Panteliadou Anastasias blog

• Η εξίσωση της μορφής αχ+βψ=γ  λέγεται γραμμική εξίσωση με αγνώστους χ και ψ
• Λύση μίας εξίσωσης της μορφής αχ+βψ=γ  λέγεται κάθε ζεύγος αριθμών (χ,y)που την επαληθεύει.
• Μία εξίσωση της μορφής αχ+βψ=γ με α≠0 ήβ≠0,έχει άπειρες λύσεις .Αν τα ζεύγη (χ,y)που είναι λύσεις της παραπάνω εξίσωσης ,τα παραστήσουμε με σημεία του επιπέδου ,τότε τα σημεία θα βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία

  Ευθείες παράλληλες στους άξονες

• Όταν α=0 καιβ≠0,τότε η εξίσωση γίνεται 0χ+βψ=γ
  ή  βψ=γ ή ψ=γ/β  η οποία είναι μία ευθεία παράλληλη στον άξονα χ΄χ

• Όταν α≠0 καιβ=0,τότε η εξίσωση γίνεται αχ+0ψ=γ
  ή αχ=γ  ή  χ=γ/α η οποία είναι μία ευθεία παράλληλη στον άξονα y΄y
• Μία εξίσωση της μορφής  0χ+0ψ=γ με γ≠0 είναι αδύνατη (δεν έχει καμία λύση ) αφού κανένα ζεύγος δεν την επαληθεύει άρα δεν παριστάνει ευθεία
• Μία εξίσωση της μορφής  0χ+0ψ =0 είναι αόριστη αφού οποιοδήποτε ζεύγος την επαληθεύει .Άρα η εξίσωση   παριστάνει ολόκληρο επίπεδο.
  Ας θυμηθούμε
• Υπενθυμίζεται στους μαθητές ,ότι την ισότητα που περιέχει 2 αγνώστους (μεταβλητές) την ονομάζουμε συνάρτηση
  1. Παραδείγματα συναρτήσεων
  2. Ψ=2χ+3 ,ψ=-5χ+10 ,2χ+5ψ=10 ,-201ψ+50χ=60
  3. -60χ+20ψ=0 ,ψ=3χ ,-2χ+5ψ=0
• Μία συνάρτηση δεν μπορούμε να την λύσουμε όπως τις εξισώσεις δηλαδή να βρούμε την ρίζα ή λύση γιατί έχουμε δύο αγνώστους. Την συνάρτηση λέμε ότι την μελετούμε.
• Βασικό εργαλείο στην μελέτη συνάρτησης είναι ο πίνακας τιμών
• Όταν η μεταβλητή ψ εκφράζεται σαν συνάρτηση της μεταβλητής χ, τότε σε κάθε τιμή της μεταβλητής χ αντιστοιχίζεται με μία μόνο τιμή της μεταβλητής ψ. ‘Ομως η τιμή της μεταβλητής ψ μπορεί να προκύψει από διαφορετικές τιμές της μεταβλητής χ.
  1. Για παράδειγμα στη συνάρτηση ψ=χ^2 ,η τιμήψ=4 προκύπτει όταν χ=2 ή χ=-2
• Σε μία συνάρτηση που η μεταβλητή ψ εκφράζεται συναρτήσει της μεταβλητής χ οι τιμές της χ ενδέχεται να υπόκεινται σε περιορισμούς.
  Για παράδειγμα στη συνάρτηση το χ δεν μπορεί να είναι αρνητικός αριθμός.
• Σε μία συνάρτηση δεν είναι απαραίτητο να συμβολίζουμε μόνο με χ ,ψ τις μεταβλητές .Μπορούμε να τις συμβολίσουμε και με οποιαδήποτε άλλα γράμματα π.χ S=80t το διάστημα S εκφράζεται σαν συνάρτηση του χρόνου t.
• Κάθε σημείο του άξονα χ΄χ έχει τεταγμένη μηδέν. Κάθε σημείο του άξονα ψ΄ψ έχει τετμημένη μηδέν.
• Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης περνάει από ένα σημείο αν και μόνο αν οι συντεταγμένες του σημείου επαληθεύουν την εξίσωσή της.
• Η γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ=αχ είναι ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων .
• Η γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ=αχ+β είναι ευθεία παράλληλη της ψ=αχ που διέρχεται από το σημείο (0,β)
• Για να βρούμε σε ποιο σημείο μία γραφική παράσταση τέμνει τους άξονες βάζουμε:
  χ=0 και βρίσκουμε το αντίστοιχο ψ
  ψ=ο και βρίσκουμε το αντίστοιχο χ

Μεθοδολογία στις ανισότητες

• Απόδειξη ανισοτήτων
  1. Ξεκινάμε από την ανισότητα που θέλουμε να δείξουμε φέροντας όλους τους όρους στο ένα μέλος.
  2. Κάνουμε πράξεις ή παραγοντοποίηση με στόχο να καταλήξουμε σε κάτι ισχύει ,συνήθως από μία ανισότητα που δίνεται στην υπόθεση .
  3. Αν η ανισότητα έχει περιθώριο πράξεων τότε μπορούμε να ξεκινήσουμε από αυτή και να καταλήξουμε σε ζητούμενο.

Παράδειγμα

Για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς χ, ψ να αποδείξετε ότι:

1. χ² +1 ≥2χ.
2. χ² +ψ² +1≥2ψ.Σε κάθε περίπτωση να βρείτε πότε ισχύει η ισότητα.

Λύση

Ξεκινάμε από την ανισότητα που θέλουμε να δείξουμε φέροντας όλους τους όρους στο ένα μέλος

χ² +1≥2χ

χ² +1²-2χ≥0 παρατηρούμε ότι το πρώτο μέλος είναι ανάπτυγμα  ταυτότητας

(χ-1)²≥0 που ισχύει ,γιατί το τετράγωνο κάθε αριθμού είναι μη αρνητικός αριθμός.

Η ισότητα ισχύει όταν (χ-1)²=0 οπότε χ-1=0 δηλαδή χ=1.

ιι) Ξεκινάμε από την ανισότητα που θέλουμε να δείξουμε φέροντας όλους τους όρους στο ένα μέλος

χ² +ψ² +1≥2ψ

χ² +ψ² +1-2ψ≥0 παρατηρούμε ότι υπάρχει ανάπτυγμα ταυτότητας

χ²+(ψ-1)²≥0 ισχύει γιατί είναι άθροισμα δύο μη αρνητικών αριθμών.

Η ισότητα ισχύει όταν χ=0 και ψ-1=0 ,δηλαδή χ=0 και ψ=1.

Παράδειγμα

Αν α>4 να αποδείξετε ότι 2α+5>13

Λύση

Ξεκινάμε από την
α>4 Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη με το 2 γιατί ο συντελεστής του α στην παράσταση που θέλουμε να δείξουμε είναι το 2

2α>4*2

2α>8 προσθέτουμε και στα δύο μέλη το 5 γιατί στην ζητούμενη παράσταση προσθέτει το 5

2α+5>8+5 κάνουμε πράξεις

2α+5>13.

• Παρεμβολή παραστάσεων

Αν δίνονται α< χ <β (1)  και γ< χ <δ (2) και ζητείται να δειχθεί ότι μια παράσταση με χ και ψ βρίσκεται μεταξύ κάποιων αριθμών ,τότε ξεκινάμε από τις ανισότητες 1 και 2 και πολλαπλασιάζουμε με τους αριθμούς που έχουν σαν συντελεστές τα χ και ψ στη ζητούμενη ανίσωση.

Προσθέτουμε κατά μέλη τις ανισότητες της ίδιας φοράς.

Παράδειγμα

Αν 3<χ< 9 και -2 <ψ< 8 ,να βρείτε μεταξύ ποιων αριθμών περιέχονται οι παραστάσεις

α) χ-ψ

β) 3χ-2ψ+5

Λύση

Α) Επειδή δεν μπορούμε να αφαιρέσουμε ανισότητες  κατά μέλη θα βρούμε αρχικά μεταξύ ποιών τιμών είναι ο –ψ .

-2 < ψ < 8 πολλαπλασιάζουμε με -1 άρα αλλάζει φορά

-2 (-1)> -1 ψ>-1 *8

2> -ψ >-8  .Γράφουμε την ανισότητα από το τέλος προς την αρχή

-8 <-ψ < 2  σχέση 3

3< χ < 9     σχέση 1

-8 < -ψ < 2  σχέση 3        προσθέτουμε τις σχέσεις 1 και 3 κατά μέλη

3-8 <χ-ψ < 9+2

-5 <χ-ψ <11

Β) ) Επειδή δεν μπορούμε να αφαιρέσουμε ανισότητες  κατά μέλη θα βρούμε αρχικά μεταξύ ποιών τιμών είναι ο –2ψ .

-2 < ψ < 8 πολλαπλασιάζουμε με -2 άρα αλλάζει φορά

-2 (-2)> -1 ψ>-2 *8

4> -2ψ >-16  Γράφουμε την ανισότητα   από το τέλος προς την αρχή

-16<-2ψ < 4 σχέση 3

3< χ < 9     σχέση 1

-16<-2ψ < 4 σχέση 3 προσθέτουμε τις σχέσεις 1 και 3 κατά μέλη

3-16 <χ-2ψ <4+9

-13 <χ-2ψ <13 Προσθέτουμε και στα δύο μέλη το 5

-13 +5 <χ-2ψ+5  <13+5

-8 < χ-2ψ+5  <18

Σχέσεις τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας.

Θεωρία

1. Ποιες είναι οι βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες
2. Να αποδείξετε τις βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες

Απάντηση

Σελ.240 του Βιβλίου Μαθηματικών

Σχέσεις τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας

Μέρος β -Γεωμετρία

Κεφάλαιο 1 Εμβαδά επίπεδων σχημάτων

Β1.1

1. Τι ονομάζεται  εμβαδόν μιας επίπεδης επιφάνειας και από τι εξαρτάται ;(σελ.114)
   

   Β1.2

2. Ποιες είναι οι μονάδες μέρτησης εμβαδού και ποια η σχέση που τις  συνδέει ;(σελ.114)

Συνεχίστε να διαβάζετε ›

anpantel

Είναι πολύ ενδιαφέρον να παρακολουθήσετε το ακόλουθο βίντεο

test b

Καλωσήρθατε στο Blogs.sch.gr. Αυτή είναι η πρώτη σας δημοσίευση. Αλλάξτε την ή διαγράψτε την και αρχίστε το “Ιστολογείν”!

Συμβουλευτείτε τα αρχεία βοήθειας για την διαχείριση του ιστολογίου σας.