτή μπόρεσε να προχωρήσει την ανάλυση αρκετά μακρύτερα. Για τις ανωμαλίες του αλτήρα, έδειξε ότι θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί η “χειρουργική τεχνική”. Αποκόπτουμε δηλαδή τον λεπτό σωλήνα σε κάθε πλευρά του στενώματος και κλείνουμε τον λεπτό σωλήνα στα σημεία που τον κόβουμε με ένα σφαιρικό καπάκι. Τότε η ροή του Ricci μπορεί να συνεχιστεί στην τροποποιημένη πολλαπλότητα μέχρι να συναντήσουμε το επόμενο στένωμα, όπου θα ακολουθήσουμε την ίδια μέθοδο. Έδειξε επίσης ότι οι ανωμαλίες τύπου πούρου δεν μπορούσαν να εμφανιστούν. Με τον τρόπο αυτό, κάθε 3-πολλαπλότητα μπορούσε να αναχθεί σε ένα σύνολο κομματιών που το καθένα θα είχε μια ομοιόμορφη γεωμετρία.

Όταν η ροή του Ricci και η χειρουργική τεχνική εφαρμόζονταν σε κάθε δυνατή πολλαπλότητα, κάθε πολλαπλότητα που είναι τόσο απλή όσο η 3-σφαίρα, αναγκαστικά καταλήγει με την ίδια ομοιόμορφη γεωμετρία σαν αυτή της 3-σφαίρας. Αυτό το αποτέλεσμα σημαίνει ότι τοπολογικά, η συγκεκριμένη πολλαπλότητα είναι μια 3-σφαίρα. Με άλλα λόγια η 3-σφαίρα είναι μοναδική.

Μια άλλη σύνδεση με τη φυσική, είναι ότι οι εξισώσεις της γενικής σχετικότητας σχετίζονται στενά με την εξίσωση ροής του Ricci. Ακόμα παραπέρα, ο όρος που πρόσθεσε ο Perelman στην εξίσωση ροής του Ricci, εμφανίζεται στη θεωρία χορδών, η οποία φιλοδοξεί να είναι μια κβαντική θεωρία της βαρύτητας. Περιμένουμε να δούμε αν οι τεχνικές του Perelman θα αποκαλύψουν νέες ενδιαφέρουσες πληροφορίες για τη γενική σχετικότητα ή για τη θεωρία χορδών. Αν συμβεί κάτι τέτοιο, ο Perelman δεν θα μας έχει διδάξει μόνο για τα σχήματα των αφηρημένων 3-χώρων, αλλά επίσης και για τη μορφή του χώρου εντός του οποίου ζούμε.

Μια συνάθροιση σοφών του περασμένου αιώνα στην πρώτη συνάντηση του Solvay, το 1911. Καθισμένοι ο Poincaré και η Marie Curie. Όρθιοι στέκονται από αριστερά οι Ernest Rutherford, Kamerlingh Onnes και Albert Einstein