Τριγωνομετρικοί αριθμοί παραπληρωματικών γωνιών

Τριγωνομετρικοί αριθμοί παραπληρωματικών γωνιών

Αεί ο Θεός ο Μέγας γεωμετρεί

Αεί ο Θεός ο Μέγας γεωμετρεί, το κύκλου μήκος ίνα ορίση διαμέτρω, παρήγαγεν αριθμόν απέραντον,
καί όν, φεύ, ουδέποτε όλον θνητοί θα εύρωσι.

Το πλήθος των γραμμάτων κάθε λέξης της φράσης αυτής αντιστοιχεί σε καθένα από τα διαδοχικά ψηφία του ιστορικού και περίφημου αριθμού π = 3. 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7 9 3 2 3 8 4 6 2 6…

Για την Ιστορία : Οι 6 πρώτες λέξεις του παραπάνω επιγράμματος αποδίδονται στον Πλάτωνα, ενώ τις υπόλοιπες 17 συνέταξε, αριστοτεχνικά, ο Νικόλαος Ι. Χατζηδάκης (1872 – 1942). Ο Ν. Χατζηδάκης, γιός του διακεκριμένου Καθηγητή του Πανεπιστημίου Αθηνών Ιωάννη Χατζηδάκη, ήταν επίσης διακεκριμένος Καθηγητής Μαθηματικών του Π.Α. (κυρίως στον τομέα της Διαφορικής Γεωμετρίας), αλλά και λογοτέχνης (με το ψευδώνυμο «Ζέφυρος βραδυνός») με καταγωγή από το χωριό Μύρθιο στα νότια του Ν. Ρεθύμνης. (Δ.Ι.Μ.)

Μέλισσες και Μαθηματικά……

Μια νέα βρετανική επιστημονική έρευνα υποστηρίζει πως οι μέλισσες είναι σε θέση να επιλύουν πολύπλοκα μαθηματικά προβλήματα, τα οποία οι ηλεκτρονικοί υπολογιστές κάνουν μέρες να λύσουν!

Οι ερευνητές του Πανεπιστημίου του Λονδίνου (Royal Holloway), υπό τον δρ Νάιτζελ Ρέιν της Σχολής Βιολογικών Επιστημών που δημοσίευσαν τη σχετική μελέτη στο αμερικανικό περιοδικό οικολογίας και βιολογίας «The American Naturalist», διαπίστωσαν ότι οι μέλισσες μαθαίνουν να πετούν ακολουθώντας τη συντομότερη δυνατή διαδρομή ανάμεσα στα λουλούδια, την οποία έχουν προηγουμένως ανακαλύψει με τυχαία σειρά. Με τον τρόπο αυτό ουσιαστικά, «επιλύουν» το λεγόμενο «πρόβλημα του περιοδεύοντος πωλητή», ένα διάσημο και δυσεπίλυτο γρίφο στον χώρο των οικονομικών και των μαθηματικών.

Στο πρόβλημα αυτό, ένας άνθρωπος (πωλητής) καλείται να βρει τη συντομότερη δυνατή διαδρομή ανάμεσα σε όλους τους προορισμούς που πρέπει να επισκεφτεί. Οι ηλεκτρονικοί υπολογιστές λύνουν το πρόβλημα, συγκρίνοντας το μήκος όλων των πιθανών διαδρομών και επιλέγοντας τον πιο σύντομο. Όμως οι μέλισσες φαίνεται να κάνουν ουσιαστικά το ίδιο πράγμα κάθε μέρα, χωρίς καν τη βοήθεια κομπιούτερ. Το κάνουν απλώς με έναν εγκέφαλο, που δεν είναι μεγαλύτερος από ένα σπόρο φυτού.

Όπως είπαν οι επιστήμονες, καθημερινά οι μέλισσες ξεκινούν να επισκεφτούν μια πληθώρα λουλουδιών σε διάφορες τοποθεσίες και, επειδή θέλουν να κάνουν εξοικονόμηση ενέργειας για το πέταγμά τους, «υπολογίζουν» μια διαδρομή που τους επιτρέπει να βρίσκονται στον αέρα το ελάχιστο δυνατό χρονικό διάστημα.

Οι ερευνητές, χρησιμοποιώντας τεχνητά άνθη, συνδεδεμένα με υπολογιστές, απέδειξαν ότι οι μέλισσες δεν χαράζουν μια πορεία απλώς με βάση την τυχαία σειρά που βρήκαν προηγουμένως τα λουλούδια, αλλά πάνε από λουλούδι σε λουλούδι, ακολουθώντας συγκεκριμένο «σχέδιο» που τους επιτρέπει να πετάνε όσο γίνεται λιγότερο.

«Παρά τους μικροσκοπικούς εγκεφάλους τους, οι μέλισσες είναι ικανές για εντυπωσιακά κατορθώματα στη συμπεριφορά τους. Πρέπει να καταλάβουμε με ποιο τρόπο μπορούν να λύσουν το πρόβλημα του περιοδεύοντος πωλητή χωρίς κομπιούτερ» δήλωσε ο υπεύθυνος της έρευνας.

Οι επιστήμονες ευελπιστούν ότι μια τέτοια ανακάλυψη θα μπορούσε να βοηθήσει και τους ανθρώπους σε διάφορα πρακτικά προβλήματα, όπως στην καλύτερη ρύθμιση της κυκλοφορίας σε ένα δίκτυο (π.χ. κυκλοφοριακό) ή στην εκτεταμένη αλυσίδα τροφοδοσίας μιας επιχείρησης, που στέλνει φορτηγά σε όλα τα σημεία του ορίζοντα και θέλει να εξοικονομήσει χρόνο και χρήμα στις μετακινήσεις.

Λύθηκε μαθηματικό πρόβλημα 140 ετών

Ένα μαθηματικό πρόβλημα το οποίο ήταν «απυρόβλητο» για περισσότερα από 140 χρόνια επιλύθηκε τελικά από ερευνητή στο Imperial College του Λονδίνου.
Ο καθηγητής Darren Crowdy, πρόεδρος του τμήματος Εφαρμοσμένων Μαθηματικών, έκανε μια ανακάλυψη σε μια περιοχή των μαθηματικών γνωστή ως Σύμμορφη Απεικόνιση (conformal mapping).
Αποτελεί ένα θεωρητικό εργαλείο που χρησιμοποιείται από μαθηματικούς, μηχανικούς και επιστήμονες για να μεταφράσει πληροφορίες από ένα πολύπλοκο σχήμα σε ένα απλούστερο έτσι ώστε να γίνει ευκολότερα η ανάλυση. Αυτό το θεωρητικό εργαλείο έχει μια μακρά ιστορία και χρησιμοποιείται σε μεγάλο αριθμό επιστημονικών κλάδων, μεταξύ των οποίων στην αεροναυπηγική για την μοντελοποίηση των εναέριων ρευμάτων ανάλογα με το σχήμα των πτερυγίων.
Επίσης, σήμερα χρησιμοποιείται στη νευροψυχολογία ώστε να οπτικοποιηθεί η περίπλοκη μορφή της φαιάς ουσίας στον ανθρώπινο εγκέφαλο. Ο τύπος, που είναι γνωστός ως η φόρμουλα Schwarz-Christoffel, είχε αναπτυχθεί από τους δύο μαθηματικούς στα μέσα του 19ου αιώνα για να μπορέσουν να πραγματοποιήσουν αυτό το είδος της χαρτογράφησης. Ωστόσο, για τα επόμενα 140 χρόνια υπήρχε μια έλλειψη σε αυτόν τον τύπο. Η εφαρμογή ήταν πλήρης μόνο για τα σχήματα που δεν περιείχαν τρύπες ή σχηματικές ανωμαλίες. Ο καθηγητής Crowdy είχε κάνει προσθήκες στην περίφημη Schwarz-Christoffel φόρμουλα, κάτι που σημαίνει ότι μπορεί να χρησιμοποιηθεί για πιο περίπλοκα σχήματα. Εξηγεί τη σημασία του έργου του αναφέροντας «αυτός ο τύπος αποτελεί ένα ουσιώδη κομμάτι του κλάδου των μαθηματικών ο οποίος χρησιμοποιείται σε ολόκληρο τον κόσμο. Τώρα με την προσθήκη αυτή μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε πολύ πιο περίπλοκα σενάρια απ’ ότι προηγουμένως.
Στον τομέα της βιομηχανίας, αυτό το εργαλείο χαρτογράφησης στο παρελθόν ήταν ανεπαρκής. Εάν ένα κομμάτι από μέταλλο ή άλλο υλικό, για παράδειγμα, δεν ήταν ομοιόμορφο σε όλη του την επιφάνεια, δηλαδή αν περιείχε ένα τμήμα με διαφορετικό υλικό ή είχε τρύπες, τότε δεν μπορούσε να εφαρμοστεί ο τύπος».
Το έργο του καθηγητή έχει ξεπεράσει τα εμπόδια αυτά και όπως χαρακτηριστικά δηλώνει «ελπίζω να δημιουργήσει νέες ευκαιρίες για τον κλάδο της σύμμορφης χαρτογράφησης ώστε να χρησιμοποιείται σε ποικίλες εφαρμογές».

Οι «βελτιώσεις» του κ. Crowdy στον τύπο Schwarz-Christoffel δημοσιεύτηκαν στο τεύχος Μαρτίου – Ιουνίου 2007 στο Mathematical Proceedings του Cambridge Philosophical Society.

Επαναληπτικά θέματα

Η νέες σελίδες «Θέματα Επανάληψης» δημιουργήθηκαν για να προσφέρουν λίγη βοήθεια στους μαθητές της Β’ και Γ’ Γυμνασίου , που θέλουν να οργανώσουν τις επαναλήψεις τους, για τις εξετάσεις Μαΐου – Ιουνίου 2013.

Οι ενότητες αφορούν την διδακτέα και εξεταστέα ύλη 2012-2013

Τυχόν απορίες θα συζητηθούν στη Τάξη.

Καλή Συνέχεια.

Επιτυχόντες Διαγωνισμού Ευκλείδη 2012 – 2013

Επιτυχόντες Διαγωνισμού Ευκλείδη 2012 – 2013

Θέματα Στο Κύκλο

Θέματα Στο Κύκλο

Παραγοντοποίηση τριωνύμου

Παραγοντοποίηση τριωνύμου

Τριγωνομετρία ( Γενική Επανάληψη )

Τριγωνομετρία ( Γενική Επανάληψη )

Εξισώσεις 2ου Βαθμού

Εξισώσεις 2ου Βαθμού

Top
 
Μετάβαση σε γραμμή εργαλείων